高一数学第十五届希望杯全国数学邀请赛试题

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第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、组填空题（每题分，共分） 11 ．已知函数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E

第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训题及答案(四年级)

第十五届（2017年）小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级培训题1．计算：20172071207720172037201721112017⨯+⨯-⨯-⨯．2．计算：9999222233333334⨯+⨯．3．比较大小：20162018A =⨯，20172017B =⨯，20152019C =⨯．4．定义新运算⊗：a a b b b b ⊗⨯⨯⨯个=，求()()1423⊗⊗⊗．5．一个自然数，各个数位上的数字之和是74，这个数最小是多少？6．一个三位数被3除余1，被5除余3，被7除余5，这个数最大是多少？7．一个整除算式，被除数比商大126，除数是7，求被除数．8．一个三位教，它的各位数字之和是20，十位数字比个位数字大1，如果将百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原三位数大198，求原数．9．在从1开始的n 个连续的自然数中，去掉其中的一个数，余下各数的和是2017，求去掉的数．10．若干个数的平均数是17，加入一个新数2017后，这组数的平均数变成21，原来共有多少个数？11．用2，0，1，7这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？12．已知a ，b ，c 是三个质数，且a b c <<，93a b c +⨯=，求a ，b ，c ．13．a ，b ，c 是彼此不同的非0自然数，若6a b c ++=，求四位奇数aabc 中最小的那个．14．a ，b ，c 是彼此不同的非0自然数，若6a b c ++=，求四位奇数aabc 中最大的那个．15．三位数abc 是质数，a ，b ，c 也是质数，cba 是偶数，ab 是5的倍数，求三位数abc ．16．求被7除，余数是3的最小的三位数．17．求被7除，余数是4的最大的四位数．18．将分别写有数字3，7，8的三张卡片排成三位数abc ，使它是43的倍数，求abc ．19．已知a ，b ，c 是不同的质数．且三位数abc 能同时可被3，7整除，求abc ．20．用写有2，3，5，7的四张纸片可以排成多少个小于1000的质数？21．四位数可被两位数ac 整除，若a c <，5a c +=，求b ．22．在下面的算式里加上一对括号，使算式成立．123456789100⨯⨯+⨯++++=23．在等号左边添上适必的运算符号、括号，使等式成立．99998a =24．从1至9的自然数中选择8个数填入下面的方框中，使得计算结果尽量大，那么这个结果最大是多少？()÷⨯+-⨯-+□□□□□□□□25．在下图的算式中，A ，B ，C ，D 代表0～9四个各不相同的数字，且A 是最小的质教，求四位数ABCD ．26．在如图的算式中，“希”、“望”、“杯”三个字分别代表0～9中三个不同的数字，求“希望杯”代表的数．27．a ，b ，c ，d ，e 都是自然数，且09c b a d e <<<<<≤，若如图的算式成立，求abc ．28．求2016920169201699999991999⨯+个个个末尾有多少个0？29．求201020112012201320142015234567+++++的末位数字．30．根据下面一列数的规律，求第2017数教．2，4，6，8，10，…．31．找规律，填数：1，1，2，3，5，8，13，21，（），（），（），…32．把数字1～12填到下图的圆圈中，使每个圆上的数字之和相等．33．同一平面内的2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，10条直线最多有多少个交点？34．按班规律，写出上、下两条横线上应填的数．35．如图现察前面两个正方形中数之间的关系，根据规律求第三个正方形中“？”代表的数．36．正方体骰子上1和6相对，2和5相对，3和4相对，把它放在水平桌面上（如图6），将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方句旋转90︒，则完成一次变换（如图7），若骰子的初始位置为图6，那么完成23次变换后，朝上一面的数字是什么？37．有一串数字，任何相邻的4个数之和都是22，若从左边起第2，5，12个数分别是3，7，8，求第11个数．38．小伟和小明交流暑假中的活动情况，小伟说：“我参加了夏令营，外出一个星期，这七天的日期数之和是84．”小明说：“我假期到家住了七天，日期数的和再加月份数也是84．”那么，小伟出发的日期和小明回家的日期分别是几号？39．某个月中星期一多于星期二，而星期日多于星期六，那么这个月有多少天，这个月的5号是星期几？40．6位同学数学考试的平均成绩是93分，他们的成绩是互不相同的整数，且最高分是99分，最低分是75分，求按分数从高到低居第三位的同学的得分．41．为了表扬好人好事，需核实一件事，厂方找了A，B，C，D四人．A说：“是B做的．”B说：“是D做的．”C说：“是我做的．”D说：“B说的不对．”若这四人中只有一人说了实话，问：这件事是谁做的．42．晶晶家门牌号码满足：（1）若是4的倍教，则它就是60～69中的数；（2）若不是5的倍数，则它就是70～79中的数；（3）若不是8的倍数，则它就是80～89中的数．晶晶家的门牌号码？43．数一数，图中有多少个三角形？44．数一数，图中包含“☆”的长方形（包含正方形）有多少个？45．数一数，图中有多少个三角形？46．数一数，图中有多少个长方形（包含正方形）？47．数一数，在图12中的不同位置可以画出多少个图13所示的图形？（方向可以旋转）48．图14由10个相同的小正方形组成，请用三种方法把它分割成两个大小相等、形状相同的部分（沿图中的线分割）．49．将图中的〇分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻〇涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？50．小聪学玩魔方，向小笨拜师学艺．小笨首先出了一道题考他．从下图的四个图形中，每个小正方形都标上了颜色．若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么下列4个展开图有几个是正确的？51．从图中任意选择四个点，可组成多少个不同的正方形？（不同的点组成的正方形视为不同的正方形）52．有5根小木棒的长度分别为1cm ，1cm ，2cm ，3cm ，5cm ．从中任取3根，不同的长度和有几种？53．一个长方形的长和宽都是整数，且它的面积和周长恰好在数值上相等，那么长方形的长和宽分别是多少？（不需写过程）54．如图，已知100AD =，65BD =，75AC =，求BC ．55．如图，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图甲中的正方形面积为48平方厘米，求图乙中的正方形面积．56．两个边长为8厘米的正方形如图20重叠，若图中阴影部分的面积为24厘米，那么所拼成的大长方形周长是多少厘米？57．图中的正六边形被分为12个相同的小三角形，每个小三角形的面积为1．问：图中面积等于3的梯形有多少个？58．图中有20个相同的小三角形，它们的面积都是1，问图中面积为3的梯形有多少个？59．图中的3个图中，网格小正方形的边长都是1，求各图中阴影部分的面积．60．如图，从边长是8的正方形上我掉两个边长是2的正方形和两个腰长是4的等腰直角三角形，求余下部分的面积．61．一张长方形纸片，长是10厘米，宽是7厘米．把它的右上角样下折叠，如图25所示，再把左下角往上折叠如图26所示，求未盖住部分（阴影部分）的面积．62．一个长方形，若长增加3，宽增加2，则面积增加33；若长增加1，宽增加3，则面积增加26，求原长方形私周长．63．如图，在长是12的线段上画两个正方形，已知两个正方形的面积的差是48，求其中大正方形的面积．64．如图，长方形边长是12，宽是6．把长分成三等份，宽分成两等份，再将长方形内某点与分割点连接，求阴影部分面积．65．在一条直路的一侧等距离地植了128棵树，路的两端都有树．若第3棵树和第7棵树相距20米，求这条路的长．66．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续．2秒且每两次敲响的时间间隔相同．如果敲响5下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要26秒．现在敲响10下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？67．楠楠6岁时，爸爸36岁，再过多少年，爸爸的年龄是楠楠年龄的4倍？68．今年父亲的年龄是兄弟年龄和的2倍，是兄弟年龄差的8倍．父午三人年龄和是48岁，长兄和弟弟今年各几岁？69．今年，李林和爸爸的年龄的和是50岁，5年后，爸爸的年龄比李林年龄的3倍小4岁，爸爸比李林大几岁？70．妈妈像女儿这样大时，女儿才两岁，当女儿长到妈妈现在这样大时，妈妈86岁，求妈妈现在的年龄．71．两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半飞到了右边树上，然后右边树上的8只鸟又飞到了左边树上．这时左边树上的鸟比右边树上多3只，请问最开始左边树上有几只鸟？72．有甲、乙、两、丁四个书库．共有图书24000本．从甲书库调运1500本书到乙书库，然后从乙书库调运1800本书到丙书库，再从丙书库调运2200本书到丁书库，最后从丁书库调运1700本书到甲书库．此时，甲、乙、丙、丁书库的图书数量相等．求甲书库原来有图书多少本？73．小肯同学去肯德基用餐，先买了一份“豪华午餐”，吃完后又买了一个“脆皮甜筒”，一共花了180角．若以角计费，“豪华午餐”的价格末尾有个0，如果把0去掉，正好是“脆皮甜筒”价格的一半．两样各花了多少元？74．一辆油连桶重19千克．用了一半油以后．再连桶一称，共重12千克．求原来油和桶各重多少？75．小笨和小聪练习打字．两分钟内，小笨比小聪多打49个字．又比小聪的3倍多7个字．问：两分钟内．小聪和小笨分别打了多少字？76．小笨和小聪买了60包方便面，小聪比小笨每周少吃4包，二人恰好用了6周吃完了所有的方便面．求小笨每周吃多少包方便面？77．甲、乙、两三数之和为177，乙比丙的两倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数．78．某单位请小王临时帮忙，规定12天报酬是人民币660元和一个MP4播放器．可是小王工作了七天后，因有急事不能继续，结果这个单位根据每天平均值给小王一个MP4播放器和人民币150元．问：一个MP4播放器价值多少元？79．小明今年得压岁钱1650元，比小亮的2倍少150元，求小亮今年得压岁钱多少元？80．麦当劳餐厅推出“夏日冰饮第二杯半价”活动，贝贝同学买了2杯“麦旋风”，共花了18元．那么一杯“麦旋风”原价多少元？81．小王对小李说：“你给我100元，我的钱是你的2倍．”小李对小王说:“你给我20元，我的钱是你的5倍．”原来两人各有多少钱？82．小明、小刚和小面为灾区儿童捐书，小明比小刚多捐了7本，小刚比小商多捐了13本，小明捐的本教是小面的3倍，求三人一共捐了多少本书？83．A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余下的三个数求平均数，这样计算了4次，得到下面四个数：23，26，30，33求A，B，C，D的平均数．84．有一群小朗友分一堆苹果．如果减少1人，每人可分得8个；如果增加2人，每人可分得6个．求实际有多少个小朋友？85．有一群小朋友分一堆苹果，如果每人分5个，就会剩下4个苹果，这时离开了3个小朋友，那么每人分6各还会剩4个．那么原来一共有多少个苹果？86．张丽正在读一本181页的故事书，可是她不小心把书合上了，只记得刚读宄的连续两页页码之和为81，如果张丽每天读30页，那么剩下的几天能读完？87．小华有8个练习本，小明有7个练习本，小强没有，他付了10元从小华和小明购买了一些后，三人有相同数量的练习本．若每个练习本的价格都相同，则小华应得几元钱？88．甲、乙、丙3人手机都使用了“畅聊卡”，并获得了赠送一个月基础话费的优惠，一个月后三人均超过了基础话费，甲付了70元，乙付了50元，丙付了30元．3人通话时长共计90小时，如果一个人通话90小时，要付350元，那么丙通话了多少小时？89．运1200吨水泥．甲、乙两个车队共同运榆需要运30次．若甲车队每次可比乙车队多运10吨，则甲车队独立运输需要运几次？90．一个牧民年初买了一头母羊．每年能生2只公丰，4只母羊，每只小母羊两年后，每年又可以生6只羊，其中2只公苹，4只母羊．这样从今年开始到第3年底、一共有多少只羊？91．小明家2013年初买了一头母羊．每年春天生2只公羊和3只母羊，每只小母羊从第三年头起，每年春天生2只公羊和3只母羊．那么从2013年开始到2017年夏天，小明家共有只羊？92．有一根木糙上有两种刻度，第一种相度将木棍分成10等份，第二种朝度将木棍分成12等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，请问木棍共被锯成多少段？93．和尚分馒头：100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个，小和尚每3个人分1个，刚好分完．大、小和尚各有多少人？94．3名肖学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分．这3个同学都回答了所有的问题，小笨得了87分．小聪得了74分，香香得了9分，问，他们一共答对了几道题？95．今有鸡兔同笼，有33个头，有108只脚，求鸡和兔各多少只？96．两列火车同时从北京和沈阳相对开出，从北京开出的火车每小时行59千未，从沈阳开出的火车每小时行64千米，6小时后两车相遇．北京到沈阳的铁路线长多少千米？97．南京长江大桥是新中国第一座自己设计，建造的铁路、公路两用桥．清晨，一列长228米的火车，以每秒20米的速度通过南京长江大桥，共用了350秒．那么桥的全长是多少米？98．甲、乙两人分别从A、B两地同时以30千米/时、20千米/时速度相向而行，相遇后继续前行各自到达B、A两地后立即返回，到第二次相遇时相遇点，该点离第一次遇点40米，求A、B两地相距多少千米？99．红红和明明的家相距380米，两人两时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，红红每分钟走65米，明明每分钟走55米，3分钟后两人相距多少米？100．甲、乙两地是一条电车线路两端的发车站，每隔一定时间两站同时发、出一辆电车，每辆电车每隔4分钟都会遇到一辆迎面开来的电车，上午10点时，小明、小强两人分别从甲、乙车站同时出发，相向而行，小明每5分钟遇到一辆迎面开来的电车，小强每6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行软全程需42分钟，求小明和小强相遇的时刻？。

第十五届高中数学希望杯竞赛

第十五届（2004年）“希望杯”全国数学邀请赛高一第2 试一、选择题1．已知集合{ | cos , }2A y y x x Nπ= = ∈，{ | sin , }4B y y x x Nπ= = ∈，则A、A ⊃ BB、A ⊂ BC、A = BD、A∈ B2．若a+m=b+n=c+p=d+q，其中m< 0,n>0,p<0,q>0 ，且m>p那么a,b,c,d 中最大的是A、aB、bC、cD、d3．“a≠b且b≠c”是“a≠c”成立的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件4．已知a,b,c,d 都是整数，且x<2b,b<3c,c<4d,d<50，那么a 的最大值A、1157B、1167C、1191D、11995．设x, y 是任意两个正奇数，且x > y ，若k 总能整除x2−y2，则k 的最大值是A、2B、4C、6D、86．若lg |x|+| tan x|=0 ，则x 的个数是A、0B、1C、2D、37．数列{ } n a 的通项20042008 na nn−=−，在此数列的前50 项中，最大项和最小项依次是A、第1 项和第50 项B、第50 项和第1 项C、第45 项和第44 项D、第44 项和第45 项8．等比数列sec , sec , sec3 3 2 3 3ππθπθ+ θ+ + 的公比是A、1/6B、1/3C、1/2D、19．已知函数f(x) = (x+1)2 ，若存在实数t ，使得f(x+1)≤x在x ∈[1，m ]时成立，则m的最大值是A、2 B、3 C、4 D、510．已知集合M 是满足下列条件的函数f(x)的全体：①当x∈[0,+∞) 时，函数值为非负实数②对于任意s,t∈[0,+∞)，橙子奥数工作室录入暗记，都有f (s)+ f (t)≤ f (s+t)．在函数1 2 3 f (x)=x, f (x)=2x−1, f (x)=ln(x+1)中，属于M 的有A、1f (x) 和2f (x)B、1f (x) 和3f (x)C、2f (x) 和3f (x)D、1f (x) 、2f (x) 和3f (x)二、填空题11．若对于任何非零实数a 和b ，有f(ab)= f(a)+ f(b)，则f (1) = _____．构造一个满足前面条件的函数，它的解析式是f(x) = __________．12．直角坐标平面内横、纵坐标都是整数的点称为格点．将半径为2 的一个圆片平放在直角坐标系内，让它随意移动，它盖住的格点最多有_____个，最少有_____个．13．生物小组的一位同学发现随着气温的升高，蟋蟀每分钟的鸣叫次数也在逐渐增加．他每隔1 °C 记录一次，下面是其中的四组数据，有两个已经模糊不清了，但是他知道记录的数据成等差数列．则表格中的数据A=_____，B=_____．鸣叫次数（次/分）8 29 B 89温度（°C）9 A 20 3614．设{a n}是集合，橙子奥数工作室录入暗记，{2s+ 2t+2r| 0≤s<t<r且r,s,t ∈N}中所有的数从小到大地排成的数列，则5 a = __________，50 a = __________．15．等差数列{ } n a 的前n 项和为n S ，若3 6 S= 21,S= 24 ，则公差d = _____，数列{| |} n a 的前50 项的和是_____．16．直角坐标平面内直线l 上所有的点构成的点集是A，将A 中所有的点左移4 个单位再下移5 个单位后得点集B，若恰有集合A=B，直线l 与x 轴成锐角θ，则tanθ= _____．17．n 个向量的和为零向量，若其中一个向量的坐标为（3，4），则其余n −1 个向量的和的模是_____．18．已知函数f(x)= |x2 +bx+c| 在[0，2]上的最大值为t ，当b,c变化时，t 的最小值是_____．19．In a certain formula, p is directly proportional to s and inversely proportional to t . If p = 2 whens = 15 and t = 2.5 , what is the value of p in terms of t and s ? Answer:__________．20．一个小于15 个正整数，被4 除余2，被5 除余1，这个数是_____．三、解答题21．已知数列：{ } n a 中， 1 2 n n a a n −= + （其中n 是大于1 的整数）⑴若{ } n a 是等差数列，求{ } n a 的通项公式．⑵{ } n a 能否为等比数列？若可能，求其通项公式；若不能，请说明理由．22．不等式(−2)x a−3x−1−(−2)x<0对于任意正整数x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去一个半径为r cm（r ∈(0, 20] ）的扇形AEF（1/4 个圆），用剩下的部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩形的面积最大？最大面积是多少？__（广西、山东、宁夏、海南卷）（2005年）一、选择题1．命题p:∅∈{∅}；命题q : 若A = {1, 2} ，B={x|x⊆A}，则A∈ B ，那么A、p 真，q 假B、p 真，q 假C、p 假，q 真D、p 真、q 假2．设集合| 1, , | 1, , | 1,2 4 4 8 8 4M =⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬N=⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬P=⎧⎨x x=k+ k∈Z⎫⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则A、M ∪N=PB、M ∩N=PC、M ∩P=ND、M ∩N=M3．已知关于x 的不等式6 01ax bx+ + >−（a,b∈R）的解集为（−2，−1）∪（1，+∞），则a+b=A、3B、4C、5D、64．下列函数中，值域为R+ 的是A、y = 2−|x−1|B、y=3x+1（x > 0 ）C、y=x2 +x+ 2D、2y 1x=5．偶函数f(x)（x ∈R ）满足f(−4) =f(1) =0，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，x3 f (x) <0的解集为A、(−∞,−4)∪(4,+∞)B、(−∞,−1)∪(1,4)C、(−∞,−4)∪(−1,0)D、(−∞,−4)∪(−1,0)∪(1, 4)6．已知直线l,m与平面α，则l // m 的一个充要条件是A、l,m与α等角B、l⊥α,m⊥αC、l//α,m//αD、l⊥α,m//α7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that⑴if A is guilty ,then B is guilty ⑵if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷if D is guilty ,then B is not guiltyhow many of the accused are guilty ? Answer:A、2B、3C、4D、Insufficient information to determine8．已知1 2 3 1 2 3 f (x) =x+1, f (x) =2x, f (x) = −3x+5,F(x) =min{f (x), f (2), f (x)}，则F(x) 的最大值是A、1B、2C、4D、39．P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若点P 到四边形各边的距离相等，则四边形ABCD 是A、正方形B、菱形C、梯形D、两组对边之和相等的四边形10．可将空间分成15 个部分的平面的个数至少是A、3B、4C、5D、6二、填空题11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足f(a) ≥a的映射有___个．12．正四棱锥P −ABCD 的侧棱长及底面边长均为a ，点M 是侧棱PA 的中点，点N 是侧棱PB 上的一个动点，点T 是底面ABCD 内的一个动点，则MN+NT 的最小值是_____．13．已知正四棱锥的底面积为m ，侧面积为n ，则它的体积等于_____．14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，y=3x2−6x+2 2x−x2+4的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(x, y)在映射f: (x,y)→(2x+2,2y−5) 的作用下的象的集合所对应的图形是△A'B'C'，已知△ABC 的面积为6，则△A'B'C'的面积等于_____．16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation x2−(k−1)x+k2+3k+4=0, where k issome real number. The largest possible value of a2+b2 is _____．17．已知半径为5 的球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，则这两个截面之间的距离为_____．18．函数y=x2 （−2≤x ≤2）与函数y=x+m的图象恰有1 个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围是_____．19．直四棱柱1 1 1 1 ABCD −A B C D 的底面ABCD 是等腰梯形，若1 AD=AB=AA， 1 DC = 2AB ，则异面直线1 AD 与1 CB 所成角的余弦值为_____．20．某校高一新生784 人，每班分配56 人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8 个班，将编号1 至8 号分别编在1 至8 班，9 至16 号分别编在8 至1 班，17 至24 号编在1 至8 班，⋯，该校高一新生编号为300（每号只对1 人）的同学编在_____ 班．三、解答题（每题10 分，共33 分）21、已知正四棱锥S −ABCD 中，∠ASB=2θ，AB=a⑴求侧棱与底面ABCD 所成角的余弦值⑵求此四棱锥的内切球的半径22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法⑴先将自然数表示成五进制（逢5 进1）⑵再将五进制中的数码与集合{V，W，X，Y，Z}中的元素建立一个一一对应后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ，VYX，VVW，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．23．已知函数22( ) 11f x x kxx x+ +=+ +⑴当k = 2 时，求f(x)的值域；⑵若存在实数a,b,c 使f(a)+ f (b)< f (c)，试求实数k 的取值范围．。

希望杯全国数学邀请赛试题集锦

“希望杯”全国数学邀请赛试卷集锦第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试一、选择题、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么（）（）0,0,0><<c b a （）0,0,0<>>c b a（）0,0,0>><c b a （）0,0,0>>>c b a、某种菌类生长很快，长度每天增长倍，在天中长成M ，那么长成41M 要（）（）411天（）天（）天（）天、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(221x f x f -的值等于（）（）（）21 （）（）2log a、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是（）（）︒<θ<︒ （）︒<θ<︒ （）︒<θ≤︒ （）︒≤θ≤︒、、、、分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为（）（）⊃⊃⊃（）⊃⊃⊃（）⊂⊂（）⊂⊂⊆⊆、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则（）（）c b a << （）a c b << （）b c a << （）a b c <<、)(x f 是定义域为的奇函数，方程0)(=x f 的解集为，且中有有限个元素，则（）（）可能是∅（）中元素的个数是偶数（）中元素的个数是奇数（）中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

、（）（）与（）（）（）与（）（）（）与（）（）（）与（）、已知θ是第二象限的角，且2cos 2sin θθ<，则||2cos |log |22θ等于（）（）)2cos(πθ-- （）2cos θ（）)2sec(θ- （）)2sec(θπ-、若函数||22x x y -=的图象与直线)2(-=x k y 相交于点（-，-），则与该直线交点的个数是（）（）（）（）（）二、填空题（组）、若23log =x ，则x 的值是。

第7绝对值函数

Y.P.M 数学竞赛讲座 1绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________.[解析]:[评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________. 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:[评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2,则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则2 Y.P.M 数学竞赛讲座 |a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:[评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,此时x ＝ . 5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)1 2(| nnx的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191| |nnx的最小值为( )(A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+a n|x-x n|的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x0,f(x0)),其中x0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a的最小值为 .[解析]:[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a的取值范围是.绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________. y y y[解析]:f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|, 1 2 f 2(x)=|f 1(x)-2|的图像如图: O -1 O 1 x 1其面积为8-1=7. -3 O 3 x [评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解:令f(x)=|x 2-1|,设方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0的两根分别为y 1、y 2,则y 1+y 2=1,y 1y 2=k,k ≤41,且f(x)=y 1,f(x)=y 2,①由图知,方程恰有2个实根⇔y 1>1,y 2<0,如y 1=2,y 2=-1,k=-2满足条件,所以①正确;②由图知,方程恰有4个实根⇔y 1=y 2=21,k=41所以②正确;③由图知,方程恰有5个实根⇔y 1=1,y 2=0,k=0所以③正确;④由图知,方程恰有8个实根⇔y 1≠y 2,且y 1、y 2∈(0,1),如y 1=31,y 2=32,k=92满足条件,所以④正确.综上,正确命题的个数为4,假命题的个数为0,故选(A).2.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 解:f(x)=|1-2x|=|2x-1|的图像如图: y y yf(f(x))=|2|2x-1|-1|的图像如图: 1(求该函数的零点41,43); O 21 x O 41 43 x O 81 41 43 87 x f(f(f(x)))=|2|2|2x-1|-1|-1|(求该函数的零点81,41,43,87),共有8个解. 由y=f(x)到y=|2f(x)-1|的变换:纵坐标伸长2倍,得值域[0,2];再向下平移1个单位,最后作绝对值变换.2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:在数轴上取点P i :x i ,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|=|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|,|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005-x 1| =1⇔|P 1P 3|+|P 2P 3|+…+|P 2004P 2005|+|P 1P 2005|=1⇒2|P 1P 2005|≥1,为使|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|最小,取P 1,P 2…,P 2004为O,P 2004, 0.5⇒|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于0.5.2 Y.P.M 数学竞赛讲座[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.解:由条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|.①当x ≤1,y ≤3时,无解;②当x ≤1,3≤y ≤9时,y=8.5,线段长为1;③当x ≤1,y ≥9时,无解;④当1≤x ≤6,y ≤3时,无解;⑤当1≤x ≤6,3≤y ≤9时,x+y=9.5,线段长为52;⑥当1≤x ≤6,y ≥9时,无解;⑦当x ≥6,y ≤3时,无解;⑧当x ≥6,3≤y ≤9时,y=3.5,线段长为4;⑨当x ≥6,y ≥9时,无解.综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为1+52+4=5(1+2). 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3⇔∀x ∈R,|x+a+1|+|x+a 2-2|≥3⇔|(a 2-2)-(a+1)|≥3⇔a 2-a ≤0,或a 2-a-6≥0⇔a ∈(-∞,-2]∪[0,1]∪[3,+∞). [评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2, 则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则|a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:f(x+1)=|x-1|-|x+1|⇒f(x)=|x-2|-|x|⇒f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<)2(2)20(22)0(2x x x x ,f(2002)=-2⇒f(2002)+1=-1,①当x<0时,f(x)=2⇒f(f(x))=f(2)=-2;②当x>2时,f(x)=-2⇒f(f(x))=f(-2)=2;③当0≤x ≤2时,f(x)=2-2x ⇒f(f(x))= f(2-2x)=2|x|-2|x-1|=2x-2|x-1|=-1⇒2x+1=2|x-1|⇒x=41. [评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,Y.P.M 数学竞赛讲座 3 此时x ＝ .5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:因为函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+)21)(4()211(25)1(4x x x x x x 的图像如图: 当a>3时,f(x)=a 无解;当a=3时,f(x)=a 只有一个解;当-29≤a<3时,直线y=a 与y=x+4和y=-5x-2有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-51(a+2),2≤|u-v|≤10⇔-316≤a ≤34;当a<-29时,直线y=a 与y=x+4和y=-x-4有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-(a+4),2≤|u-v|≤10⇔-5≤a ≤-1,得实数a 的取值范围是[-5,34]. [评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .解:令x=at,则原不等式为|a||2t-1|+|a||3t-2|≥a 2⇔|a|≤|2t-1|+|3t-2|⇔|a|≤31.2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:f(x)=|x-1|+2|x-21|+…+2011|x-20111|,所有零点由小到大:20111(2011个),20101(2010个),…,21(2个), 1(1个),共有1+2+…+2011=1006×2011个,所以在503×2011个与503×2011+1个零点之间取得最小值,令1+2+…+n<503×2011⇒n 的最小值=1421⇒第503×2011个与503×2011+1个零点均为14221⇒f(x)的最小值为f(14221)= 711592043. [评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③4 Y.P.M 数学竞赛讲座当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)12(|n n x 的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80 ⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191||n n x 的最小值为( ) (A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x −1|+|x −2|+…+|x −2007|(x ∈R ),且f(a 2−3a+2)=f(a −1),则a 的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 [解析]:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在−1≤x ≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+3+…+ 2007)=2008×2007.所以当−1≤a 2−3a+2≤1,且−1≤a −1≤1时,恒有f(a 2−3a+2)=f(a −1).故选(D).[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y 轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x 0,f(x 0)),其中x 0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x 的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x 2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a 的最小值为 .[解析]:由条件知⎩⎨⎧≥+-=≥++-=02||)1(02|1|)0(a f a f ,解得-2≤a ≤1.当a=-2时,f(x)= x 2-2x-|x+1|-|x-2|+4,对于任意的实数x,f(x)的值都是非负实数,因此a=-2符合要求.所以,实数a 的最小值为-2.[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x 的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x 2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a ∈R,若关于x 的方程x 2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a 的取值范围是 .。

第十五届希望杯全国数学邀请赛高二第2试试题

橙子奥数工作室教学档案非卖品第十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试一、选择题1．如果向量(3,6),(4,2),(10,5)u v w =−==−−，那么下列结论中错误的是A 、u v ⊥B 、//u vC 、u v ⊥D 、//v w2．设2()f x x bx c =++（,b c R ∈），{|(),}A x x f x x R ==∈，{|(()),}B x x f f x x R ==∈，如果A 中只含有一个元素，则A 、AB ⊂ B 、A B ⊃C 、A B =D 、A B =∅∩3．在一次知识竞赛中，甲、乙、丙三名选手一共做出了100道试题，每人都做出了60道题，若定义只有一人做出的题为难题，只有二人做出的题为中档题，三人都做出的题为容易题，则下列结论中错误的是A 、难题比容易题多20道B 、难题至少有20道C 、中档题不多于80道D 、容易题多于40道4．设0,/2αβπ<<，则/2αβπ+=是2222sin sin sin ()sin ()αβαβαβ+=+=+成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件5．函数y =达到最大值时，x 的值是A 、5+B 、9+C 、D +6．当[0,]x π∈时，下列不等式中一定成立的是A 、sin(cos )cos(sin )x x <B 、cos(cos )sin(sin )x x <C 、sin(cos )cos(sin )x x >D 、cos(sin )cos(sin )x x >7．数列{}n a 中，橙子奥数工作室录入暗记，112,n a a +==1||()n n n b a a n N ++=−∈，设n S 是{}n b 的前n 项和，则下列不等式中一定成立的是A 、0.30.4n S <<B 、0.40.5n S <<C 、0.50.8n S <<D 、0.50.9n S <<80=所围成的区域中包含的最大圆的面积是A 、/4πB 、5/4πC 、7/4πD 、9/4π9．正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点，直线EF 与1AC 所成角的余弦值是A 3B 、3C 4D 610．抛物线2y x =在点A （2,m m ）的切线与圆2220x y x +−=相切，则A 、32m −<<−B 、21m −<<−C 、10m −<<D 、15m −<<二、填空题11．方程tan 13tan 2tan 1x x x +=−的解集是_____．12．若双曲线221x y −=的右支上有一点P （,a b ）到直线y x =a b +=_____．13．当0a b >>k>恒成立的常数k 的最大值是_____．14．平面直角坐标系内的格点（横、纵坐标都是整数的点）到直线6815x y +=的最近距离是_____．15．当11arctanarctan 63x ≤≤时，csc cot x x −的取值范围是__________． 16．与直线30x y −=和30x y −=相切，且过点A （11，−7）的圆的方程是__________． 17．若函数22log [3(1)]y ax x a =−+−在区间（1，+∞）上是单调递减的，则参数a 的取值范围是_____．18．设正三棱锥底面的边长为a ，侧面组成直二面角，则该棱锥的体积等于_____．19．数列{}n a中，橙子奥数工作室录入暗记，111,n a a +==（其中n N +∈），2004a =_____．20．记关于x 的函数cos 23sin y x a x =+的最大值为()g a ，则()g a 的解析式是__________．三、解答题21．已知函数()y f x =有反函数1()y f x −=⑴ 把()y f x =的图象绕原点顺时针旋转90°，求所得曲线的方程（用反函数表示）． ⑵ 把曲线1ln 1x y x +=−绕原点顺时针旋转90°，求所得曲线的方程． 22．下图是由无限个阻值均为1欧姆的电阻按一定规律组成的网络，若从图中11A B 处沿虚线将网络截断，A 、B 间电阻为1R （欧姆），若从22A B 处沿虚线将网络截断，A 、B 间电阻为2R （欧姆），依次类推，若11A B 从处沿虚线将网络截断，A 、B 间电阻为n R （欧姆）．⑴ 求数列{}n R 的通项．⑵ 当网络趋于无穷时，求A 、B 间的电阻R （欧姆）．n 32123．⑴ 求椭圆22194x y +=所围成的图形的面积． ⑵ 求椭圆22194x y +=与直线1x =−及2x =所围成的图形的面积．。

2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初一第2试)(解析版)

2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a=|﹣2004|+15，则a是（）A．合数B．质数C．偶数D．负数2．（5分）若7a+9|b|=0，则ab2一定是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数3．（5分）a与b之和的倒数的2003次方等于1，a的相反数与b之和的2005次方也等于1，则a2003+b2004=（）A．22005B．2 C．1 D．04．（5分）如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，三角形扫过的面积是多少平方厘米（）A．21 B．19 C．17 D．155．（5分）小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是多少元（）A．（2.5，0.7）B．（2，1） C．（2，1.3）D．（2.5，1）6．（5分）当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（）A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣327．（5分）The sum of n different positive integers is less than 50．The greatest possible value of n is（）A．10 B．9 C．8 D．78．（5分）已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角，则∠B=（）A．75°B．60°C．45°D．30°9．（5分）如图，一个正方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态，则？表示的数字是（）A．1 B．2 C．4 D．610．（5分）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8=0，则ab=（）A．﹣8 B．8 C．32 D．2004二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）若正整数x，y满足2004x=105y，则x+y的最小值是．12．（5分）数列1，1，2，3，5，8，13，21…的排列规律是：从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2008个数中，共出现个偶数．13．（5分）2004年6月3日依照美语习惯写作6/3/2004，依照英语习惯写作3/6/2004．像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期，也难以判断是哪一天，称为易混日期．而4/18/2004显然是美语日期，可以准确断定为2004年4月18日；18/4/2004显然是英语日期，可以准确断定为2004年4月18日；2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期，但总可以断定为2004年2月2日．这些都是不混日期．那么每月有易混日期个；2004年全年的不混日期共有个．14．（5分）若x2+3x﹣1=0，则x3+5x2+5x+18=．15．（5分）如图，甲、乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶．已知甲船速度是乙船速度的倍，A、B两港相距540千米．甲船3小时后到达C港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．则乙船速度是千米/小时．16．（5分）If n is a positive integer，and if the unit s’digit of n2 is 6 and the units’digit of （n﹣1）2 is 9，the units’digit of （n+1）2 is ．（英汉小词典units’digit：个位数字）17．（5分）用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要条长为1的线段，它的面积是．18．（5分）关于x，y的方程组的解x，y的和等于1．则m的值是．19．（5分）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页．若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了页．20．（5分）将2004写成若干个质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x，y的方程组的解是x=，y=．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）观察下面的等式：2×2=4，2+2=4×3=4，+3=4，×4=5，+4=5，×5=6，+5=6，小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．22．（10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．23．（10分）在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等．请确定x的值，并给出一种填数法．2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a=|﹣2004|+15，则a是（）A．合数B．质数C．偶数D．负数【解答】解：∵|﹣2004|=2004，∴a=2004+15=2019，∵2019=3×673，∴a是合数．故选：A．2．（5分）若7a+9|b|=0，则ab2一定是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数【解答】解：∵|b|≥0，∴7a≤0，∴a≤0，又∵b2≥0，∴ab2≤0，∴ab2为非正数．故选：D．3．（5分）a与b之和的倒数的2003次方等于1，a的相反数与b之和的2005次方也等于1，则a2003+b2004=（）A．22005B．2 C．1 D．0【解答】解：由题意得，（）2003=1，（﹣a+b）2005=1，所以a+b=1，b﹣a=1，解得a=0，b=1，所以原式=02003+12004=1．故选：C．4．（5分）如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，三角形扫过的面积是多少平方厘米（）A．21 B．19 C．17 D．15【解答】解：扫过的面积应该是矩形BCDF的面积加上上面三角形的面积，3×2=6厘米，3×6+×3×2=21平方厘米．故选：A．5．（5分）小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是多少元（）A．（2.5，0.7）B．（2，1） C．（2，1.3）D．（2.5，1）【解答】解：设春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是x元，y元．，解得．故选：A．6．（5分）当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（）A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣32【解答】解：∵当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，∴﹣2a+3b+8=18，∴﹣2a+3b=10，则9b﹣6a+2，=3（﹣2a+3b）+2，=3×10+2，=32，故选：C．7．（5分）The sum of n different positive integers is less than 50．The greatest possible value of n is（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：要使n的值最大即要求各数尽可能的小，∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴n个不同的正整数和小于50，那么这个n的最大可能值为9．故选：B．8．（5分）已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角，则∠B=（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：设∠A=x，∠B=y，则∠A与∠B之和的补角为180°﹣（x+y），∠A 与∠B之差的余角为90°﹣（x﹣y）．由题意得：180°﹣（x+y）=90°﹣（x﹣y），解得：y=45°．故选：C．9．（5分）如图，一个正方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态，则？表示的数字是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：由图一、二可得：标1的与标2，3，5，4的面相邻，所以1与6相对；由图二、三可得标3的与标1，2，5，6的面相邻，所以3与4相对；由图一、三可得标5的与标1，3，4的面相邻，所以2与5相对；故既与3又与5相邻的是1或6，3在上5在右就是6，5在上3在右就是1．所以此题答案是6．故选：D．10．（5分）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8=0，则ab=（）A．﹣8 B．8 C．32 D．2004【解答】解：a2﹣2ab+2b2+4a+8=2a2﹣4ab+4b2+8a+16=（a2﹣4ab+4b2）+（a2+8a+16）=（a﹣2b）2+（a+4）2=0，∴a﹣2b=0且a+4=0，解得：a=﹣4，b=﹣2，则ab=8．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）若正整数x，y满足2004x=105y，则x+y的最小值是703．【解答】解：正整数x，y满足2004x=105y，两边同时除以3得668x=35y，而668和35互素，因此x=35，y=668，则x+y的最小值是35+668=703．故答案为：703．12．（5分）数列1，1，2，3，5，8，13，21…的排列规律是：从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2008个数中，共出现669个偶数．【解答】解：从数列中可看出每3个，就有一个偶数，2008÷3=669．所以有669个偶数．13．（5分）2004年6月3日依照美语习惯写作6/3/2004，依照英语习惯写作3/6/2004．像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期，也难以判断是哪一天，称为易混日期．而4/18/2004显然是美语日期，可以准确断定为2004年4月18日；18/4/2004显然是英语日期，可以准确断定为2004年4月18日；2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期，但总可以断定为2004年2月2日．这些都是不混日期．那么每月有易混日期11个；2004年全年的不混日期共有234个．【解答】解：1×12﹣1=11（天）；12×12﹣12=144﹣12=132（天）．2004年全年是366天，则2004年全年的不混日期共有：366﹣132=234（天），故答案为：11；234．14．（5分）若x2+3x﹣1=0，则x3+5x2+5x+18=20．【解答】解：∵x2+3x﹣1=0，∴x2+3x=1，∴x3+5x2+5x+18，=x3+3x2+2x2+6x﹣x+18，=x（x2+3x）+2（x2+3x）﹣x+18，=x+2﹣x+18，=20．故答案为：20．15．（5分）如图，甲、乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶．已知甲船速度是乙船速度的倍，A、B两港相距540千米．甲船3小时后到达C港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．则乙船速度是15千米/小时．【解答】解：设乙船的速度是x千米/小时，=，解得x=15．故答案为：15．16．（5分）If n is a positive integer，and if the units’digit of n2 is 6 and the units’digit of （n﹣1）2 is 9，the units’digit of （n+1）2 is 5．（英汉小词典units’digit：个位数字）【解答】解：个位数为0到9的数的平方的个位数为：0﹣﹣0；1﹣﹣1；2﹣﹣4；3﹣﹣9；4﹣﹣6；5﹣﹣5；6﹣﹣6；7﹣﹣9；8﹣﹣4；9﹣﹣1；由此可知n的个位数是4或6，又∵（n﹣1）的个位数为3，∴可得n的个位数为4，n﹣1的个位数为3，n+1的个位数为5，∴（n+1）2的个位数为5．故答案为：5．17．（5分）用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要126条长为1的线段，它的面积是980．【解答】解：设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，20=1×20=2×10=4×5，4+5=9最小，所以a=7×4=28，b=7×5=35，周长为（28+35）×2=126，面积为28×35=980．故答案为126，98018．（5分）关于x，y的方程组的解x，y的和等于1．则m的值是1．【解答】解：解方程组，得．把x=1，y=0代入2mx+3y=2，得2m+0=2，∴m=1．故答案为1．19．（5分）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页．若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页．【解答】解：设则当甲、乙打的字数相同时，乙打了x页．+1000=600xx=35．则当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页．故答案为35．20．（5分）将2004写成若干个质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x，y的方程组的解是x=1，y=1．【解答】解：∵2004=2×2×3×167，∴a=2，b=3，c=167，代入方程组得，解得．故答案为：x=1，y=1．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）观察下面的等式：2×2=4，2+2=4×3=4，+3=4，×4=5，+4=5，×5=6，+5=6，小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．【解答】解：（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3；（2）将第一组等式变形为：，，得出如下猜想：“若n是正整数，则”，证法1：左边==右边，所以猜想是正确的，证法2：右边==左边，所以猜想是正确的．22．（10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．【解答】解：不能填，理由如下：设所填的互不相同的4个数为a，b，c，d；则有①﹣②得c2﹣d2=d2﹣c2∴c2=d2因为：c≠d，只能是c=﹣d④同理可得c2=b2因为c≠b，只能c=﹣b⑤比较④，⑤得b=d，与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在．23．（10分）在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等．请确定x的值，并给出一种填数法．【解答】解：∵x是正整数，∴表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即：=12+，∴不妨设a，b与x在同一行，c，d与x在同一列，则有a+b=c+d=12+﹣x=12﹣又∵a+b和c+d的最小值是=5，∴12﹣≥5，即x≤，又∵12﹣=a+b是整数，且x是不同于1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，∴x=9，填数法如下：（不唯一）。

希望杯”全国数学邀请赛考查内容提要

“希望杯”全国数学邀请赛考查内容提要加入时间：2008-9-8 9:33:52点击：25637（一）小学四年级1.整数的四则运算，运算定律，简便计算，等差数列求和。

2.基本图形，图形的拼组(分、合、移、补)，图形的变换，折叠与展开。

3.角的概念和度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。

4.整除概念，数的整除特征，带余除法，平均数。

5.小数意义和性质，分数的初步认识(不要求运算)。

6.应用题(植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题)。

7.几何计数(数图形)，找规律，归纳，统计，可能性。

8.数谜，分析推理能力，数位，十进制表示法。

9.生活数学(钟表，时间，人民币，位置与方向，长度、质量的单位)。

（二）小学五年级1．小数的四则运算，巧算与估算，小数近似，小数与分数的互换。

2.因数与倍数，质数与合数，奇偶性的应用，数与数位。

3.三角形、平行四边形、梯形、多边形的面积。

4.长方体和正方体的表面积、体积，三视图，图形的变换(旋转、翻转)。

5.简易方程。

6.应用题(还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题等)，生活数学。

7.包含与排除，分析推理能力，加法原理、乘法原理。

8.几何计数，找规律，归纳，统计，可能性。

（三）小学六年级1．分数的意义和性质，四则运算，巧算与估算。

2．百分数，百分率。

3．比和比例。

4．计数问题，找规律，统计图表，可能性。

5．圆的周长和面积，圆柱与圆锥。

6．抽屉原理的简单应用。

7．应用题(行程问题、工程问题、牛吃草问题、钟表问题等)。

8．统筹问题，最值问题，逻辑推理。

（四）初中一年级1.有理数的加、减、乘、除、乘方、正数和负数、数轴、绝对值、近似数的有效数字2.一元一次方程、二元一次方程的整数解3.直线、射线、线段、角的度量、角的比较与运算、余角、补角、对顶角；相交线、平行线4.三角形的边（角）关系、三角形的内角和5.用字母表示数、合并同类项、去括号、代数式求值、探索规律、整式的加减6.统计表、条形统计图和扇形统计图、抽样调查、数据的收集与整理7.展开与折叠、展开图8.可能还是确定、可能性、概率的基本概念、简单逻辑推理9.整式的运算（主要是整式的加减乘运算，乘法公式的正用逆用）10.数论最初步、高斯记号、应用问题11.三视图（北师大）、平面直角坐标系（人教）、坐标方法的简单应用（五）初中二年级1.平方根、立方根、实数2.整式的加减乘除、乘法公式、提取公因式法、因式分解的简单应用3.二元一次方程组4.平面直角坐标系、一次函数、反比例函数5.一元一次不等式（组）6.勾股定理7. 轴对称，中心对称8.全等三角形9.多边形及其内角和、镶嵌10.统计图的选择、抽样调查、平均数、中位数与众数11.分式加减乘除、整数指数幂、分式方程12.平移、旋转13.逻辑问题、概率问题、数论初步、应用问题14.平行四边形的性质、判别，菱形、矩形、正方形、梯形的概念、计算（六）高中一年级1.指数、对数函数（概念、性质、应用）2.集合、映射、函数（指、对、幂）3.充要条件4.等差、等比数列5.一元二次不等式和二次函数6.三角（不包含反三角函数、三角方程）7.整除、同余8.不定方程9.平面向量10.立体几何11.直线与圆12.算法初步13.逻辑问题14.实际问题（七）高中二年级1.三角2.立体几何3.解析几何4.矢量应用5.统计、概率6.不等式7.逻辑问题8.实际问题第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛章程加入时间：2010-8-31 17:42:05点击：5488特别通告： 1.自2010年起，台湾已参加本邀请赛。

2015年希望杯全国数学邀请赛高中一年级获奖名单

金牌高一濠江中學談皓澳门金牌高一厦门大学附属实验中学柯志发福建金牌高一福清西山中学吴鸿鑫福建金牌高一福清西山中学柯杨斌福建金牌高一福建师范大学附属中学杨晨阳福建金牌高一开平市开侨中学侯健炫广东金牌高一深华教育吕润和广东金牌高一华南师范大学附属中学李昶晟广东金牌高一华南师范大学附属中学张睿达广东金牌高一华南师范大学附属中学刘超宇广东金牌高一信宜市信宜中学施杨广东金牌高一广西师范大学附属外国语学校赵奕铭广西金牌高一邢台市第一中学刘世康河北金牌高一邢台市第一中学路宗尚河北金牌高一邢台市第一中学魏正河北金牌高一石家庄第二中学于明鑫河北金牌高一石家庄鑫鹏学校高立明河北金牌高一郑州市外国语中学任和河南金牌高一冷水江市第一中学刘吉泉湖南金牌高一长沙市南雅中学黄一峰湖南金牌高一吉林市第一中学吕潇吉林金牌高一吉林市第一中学徐靖博吉林金牌高一四平市第一高级中学郑轶丹吉林金牌高一四平实验中学尚俊卓吉林金牌高一江苏省盐城中学杨翔宇江苏金牌高一江苏省亭湖高级中学张禹江苏金牌高一江苏书人教育汪正中江苏金牌高一吴江市青云实验中学潘伟杰江苏金牌高一浮梁县一中李智杰江西金牌高一营口市大石桥一高中李靖雯辽宁金牌高一包头市九中邹明哲内蒙古金牌高一山西大学附属中学田宇君山西金牌高一山西大学附属中学鲍家辉山西金牌高一山西大学附属中学张入文山西金牌高一上外附中陈彦达上海金牌高一大同中学段宇昕上海金牌高一天津市实验中学徐嘉宇天津金牌高一桐乡高级中学陈洋浙江金牌高一桐乡高级中学徐钟祺浙江金牌高一桐乡高级中学郑炜强浙江金牌高一海盐元济高级中学沈瑞恩浙江金牌高一海盐元济高级中学沈霁浙江金牌高一嘉善高级中学吴政科浙江金牌高一平湖中学梁嘉诚浙江金牌高一平湖中学王雪纯浙江金牌高一重庆市奉节中学张家洪重庆金牌高一重庆市九龙坡区教育培训学校康敏桐重庆银牌高一阜阳市第三中学陈前前安徽银牌高一阜阳市第三中学王海龙安徽银牌高一培正中學魏可盈澳门银牌高一华侨城黄冈中学胡舒予北京银牌高一厦门大学附属实验中学艾宇旸福建银牌高一福建师范大学附属中学孙泽宇福建银牌高一福州三中杨汉福建银牌高一安溪县蓝溪中学廖俊林福建银牌高一泉州市培元中学施凤铮福建银牌高一安溪县第一中学沈灿红福建银牌高一惠安荷山中学陈柏鸿福建银牌高一高台县第一中学李伟明甘肃银牌高一开平市开侨中学黄泽钦广东银牌高一开平市开侨中学方尧洋广东银牌高一开平市第一中学余振仕广东银牌高一深圳市实验学校高中部李睿杰广东银牌高一华南师范大学附属中学李卫雨广东银牌高一江门市第一中学余琛广东银牌高一台山一中梁仪恩广东银牌高一顺德德胜学校叶若松广东银牌高一信宜市信宜中学高铭骏广东银牌高一信宜市信宜中学梁恩广东银牌高一广西师范大学附属外国语学校将博文广西银牌高一桂林市十八中唐成龙广西银牌高一为明学校夏冰剑贵州银牌高一清华中学朱腾贵州银牌高一六枝特区二中刘嘉诚贵州银牌高一贵阳一中新世界国际学校贺思齐贵州银牌高一邢台市第一中学张新松河北银牌高一邢台市第一中学魏江涛河北银牌高一邢台市第一中学贺明康河北银牌高一邢台市第一中学高永程河北银牌高一邢台市第三中学刘佳乐河北银牌高一石家庄第二中学吴昊宁河北银牌高一石家庄正定中学于少东河北银牌高一郑州市外国语中学景飞龙河南银牌高一郑州市外国语中学沙廉栋河南银牌高一哈师大附中付警锋黑龙江银牌高一哈师大附中高哲黑龙江银牌高一凤凰县华鑫实验学校龙回湖南银牌高一冷水江市第一中学张贻琛湖南银牌高一新邵县一中彭璐璐湖南银牌高一长沙市南雅中学欧阳代为湖南银牌高一长沙市南雅中学李一格湖南银牌高一四平市第一高级中学郝建桥吉林银牌高一四平市第一高级中学冯科皓吉林银牌高一江苏省建湖高级中学仇晶江苏银牌高一江苏书人教育万劲东江苏银牌高一江苏书人教育吴宏伟江苏银牌高一吴江市青云实验中学陆星宇江苏银牌高一吴江市青云实验中学孙斐逸江苏银牌高一赣州市第一中学方承强江西银牌高一辽宁省实验中学营口分校徐德轩辽宁银牌高一营口开发区一高中王君宇辽宁银牌高一呼伦贝尔市满洲里七中宋琳琳内蒙古银牌高一呼伦贝尔市尼尔基一中肖安琦内蒙古银牌高一鄂尔多斯市第一中学田普阳内蒙古银牌高一包头市九中韩子雄内蒙古银牌高一包头市北重三中续亮内蒙古银牌高一利津县第一中学冉德智山东银牌高一泰安明湖中学陈千姿山东银牌高一忻州实验中学高天荣山西银牌高一山西大学附属中学杨昊桐山西银牌高一山西大学附属中学张子洲山西银牌高一太原五中连子涵山西银牌高一上海曹杨二中沈周上海银牌高一奉贤中学李臻祥上海银牌高一上外附中仇学成上海银牌高一上外附中蒋昱奇上海银牌高一天津市咸水沽中学曾淇天津银牌高一天津市静海一中柴苏瑜天津银牌高一新疆生产建设兵团第一师高级中学董皖新新疆银牌高一新疆生产建设兵团第一师高级中学王国鑫新疆银牌高一蒙自市一中梁睿云南银牌高一云南省云天化中学王冉云南银牌高一云南省云天化中学晁弋茹云南银牌高一桐乡高级中学李擎天浙江银牌高一桐乡高级中学张烨冰浙江银牌高一桐乡高级中学戴一新浙江银牌高一桐乡高级中学许鲍磊浙江银牌高一桐乡高级中学金志成浙江银牌高一平湖中学孙逸洲浙江银牌高一平湖中学陆诚迪浙江银牌高一海盐元济高级中学王嘉辉浙江银牌高一海盐元济高级中学周瀛浙江银牌高一海盐元济高级中学顾成宇浙江银牌高一海盐元济高级中学俞卓航浙江银牌高一海盐元济高级中学马鼎立浙江银牌高一海宁市高级中学沈炜浙江银牌高一海宁市高级中学孙哲渊浙江银牌高一嘉善高级中学朱嘉安浙江银牌高一重庆市奉节中学蔡兴灏重庆银牌高一重庆市九龙坡区教育培训学校李函阳重庆。

希望杯高中组试题及答案

希望杯高中组试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列哪项是光合作用的主要产物？A. 氧气B. 二氧化碳C. 水D. 葡萄糖答案：D2. 欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系，其公式为：A. V = IRB. V = RIC. I = VRD. I = R/V答案：A3. 地球的大气层中，最外层的层是：A. 对流层B. 平流层C. 热层D. 电离层答案：C4. 在数学中，一个数的平方根是：A. 一个数的两倍B. 一个数的一半C. 一个数的倒数D. 一个数的相反数答案：C5. 以下哪个选项是描述细胞核功能的？A. 细胞核是细胞的能量工厂B. 细胞核是细胞的控制中心C. 细胞核是细胞的废物处理中心D. 细胞核是细胞的保护屏障答案：B6. 以下哪项是描述DNA的？A. 双螺旋结构B. 单螺旋结构C. 线性结构D. 三螺旋结构答案：A7. 以下哪个选项是描述元素周期表的？A. 按照原子序数排列的元素列表B. 按照原子质量排列的元素列表C. 按照元素颜色排列的元素列表D. 按照元素的化学性质排列的元素列表答案：A8. 以下哪个选项是描述牛顿第一定律的？A. 物体在没有外力作用下会保持静止或匀速直线运动B. 物体在受到外力作用下会加速C. 物体在受到外力作用下会减速D. 物体在没有外力作用下会不断加速答案：A9. 以下哪个选项是描述生态系统中能量流动的？A. 能量在生态系统中是循环的B. 能量在生态系统中是单向流动的C. 能量在生态系统中是双向流动的D. 能量在生态系统中是随机流动的答案：B10. 以下哪个选项是描述光的波粒二象性的？A. 光同时具有波动性和粒子性B. 光只具有波动性C. 光只具有粒子性D. 光既不是波也不是粒子答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）1. 地球的自转周期是________小时。

答案：242. 牛顿的第二定律公式为________。

答案：F = ma3. 人体中最大的细胞是________。

高一希望杯数学竞赛试题

高一希望杯数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-2) \)的值。

A. 3B. -1C. 1D. -32. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 30^\circ \)的值。

A. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)D. 15. 若\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

A. -1B. -2C. 1D. 26. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 32B. 35C. 38D. 41二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。

2. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( xy = 12 \)，求\( x - y \)的值。

3. 将\( 3x^2 - 6x + 2 \)分解因式，结果为______。

4. 一个正六边形的内角为______度。

5. 若\( \log_{2}8 = 3 \)，求\( \log_{4}8 \)的值。

三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 3| < 2 \)。

2. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \)。

历届希望杯高中试题及答案

历届希望杯高中试题及答案尊敬的教师和同学们，以下是历届希望杯高中数学竞赛的部分试题及答案，供参考和练习。

# 历届希望杯高中试题及答案一、选择题1. 题目：若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)在区间[1,3]上的最大值。

答案：首先求导\( f'(x) = 2x - 4 \)，令\( f'(x) = 0 \)得\( x = 2 \)，为极值点。

计算\( f(1) = 0 \)，\( f(3) = 2 \)，\( f(2) = -1 \)。

由于\( f(x) \)在[1,3]上开口向上，所以最大值为\( f(3) = 2 \)。

2. 题目：设\( a, b \)为实数，若\( a^2 + b^2 = 1 \)，求\( a +b \)的最大值。

答案：根据柯西-施瓦茨不等式，有\( (a^2 + b^2)(1 + 1) \geq (a + b)^2 \)，即\( 2 \geq (a + b)^2 \)。

因此，\( a + b \)的最大值为\( \sqrt{2} \)。

二、填空题1. 题目：若\( x \)为实数，求\( \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} \)的最小值。

答案：当\( x \geq 2 \)时，\( \sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{x^2 - 4} = \frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} = \frac{8}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{x^2 - 4}} \)。

由于分母随着\( x \)的增大而增大，所以该表达式随着\( x \)的增大而减小，其最小值为\( 2 \)。

2. 题目：若\( a, b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 10 \)，求\( a \)和\( b \)的所有可能值。

2017年第15届希望杯全国数学邀请赛培训100题

4.求三个分数，，中值最大的
5.计算：2.016x 1123 + 2 x 20.16 x 112.4 + 2 x 201.6 x 11.25 + 2 x 2016 x 1.126 + 20160 x 0.1127
6.计算： + + + … +
7.计算：2016÷2016 +
8.算： + + +... +
69.如图18所示，圆O的周长是16.4厘米，圆O的面积与长方形OBCD的面积正好相等。求图中阴影部分的周长。
70.如图19所示，已知乙图的半径为2厘米，求甲、丙两个圆的周长相差多少厘米？（∏取3.14）
71.如图20所示，连接正六边形的各个顶点的线段组成一个“六角星”（阴影部分），若六角星的面积是2016，求正六边形的面积。
80.已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校男生数的30%，乙校男生数是乙校女生数的42%。求两校女生总数占两校学生总数的百分比。
81.A、B、C三个分数，它们的分子和分母都是整数，并且分子之比为2:1:3，分母之比为1:2:5，三个分数之和是，求C。
45.一个牧民买了一头母羊，每年能生2只公羊、4中母羊。每只小母羊两年后，每年又可以生6只羊，其中2只公羊、4中母羊。这样从今年开始到第5年底，一共有多少只羊？
46.有一批花盆，若每隔一米放置在长方形广场的四周（广场的四个角落都恰好放了花盆），则花盆多25个；若放在广场地面的每块瓷砖（一平方米的正方形）的中央，则花盆少12个。问：有多少花盆？
55.如图4所示，求∠A+∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G的度数。

希望杯高中试题

希望杯高中试题高中数学希望杯试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图象关于直线\( x = 1 \)对称，则下列哪个选项是正确的？A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a = -\frac{1}{4}b \)C. \( b = 0 \)D. \( c = 0 \)2. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)，若\( x \)和\( y \)都为正整数，求\( x + y \)的最小值。

3. 某工厂生产的产品，若每件产品售价为\( p \)元，则每天可售出\( 100 - 10p \)件。

求使利润最大化的\( p \)值。

4. 若\( \sin A + \sin B = \frac{1}{2} \)，\( \cos A + \cos B= \frac{1}{2} \)，求\( \sin (A + B) \)的值。

5. 已知圆\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y -12 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。

6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

7. 若\( \log_2 3 = a \)，求\( \log_{\frac{1}{2}} 3 \)的值。

8. 已知\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \)，且\( a > b > 0 \)，求\( a - b \)的取值范围。

9. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的平均速度是2米/秒，求第2秒内的平均速度。

10. 已知\( \sin x = \frac{3}{5} \)，\( \cos x = -\frac{4}{5} \)，求\( \tan x \)的值。

二、填空题（每题3分，共15分）11. 若\( x^2 - 5x + 6 \)可以分解为\( (x - a)(x - b) \)，求\( a + b \)的值。

历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用

高中竞赛必备资料第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（）（A ）最多有一个（B ）最多有两个（C ）最多有三个（D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。

对于集合P ，可以断定（）（A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是。

7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是。

（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题

（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题第⼗九届（2008年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题初中⼀年级⼀、选择题（以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母填在每题后⾯的圆括号内）1、31()10-的值是（）（A ）0.001（B ）0.01-（C ）0.01（D ）0.001-2、下列说法中正确的是（）（A ）多项式与多项式的和仍是多项式（B ）多项式减去单项多的差是单项式（C ）多项式与多项式的积仍是多项式（D ）多项式除以单项式的商是单项式3、,a b 是有理数，且a b +的值⼩于a b -的值，那么（）（A ）,a b 异号（B ）,a b 同号（C ）0a >（D ）0b <4、国家游泳中⼼----“⽔⽴⽅”是北京2008年奥运会场馆之⼀，它的外层膜的展开⾯积约为26000平⽅⽶。

⽤科学记数法表⽰26000，是（）（A ）60.2610?（B ）52610?（C ）62.610?（D ）42.610?5、数轴上的三个点到原点的距离分别是3，5，2，则这三点在数轴上对应的数最⼩是（）（A ）2-（B ）3-（C ）5-（D ）56、设,a b 是有理数，则下列式⼦中成⽴的是（）（A ）a b a b +=+（B ）当0b a <<时，有a b a b +>+（C ）当0a b <<时，有a b a b +<+（D ）当0a b <<时，有a b a b +<-7、若有理数,a b 在数轴上的位置如图所⽰，则下列各式中不成⽴的是（）（A ）2ab -<（B ）11a b >-（C ）12a b +<-（D ）1b a <- 8、2011年A 市⽣产总值计划达到1800亿元，⽐2006年翻⼀番。

根据图中所⽰的A 市年⽣产总值增长的规划简图回答：预计2008年A 市的⽣产总值可达到（）亿元。

希望杯试题及答案高一

希望杯试题及答案高一一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B3. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (0, 1)B. (-1/2, 0)C. (1/2, 0)D. (0, -1)答案：B4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求a5的值。

A. 11B. 13C. 15D. 17答案：A5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极大值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：A6. 已知复数z=1+2i，求z的共轭复数。

A. 1-2iB. 1+2iC. -1+2iD. -1-2i答案：A7. 函数f(x)=x/(x^2+1)的最大值是：A. 1/2B. 1C. √2/2D. 2答案：B8. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-6, 8)，求向量a与向量b的夹角。

A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°答案：B9. 函数y=ln(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 1)答案：A10. 圆的方程x^2+y^2-6x-8y+24=0，求圆心坐标。

A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，若a1=1，则a3=________。

答案：52. 函数f(x)=x^2-2x+2的对称轴方程是x=________。

答案：13. 等比数列{bn}的前三项依次为1，2，4，则b4=________。

第15届“希望杯”全国数学邀请赛试题

第15届“希望杯”全国数学邀请赛试题
无
【期刊名称】《初中生数学学习：初二版》
【年(卷),期】2004(000)006
【摘要】一、选择题(每小题4分,共40分) 1.小伟自制了一个小孔成像演示仪,如图1所示。

【总页数】4页(P40-43)
【作者】无
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.推广一道“希望杯”全国数学邀请赛试题 [J], 甘志国
2.建模思想在小学数学教学中的渗透——一个“希望杯”全国数学邀请赛试题的启示 [J], 曹军;蔡炯辉;鲁慧媛
3.认识问题本质,追求自然解法——一道"希望杯"全国初中数学邀请赛试题的解法及变式探究 [J], 张宁
4.立足基本思路,引领思路突破*——一道"希望杯"全国数学邀请赛试题的解法及变式探究 [J],
5.立足基本思路,引领思路突破—一道“希望杯”全国数学邀请赛试题的解法及变式探究 [J], 张宁
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第十五届希望杯试题

第十五届希望杯试题一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的。

B. 太阳是围绕地球转的。

C. 水在固态时称为冰。

D. 空气中的氧气可以无限供应。

2. 以下哪种动物不属于哺乳动物？A. 猫B. 狗C. 鲸鱼D. 鳄鱼3. 以下哪个历史事件不是发生在20世纪？A. 法国大革命B. 中国新民主主义革命C. 第一次世界大战D. 第二次世界大战4. 以下哪个作家是中国现代文学的代表人物？A. 莎士比亚B. 托尔斯泰C. 鲁迅D. 莫言5. 以下哪个公式是计算圆的面积？A. A = πrB. A = πr²C. A = 2πrD. A = πd/26. 以下哪个元素是人体必需的微量元素？A. 氧B. 氢C. 钠D. 碘7. 以下哪个不是中国的传统节日？A. 春节B. 端午节C. 中秋节D. 感恩节8. 以下哪个是可再生能源？A. 煤炭B. 石油C. 太阳能D. 核能9. 以下哪个是著名的世界文化遗产？A. 埃菲尔铁塔B. 自由女神像C. 长城D. 大本钟10. 以下哪个是计算机程序的基本结构？A. 循环B. 条件语句C. 顺序结构D. 以上全部二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）11. 世界上最高的山峰是________。

12. 电子计算机的发明者是________。

13. 中国的首都是________。

14. 人体内最大的器官是________。

15. 著名的“斯巴达克斯”是由________创作的。

三、简答题（共3小题，每小题10分，共30分）16. 请简述牛顿的三大运动定律。

17. 请介绍一位你最喜欢的科学家及其贡献。

18. 请解释什么是光合作用，并说明它对地球生态系统的重要性。

四、论述题（共2小题，每小题15分，共30分）19. 论述互联网对现代社会的影响。

20. 论述全球气候变化对人类社会和自然环境的潜在影响，并提出应对措施。

五、作文题（共1小题，20分）21. 以“科技与人文的和谐共生”为题，写一篇不少于800字的议论文。