湖北省2020届高三4月调研考试数学试卷(理)有答案(精校版)

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2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖南湖北四校高三下学期4月学情调研联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q =U （） A ．[3,4] B ．(3,)-+∞ C ．(,4]-∞ D ．(3,4]-【答案】D【解析】化简集合Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ⋃=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2．x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（）A ．2B ．1C ．D ．4【答案】C【解析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模. 【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以x y +=故选：C 【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200 1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．64【答案】B【解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为312x x-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则22312200x xNx⎛⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N≈故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷(理科)(附答案解析)

2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <3}D. {x|0<x <1}2. i 为虚数单位，复数z =1−2i(1+i)2的虚部为( )A. 12B. −12C. 12iD. −12i3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3a 3，则S5S 9=( )A. 59B. 95C. 53D. 5274. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x −a ，则f(−1)=( )A. 3B. −3C. −2D. −15. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0，则z =x −3y 的最小值为( )A. −7B. −6C. 1D. 66. 已知(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为14，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. 45D. −457. 若tanα=3tan2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知a =ln3，b =√3ln2,c =log 32，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. a <c <b9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB =AC =1，AA 1=2√3，∠BAC =2π3，则球O 的体积为( )A.32π3B. 3πC. 4π3D.24π310. 如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设DF =3FA ，则( )A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是△PF 1F 2的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若|PF 1|=4a ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. 2C. √3D. √212. 已知一个正方形的四个顶点都在函数f(x)=x 3−92x +1的图象上，则此正方形的面积( )A. 5或172B. 5或10C. 5或17D. 10或17二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n+1=4×3n−1，则S 2020=______． 14. 有人收集了七月份的日平均气温t(摄氏度)与某冷饮店日销售额y(百元)的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如表：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是y ̂=1.2t +a ̂，给出下列说法：①a ̂=−32.4②日销售额y(百元)与日平均气温t(摄氏度)成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元．其中正确说法的序号是______15. 已知F 是抛物线y =18x 2的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(3,−2)，则|PF||PA|的最小值是______16. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx −π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA−sinBsinC =a−ca+b．(1)求角B的大小；(2)若b=6，且AC边上的中线长为4，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，PB⊥AC．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=4，PB=2√3，求二面B−PC−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，离心率为√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于点A，B，求点P到直线AB距离的最大值．20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量(单位：吨)，得到统计表如表：(1)若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费．试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；(3)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．21.已知函数f(x)=(e−x)lnx(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；(2)若方程f(x)=m(m≠0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<e−1−em．e−122. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)曲线C 2与x 轴交点为P ，与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．23. (1)解不等式|x −2|+|x +3|≥9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：|ab +1|>|a +b|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={x|1<x <3}．故选：C ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数z =1−2i(1+i)2=1−2i 2i=−i(1−2i)2i(−i)=−1−12i.其虚部为−12，故选：B ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为a 5=3a 3，所以a 1+4d =3(a 1+2d)即a 1=−d ，则S 5S 9=5a 1+10d 9a 1+36d =5d 27d =527．故选：D ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0，则有f(0)=20−a =1−a =0，解可得a =1，则f(1)=2+2−a =4−1=3，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−3；故选：B ．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=20−a =1−a =0，解可得a 的值，即可得函数的解析式，求出f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由约束条件{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0作出可行域如图，联立{x −2y +4=03x −y −3=0，解得A(2,3)，化目标函数z =x −3y 为y =x3−z3，由图可知，当直线y =x3−z 3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−7．故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：(1x −1)5的展开式的通项为T r+1=∁5r ⋅(1x )5−r ⋅(−1)r =(−1)r ⋅∁5r ⋅xr−5．取r −5=−1，得r =4，取r −5=0，得r =5．∴(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为：3×(−1)4⋅∁54+a ⋅(−1)5⋅∁55=14，得a =1．故选：B ．写出(1x −1)5的展开式的通项，求出其常数项以及含x −1的项，则答案可求．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3tan 2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=cosαcos3π14+sinαsin 3π14sinαcos 2π7−sin 2π7cosα=cosαsin2π7+sinαcos 2π7sinαcos 2π7−sin 2π7cosα，=tan 2π7+tanαtanα−tan2π7，=4tan2π72tan2π7=2，故选：B ．由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简后代入已知即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题．8.【答案】B【解析】解：0=log 31<c =log 32<log 33=1，所以0<c <1， a =ln3>lne =1，所以a >1，b =√3ln2=ln2√3>lne =1，所以b >1，因为2√3>3，所以ln2√3>ln3，b >a ，所以c <a <b ，故选：B ．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵△ABC 中，AB =1，AC =1，∠BAC =120°， ∴△ABC 的外接圆的半径r =1．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3，则球O 的半径R =√11+(√3)2=2； ∴球O 的体积V =43πR 3=323π.故选：A ．由已知可得△ABC 的外接圆的半径r =3.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3，利用勾股定理即可得出球O 的半径R本题考查了直三棱柱的性质、直角三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题，DF =3FA ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+116CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ +116(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ +164AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴6364AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：D ．根据已知，确定比例关系，利用平面向量的三角形法则表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过化简以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示即可．本题考查平面向量的线性运算，做题时需细心谨慎，根据比例关系数形结合，属简单题．11.【答案】A【解析】解：设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设P 在第一象限，所以重心M(x 03,y3)，因为|PF 1|=4a ，由双曲线的定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a =2a ，设三角形△PF 1F 2与各边的切点分别为如图所示E ，F ，D ，则PE =PD ，EF 1=F 1F ，FF 2=DF 2，所以|PF 1|−|PF 2|=2a =|PE|+|EF 1|−(|PD|+|DF 2|)=|F 1F|−|FF 2|=|F 1F 2|−2|FF 2|=2c −|FF 2|，所以|FF 2|=c −a ，即F 为双曲线的右顶点，又MN 与x 轴平行，所以可得N(a,y3)△PF 1F 2的内切圆的半径为r =y 03，所以S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅y 0=12(|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|)⋅r =12(4a +2a +2c)⋅y 03，所以可得：2c =3a ，所以离心率e =c a =32，故选：A ．设P 的坐标，由重心的公式可得重心M 的坐标，再由MN 与x 轴平行可得△PF 1F 2的内心的纵坐标，即可得△PF 1F 2的内切圆的半径，再由三角形的面积公式用内切圆的半径表示可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查三角形的重心坐标的求法及三角形的面积由内切圆的半径表示的代数式，及双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=2，得函数f(x)关于点M(0,1)中心对称，显然该正方形ABCD 的中心为M ，由正方形性质可知，AC ⊥BD 于M ，且|AM|=|BM|=|CM|=|DM|，设直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)，联立直线AC 方程与函数y =f(x)得{y =kx +1y =x 3−92x +1，即x 3−(k +92)x =0，∴x 12=k +92，同理x 22=92−1k，又|AM|=√1+k 2|x 1−0|,|BM|=√1+1k2|x 2−0|，∴(1+k 2)(k +92)=(1+1k 2)(92−1k )，即k 2+1k 2+92(k −1k )=0，化简得2(k −1k )2+9(k −1k)+4=0，∴k −1k =−4或k −1k =−12，∴k +1k =√(k −1k )2+4=2√5或√172， ∴S 正方形ABCD =2|AM||BM|=2√1+k 2⋅√1+1k 2⋅|x 1x 2|=2(k +1k )⋅√(k +92)(92−1k )=2(k +1k )⋅√92(k −1k )+774=10或17．故选：D ．分析函数关于点M(0,1)中心对称，进而正方形ABCD 的对称中心为M ，设出直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)，联立直线方程与函数y =f(x)可得x 12=k +92，x 22=92−1 k ，由|AM|=|BM|，可得(1+k2)(k+92)=(1+1k2)(92−1k)，进而求得k−1k=−4或k−1 k =−12，再用|AM|，|BM|表示出正方形的面积，代值计算即可得出答案．本题考查直线与曲线的综合运用，涉及了函数的对称性，正方形的性质，弦长公式等基础知识点，考查了运算求解能力，属于较难题目．13.【答案】32020−12【解析】解：由题意，可知S2020=a1+a2+⋯+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2019+a2020)=4×1+4×32+4×34+⋯+4×32018=4×(1+32+34+⋯+32018)=4×1−32018⋅321−32=32020−12．故答案为：32020−12．本题根据题干中给出的通项公式的特点在计算S2020的值时，可将相邻的奇偶项合为一组代入，然后根据等比数列的求和公式可计算出S2020的值．本题主要考查根据递推公式的特点运用分组求和法求前n项和，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】①②【解析】解：已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，代入上式7.2=1.2×33+â，得â=−32.4，故①正确，因为k=1.2>0，故正相关，②正确，当t=33时，y不一定为7，故③错误，故答案为：①②．已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，求出线性回归方程，再判断即可．本题考查了线性回归方程的计算和应用，考查运算能力和实际应用能力，基础题．15.【答案】√55【解析】解：如图所示，过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|， ∴|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM ，显然∠PAM 为锐角，∴要求|PF||PA|的最小值，只需保证∠PAM 最小即可，而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P 的坐标为(a,a 28)，y′=14x ，∴直线PA 的斜率为14a =a 28+2a−3，解得a =8或−2，对应的点P 坐标分别为(8,8),(−2,12)，当P(8,8)时，|PF||PA|=|PM||PA|=8−(−2)√(8−3)2+(8+2)2=2√55，当P(−2,12)时，|PF||PA|=|PM||PA|=12−(−2)√(−2−3)2+(12+2)2=√55，∵2√55>√55，∴|PF||PA|的最小值是√55．故答案为：√55．过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|，于是原问题可以转化为求sin∠PAM 的最小值，也就是∠PAM 最小，而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P(a,a 28)，结合导数求出在点P 的切线的斜率，并与用两点法表示的直线斜率构造关于a 的方程，解出a =8或−2，进而得到相应的点P 坐标，然后分类求出|PF||PA|的值，比较大小，取较小者即可得解．本题考查利用抛物线的几何性质求最值，还涉及利用导数求切线斜率，考查学生数形结合能力和分析能力，属于中档题．16.【答案】(34,32)∪(74,114]∪[72,154]【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象在(π2,π)内有且仅有一条对称轴，根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，k∈z，①又因为：π−π2≤T=2πω⇒ω≤4；②∵ω>0；③因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ−π4≤(k+1)π+π2且(k−1)π−π2≤ωπ2−π4；即4k−12≤ω≤4k+74④联立①②③④解得：ω∈(34,32)∪(74,114]∪[72,154].故答案为：(34,32)∪(74,114]∪[72,154].根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识，属于中档题．17.【答案】解；(1)因为sinA−sinBsinC =a−ca+b=a−bc所以a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =12，所以B=13π；(2)设AC的中点D，由余弦定理可得，BD2+AD2−AB22BD⋅AD =−BD2+CD2−BC22BD⋅CD，即42+32−c22×3×4=−42+32−a22×3×4，整理可得，a2+c2=50，因为a2+c2−b2=ac，b=6，所以ac=14，所以S=12acsinB=12×14×√32=7√32【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos B，进而可求B；(2)由已知结合余弦定理可求ac，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)∵AD//BC, AB=AD=12BC=2，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC．又∵PB⊥AC，∴AC⊥平面PAB．∵AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)∵PA=4,PB=2√3,AB=2，∴PB⊥BA，由(1)知，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD．过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，则∠DFE为所求二面角平面角．在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中求得EF=√3√7．在Rt△DEF中，求得DE=√6√7, DF=√3．在△DEF中，求得cos∠DEF=√24．即二面B−PC−D的余弦值为√24．【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，只需证出AC⊥平面PAB即可；(2)先利用面面垂直转化为线面垂直，进而找到二面角的平面角，然后借助于直角三角形求出所求角．本题考查空间位置关系的判定以及空间角的求法，强调转化思想在立体几何中的应用，集几何法求空间角遵循作、证、指、算的步骤．属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，得{4a2+1b2=1c a =√22，又a2=b2+c2，∴a2=6，b2=3．则椭圆方程为x26+y23=1；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．由△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0，得6k 2−m 2+3>0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2．∵PA ⊥PB ，∴k PA ⋅k PB =−1，即y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1．即y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4．其中y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m ，代入整理得：4k 2+8mk +3m 2−2m −1=0，即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0．当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)， ∴当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23．当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去．当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43．综上，点P 到直线AB 距离的最大值为d =|PM|=4√23．【解析】(1)由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合隐含条件求得a ，b 的值，则椭圆方程可求；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA ⊥PB 可得(2k +m −1)(2k +3m +1)=0，当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)，可知当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23.当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去．当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.【答案】解：(1)若某居民用水17吨，需交费12×4+4×5+1×7=75(元)．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3， P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 72C 31C 103=2140， P(ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，于是P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10，由{C 104(35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)10−(k+1)C 10k (35)10−k ≥C 10k−1(35)k−1(25)10−(k−1)，化简，得{2C 10k ≥3C 10k+13C 10k ≥2C 10k−1，解得285≤k ≤335， ∵k ∈N ∗，∴k =6．【解析】(1)由某居民用水17吨，根据题设条件能求出需交费用．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(3)从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10，依题意列出不等式组，由此能求出k ．本题考查离型型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查排列组合、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)=(e −x)lnx =0，得x =1，或x =e ，所以f(x)的零点为1，e ；因为f′(x)=ex −lnx −1，所以f′(1)=e −1，f′(e)=−1．因为f(1)=f(e)=0，所以曲线线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =(e −1)(x −1)，在x =e 处的切线方程为y =−x +e …4分(2)证明：因为f′(x)=e x −lnx −1，所以f″(x)=−1x −e x 2<0，所以f′(x)=ex −lnx −1单调递减．令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ，下面证f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)，记m(x)=(e −1)(x −1)−(e −x)lnx ，则m′(x)=lnx −ex +e ，m″(x)=1x +ex 2>0，所以m′(x)单调递增，且m′(1)=0，故m(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增．所以m(x)≥m(1)=0，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)，同法可证f(x)≤ℎ(x)，即(e −x)lnx ≤−x +e ．不妨设g(x 3)=f(x 1)=f(x 2)=ℎ(x 4)=m ，因为g(x 1)>f(x 1)=m =g(x 3)，且g(x)=(e −1)(x −1)为增函数，所以x 1>x 3，由g(x 3)=)=(e −1)(x 3−1)=m ，得x 3=me−1+1，同理，x 4>x 2，x 4=e −m ，所以me−1+1=x 3<x 1<x 2<x 4=e −m ，所以，|x 1−x 2|<e −m −(me−1+1)=e −1−eme−1，所以，|x 1−x 2|<e −1−em e−1…12分【解析】(1)令f(x)=(e −x)lnx =0，可求得f(x)的零点，再利用导数的几何意义可求得曲线y =f(x)在其零点处的切线的斜率，从而可得切线方程；(2)由于f′(x)=ex −lnx −1，f″(x)=−1x −ex 2<0，故f′(x)=ex −lnx −1单调递减，令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ，通过证明f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)与(e −x)lnx ≤−x +e 成立，而证得原结论成立．本题考查利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想与创新思维能力、逻辑思维能力及综合运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得：x 2+(y −3)2=4．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，化为：x +y =4． (2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，∴y 1+y 2=7，y 1y 2=212，∵直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)， ∴|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|， ∴1|PA|+1|PB|=√2|y |√2|y |=12√2y y =√2×212=√23．【解析】(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得普通方程．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，利用互化公式可得普通方程．(2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，根据直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)，可得|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|，可得1|PA|+1|PB|=√2|y |+√2|y |，利用根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了参数方程与极坐标方程化为普通方程、和差公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，2−x −x −3≥9，解之得x ≤−5；当−3<x ≤2时，2−x +x +3=5<9，无解；当2<x 时，x −2+x +3≥9，解之得4≤x ；所以，原不等式的解集为{x|x ≤−5或4≤x}，(2)证明：因为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)，又因为|a|<1，|b|<1，所以a 2−1<0，b 2−1<0，所以(a 2−1)(b 2−1)>0，即：|ab +1|>|a +b|．【解析】(1)根据题意去绝对值，讨论每一部分的解，(2)先转化为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)，根据题中给的范围，可求其值大于0，既得证．本题考查解绝对值不等式，以及证明不等式，属于中档题．。

湖北省2020届高三4月调研考试数学试卷(理)有答案(加精)

2019年湖北省高三四月调考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅=D.2i 2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y ==+=+=，则AB 中的元素个数为A.0个B. 1个C. 2个D.无数个3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 244.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为A. 2214y x -=B. 2212y x -=C.221x y -= D.2212y x -= 5.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，6x 的系数为A. 15B. 6C. -6D. -156.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=7.设,,a b c 均为非零向量，已知命题:p a c =是a cbc ⋅=⋅的必要不充分条件，命题:1q x >是1x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数()()cos 0,,2xx f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭在区间[]3,3-上的图象如图所示，则a ω可取A. 4πB. 2πC.πD.2π9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 110.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.3D. 13+11.已知实数,x y 满足()2221x y +-=的取值范围是A.2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2D. ⎤⎥⎝⎦12.过圆2225x y +=内一点)P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A.C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第项.15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪-<⎨⎪<⎩，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b=（1）求B ；（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.（1）求证：AC OM ⊥；（2）当M 为1BB 的中点，且4πθ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.19.（本题满分12分）在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.20.（本题满分12分）已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9- （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S 的值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.xx f x x x g x e ==（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020年湖北省高三4月线上调研考试理科数学试卷(含答案)

2020年省高三〔4月线上调研考试理科数学试卷 2020. 4 本试卷共5页,23题〔含选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共 12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R,集合{}51<<-=x x A ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21x y y ,则)(B C A R =〔 A ．{}21≤<-x x B ．{}1->x x C ．{}01≤<-x x D ．{}50<≤x x 2．已知C z ∈,若i z z 21+=-,则z =〔A ．i 223-B ．i 223+C ．i 223--D ．i 223+- 3．若2020202022102020)21(x a x a x a a x ++++=- ,则2020321a a a a ++++ =〔A ．0B ．1C ．-1D ．24．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷〔影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中641.115寸表示115寸641分〔1寸=10分．已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为〔A ．91.6寸B ．82.0寸C ．81.4寸D ．72.4寸5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中,常用函数的图像研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图像特征．如函数]2,2[,1cos cos 22ππ-∈++-=x x x y 的图象大致为〔 6．已知5.051.0,2log ,2-===e z y x ,则〔A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．z ＜x ＜yD ．y ＜z ＜x7．设等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为n S ,则"1=q "是"263S S ="的〔A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图,在平行四边形ABCD 中,F EC DE ,21=为BC 的中点,G 为EF 上的一点,且AD m AB AG +=97,则实数m 的值为〔 A ．32 B ．31C ．31-D ．32- 9．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,731,)(2x ax x ax x x f ,若存在R x x ∈21,,且21x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则实数a 的取值围是〔A ．〔-2,2B ．〔-2,2]C ．〔-∞,3D ．〔-∞,3]10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点,若以21F F 为直径的圆过点B,且A 为B F 1的中点,则C 的离心率为〔A ．13+B ．2C ．3D ．211．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P 点,蚂蚁爬行的最短路径为32m,则圆锥的底面圆半径为〔A ．32mB ．1mC ．34mD ．23m 12．已知函数],0[,,),0)(32cos()(321πωπω∈>-=x x x x x f ,且],0[π∈∀x 都有)()()(21x f x f x f ≤≤,满足0)(3=x f 的实数3x 有且只有3个．则下述四个结论：①满足题目条件的实数1x 有且只有一个； ②满足题目条件的实数2x 有且只有一个；③f 〔x 在)10,0(π上单调递增； ④ω的取值围是)619,613[ 其中正确结论的编号是〔A ．①④B ．①③④C ．②③D ．①②③二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．设曲线1+=x e y 上点P 处的切线平行于直线01=--y x ,则点P 的坐标是．14．某学校选拔新生补进"篮球"、"电子竞技"、"国学"三个社团,根据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校"篮球"、"电子竞技"、"国学"三个社团的概率依次为m,13,n,已知这三个社团他都能进入得慨率为124,至少进入一个社团的概率为34,则m+n=．15．自爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来,某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏,全国各地纷纷驰援．某运输队接到从送往该市物资的任务,该运输队有8辆载重为6t 的A 型卡车,6辆载重为10t 的B 型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送240t 物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车5次,B 型卡车4次,每辆卡车每天往返的成本A 型卡车1200元,B 型卡车1800元,则每天派出运输队所花的成本最低为． 16．已知椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上异于长轴端点的动点,△MF 1F 2的心为I,则22MI MF MF ⋅=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答．〔一必考题：共60分17．〔本小题满分12分在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c,且满)3sin()3sin(22cos 2cos A A B A -+=-ππ．〔1求角B 的值；〔2若a b ≤=3,求c a 21-的取值围, 18．〔本小题满分12分如图,在四棱锥S —ABCD 中,侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD,CD=SD,点M 是SA 的中点,AD//BC,∠ABC=90°,AB=AD=12BC ．〔1求证：BD ⊥平面SCD ；〔2若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°,求平面MBD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值．19．〔本小题满分12分线段AB 为圆0610222=+-++y x y x M ：的一条直径,其端点A,B 在抛物线)0(2:2>=p py x C 上,且A,B 两点到抛物线C 焦点的距离之和为11．〔1求抛物线C 的方程及直径AB 所在的直线方程；〔2过M 点的直线l 交抛物线C 于P,Q 两点,抛物线C 在P,Q 处的切线相交于N 点,求△PQN 面积的取值围．20．〔本小题满分12分已知函数x x x f cos )(2π+=．（1）求函数f 〔x 的最小值；（2）若函数a x f x g -=)()(在〔0,+∞上有两个零点21,x x ,且21x x <,求证：π<+21x x21．〔本小题满分12分2020年春节期间爆发的新型冠状病毒〔2019-nCoV ,是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒。

【2020年数学高考】湖北省武汉市2020届高三毕业生四月调研测试数学(理)

名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.复数的共轭复数是（）i-2A．2+i B．-2+i C．-2-i D．2-i22.已知集合M={x|x=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为（）A．{1} B．{-1,1} C．{1,0} D．{1,-1,0}3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2,2]，则输出的S属于（）A．[-4,2] B．[-2,2] C．[-2,4] D．[-4,0]4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．3 B．6 C．23 D．265.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）23A． B．51011C． D．510226.若实数a，b满足a>b>1，m=log(log b)，n=(log b)，l=log b，则m，n，l的大aa aa小关系为（）A．m>l>n B．l>n>m C．n>l>m D．l>m>n名师精准押题227.已知直线y=kx-1与双曲线x-y=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）55555A．(0,) B．[1,] C．( ,) D．(1,)22222b+cB+C8.在∆ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：a≤，条件q A≤：，22那么条件p是条件q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1659.在(x+-1)的展开式中，含x项的系数为（）xA．6 B．-6 C．24 D．-242210.若x，y满足x-1+2y+1≤2，则M=2x+y-2x的最小值为（）24A．-2 B． C．4 D．-119π11.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）39π13π25π25πA．[2π,4π] B．[2π,) C．[,) D．[2π,)2666212.过点P(2,-1)作抛物线x=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则∆PEF与∆OAB的面积之比为（）3313A． B． C． D．2324二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sinα=2cosα，则sinαcosα=．14.已知向量a，b，c满足a+b+2c=0，且a=1，b=3，c=2，则a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=．ππ15.已知x∈(-,)，y=f(x)-1为奇函数，f'(x)+f(x)tan x>0，则不等式f(x)>cos x的22解集为．16.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则四面体体积最大时，它的外接球半径名师精准押题R=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 2n-117.已知正数数列{a}满足：a=2，a+a=+2(n 2).n1nn-1a-a nn-1（1）求a，a；2322（2）设数列{b}满足b=(a-1)-n，证明：数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项a.n nn nnn18.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE=CF=1. 1111（1）已知M为棱DD上一点，且DM=1，求证：BM⊥平面AEC. 11111（2）求直线FC与平面AEC所成角的正弦值.11122xy19.已知椭圆Γ：+=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l，l，设l与椭圆Γ交于12142A、B两点，l与椭圆Γ交于C，D两点.2（1）若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；AB（2）记λ ，求λ的取值范围. CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. 名师精准押题（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；22（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N(μ,σ)，其中μ，σ分别取考生的平均成绩x2和考生成绩的方差s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).（精确到0.001）．．．2附：①s=204.75，204.75=14.31；2②zN(μ,σ)，则P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544；4③0.8413=0.501. x21.已知函数f(x)=xe-a(ln x+x)，a R. （1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方⎧x=3cosθ程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）.⎨y=2sinθ⎩（1）写出l和C的普通方程；名师精准押题（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知f(x)=ax-2-x+2.（1）在a=2时，解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC二、填空题2 15-13 15. (0,) 16.13. 14. 526三、解答题317.（1）由已知a+a=+2，而a 2，211a-a21222∴a-2=3+2(a-2)，即a-2a-3=0.2222而a>0，则a=3. 225又由a+a=+2，a=3，322a-a3222∴a-9=5+2(a-3)，即a-2a-8=0.3333而a>0，则a=4. 33∴a=3，a=4.2322（2）由已知条件可知：a-a=2(a-a)+2n-1，nn-1nn-12222∴(a-1)-(a-1)=n-(n-1)，nn-12222则(a-1)-n=(a-1)-(n-1)nn-122=⋅⋅⋅=(a-1)-2322=(a-1)-12=0，22而b=(a-1)-n，nn名师精准押题∴b=0，数列{b}为等差数列.nn22∴(a-1)=n.而a>0，n n故a=n+1.n18.解：（1）过M作MT⊥AA于点T，连BT，则AT=1. 111易证：∆AAE≅∆ABT，于是∠AAE=∠ABT. 111111由∠ABT+∠ATB=90，知∠AAE+∠ATB=90，1111111∴AE⊥BT.11显然MT 面AABB，而AE⊂面AABB，11111∴MT⊥AE，又BTMT=T，11∴AE⊥面MTB，∴AE⊥MB. 111连BD，则BD⊥AC. 111111又DM⊥AC，BDDM=D，1111111∴AC⊥面MDB，1111∴AC⊥MB.111由AE⊥MB，AC⊥MB，AEAC=A，111111111∴BM⊥面AEC.111（2）在DC上取一点N，使ND=1，连接EF. 111易知AE//FN.1∴V=V=VA-EFCN-EFCE-NFC1111111=⋅S⨯3=(⨯2⨯3)⨯3=3. NFC332∆AEC，AC=32，AE=10，1对于11111名师精准押题而EC=22，110+18+221由余弦定理可知cos∠EAC==.112⋅10⋅322011193∴∆A EC的面积S=AC⋅AE sin∠EAC=⨯32⨯10⋅=19. 11111122202由等体积法可知F到平面AEC之距离h满足111136V⨯19⋅h=3h=S⋅h=，则，∴，∆AECA-EFC33219FC=10，设FC与平面AEC所成角为θ，1111又111∴sinθ=619=6=3190. 95101902219.解：（1）设直线AB的斜率为k tanα，方程为y-1=k(x-1)，代入x+2y=4中，22∴x+2[kx-(k-1)]-4=0.222∴(1+2k)x-4k(k-1)x+2(k-1)-4=0.2222判别式∆=[4(k-1)k]-4(2k+1)[2(k-1)-4]=8(3k+2k+1). 设A(x,y)，B(x,y)，则1122⎧4k(k-1)x+x=⎪122⎪2k+1. ⎨22(k-1)-4⎪xx=122⎪⎩2k+1∵AB中点为(1,1)，12k(k-1)1∴(x+x)==1，则k=. 12222k+121∴直线的AB方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0. 222（2）由（1）知AB=1+kx-x=(x+x)-4xx 121212名师精准押题1+k⋅8(3k+2k+1)22=. 22k+1设直线的CD方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).1+k⋅8(3k-2k+1)22同理可得CD=.22k+1∴λ==(k≠0). 2AB3k+2k+12CD3k-2k+14k42∴λ=1+=1+. 123k+1-2k3k+-2k1令t=3k+，k4t∈(-∞,-23][23,+∞).则g(t)=1+，t-23][23,+∞)g(t)在(-∞,-2，分别单调递减，∴2-3≤g(t)<1或1<g(t)≤2+3. λ22故2-3≤λ<1或1<≤2+3. 6-26+2λ∈[,1)(1,]. 即2220.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.2+75⨯0.3+85⨯0.15+95⨯0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. 2（2）依题意z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ=x=70.5，2σ=Dξ=204.75，σ 14.31，22∴z服从正态分布N(μ,σ)=N(70.5,14.31)，名师精准押题而P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，1-0.6826∴P(z≥84.81)==0.1587. 2∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587⨯4000=634.8人≈634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1-0.1587=0.8413. 而ξB(4,0.8413)，44∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C⋅0.8413=1-0.501=0.499.421.解：（1）定义域为：(0,+∞)，x(1+x)(xe-e)当a=e时，f'(x)=.x∴f(x)在(0,1)时为减函数；在(1,+∞)时为增函数.（2）记t=ln x+x，则t=ln x+x在(0,+∞)上单增，且t∈R. xt∴f(x)=xe-a(ln x+x)=e-at=g(t). t∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)=e-at在t∈R上有两个零点. t①在a=0时，g(t) e在R上单增，且g(t)>0，故g(t)无零点；t②在a<0时，g'(t)=e-a在R上单增，又g(0)=1>0，11g()=e-1<0，故g(t)在R上只有一个零点；a a t③在a>0时，由g'(t)=e-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a). 若0<a<e，g=a(1-ln a)>0，g(t)无零点；最小若a=e，g 0，g(t)只有一个零点；最小若a>e时，g=a(1-ln a)<0，而g(0)=1>0，最小ln x ae2x>e时为减函数，可知：a>e时，e>a>a. 由于f(x)=在x名师精准押题a2从而g(a)=e-a>0，∴g(x)在(0,ln a)和(ln a,+∞)上各有一个零点.综上讨论可知：a e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, ). 22.解：（1）由l：ρcosθ+ρsinϕ-10=0，及x=ρcosθ，y=ρsinθ. ∴l的方程为x+2y-10=0. 22xy由x 3cosθ，y=2sinθ，消去θ得+=1. 94（2）在C上取点M(3cosϕ,2sinϕ)，则d==⋅5cos(ϕ-ϕ)-10. 3cosϕ+4sinϕ-101055⎧3cosϕ=⎪0⎪5其中，⎨4⎪sinϕ=0⎪⎩55当ϕ=ϕ时，d取最小值. 09898此时3sinϕ=3cosϕ=2sinϕ=2cosϕ=M(,)，，. 000555523.解：（1）在a=2时，2x-2-x+2≤1. 在x≥1时，(2x-2)-(x+2)≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-(2x-2)+(x+2)≤1，x≥3，∴x无解；11在-2≤x≤1时，-(2x-2)-(x+2)≤1，x≥-，∴-≤x≤1. 331综上可知：不等式f(x)≤1的解集为{x|-≤x≤5}. 3（2）∵x+2-ax-2≤4恒成立，而x+2-ax-2≤(1+a)x，名师精准押题或x+2-ax-2≤(1-a)x+4，故只需(1+a)x≤4恒成立，或(1-a)x+4≤4恒成立，∴a=-1或a=1. ∴a的取值为1或 1.。

2020届湖北省宜昌市高三下学期4月统一调研考试数学(理)试卷及解析

2020届湖北省宜昌市高三下学期4月统一调研考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题1.已知集合{A x y ==,{}21,x B y y x R ==+∈,则A B =（）A. []1,3B. [)1,+∞C. [)1,3-D. [)3,+∞【答案】D 【解析】求函数定义域得集合A ,求函数值域得集合B ,然后由交集的概念计算．【详解】由题意2{|230}{|1A x x x x x =--≥=≤-或3}x ≥,{|1}B y y =>, ∴{|3}x A B x =≥．故选：D ．2.复数z 满足()122i z i -=+,则z =（）A. 1i -B. 1i +【答案】D 【解析】求出复数模22i +后由复数除法可求得z ．【详解】∵22i +==∴)1(1)(1)i z i i i +===--+．故选：D ．3.设1312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,51log 6y =,14log 3z =,则（） A. x y z << B. y z x << C. z x y << D. z y x <<【答案】B 【解析】与中间值0,－1比较后可得．【详解】1310()21<<,551log log 616=-<-,144log 3log 3(1,0)=-∈-,∴x z y >>．故选：B ．4.运行如图所示的程序框图,则输出的结果为（）A. 0B. 1 3 D. 3【答案】C 【解析】模拟程序运行,利用数列{tan}3n π的周期性求和、【详解】模拟程序运行,此框图的功能是求数列的和：202022020tantantan333S πππ=+++, 33T ππ==,因此数列{tan }3n π是周期数列,周期为3,易得23tan tantan 0333πππ++=, ∴20202020tan tan 333S ππ=== 故选：C ．5.已知函数()sin 3f x x x =,下列命题：①()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的最大值为2；③()f x 的最小正周期为2π；④()f x 在区间()0,π上递增.其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C。

2020年湖北4月线上调研考试-理科数学

（ｐ＞０）上，且Ａ，Ｂ两点到抛物线Ｃ焦点的距离之和为１１．（１）求抛物线Ｃ的方程及直径ＡＢ所在的直线方程；（２）过Ｍ点的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，物线Ｃ在Ｐ，Ｑ处的切线相交于Ｎ点，
求△ＰＱＮ面积的取值范围．
２０．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋πｃｏｓｘ．（１）求函数ｆ（ｘ）的最小值；（２）若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａ在（０，＋∞）上有两个零点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２求证：
４．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（ｇｕǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中１１５．１４６寸表示１１５寸１４６分（１寸＝１０分）．
小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种
节气冬至
夏至
（大雪）（小雪）（立冬）（霜降）（寒露）（秋分）（白露）（处暑）（立秋）（大暑）（小暑）
晷影长（寸）
１３５
１２５
５６
１１５．１
４６
１０５．２
４６
９５．３
２６
８５．４
２６
７５．５
６６．５
５６
（一）必考题：共６０分．１７．（本小题满分１２分）
在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边为ａ、ｂ、ｃ，且满足ｃｏｓ２Ａ－ｃｏｓ２Ｂ＝２ｓｉｎ（π３＋Ａ）ｓｉｎ（π３－Ａ）．
（１）求角Ｂ的值；（２）若ｂ＝槡３≤ａ，求ａ－１２ｃ的取值范围．
１８．（本小题满分１２分）如图，在四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ中，侧面ＳＣＤ为钝角三角形且垂直于底面ＡＢＣＤ，ＣＤ＝ＳＤ，点

【精准解析】湖北省2020届高三下学期4月线上调研考试数学(理)试题

【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的前 n 项和为 Sn ．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】解：若 q 1 时， S6 6a1 3S2 3 2a1 6a1 ，
q 1 时， S6 3S2 0 ，符合题意，是充分条件；
反之也成立，
故“ | q | 1”是“ S6 3S2 ”的充要条件，
C. ,3
D. ,3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，讨论 a 的取值范围，结合二次函数的图像与性质及一次函数解析式，即
可求得 a 的取值范围.
【详解】函数
f
(x)
x2 ax, x 1
3ax
7,
x
1
，若存在 x1, x2
R ，且 x1
x2
，使得
f
( x1 )
f
(x2 ) 成
立，
当
，
令 x 0 可得：1 a0 ；
令 x 1 可得： a0 a1 a2 a3 a2020 (1 21)2020 1；
故 a1 a2 a3 a2020 1 1 0 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给
二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
a2
a
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中
档题．
11.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为 2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发，
绕圆锥表面爬行一周后回到 P 点，蚂蚁爬行的最短路径为 2 3m ，则圆锥的底面圆半径为

湖北省武汉市武昌区2020届高三四月调研测试理科数学试题含答案

居民用水户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用水量（吨)
7 8 8 9 10 11 13 14 15 20
（1）若用水量不超过 12 吨时，按 4 元 / 吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 16 吨时，超过 12 吨部分按 5 元 / 吨计算水费；若用水量超过 16 吨时，超过 16 吨部分按 7 元 / 吨计算水费．试计算：若某居民用水 17 吨，则应交水费多少元？
角 B − PC − D 的余弦值.
高三理科数学第 3 页（共 5 页）
19．（本题 12 分）
x22 y2 已知椭圆 C： a2 + b2 =
1(a > b > 0) 经过点 P (2,1) ，离心率为
2 .
2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 P 作两条互相垂直的弦 PA，PB 分别与椭圆 C 交于点 A，B，求点 P 到直线
(1 2k 2 )x2 4kmx 2m2 6 0 ，由 0 ，得 6k 2 m2 3 0 .
4km
2m2 6
设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1 x2 1 2k 2 ， x1x2 1 2k 2 .
因为
PA
PB
，所以 kPA
kPB
1 ，所以
4．已知函数 f ( x) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = 2x + 2x − a ，则 f (−1) =
A. 3
B. − 3
C. − 2
2x + y − 2 ≥ 0, 5．已知实数 x ， y 满足3x − y − 3 ≤ 0, 则 z = x − 3y 的最小值为

2020年湖北省高三(4月)线上调研考试理科数学试卷及参考答案

为６ｔ的Ａ型卡车，６辆载重为１０ｔ的Ｂ型卡车，１０名驾驶员，要求此运输队每天至少运
送２４０ｔ物资．已知每辆卡车每天往返的次数为Ａ型卡车５次，Ｂ型卡车４次，每辆卡车
每天往返的成本Ａ型卡车１２００元，Ｂ型卡车１８００元，则每天派出运输队所花的成本最
低为
．
２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试理科数学试卷第３页（共５页）
２０２０年湖北省高三（４月）线上调研考试
理科数学试卷
２０２０．４
本试卷共５页，２３题（含选考题）。全卷满分１５０分。考试用时１２０分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：１．考试过程中，请考生自觉遵守考试纪律等相关规定，诚信应考，不得有作弊、泄露试题等行为。请家
长做好监考工作。２．请确保网络环境、考试环境良好，备好答题所用的白纸和笔。３．登录好分数ＡＰＰ，点击“作业测试”，进入对应考试科目。“试卷”将根据考试时间准时显示。开考
（二）选考题：共１０分．请考生在２２，２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．
２２．［选修４－４：坐标系与参数方程］（１０分）
{ｘ＝２＋２ｃｏｓθ
在平面直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ１的参数方程为ｙ＝２ｓｉｎθ （θ为参数），以原点为极点，ｘ轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程为 ρ２＝１＋３４ｓｉｎ２α．
（ｐ＞０）上，且Ａ，Ｂ两点到抛物线Ｃ焦点的距离之和为１１．（１）求抛物线Ｃ的方程及直径ＡＢ所在的直线方程；（２）过Ｍ点的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，物线Ｃ在Ｐ，Ｑ处的切线相交于Ｎ点，
求△ＰＱＮ面积的取值范围．
２０．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋πｃｏｓｘ．（１）求函数ｆ（ｘ）的最小值；（２）若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａ在（０，＋∞）上有两个零点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２求证：

2020届湖北省武汉市高三下学期4月质量检测数学(理)

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学武汉市教育科学研究院命制2020.4.7 本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.选择题的作答；每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内。

5.请学生自行打印答题卡，不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图。

6.答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝A.12B.－12C.2D.－22.已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x(x＋3)≤0}，则M∩N＝A.[－3，2)B.(－3，2)C.(－1，0]D.(－1，0)3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A.16B.518C.19D.5124.在正项等比数列{a n}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝A.2B.4C.12D.85.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A.53 B.85 C.138 D.21136.已知等边△ABC 内接于圆T ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是2 B.13 D.2 7.已知函数f(x)＝sin 2x ＋sin 2(x ＋3π)，则f(x)的最小值为 A.12 B.143 D.228.已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n ＋a n ＋1－1)2＝4a n a n ＋1，且a n ＋1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ A.2n B.n 2 C.n ＋2 D.3n －2 9.已知a ＝0.80.4，b ＝0.40.8，c ＝log 84，则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、两三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为 A.25 B.35 C.15 D.21511.已知点P 在椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PB PO =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆Γ的离心率e ＝ A.12B.22C.32D.3312.已知关于x 的不等式3ln 1xe x a x x--≥对于任意x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为A.(－∞，1－e]B.(－∞，－3]C.(－∞，－2]D.(－∞，2－e 2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年4月湖北省宜昌市普通高中2020届高三毕业班线上统一调研测试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前湖北省宜昌市普通高中2020届高三毕业班下学期线上统一调研测试数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择题1.已知集合{A x y ==，{}21,x B y y x R ==+∈，则A B =（） A. []1,3B. [)1,+∞C. [)1,3-D. [)3,+∞【答案】D【解析】【分析】求函数定义域得集合A ，求函数值域得集合B ，然后由交集的概念计算．【详解】由题意2{|230}{|1A x x x x x =--≥=≤-或3}x ≥，{|1}B y y =>， ∴{|3}x A B x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握指数函数性质是解题关键．2.复数z 满足()122i z i -=+，则z =（）A. 1i -B. 1i + D.【答案】D【解析】【分析】求出复数模22i +后由复数除法可求得z ．【详解】∵22222222i +=+=，∴2222(1)221(1)(1)i z i i i i +===+--+．故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题．3.设1312x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，51log 6y =，14log 3z =，则（） A. x y z <<B. y z x <<C. z x y <<D. z y x <<【答案】B【解析】【分析】与中间值0，－1比较后可得．【详解】1310()21<<，551log log 616=-<-，144log 3log 3(1,0)=-∈-，∴x z y >>．故选：B ．【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，不同类型的数比较大小时可先与中间值0，1，－1等比较后得出它们之间的大小关系．4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 0B. 1 3 D. 23【答案】C。

湖北省武汉市武昌区2020届高三下学期四月调研测试数学(理)试题含解析

武昌区2020届高三年级四月调研测试理科数学一、选择题1.已知集合{}2230A x x x =--<，{}2log 0B x x =>，则A B =（）A. {}12x x <<B. {}02x x <<C. {}13x x <<D.{}01x x <<【答案】C 【解析】【分析】由题意分别计算出集合A 、B ，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>，则{}{}{}13113A B x x x x x x ⋂=-<<⋂>=<<. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题.2.i 为虚数单位，复数()2121iz i -=+的虚部为（）A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算法则可得112z i =--，再由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()22121212112221i i ii z i i i i -⋅--====--+，所以复数z 的虚部为12-. 故选：B【点睛】本题考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则59S S =（） A.59B.95C.53 D.527【答案】D 【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式及等差数列的性质结合题意可得539559S a S a =，即可得解. 【详解】由题意1553552a a S a +=⨯=，1995992a a S a +=⨯=，3513a a =，则5395551599327S a S a ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式及等差数列性质的应用，属于基础题. 4.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（） A. 3B. 3-C. 2-D. 1-【答案】B 【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得()010f a =-=，解出1a =后利用()()11f f -=-即可得解. 【详解】函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()010f a =-=，∴1a =，又当0x >时，()221xf x x =+-，∴()()()112213f f -=-=-+-=-.故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用及指数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.5.已知实数,x y满足220330240x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y=-的最小值为（）A. －7B. －6C. 1D. 6【答案】A【解析】【分析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线30x y-=，到边界()2,3B的位置时，z取得最小值，此时2337z=-⨯=-故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6.已知()5131x ax⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中常数项为14，则实数a的值为（）A. 1- B. 1 C.45D.45-【答案】B【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得二项式511x⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项公式为()5151rr rrT C x-+=⋅-⋅，分别令51r -=-、50r -=即可得3514a ⨯-=，即可得解.【详解】由题意二项式511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()55155111rr rr r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令51r -=-即4r =，()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=，令50r -=即=5r ，()()5555111rr C C ⋅-=⋅-=-，所以()5131x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为3514a ⨯-=，解得1a =.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.7.若2tan 3tan 7πα=，则3cos 142sin 7παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题意结合诱导公式、三角恒等变换可得322cos sin coscos sin 1477222sin cos cos sin sin 777πππαααπππααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由题意332cos sin sin 141427222sin sin sin 777ππππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sin coscos sin tan tan 4tan 777722222sin cos cos sin tan tan 2tan7777ππππαααππππααα++====--.故答案为：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系、诱导公式及三角恒等变换的应用，属于中档题.8.已知ln3a =，2b =，3log 2c =，则（） A. c b a << B. c a b << C. a b c <<D. a c b <<【答案】B 【解析】【分析】由对数的运算法则与对数函数的单调性可得3log 21ln 32<<<，即可得解.【详解】由题意2ln b ==8522563243=>=，∴8523>，∴8523>>，∴ln ln 31>>，33log 2log 31c =<=，∴3log 2ln 32<<即c a b <<.故选：B.【点睛】本题考查了对数运算法则和对数函数单调性的应用，属于基础题.9.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若1AB AC ==，1AA =23BAC π∠=，则球O 的体积为（） A.323πB. 3πC.43π D.243π【答案】A 【解析】【分析】设ABC 外接圆圆心为1O ，半径为r ，由正弦定理可得22r =，利用OA =得球的半径后，由球的体积公式即可得解.【详解】设ABC 外接圆圆心为1O ，半径为r ，连接1O O ，如图，易得1O O ⊥平面ABC ，1 AB AC==，123AA=，23BACπ∠=，∴1221sin2ABrACB===∠即11O A=，11132O O AA==，∴2211312OA O O O A=+=+=，∴球O的体积343233V OAππ=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了直棱柱的几何特征及外接球体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.10.如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设3DF FA=，则（）A.36246363AD AB AC=+ B.36126363AD AB AC=+C.48246363AD AB AC=+ D.48126363AD AB AC=+【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，设1AB =，33DF FA x ==，由余弦定理求得BD x ==后，再由余弦定理得cos DAB ∠=，由同角三角函数的平方关系可得sin DAB ∠=得点67D ⎛ ⎝⎭，由672μλ⎧=+⎪⎪=. 【详解】如图建立直角坐标系，由题意易知AFC △≌BDA ，则BD AF =，120ADB ∠=，不妨设1AB =，33DF FA x ==，则4AD x =，BD x =，所以1,22AC ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()1,0AB =，在ADB △中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，所以2221164x x x =++解得BD x ==，4AD x == 则222cos 2AB AD BD DAB AB AD +-∠=⋅即16112121cos 421DAB +-∠==⨯，所以sin DAB ∠=== 所以点()cos ,sin D AD DAB AD DAB ⋅∠⋅∠即6,721D ⎛ ⎝⎭，所以67AD ⎛= ⎝⎭，设AD AB AC λμ=+，则672μλ⎧=+⎪⎪=164821634122163λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以48126363AD AB AC =+. 故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理和平面向量的综合应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是12PF F △的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若14PF a =，则双曲线的离心率为（） A.32B. 2 32【答案】A 【解析】【分析】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，由题意00,33x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为3y ，点P 到12F F 的距离为0y ，利用三角形面积公式可得()0033y a c y c +=，再由ce a =即可得解.【详解】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，则122F F c =，14PF a =，∴2422PF a a a =-=，由点M 是12PF F △重心，∴点00,33x c c y M +-⎛⎫⎪⎝⎭即00,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又MN 与x 轴平行，点N 是12PF F △的内心，∴点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为03y ，点P 到12F F 的距离为0y ， ∴()()1200112213233PF F y y S PF PF F F a c ++=⋅=+△，又12100212PF F S F F y y c =⋅=△，∴()0033y a c y c +=，∴23a c =，∴32c e a ==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题.12.已知一个正方形的四个顶点都在函数()3912f x x x =-+的图像上，则此正方形的面积为（） A. 5或172B. 5或10C. 5或17D. 10或17【答案】D 【解析】【分析】由题意可得正方形的中心为()0,1P ，设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k =-+，联立方程组可得2192x k =+，22192x k =-+，再由PA PB =可得2220k k +-=或2410k k +-=，最后利用22S PA =化简即可得解.【详解】设正方形ABCD ，31119,12A x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，32229,12B x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，33339,12C x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，34449,12D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴1324x x x x +=+，333311332244999911112222x x x x x x x x -++-+=-++-+， ∴()()()()2222131133242244x x x x x x x x x x x x +-+=+-+，又()()331313221133139922ACxx x x kx x x x x x ---==-+--，()()332424222244249922BD xx x x k x x x x x x ---==-+--，当13240x x x x +=+=时，3311339911222x x x x -++-+=，又函数()3912f x x x =-+的图象可看做是由奇函数()392g x x x =-的图象向上平移一个单位所得，∴函数()3912f x x x =-+的图象的对称中心为()0,1， ∴正方形的中心为()0,1P ，符合题意；当13240x x x x +=+≠时，则222211332244x x x x x x x x -+=-+即可得1324x x x x =，此时AC BD k k =，不合题意；不妨设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+，则31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得392x x kx -=，由10x ≠可得2192x k =+，同理可得22192x k =-+， ∴()()22222221111111PA x y x k x x k =+-=+=+，()2222222222221111PB x y x x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由PA PB =可得()222122111x k x k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即()2229191122k k k k k+⎛⎫⎛⎫++=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得2219102k k k k ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2191202k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k k -=-或14k k-=-即2220k k +-=或2410k k +-=， ∴正方形面积()()()()2222219221212912S PA x k k k k k ⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，当2220k k +-=时，()()22236291172k k S k k --+=++==；当2410k k +-=时，()()()22291841810S k k kk =++=-++=；所以此正方形的面积为10或17. 故选：D.【点睛】本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题. 二、填空题13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1143n n n a a -++=⨯，则2020S =______.【答案】20202020312S -=【解析】【分析】由题意结合分组求和法以及等比数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得()()()()202012345620192020S a a a a a a a a =++++++⋅⋅⋅++()()202020200242018211331433334132⨯--=⨯+++⋅⋅⋅+=⨯=-. 故答案为：20202020312S -=. 【点睛】本题考查了分组求和法和等比数列前n 项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.14.有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某次冷饮店日销售额y （百元）的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是 1.2y t a =+，给出下列说法： ①32.4a =-；②日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元. 其中正确说法的序号是______. 【答案】①② 【解析】【分析】由 1.2a y t =-计算后可判断①，由统计表可判断②，由线性回归方程的概念可判断③，即可得解.【详解】由统计表可得3132333435335t ++++==，5678107.25++++==y ，则 1.27.2 1.23332.4a y t =-=-⨯=-，故①正确；由统计表可得日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关，故②正确；由线性回归方程的概念可得当日平均气温为33摄氏度时，日销售额的预计值为1.23332.47.2y =⨯-=，故③错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查了线性相关关系及回归直线方程的应用，属于基础题.15.已知F 是抛物线218y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()3,2-，则PF PA 的最小值是______.【解析】【分析】由题意02PF y =+，PA =，则PFPA=，按照03x =、03x >、03x <分类讨论，结合基本不等式求得0032x y -+的最值即可得解.【详解】由题意218y x =可变为28x y =，其准线为2x =-，设点()00,P x y ，则()0022PF y y =--=+，PA =所以PFPA==当03x =时，1PFPA=；当03x ≠时，()()0002200000833382521636238x x x x y x x x ---===++-+++-；当03x >时，()0025366163x x -++≥=-，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时0038102162x y -<≤=+，所以PF PA ≥=；当03x <时，()002536643x x -++≤-=--，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时003202x y --≤<+，所以PFPA≥=；综上所述，PF PA.. 【点睛】本题考查了抛物线性质及两点之间距离公式的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.16.已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______. 【答案】33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质可得24T πω=≤，()()13,42131413142x k k k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理后按照0k =、1k =、2k =、3k =分类讨论即可得解.【详解】函数()f x 的图像在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，0>ω，∴函数()f x 的周期22T πππ≥-=，∴24Tπω=≤，令()42x k k Z ππωπ-=+∈，则()134x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()()()13,42131,413142x k k k Z k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理得()()3243143142k k k ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，()k Z ∈，∴0k ≤≤3且k Z ∈，当0k =时，原不等式可化为3243143142ωωωω⎧<<⎪⎪⎪+≥⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3342ω<<；当1k =时，原不等式可化为()()3124311431142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71144ω<≤；当2k =时，原不等式可化为()()3224321432142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71524ω≤≤；当3k =时，原不等式可化为()()3324331433142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，无解；综上所述，实数ω的取值范围是33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦.故答案为：33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数性质的应用，考查了运算求解能力和分类讨论思想，属于中档题. 三、解答题17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2 【解析】【分析】（1）由正弦定理得a b a cc a b--=+，化简后再利用余弦定理即可得解；（2）由余弦定理得22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD+-+-=-⋅⋅，化简可得2250a c +=，结合222a c b ac +-=即可得14ac =，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得a b a cc a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD+-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯，所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，122AB AD DC BC ====，PB AC ⊥.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若4PA =，23PB =，求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）24【解析】【分析】（1）由题意可得AB AC ⊥，结合PB AC ⊥利用线面垂直的判定即可得AC ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）过点D 作DE BC ⊥于E ，过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，由题意可得PB ⊥平面ABCD ，进而可得平面PBC ⊥平面ABCD ，DFE ∠为所求二面角的平面角，求出37EF =、267DF =cos EF DEF DF ∠=即可得解.【详解】（1）证明：因为//AD BC ，122AB AD DC BC ====，所以90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，因为PB AC ⊥，PB AB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）因为4PA =，3PB =2AB =，所以PB BA ⊥.由（1）知平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PB ⊥平面ABCD ，由BC ⊂平面ABCD ，PB ⊂平面PBC ，所以PB BC ⊥，平面PBC ⊥平面ABCD . 过点D 作DE BC ⊥于E ，则DE ⊥平面PBC .过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，则DF PC ⊥即DFE ∠为所求二面角的平面角，在梯形ABCD 中，求得1EC =，223DE CD CE =-=在Rt PBC中，223sin 7PB PBC PC PB BC∠===+，所以37EF EC =即37EF =，在Rt DEF △中，22267DF DE EF =+=，在Rt DEF △中，求得2cos 4EF DFE DF ∠==，故二面角B PC D --的余弦值为2.【点睛】本题考查了面面垂直的判定及二面角的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦,PA PB 分别与椭圆C 交于点,A B ，求点P 到直线AB 距离的最大值.【答案】（1）22163x y +=（242【解析】【分析】（1）由题意2241122a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩结合222a b c =+解出26a =，23b =后，即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程得122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+，由1PA PB k k ⋅=-化简可得()()212310k m k m +-++=，进而可得直线AB 方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可得点到直线距离的最大值为PM ；当直线AB 斜率不存在时，设其方程为x n =，求出n 后即可得点到直线的距离；即可得解.【详解】（1）由题意，得224112a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合222a b c =+，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124260kxkmx m +++-=，由>0∆得22630k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以121211122y y x x --⋅=---，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入整理得22483210k mk m m ++--=，即()()212310k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意；所以2310k m ++=，此时满足>0∆，则直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以当PM AB ⊥时，点P 到直线AB的最大距离3d PM ===；当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =，由12x x n ==，12y y =-，代入()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-可得221144y n n -+=-+-，结合221163y n +=可得23n =或2n =（舍去），当23n =时，点P 到直线23x =的距离为43，综上，点P 到直线AB . 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 【答案】（1）75元（2）见解析，910（3）6 【解析】【分析】（1）由题意直接计算1244517⨯+⨯+⨯即可得解；（2）由超几何分布的概率公式求得()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，即可列出分布列，由期望公式计算即可求得期望，即可得解；（3）由二项分布的概率公式可得()10103255k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由题意列出不等式()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】（1）若某居民用水17吨，则需交费124451775⨯+⨯+⨯=（元）；（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===.故ξ的分布列是所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X 满足3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是为()10103255kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，化简得11010110102332k k k k C C C C +-⎧≥⎨≥⎩，解得283355k ≤≤. 因为*k ∈N ，所以6k =.【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.21.已知函数()()ln f x e x x =-（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点，以及曲线()y f x =在其零点处的切线方程；（2）若方程()()0f x m m =≠有两个实数根12,x x ，求证：1211emx x e e -<---. 【答案】（1）零点为1,e ；()()11y e x =--；y x e =-+；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）由题意可得函数()f x 的零点为1，e ，求导后，求出()11f e '=-，()1f e '=-，再求出()()10f f e ==，利用点斜式即可求得切线方程；（2）利用导数证明()()()ln 11e x x e x -≤--、()ln e x x x e -≤-+，设()()()()3124g x f x f x h x m ====，由函数单调性可知13x x >、42x x >，利用1243x x x x -<-即可得证.【详解】（1）由()()ln 0f x e x x =-=，得1x =或x e =，所以函数()f x 的零点为1，e ，因为()ln 1ef x x x'=--，所以()11f e '=-，()1f e '=-. 又因为()()10f f e ==，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()11y e x =--，在x e =处的切线方程为y x e =-+；（2）证明：因为函数()f x 的定义为()0,∞+，()ln 1ef x x x'=--，令()()ln 10e p x x x x =-->，则()210ep x x x'=--<，所以()p x 即()f x '单调递减，由()110f e '=->，()10f e '=-<，所以存在()01,x e ∈，使得()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减；不妨设102x x x <<，且11x ≠，2x e ≠，令()()()()110g x e x x =-->，()()0h x x e x =-+>，记()()()()11ln m x e x e x x =----，则()ln em x x e x'=-+，令()()ln 0e q x x e x x =-+>，则()210eq x x x'=+>，所以()m x '单调递增，且()10m '=，故()m x 在()0,1单调递减，()m x 在()1,+∞单调递增，所以()()10m x m ≥=，即()()()ln 11e x x e x -≤--；记()()ln n x x e e x x =-+--，则()ln en x x x'=-，所以()n x '单调递增，且()0n e '=，故()n x 在()0,e 单减，()m x 在(),e +∞单增. 则()()0n x n e ≥=，即()ln e x x x e -≤-+；不妨设()()()()3124g x f x f x h x m ====，因为()()()113g x f x m g x >==，且()()()11g x e x =--为增函数，所以13x x >.由()()()3311g x e x m =--=，得311mx e =+-；同理42x x >，4x e m =-；所以312411mx x x x e m e +=<<<=--. 所以12431111m em x x x x e m e e e ⎛⎫-<-=--+=-- ⎪--⎝⎭，所以1211emx x e e -<---. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos 32sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ是参数），以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）曲线2C 与x 轴交点P ，与曲线C 交于点,A B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）曲线1C 的普通方程()2234x y +-=，曲线2C 的普通方程4x y +=，（2【解析】【分析】（1）消去参数即可得曲线1C 的普通方程；变2C 的极坐标方程为sin cos 4ρθρθ+=，利用sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得曲线2C 的普通方程；（2）写出直线2C的参数方程可写为4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=后，利用1111A BPA PB t t +=+即可得解. 【详解】（1）消去参数后可得曲线1C 的普通方程为()2234x y +-=；由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos ρθρθ= 即sin cos 4ρθρθ+=，由sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线2C 的曲线方程为4x y +=；（2）由题意可知点()4,0P ，则直线2C的参数方程可写为4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=得2210t -+=，140∆=>，0A B t t +=>，210A B t t =>，所以111111213A B A B A B A B t t PA PB t t t t t t ++=+=+===【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题. 23.（1）解不等式239x x -++≥；（2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+. 【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证. 【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-；当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立；当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥；所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--，因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+，所以1ab a b +>+.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。

4月湖北高三数学调研试卷理带答案

已
知
男
生
组
中
数
据
的
中
位
数
为
125
女
生
组
数
据
的
平
均
数
为
124
求
的
值
(
2
)
现
从
这
20
名
学
生
中
任
意
抽
取
一一一
名
男
生
和
一一一
名
女
生
对
他
们
进
行
训
练
记
一一一
分
钟
内
跳
绳
次
数
不
低
于
115
且
不
超
过
125
的
学
生
被
选
上
的
人
数
为
X
求
X
的
分
布
列
和
数
学
期
望
E
(
X
)
20.
(
本
题
满
分
12
分
)
已
知
平
面
内
动
占
八、、
P
与
占
八、、
和
占
八、、
坐
标
方
程
为
正
方
形
AB
BCD
的
顶
占
八、、
都
在
上
且
依
次
按
逆
时
针

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2019年湖北省高三四月调考
理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅=
D.2i 2.设集合(){}(){},|1,,|1A x y y x B x y x y =
=+=+=，则A
B 中的元素个数为
A.0个
B. 1个
C. 2个
D.无数个
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12464,30a a a a =++=，则6S = A. 54 B. 44 C. 34 D. 24
4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右顶点，点M 在双曲线上，ABM ∆为
等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为
A. 2214y x -=
B. 2212y x -=
C.22
1x y -= D.2212
y x -= 5.6
21x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式，6x 的系数为
A. 15
B. 6
C. -6
D. -15
6.已知随机变量η满足()()15,15E D ηη-=-=，则下列说法正确的是 A. ()()5,5E D ηη=-= B. ()()4,4E D ηη=-=- C. ()()5,5E D ηη=-=- D. ()()4,5E D ηη=-=
7.设,,a b c 均为非零向量，已知命题:p a c =是
a c
b
c ⋅=⋅的必要不充分条件，命题:1q x >是
1
x >成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ∨⌝ 8.已知函数
()()cos 0,,2x
x f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫
=
><∈ ⎪⋅⎝⎭
在区间
[]3,3-上的图象如图所示，则a ω
可取
A. 4π
B. 2π
C.π
D.
2
π
9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数
x 的个数为
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的体积为
A. 2
B. 4
C.
3
D. 13+
11.已知实数,x y 满足()2
221x y +-=
的取值范围是
A.
2⎤⎦ B. []1,2 C. (]0,2
D. ⎤
⎥⎝⎦
12.过圆2
2
25x y +=
内一点)
P 作倾斜角互补的直线AC 和BD ，分别交圆于A,C,和B,D ，则四边形
ABCD 的面积的最大值为
A.
C.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 .
14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，若
()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的最大项为第项.
15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪
-<⎨⎪<⎩
，则该单位集合栽种
这两种树的棵树最多为 . 16.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
的值域为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b
=
（1）求B ；
（2）设CM 是角C 的平分线，且1,6CM b ==，求cos BCM ∠.
18.（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，
AC 与BD 交于点O.
（1）求证：AC OM ⊥；
（2）当M 为1BB 的中点，且4
π
θ=时，求二面角11A D M B --的余弦值.
19.（本题满分12分）
在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:
（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；
（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E （X ）.
20.（本题满分12分）
已知平面内动点P 与点()3,0A -和点()3,0B 的连线的斜率之积为8.9
- （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设点P 的轨迹且曲线C ，过点()1,0的直线与曲线C 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求1
2
S S 的值.
21.（本题满分12分）已知函数()()ln ,.x
x f x x x g x e ==
（1）证明方程()()f x g x =在区间()1,2内有且仅有唯一实根；
（2）记{}max ,a b 表示,a b 两个数中的较大者，方程()()f x g x =在区间()1,2内的实数根为
()()(){}0,max ,x m x f x g x =，若()()m x n n R =∈
在()1,+∞内有两个不等的实根()1212,x x x x <，判断
12x x +与02x 的大小，并说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为曲线1C 的极坐标方程为
2sin ρθ=，正方形ABCD 的顶点都在上，且依次按逆时针方向排列，点A
的极坐标为.4
π⎫⎪⎭
（1）求点C 的直角坐标；
（2）若点P 在曲线22
2:4C x y +=上运动，求22
PB PC +的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数() 2.f x x a x =++-
（1）若()f x 的最小值为4，求实数a 的值；
（2）若10x -≤≤时，不等式()3f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。