柯西不等式
证明柯西不等式
证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。
本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。
一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。
2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。
3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。
二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。
三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。
以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。
由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。
这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。
由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。
柯西不等式(优质课)
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
高等数学柯西不等式
高等数学柯西不等式
√（a^2＋b^2）≥（c^2＋d^2）。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F（x，y，…，z）≤G（x，y，…，z）（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
相关信息：
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。
据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。
柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
《柯西不等式》课件
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应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
柯西不等式高中公式
柯西不等式高中公式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步。
基本信息中文名:柯西不等式外文名:Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality应用学科:数学适用领域范围:数学-积分学推广者:维克托·布尼亚科夫斯基提出时间:18世纪提出者:奥古斯丁·路易·柯西柯西不等式[1]是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...（平方的和的乘积不小于乘积的和的平方）|a|*|b|≥|a*b|,a=（x1，y1），b=（x2，y2）(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1](a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...( bn^2))√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：柯西不等式及应用武胜中学周迎新柯西不等式:设ａ1,a2,…aｎ，b1,b2…b n均是实数，则有（a1b1+ａ2ｂ2+…+a n b n)2≤（ａ１2＋ａ２２+…ａn2)（b12+ｂ22+…bn2）等号当且仅当ai＝λb i（λ为常数，i=1,2.3，…n)时取到。
注:二维柯西不等式：(一)、柯西不等式的证明柯西不等式有多种证明方法,你能怎么吗?证法一:判别式法:令f(x)＝（a１x+b1)2+(a2x＋b２）2+…+(a n x+b n)2=(a１２+a22+…＋a n2)x２+2（ａ1b1+a2b2+…+ａn b n)x ＋(b１２+b22＋…＋bｎ2)∵f（ｘ)≥０∴△≤0 即 (ａ１b1＋a２b2＋…＋a n b n)２≤（ａ１2+a22＋…+ａｎ2）（b12+b22+…+bｎ2)等号仅当 aｉ＝λbｉ时取到。
证法二：（二)、柯西不等式的应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
1． 证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。
如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，(1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 分析∵a 、b 、c 均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2>+++++++a c c b b a c b a 而)()()()(2a c c b b a d b a +++++=++ 又2)111(9++=(2)重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a ＋b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 分析:不等号左边为两个二项式积,+-∈∈R x x R b a 21,,,,每个两项式可以使柯西不等式，直接做得不到预想结论,当把节二个小括号的两项前后调换一下位置,就能证明结论了。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式知识要点：1、柯西不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…a n 和b 1，b 2…b n 是两组实数，则(a 1b 1+…+a n b n )2≤ (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)等号成立当且仅当存在实数k ，使得对所有的1,2,i n = 有i i a kb =或对所有的1,2,i n = 有i i b ka =.(2)柯西不等式的向量形式：||||||m n m n ≤⋅,其中等号成立当且仅当//m n .(3)柯西不等式的几个推论：①1122||n n a b a b a b +++≤特殊地有：≤1212x x y y +≤②若b k >0(k=1,2,…,n),则2221111()n n n na a a ab b b b ++++≥++ . 特殊地有：若y 1,y 2都是正数，则22212121212()x x x x y y y y ++≥+，等号成立当且仅当1212x x y y =.③|≤ (a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )④12n x x x n +++≤特殊地：2a b +≤证明：1122a b a b +⋅+⋅=≤≤⑤a 2+b 2+c 2 ≥ ab+bc+ca , (a +b+c)2 ≥3(ab+bc+ca ),证明：ab+bc+ca222a b c =++(a +b+c)2 = a 2+b 2+c + ab+bc+ca ≥ 3(ab+bc+ca ), 2、排序不等式(1)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n n i i n in n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序） 其中12,,,n i i i 是1，2， n 的任意一个排列，当且仅当12n a a a === 或12nb b b === 时式中等号成立.(2) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则112121121212i i i nn n n bb b b b b b b b nn n a a a a a a a a a -≥≥当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(3)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足: 120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(4) 切比雪不等式：对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及,则112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n-++++++++++++≥⋅≥证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n = a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1 a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2 ………………………………………… a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1 将以上式子相加得：n (a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) ≥ a 1(b 1+b 2+…+b n )+ a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+ a n (b 1+b 2+…+b n )∴11221212n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅同理可证：12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n-+++++++++⋅≥问题举例：柯西不等式1、利用柯西不等式 证明(1) 若a 、b 、c 、d ∈R + , 则(ab+cd ) (ac+bd )≥4abcd ;(2) 若a 、b 、c ∈R +，则(b c a a b c ++)()9a b cb c a++≥(3) 若a 、b 、c ∈R+，且ab+bc+ca =1,则a b c ++≥(4) 12,)n n N >≥∈ 证明(1)∵(ab+cd )(ac+bd )222()4bc a d bc abcd ≥=+≥==a=d 即b=c ,a=d 时成立. (2)=(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c 时，等式成立. (3)注意到(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)·(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca )2=1 , ∵(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca )≥1+2=3 ,又由a+b+c ＞0,故a+b+c ≥当且仅当a b c ===时，等式成立. (4)注意到2、 求函数2221()sin cos f x x x =+, 02(,)x π∈最小值. 方法一：（应用均值不等式求解）222222222123x x f x x x x x xcos sin ()()(sin cos )sin cos sin cos =++=++≥ 3+ （以下略）方法一：（应用柯西不等式求解）2221()sin cos f x x x =+221x cos ≥222(13sin cos x x+=++3、已知点P(x, y)在椭圆22123x y +=上运动，求2x +3y 的取值范围. 方法一：（应用三角代换求解）由已知可设,x y αα∴2x+3y =)αααφ++∈[方法二：（应用柯西不等式求解）|2x+3y| =|+|≤=∴2x+3y ∈[4、 已知a +b+c = 1, 求131313+++++c b a 的最大值.方法一（应用均值不等式求解）131313+++++c b a≤= 等号成立当且仅当3a +1=3b +1=3c +1=2,即a=b=c =13方法二（应用柯西不等式求解）131313+++++c b a ≤=5、若a ,b,c,x,y,z 都是实数，且a 2+b 2+c 2=25, x 2+y 2+z 2=36,a x+by+cz=30,求a b cx y z++++的值.解 (a x+by+cz)2≤( a 2+b 2+c 2)( x 2+y 2+z 2) 由已知此不等式等号成立，不妨设a ≠0,则存在实数k ，使得x=k a ,y=kb,z=kc,代入ax +by +cz =30得 k(a 2+b 2+c 2)=30⇔k =65∴a b c x y z ++++=156k =【注】本题主要学习柯西不等式等号成立条件。
柯西不等式3种变形
柯西不等式3种变形柯西不等式是数学中的一个重要不等式，由法国数学家柯西于1821年提出。
它是数学分析中的一个基本定理，被广泛应用于实分析、复分析、概率论等领域。
柯西不等式的三种变形分别是：乘法形式、平方和形式和积分形式。
一、乘法形式柯西不等式的乘法形式表达了两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
设有两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，那么它们的内积满足如下不等式：|a·b| ≤ |a||b|其中，a·b表示向量a和向量b的内积，|a|表示向量a的模。
乘法形式的柯西不等式可以用几何上的解释来理解。
对于两个非零向量a和b，它们的内积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
因此，柯西不等式可以看作是余弦函数的性质在向量空间上的一个推广。
二、平方和形式柯西不等式的平方和形式是乘法形式的一个特殊情况。
设有两个实数a和b，则它们的平方和满足如下不等式：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥ (ac+bd)^2其中，a、b、c、d都是实数。
平方和形式的柯西不等式可以用来证明两个实数的平方和大于等于它们的乘积的平方。
这个不等式在数学中有着广泛的应用，可以用来证明其他不等式、几何问题等。
三、积分形式柯西不等式的积分形式表达了两个函数的乘积与它们的平方积分之间的关系。
设有两个定义在区间[a,b]上的函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积在[a,b]上的积分满足如下不等式：∫[a,b]f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b]f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]其中，∫[a,b]表示对区间[a,b]上的函数积分。
积分形式的柯西不等式可以用来证明两个函数的乘积积分小于等于它们的平方积分的乘积的平方根。
这个形式的柯西不等式在实分析中有着重要的应用，特别是在研究函数的平方可积性、傅里叶级数等方面。
柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它有着乘法形式、平方和形式和积分形式三种变形。
柯西不等式及其应用
柯西不等式及其应用柯西不等式是初等数学中的一种重要的不等式，它可以用于求解向量、积分等问题。
柯西不等式的形式如下：对于任意的实数a1、a2、......、an 和b1、b2、......、bn，有(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2) ≥(a1b1 + a2b2 + ...... + anbn)^2其中，等号成立的条件是两个向量之间存在线性关系，即存在实数k1、k2、......、kn，使得b1 = k1a1、b2 = k2a2、......、bn = knan。
柯西不等式可以用于求解向量内积、求解二次函数的最小值等问题。
例如，对于两个向量A = (a1, a2, ......, an) 和B = (b1, b2, ......, bn)，它们的内积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ...... + anbn根据柯西不等式，有：A·B ≤√(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2)这个不等式告诉我们，两个向量的内积不会大于它们的长度之积，当且仅当它们之间存在线性关系时取到最大值。
另外，柯西不等式还可以用于求解积分不等式。
例如，对于两个非负可积函数f(x) 和g(x)，它们的积分可以表示为：∫f(x)g(x)dx根据柯西不等式，有：(∫f(x)g(x)dx)^2 ≤(∫f(x)^2dx)(∫g(x)^2dx)这个不等式可以用于证明一些数学定理，如证明二维傅里叶级数的正交性。
总之，柯西不等式是一种十分重要的数学工具，它在向量、积分、函数等方面有着广泛的应用。
掌握柯西不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。
柯西不等式取等
柯西不等式取等
【原创实用版】
目录
1.柯西不等式的定义和基本形式
2.柯西不等式的证明方法
3.柯西不等式取等的条件
4.柯西不等式在实际问题中的应用
正文
一、柯西不等式的定义和基本形式
柯西不等式是数学领域中一种非常重要的不等式，主要用于解决向量空间中的问题。
柯西不等式的基本形式为：(a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2。
其中，a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn 分别是两个向量中的分量。
二、柯西不等式的证明方法
柯西不等式有多种证明方法，其中最常用的是平方法。
平方法即对柯西不等式两边同时平方，然后利用向量的内积公式进行化简，最后证明出柯西不等式成立。
三、柯西不等式取等的条件
当且仅当存在常数 k，使得 a1b1 + a2b2 +...+ anbn = k(a1^2 + a2^2 +...+ an^2)，柯西不等式取等。
也就是说，当两个向量成比例时，柯西不等式取等。
四、柯西不等式在实际问题中的应用
柯西不等式在向量空间中的应用非常广泛，例如在求解线性回归问题、证明矩阵的谱范数与弗罗贝尼乌斯范数的关系、求解最优化问题等方面都有应用。
同时，柯西不等式也是许多其他不等式的基础，如赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式等。
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柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。
柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。
一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。
具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。
具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。
对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。
对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。
柯西不等式
等号成立的条件是：向
量
a,b 与向量
c,d 共线。
式称为柯西不等式的向 量形式.
利用柯西不等式求最值
例1.已知非零实数a,b满足a2 b 2 1,
求1
a2
1 的最小值。
b2
例 2．已知 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2 的最小值．
解：∵(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，∴4x2＋9y2≥12. 当且仅当 2x ×1＝3y×1，即 2x＝3y 时，等号成立． 又 2x＋3y＝1，得 x＝14，y＝16， 故当 x＝14，y＝16时，4x2＋9y2 的最小值为12.
定理2(一般形式的柯西不等式)
设a1,a2,a3, ,an ,b1,b2,b3, ,bn是实数,则
(
a
2 1
a
2 2
a
2 n
)
(
b
2 1
b
2 2
b
2 n
)
(a 1b 1
a 2b 2
a n b n )2
当且仅当bi 0(i 1,2, ,n)或存在一个数
k ,使得ai kbi(i 1,2, ,n )时,等号成立。
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证 明吗？
证明 : (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) - (ac bd)2 a 2c 2 a 2d 2 b 2c 2 b 2d 2 - a 2c 2 2acbd b 2d 2 (ad bc)2 0
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
柯西不等式二级公式
柯西不等式二级公式柯西不等式（Cauchy Inequality）是数学领域中一种非常重要的不等式，由法国数学家柯西（Cauchy）首次提出。
它在我国的高等数学教育中也有着广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二级公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、柯西不等式的定义和基本形式柯西不等式的定义如下：设实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，那么以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)这就是柯西不等式的一般形式。
当n=2时，柯西不等式可以简化为：(a1b1 + a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2) * (b1^2 + b2^2)二、柯西不等式的一级公式和二级公式柯西不等式的一级公式是指：a1b1 + a2b2 + … + anbn ≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)柯西不等式的二级公式是指：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)三、二级公式的推导过程柯西不等式的二级公式可以通过一级公式进行推导。
首先，我们对一级公式两边进行平方，得到：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an^2) * (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)四、二级公式的应用实例1.证明数学归纳法：在数学归纳法证明中，柯西不等式可以用来估计归纳步的误差。
2.信号处理：在信号处理领域，柯西不等式可以用来估计信号的功率。
3.概率论：在概率论中，柯西不等式可以用来估计随机变量的期望值和方差。
五、总结柯西不等式二级公式是柯西不等式的一种重要形式，它在数学、信号处理、概率论等领域有着广泛的应用。
柯西不等式的证明及变形
柯西不等式的证明及变形柯西不等式是数学中的一个重要定理，用于描述向量之间的关系。
该不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy于1821年提出的。
柯西不等式是在线性代数中应用广泛的一个基本定理，除了在解决向量相关问题中有广泛应用之外，在概率论和统计学中也有重要应用。
本文将介绍柯西不等式的证明及变形。
柯西不等式的表述如下：对于任意两个向量xa和yb：xa*yb <= ||xa|| ||yb||其中xa*yb代表xa与yb的内积，也称点积或数量积；而||xa||和||yb||分别代表xa 与yb的模长，也称绝对值或范数。
证明：对于任何两个实数x和y，有如下的不等式：(x - ky)^2 >= 0其中k是任意实数。
将其式子展开得到：这个式子可以改写成：2kxy <= x^2 + k^2y^2根据柯西不等式的定义，任何两个向量xa和yb都可以表示为如下形式：xa = (x1, x2, x3, ..., xn)yb = (y1, y2, y3, ..., yn)由上面的式子可得，2x1y1 <= x1^2 + y1^22x2y2 <= x2^2 + y2^22x3y3 <= x3^2 + y3^2...2xnyn <= xn^2 + yn^2将上面的式子相加，得到如下结果：考虑向量xa的模长，有如下的式子：||xa|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + x3^2 + ... + xn^2)类似的，可以得到向量yb的模长：将上述两个式子代入前面的不等式中，则有：因此，柯西不等式得证。
变形：为了方便使用和推导，常常将柯西不等式做如下的变形：对于任意两个向量xa和yb，该式子永远成立。
同时，该式子中的比值代表着向量xa 和向量yb之间的相似程度，即两个向量之间的夹角。
当xa和yb之间的夹角为0时，即两个向量是同一方向的，则相似程度为1，即该比值等于1；当xa和yb之间的夹角为90度时，即两个向量相互垂直，则该比值等于0。
第2章§1 柯西不等式
§1柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式1.2 一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进展简单的证明．(难点)[根底·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成以下问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，那么|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习〞以上局部，完成以下问题．1．定理2设a1，a2，…，a n与b1，b2，…，b n是两组实数，那么有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当向量(a1，a2，…，a n)与向量(b1，b2，…，b n)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，那么有(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝〞成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i＝kb i(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【解】不可以．假设b i＝0而a i≠0，那么k不存在．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式(1)a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．【精彩点拨】此题考察柯西不等式及证明不等式的根底知识，考察推理论证才能及代数式的变式才能．解答此题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将a2＋b2，b2＋c2，a2＋c2增补，使其满足柯西不等式左边构造方可应用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1.(2)由柯西不等式得：a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，即2a 2＋b 2≥a ＋b .同理：2b 2＋c 2≥b ＋c ，2a 2＋c 2≥a ＋c .将上面三个同向不等式相加得： 2(a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2)≥2(a ＋b ＋c )， 所以a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的根本特征：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R 或(a ＋b )(c ＋d )≥(\r(ac )＋\r(bd ))2，其中a ，b ，c ，d 为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a ＝1×a )变形等.[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【证明】 由柯西不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2. 于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .运用柯西不等式求参数范围正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】 “恒成立〞问题需求1x ＋y＋1y ＋z＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·zx ＋y ＋z＋1·xx ＋y ＋z＋1·y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32.故参数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件纯熟掌握，然后根据题目的特点“创造性〞应用定理.[再练一题]2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围．【解】 由柯西不等式得，(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1 22222【提示】 要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只要证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 只要证(bc －ad )2≥0.因为上式显然成立，故(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 探究2 根据柯西不等式，以下结论成立吗？(1)(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)； (2)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； (3)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 【提示】 成立．x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【精彩点拨】 利用x 2＋2y 2＋3z 2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】 (x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝12.∵－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， ∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目的函数进展配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．假设3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4， 所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时“＝〞成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2获得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825. [构建·体系]1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D ．0 【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，那么a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4 C.13D ．12【解析】 根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 【答案】 C3．a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，那么t 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(－1,0)D ．[－1,1]【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1.∴t 的取值范围是[－1,1]． 【答案】 D4．x ，y ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，那么xy ＝________.【导学号：94910030】【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4，又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 15．3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 【证明】 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11.于是2x ＋y ≤11. 我还有这些缺乏：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
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解 函数的定义域为 1,5, 且 y 0, y 5 x 1 2 5 x
5
2
2
2
x 1
2
5 x
2
27 4 6 3.
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时, 等号 127 成立, 即 x 时函数取最大值 6 3 . 27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式 子变形的作用 , 提高利用柯西不等式解 题的能力.
证明 由于a, b R , 根据柯西不等式 , 得
1 1 1 1 a b a b 4. a b a b 1 1 又 a b 1, 所以 4. a b
2
本例中 a, b R 这个条件可以去掉吗? 为什么 ?
打开几何画板观察实验 .
y
P1x1, y1
y
P1x1, y1 P2 x 2 , y2
O O
x
2
x
P x 2 , y2
图3.1 2
如图3.1 2, 根据两点间距离公式以 及三角形 的边长关系 , 容易发现 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
用平面 二维向量的坐标表示不等式 ② , 得 所以 | || || | . ②
| ac bd | a b
2
2
c d .两边平方 ,
2 2
① 式与
二维向 2 得 ac bd a2 b2 c2 d 2 . ① 量相对 这是二维形式的柯西不 等式.由此可知 , 应, 所以 二 维 形 式的柯西不等式 ① 是向量形式 称之为 的不等式 ②的坐标表示 .如果向量 和 二维形 中有零向量 , 则ad bc 0 , 以上不等 式的柯 西不等 式取等号 .如果向量 和 都不是零向 式.
2 1
y
2 1
x
2 2
y ,பைடு நூலகம்
2 2
这 样 就能使用柯西不等式了 .
证明
2 1
x y
2 1 2 1
2 1 2 1
x y
2 2 2 1 2 2
2 2
2
x y 2 x y
x y x y
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 x1 y1 2 | x1 x2 y1 y2 | x2 y2
例1中哪4 个数分 别对应柯西不等 式①中的a, b, c, d ?
证明 根据柯西不等式, 有 a 4 b4 a 2 b2
a
2
a b b a b
2 2 3
3 2
.
例 2 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
分析 利用不等式解决极值问 题, 通常 设法在不等式一边得到 一个常数, 并寻 找不等式取等号的条件 .这个函数的解 析式是两部分的和 , 若能化为ac bd 的 形式就能利用柯西不 等到式求其最大 值.
量, 则当且仅当 | cos | 1, 即向量 和 共线时 , 以上不等式取等号 .这时存在非零实数 k , 使 k .即 a, b k c, d .故ad bc kcd kcd 0.
从上面的分析可知 , 不等式 ② 与不等式① 有相 ②叫做 柯西不等 同的意义 , 所以我们把不等式 式 ①的向量形式. 综上所述, 得
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ a b
值是 ______ 11
如图 3.1 1, 设在平面直角坐 y c, d 标系 xOy中有向量 a, b , a, b c, d , 与 之间的夹角 为 ,0 . x O 根据向量数量积 内积 的定 图3.1 1 义, 我们有 | || | cos , 所以 | || || || cos | . 因为 | cos | 1,
第三讲
柯西不等式与排序不等式
重庆合川龙市中学—何林杰
数学研究中 , 发现一些不仅形式优美 而且具有重要应用价值 的不等式, 人 们称它们为经典不等式 , 柯西不等式 与排序不等式就属于这 样的不等式 . 通过本讲的学习 , 我们可以领略这些 不 等式 的数 学意义、几何背景、证 明方法及其应用 , 感受数学的美妙 ,提 高数学素质.
2 2 2 2 2
定理1
二维形式的柯西不等式若a, b, c, d
思考 你能简明地写出定理 1 的证明吗?
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
ac bd 2
| ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |.
2 2 2
2
探究 请结合直角坐标系 , 解释不等式④的几何意义 .
不等式④ 有明显的几何意义 , 仍被称为二维形式的 三角不等式. 上面得出三个定理 的过 程 , 分别讨论了二维形式柯 西不等式的数学意义、 几何背景及其在不等式 证明 中的应用 .下面继续结合不等式的 证明, 介绍二维形式 柯西不等式的应用 .
1 1 例 3 设 a, b R , a b 1, 求证 4. a b 分析 问题中有a b 1这个条件,由于常 数 1的特殊性, 用 a b 去乘任何数或式子 , 都不会改变它们的值 , 根据证明的需要可 1 1 以应用这个条件 .在本例中 , 注意到 a b 1 1 1 1 a b , 有了a b , 就可以 a b a b 用柯西不等式了 .
x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
x1 x2 y1 y2
2
2
.
分析 上面从几何角度发现了三角不等到式 , 下面我们利用柯西不等 式 , 从代数的角度证明 这个不等式 .证明中 , 为了使用柯西不等式 , 需要 进行式子变形 , 设法构造两数平方和乘 另两数 平方和的形式, 例如构造出x
x1 x2
2
y1 y2 .
2
证明中, 哪一步用了柯西不等式 .
由于不等式 ③ 对于任何实数都成立, 不妨用 x1 x3 代 x1 , 用y1 y3 代 y1 , 用x2 x3 代 x2 , 用 y2 y3 代 y2 , 代入不 等式 ③ , 得
x1 x3 y1 y3 x2 x3 y2 y3 2 2 x1 x2 y1 y2 .
形式上规律明显 , 具有简洁、对称的美感 , 而且 在数学和物理中有重要 作用.它是柯西不等式 Cauchy inequality 的最简形式,即二维形式的 柯西不等式 . 从上面的探究过程可以 发现,当且仅当ad bc 0 时,① 式中的等号成立 .于是我们有
都是实数 , 则 a b c d ac bd , 当且仅当ad bc时, 等号成立.
小结与作业
P43页，习题2.3.4
2 2 2 2
c
a b 2ab 的推导过程, 研究一下关于它 的不等关系吗?
展开这个乘积 , 得
a
2
b2 c 2 d 2 a 2c 2 b2 d 2 a 2 d 2 b2c 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
由于a c b d a d b c ac bd ad bc ,
定理 2 柯西不 等 式的向量形式 设 , 是两 个向量, 则 | || || | , 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
探究 试从不等式 ① 推导不等式 ② , 再进行反 方向的推导 , 从数形结合的角度体会 两者的等 价关系 .
所以, 对于任何实数 a, b, c, d , 以下不等式成立 :
a b c d | ac bd | ,
2 2 2 2
a 2 b2 c 2 d 2 | ac | | bd | .
对一个代数结果进行最 简单的诠释, 往往要借助直 观的几何背景 .下面看一看柯西不等式 的几何意义.
练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
x1 x2 y1 y2
2
2
,
③
当且仅当P1 , P2与原点O在同一直线上 , 并且点 P1 , P2 在原点O两旁时,③ 式中的等号成立 .
③ 不等式 叫做二维形式的 三 角 不 等 式(triang
le inequality ). 定理 3 二维形式的三角不等式设x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
一 二维形式的柯西不等式
探究 a 2 b 2 2aba, b为实数是我们非常 熟悉的不等式 , 它反映了两个实数的平 方和 与乘积的大小关系 .现在考虑乘积 a 2 b 2 d a, b, c, d为实数 , 它涉及到四个实 数 , 并且形式上也与平方和 有关 . 你能类比