8.2 单个正态总体的假设检验
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北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第8章 正态总体均值的假设检验
例8.2.3 假设有A、B两种药，试验者欲比 较服用2小时后它们在患者血液中的含量是否 一样。为此, 对药品A, 随机抽取8个病人服药， 服药2小时后, 测得8个病人血液中药物浓度 (用 适当的单位) 分别为:
1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B, 随机抽取6个病人服药, 服药2小时后， 测得血液中药的浓度分别为:
检验的显著性水平，简称水平。
犯第二类错误的概率的计算超出了课程 的学习范围。因此，不作讨论。
例8.1.1(续) 分析该例的显著性水平。
H0: μ =10，
现在我们来分析：取上述 c 后，如果 H0 是正确的，却被我们拒绝了。这时，犯第一 类错误的概率是多少呢？
分析 因为当 H0: μ =10成立时，有
时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替 未知的2 ，这时
所以，对给定的显著水平 α，有
假设检验 H0的拒绝域为 此检验法称作 t 检验法。
例8.2.1(续例8.1.1) 假设2未知，检验
解 n=10, =0.05, 0=10， t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622，
所以，接受原假设 H0: μ =10.
发生，就认为 H0 不真，即认为 H0不成立。
IV. 两类错误与显著性水平
当我们检验一个假设 H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设；H0 是不正确的，但被我们接受了， 这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。
8.2-0单正态假设检验
检验法 条件 H0 H1
检验统计量
H0的拒绝域
U检 验
已 知
0 0 =0
>0 <0 0
U X 0 n
U u U u
U u 2
T检 验
未 知
0 0 =0
>0 <0 0
T X 0
Sn
T t (n 1)
对于给定的显著性水平 ，拒绝域为
W {u | u | u / 2 }． 上述检验所用统计量服从标准正态分布，称为 u 检验法．
二、方差未知时，正态总体均值的
假设检验—t 检验
设总体 X ~ N (, 2 ) ， 2 未知，(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的样
本．这里要检验的是
(5)由数据计算得x 112.8, s 1.1358
故T 112.8 112.6 0.4659 2.4469 1.1358 7
故接受H 0 ,即可认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统 误差。
例2 某车间加工一种零件，要求长度为150mm， 今从一批加工后的这种零件中抽取 9 个，测得长度如 下：
解 这里方差σ2未知，因此检验统计量为
u X 0 . S/ n
拒绝域为| u | u / 2 ．查表得 u / 2 = u0.025 = 1.96 ．
由于
| u | | x 0 | 0.4 50 1.22 1.96 , s/ n 4
Ch8.2 正态总体均值的假设检验
某种电子元件的寿命X(以小时计 以小时计)服 例2 某种电子元件的寿命 以小时计 服 从正态分布, 均为未知. 测得16只元件的 从正态分布 µ ,σ 2 均为未知 现测得 只元件的 寿命如下: 寿命如下
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
故接受 H 0 , 认为元件的平均寿命不 大于 225小时 .
2 二、两个总体 N ( µ1 ,σ 12 ), N ( µ2 ,σ 2 ) 的情况
利用t检验法可以检验具有相同方差的两正 利用 检验法可以检验具有相同方差的两正 检验法可以检验具有相同方差 均值差的假设 态总体均值差的假设. 态总体均值差的假设
F ≥ Fα (n1 − 1, n2 − 1) F ≤ F1−α (n1 − 1, n2 − 1) F ≥ Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1)或 F ≥ F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1)
7
µD ≤ 0 µD ≥ 0 µD = 0
(成对数据)
D−0 t= SD / n
得 k = tα / 2 ( n1 + n2 − 2).
( x − y) −δ 故拒绝域为 t = ≥tα / 2 ( n1 + n2 − 2). 1 1 sw + n1 n2
关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表 8.1,
有关假设检验的习题及详解
n1 n2
u xy
2 1
2 2
n1 n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N (0,1) .
【例 8.4】设总体 X N (u, 2 ) ， u 未知， x1, x2 , , xn 是来自该总体的样本，样本方
差为 S 2 ，对 H0 : 2 16 H1 : 2 16 ，其检验统计量为
，拒绝域为
.
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
线中取样品 9 根，测得 S 0.007 （欧姆），设总体为正态分布，问在水平 0.05下，能
否认为这批导线的标准差显著性地偏大？ 【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题
H0 : 0 0.005 H1 : 0 0.005
选取统计量
2
(n
1)S 2 2
2 (n 1)
30 当 n 64 ， u 68.5 时， x N (68.5, 0.452 ) ，则
(68.5) P{67 x 69 | u 68.5}
(69 68.5) (67 68.5) (1.11) (3.33)
0.45
0.45
0.8665 [1 0.9995] 0.8660 .
t x u0 n (x u0 ) n(n 1) t(n 1)
S
Q
对双边检验 H0 : u u0 H1 : u u0 ，其拒绝域为 w {| t | t (n 1)}.
单个正态总体的假设检验
第二节 单个正态总体的假设检验
1.单个正态总体数学期望的假设检验
（1） σ2已知关于μ的假设检验（Z 检验法(Z -test)） 设总体X ~N （μ，σ2），方差σ2已知，检验假设
H 0：μ=μ0；H 1：μ≠μ0 (μ0为已知常数） 由
X ~N （μ，
n σ）X N （0，1）， 我们选取
Z
X （8.2）
作为此假设检验的统计量，显然当假设H 0为真（即μ=μ0正确）时，Z ~N （0，1），所以对于给定的显著性水平α，可求z α/2使
P {｜Z ｜＞z α/2}=α，
见图8-1，即
P {Z ＜-z α/2}+P {Z ＞z α/2}=α.
从而有
P {Z ＞z α/2}=α/2， P {Z ≤z α/2}=1-α/2.
图8-1
利用概率1-α/2，反查标准正态分布函数表，得双侧α分位点（即临界值）z α/2. 另一方面，利用样本观察值x 1，x 2，…，x n 计算统计量Z 的观察值
z 0
x （8.3）
如果：（a ）｜z 0｜＞z α/2，则在显著性水平α下，拒绝原假设H 0（接受备择假设H 1），所以｜z 0｜＞z α/2便是H0的拒绝域.
（b ） ｜z 0｜≤z α/2，则在显著性水平α下，接受原假设H 0，认为H 0正确.
这里我们是利用H0为真时服从N （0，1）分布的统计量Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为Z 检验法（或称U 检验法）.例8.1中所用的方法就是Z 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例.
例8.2 根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布，方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度如下（单位：kg ·cm -2）：
8.2.1 单个正态总体均值
1
n
~ t ( n 1)
已知
2
2
2 2 ( x ) ~ ( n) i i 1
未知
(n 1) S 2 ~ (n 1) 2
2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S , 2 2 x ( n 1) x1 ( n 1) 2 2
x 1052 x 0 1052 1000 t 4.65 s/ n 50 / 20 t a (n 1) t 0.05 (19) 1.7291
t t (n 1)
所以接受H0，认为该县已经达到了吨粮县的标准。
H 1： 0 H 1： 0 H 1： 0
(双 侧) (右单侧) (左单侧)
若假设H 0为真，则有
z
X 0
0
n
~ N (0,1)
计算出统计量z的值，对于上述假设 1 2 3 ，H 0的 拒绝域分别为 | z | za / 2 z za z za
第8章
单个正态总体期望与方差的1 置信区间
统计量
X ~ N (0, 1) / n
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
第1页
条件
置信区间
2已知
X U n 2
S X t ( n 1) n 2
n
~ t ( n 1)
已知
2
2
2 2 ( x ) ~ ( n) i i 1
未知
(n 1) S 2 ~ (n 1) 2
2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S , 2 2 x ( n 1) x1 ( n 1) 2 2
x 1052 x 0 1052 1000 t 4.65 s/ n 50 / 20 t a (n 1) t 0.05 (19) 1.7291
t t (n 1)
所以接受H0，认为该县已经达到了吨粮县的标准。
H 1： 0 H 1： 0 H 1： 0
(双 侧) (右单侧) (左单侧)
若假设H 0为真，则有
z
X 0
0
n
~ N (0,1)
计算出统计量z的值，对于上述假设 1 2 3 ，H 0的 拒绝域分别为 | z | za / 2 z za z za
第8章
单个正态总体期望与方差的1 置信区间
统计量
X ~ N (0, 1) / n
§8.2 单个正态总体均值与方差的检验
第1页
条件
置信区间
2已知
X U n 2
S X t ( n 1) n 2
单个正态总体的假设检验
全体考生的平均成绩是70分.
3. 的检验
2
设总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均为未知,
要求检验假设: (显著性水平为 )
H 0 : 0 ,
2 2
H1 : 0 ,
2 2
可推出上述检验问题的拒绝域为：
(n 1)s 2
02
12 /2 (n 1) 或
( 0.05)
z /2 z0.025 1.96, 又已知 n 9, 0.015,
由样本算得 x 0.511,
即有 x 0
/ n
2.2 1.96,
从而拒绝假设H0, 即认为机器工作不正常.
净重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正
常时, 其均值为0.5kg, 标准差为0.015kg. 某日开工
后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装 的糖9袋, 称得净重为(kg): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 长期实践表明标准差比较稳定，问机器是否正常?
一、单个总体 N ( , )均值 的检验
2
1. 为已知, 关于 的检验 ( Z 检验)
2
当 2为已知时, 关于 0的检验问题 :
假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
正态总体的假设检验
(a) 原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量： 拒绝域为：
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
பைடு நூலகம்
（证明略）
(b) 原假设 H 0 : μ μ0 ， 备择假设 H1 : μ μ0
检验统计量： 拒绝域为：
U X μ0 σ0 n
W {U zα }
小时。现从一批这种元件中随机抽取25 件，测其
寿命，算得其平均寿命950小时，设该元件的寿命
X~N(μ,1002)，在显著性水平0.05下,确定这批元件
是否合格？
解: x 950 1000
原假设 H 0 : μ 1000， 备择假设 H1 : μ 1000
由σ2 =1002知，检验统计量为 U X μ0
解: 原假设 H 0 : σ 2 60， 备择假设 H1 : σ 2 60
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
W
{
χ2
χ
2 1
α
(
n
1)，χ
2
χ
2
α
(n
1)
}
2
2
n=10 ，α=0.1，
χ2 1 α
(n 1)
χ
2 0.95
(9)
3.325
2
χ
习题第8章
第8章 假设检验
本章教学基本要求
1.理解显著性假设检验的基本思想，了解其检验过程中产生的两种错误。
2.掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验方法。
8.1 假设检验的基本概念
主要知识归纳
1 显著性假设检验的基本思想与基本步骤：
(1)提出假设0H 称为原假设，同时也可提出其对立假设1H ，也叫做备择假设，检验的目的就是接受或是拒绝0H .
(2) 假定原假设成立，选择合适的统计量并确定其分布.
(3) 给定一个小概率α，α称为显著性水平，规定小概率事件是不可能事件. (4)依据样本计算，如果使得小概率事件发生则拒绝原假设，否则接受原假设. 2 两种错误: 如果原假设正确，而拒绝了它，则检验方案犯了“弃真”错误，称为第一类错误. 犯第一类错误的概率恰好就是小概率事件发生的概率α，即{}
0H H P α
=为真拒绝；而如果原假设本来是错误的，按照检验方案，由于样本观察随即特性导致最终接受了它，此时检验方案犯了“取伪”错误，称为第二类错误.记其概率为β，即{}
0H H P β
=为假接受. 8.2 单个正态总体参数假设检验
一 主要知识归纳
设总体),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21 为总体的样本，2
,S X 分别为样本均值与样本方差，给定显著性水平α，
1．提出假设00:μμ=H ，01:μμ≠H
若2
σ已知, 选取统计量n
X Z /0
σμ-=
，则参数μ的拒绝域为：2
Z Z α=
≥；
若2
σ未知，选取统计量n
S X T /0μ-=，则参数μ的拒绝域为：)1(/2
0-≥-=
n t n
S X T αμ
第八章假设检验
第八章 假设检验
§8.1 假设检验的基本概念 §8.2 假设检验的步骤 §8.3 正态总体均值的假设检验 §8.4 正态总体方差的假设检验 §8.5 假设检验问题的p值法
§8.3 正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的假设检验
1. 2为已知, 关于 的检验( Z检验)
2
,
所以拒绝域为:
(n 1)s2
02
12 / 2(n 1)
或
(n 1)s2
2 0
2/2(n 1).
例1 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以
来服从方差 2 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一
批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 方差 s2 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?
正态分布，均值0 0.545C,标准差 0.008C.
牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰 点温度(0C ). 测得生产商提交的5批牛奶的冰点 温度，其均值x 0.535C, 问是否可以认为生产
商在牛奶中掺了水？取 0.05.
解 按题意需检验假设
H0 : 0 0.545 (即设牛奶未掺水)
§8.1 假设检验的基本概念 §8.2 假设检验的步骤 §8.3 正态总体均值的假设检验 §8.4 正态总体方差的假设检验 §8.5 假设检验问题的p值法
§8.3 正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的假设检验
单个正态总体均值的假设检验
1. 2为已知, 关于 的检验( Z检验)
2
,
所以拒绝域为:
(n 1)s2
02
12 / 2(n 1)
或
(n 1)s2
2 0
2/2(n 1).
例1 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以
来服从方差 2 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一
批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有 所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本 方差 s2 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断 这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?
正态分布，均值0 0.545C,标准差 0.008C.
牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰 点温度(0C ). 测得生产商提交的5批牛奶的冰点 温度，其均值x 0.535C, 问是否可以认为生产
商在牛奶中掺了水？取 0.05.
解 按题意需检验假设
H0 : 0 0.545 (即设牛奶未掺水)
一个正态总体均值和方差假设检验
当
2 0
2 (n
1)时， 则拒绝H0
；
当
2 0
2 (n
1)时，则接受H0
.
19
例5 某种导线要求其电阻的标准差不得超0.005欧. 今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007欧. 问在＝0.05条件下,能认为这批导线的方差显著的 偏大吗？
解 提出原假设H0: 2 (0.005)2 ，H1: 2>(0.005)2.
解 提出原假设H0: 0=225 ， H1: >225.
选择统计量
T
X S
n
如果假设H0成立，取＝0.05，得t0.05(15)=1.7531,
11
那么
P{
X S
225
1.7531}
0.05
16
根据样本值计算得x =241.5, s=98.7259.所以
x 225 t0 s
16
241.5 225 98.7259
分布：T~t(n-1)
(4) 选择检验水平 ,查t-分布表,得临界值t/2(n-1)，
即
P{|
X S
0
|
t (n 1)} 2
n
2
(5) 根据样本值计算统计量的观察值t0,给出拒绝 或接受H0的判断：当| t0 | t/2(n-1)时,则拒绝H0 ； 当| t0 |< t/2(n-1)时,则接受H0 。
7-23正态总体参数的假设检验
(4)根据样本信息计算T观测值,决定是否接受H0 .
例2 从1975年的新生儿(女)中随机抽取20个,测得其平均体重 为3160g,样本标准差为300g.而根据过去统计资料,新生儿(女) 平均体重为3140g.问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著
差异(假定新生儿体重服从正态分布,给定 =0.01)?
且 T X t(n 1)
S/ n
H1为真(即拒绝H0 )时,样本均值的观测值x往往偏大.
拒绝域形式: x k 或者t x 0 c
s/ n
(3)选定 ,根据P(拒绝H0 | H0为真) ,确定拒绝域.
P(拒绝H0 | H0为真)
P0 (T
c)
P
0
(
X S
/
0
n
c)
X
P0 ( S /
2 0
k1
或
(n 1)s2
2 0
k2
(3)选定 ,根据P(拒绝H0 | H0为真) ,确定拒绝域.
P(拒绝H0
|
H0为真)
(n 1)S2
P{(
2 0
k1 )
(n 1)S2
(
2 0
k2 )}
取
(n 1)S2
P{
2 0
k1)} 2 ,
(n 1)S2
P{
2 0
k2} 2
概率论与数理统计(文科)吴传生8.2节
现
x 0.92 0.94
故接受原假设, 即不能否定厂方断言.
解二
H0 : 0.8 ；
H1 : < 0.8
ch8-7
选用统计量:
X T ~ T (15) S / 16
查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域 x 0.8 0.32 1.753 x 0.8 1.753 0.66 s/ n 4 现 x 0.92 0.66 故接受原假设, 即否定厂方断言.
§8.2
正态总体的参数检验
ch8-1
一个正态总体
（1）关于 的检验
拒绝域的推导 给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn ) 设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验： H0 : 0 ； H 1 : 0 构造统计量
X 0 U ~ N (0,1) n
P(拒绝HH H0H 为真 0|0 0 )
ch8-15
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym )
样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
ch8-24
S S 拒绝域为: 0.42 2.59 或 S S
8.2正态总体均值的假设检验
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时 ）？
解： 按题意需检验
H
0
: 0 2 2 5, H 1 : 2 2 5 .
取 0.05 。由表8.1知检验问题的拒绝域为
查表可知 t 0.05 (13) 2.160,
x y 0.265 2.160, 所以接受 H 0 , t 1 1 sw 8 7
即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.
三、基于成对数据的检验( t 检验 )
有时为了比较两种产品, 或两种仪器, 两种方法等的 差异, 我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对 的观察值. 然后分析观察数据作出推断. 这种方法常称为 逐对比较法. 例6 有两台光谱仪Ix , Iy , 用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了 9 件试块(它们 的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台 机器对每一试块测量一次, 得到 9 对观察值如下:
又设 X ,Y 分别是总体的样本均值 , S1 , S2 是样本方 差 , 1 , 2 , 2 均为未知 ,
2
2
求检验问题 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 ( 为已知常数)的拒绝域.
8.2 正态总体均值的检验—概率论与数理统计_王松桂、程维虎等_科学出版社
例2
某厂生产一种工业用绳,其质量指标是 绳子所承受的最大拉力.假定该指标服从正态 分布. 原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 μ 0 =15公斤.现在采用了一种新的原材料,厂 方称这种原材料提高了绳子的质量,也就是说 绳子所承受的最大拉力μ 比15公斤大了. 为了检验该厂的结论是否真实,从其新产 品中随机抽取50件,测得它们承受的最大拉力 的平均值为15.8公斤,样本标准差S=0.5公斤. 取显著性水平 =0.01.
H0 :μ = μ 0 H0 :μ =μ 0 H0 :μ ≤μ 0
H1 :μ ≠ μ H1 :μ >μ 0 H1 :μ >μ 0
0
通常是方差2未知的情况
n 1 n 1 2 2 记d : d i S d : ( d d ) i n i 1 n 1 i 1
d 0 我们用统计量 做这些检验 Sd / n
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H 0 :μ = μ
0
H1 :μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:
例 1 (用例8.1.1数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
8.2正态总体均值和方差的假设检验
定显著性水平α，设 X1， ，X n1是来自正态
总体
N
(u1，
2 1
)
的样本，Y1，
，Yn2
是来自正态
总体
N
(u2，
2 2
)，的样本，且设两样本独立，
分别记它们的样本均值为 x, y ，样本方差
为 s12 , s22。其中1, 2 , 2 均为未知。现在来 求检验问题：
H0：1 2 , H1 : 1 2
X ~ N( 要,求2 ) .某2 天0开.09工后，随机
抽取30件,算得样本方差为 s2 0.1，344检验这天加工的零件是否符 合要求? (取显著性水平 ） 0.05 解 根拒据题目要求，本题检验假设为
H0 : 2 =0.09 ；H1 : 2 0.09 .
则取统计量为
2
(n 1)S 2
（1）需检验假设
H
0：
2 1
=
22；H1：12
2 2
计算可知
n1 7 x 0.1403 s12 0.0025632
n2 6 y 0.1387 s22 0.0028052
因而
F
s12 s22
0.835
对给定的α＝0.05，查表得
F0.025 (6,5) 6.98, F0.025 (5, 6) 5.99
2 1
2 2
F
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四.单边检验及其拒绝域
双边假设检验
H 0 : 0
单边检验
H1 : 0
双边备择假设
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
右边检验
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
左边检验
H 0 : 0 （＝0）H1 : 0
由
X 0 统计量 : T S n P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
例1
已知某炼铁厂的铁水含碳量 X 在正常情况下
X ~ N (4.55, 0.112 ) 某日测得5炉铁水含碳量如下:
4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标准差不变, 该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05
0。
之外的两侧，
此检验称为双侧检验。
2、未知σ 2，检验
H 0 : 0
H1 : 0
（H1可以不写）
2
1 n 未知σ 2，可用样本方差 S 2 ( X k X ) 2 代替σ n 1 k 1 检验步骤
第一步：
提出原假设和备择假设
第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布 X 0 T ~ t (n 1) S n 第三步： 确定H0的否定域。 对给定的显著性水平 , 查表确定临界值 t 2 (n 1) 使
织物比过去的织物强力是否有提高?
解: 提出假设:
取统计量
否定域为 W :
H 0 : 21 X 21 Z ~ N (0,1) n
H1 : 21
Z z0.01 2.33
并由样本值计算得统计量
故拒绝原假设H0 .
代入 1.2 n 30
Z 的实测值
认为织物强力有所提高
2
已知，检验假设 的过程分为五个步骤：
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布
Z
X 0
n
~ N (0 , 1)
第三步： 对给定的显著性水平 查表确定临界值 k Z ,使
2
P{| Z | Z 2 }
得H0否定域 第四步：将样本值
x1 , x2 ,, xn代入算出统计量
即x 0 t ( n 1)
s n
请大家分析一下商场和生产厂家希望哪个原假设?
从以上的分析也可看出：否定原假设通常比较困难 通常所说,假设检验具有保护原假设的特点 确定原假设时要 体现倾向性,通常假定保持原来的状况不变 或者采用保守的观点
2 2 2 对于单边问题H 0： 2 （ 2 0）；H1： 2 0， 0
时间（min）为 42, 65, 75, 78,
问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差大于
80?(=0.05) , 熔化时间
X ~ N ( , 2 )
2
解
2
H 0： 80；H1： 80
2
2 2
这里
9S 80 时 ~χ 2 (9) 80
9S 2 2 2 σ0
由于S2集中了σ 2的信息，自然想用S2与σ 2进行比较 若 S 2 / 2 过大或过于接近0， 则说明σ 2 偏离σ 02较大。 因此有理由否定H0。 取统计量
P{ (n 1)} 1 2 2
2 2
P{ (n 1)} 2
2 2 2
这说明
或
[ 2 2 (n 1)]
某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为 10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N ( , 2 ) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高? 解: H0：≤10620; H1：>10620 X 0 H 0 真时 : T X 10631.4
S n
例2
拒绝域为
Tt0.05(9)=1.8331
这里
10631.4 10620 T0 0.45 1.8331 81 10
接受H0
例2（续） 某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为
10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽 取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 X ~ N ( , 2 ) ,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合 金线抗拉强度要高? 如假设: H0： 10620; H1：<10620 结论如何？ X 0 H 0 真时 : T X 10631.4
为了解释方便，假设 H 0 : 0 H1 : 0
另外 x
Z X 0
如要接受H1 : 0
/ n
应该比较小 否定域在左边, 形式为Z<?
z0 z
思考
例4
某织物强力指标X的均值
公斤.
改进
工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得
X ~ N ( , 2 ),且已知 公斤.假设强力指标服从正态分布 1.2 公斤，问在显著性水平 0.01 下，新生产
9 121.8 13.7 80
由 p{ χ (9)}
2 2
得水平为
2 2
=0.05
2 0.05
看作真值), 试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无 显著差别？爆破压力X服从正态分布 解: 提出假设 =0.05 H0：=549； H1：549
因为未知方差σ 2，故采用t检验法。
X 0 取统计量 T ~ t (n 1) S n
查表
t 2 (n 1) t0.025 (4) 2.776
· 左边检验问题 方差未知 H0： 0 ；H1： <0,
说明:有些教材上
用“H0： =0 ；H1： <0 ,”表示
X 0 统计量 : T S n
由
P{T t (n 1)}
得水平为的拒绝域为
T t (n 1)
· 右边检验问题 H0： ≤ 0 ；H1： ＞0 或 H0： =0 ；H1： ＞0,
S n
拒绝域为 T -t0.05(9)=-1.8331 10631.4 10620 0.45＞－1.8331 接受H0 这里 T0 81 10
同一个问题，因为不同的假设结论完全相反，怎么解释？ 这涉及到如何进行原假设的设计问题 原假设的设立带有一定的倾向性，可从下列问题来体会
有一生产厂家向超市供货，质量指标服从正态分布 N ( , 2 ), 越大质量越好，而0为合格界限
秒）数据为 1.3405 1.4059 1.3836 1.857 1.3804
1.3760 1.4053 1.3789 1.4021 1.3424
问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
2 0.0252. ( 0.05) 我们的任务是根据所得的样本值检验
我们先讨论一般的检验法。
提出假设
否定域分析, (即 o的条件)
Z0
x 0
X Z ~ N 0， （ 1） / n
n x Z n
0 ~N （ ， 1） / n
于是P{ Z 0 Z } P{ Z Z }
否定域为z0 z
关于单边假设检验否定域的另一种理解
由样本算得
543 549 这里 | T0 || | 1.77 t0.025 (4) 2.776 7.58 5 H0相容，接受H0。
即这批新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
二、关于σ 2假设检验
在显著性水平条件下检验假设 其中σ 0是已知常数， 例1 已知某种延期药静止燃烧时间T, T ~ N ( , 2 ) 今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位
1
[ 2 (n 1)]
2 2 2
是小概率事件。
因此， 在样本值
下计算
若
若
或
则否定H0。
则H0相容。
本题 1 (n 1)
2
(9) 2.7 2 2 2 9 0.023 2 7.6176 根据样本值算得 0 2 0.025
2 0.975
2 (n 1) 02.025 (9) 19.023
32.56,
29.66,
31.64,
30.00,
31.87,
31.03
问这批产品是否合格? （=0.01）
解
已知
未知.
第一步： 提出原假设和备择假设
第二步： 取一检验统计量，在H0 成立下求出它的分布
第三步： 对给定的显著性水平 临界值,使
查表确定
得否定域
第四步： 将样本值代入算出统计量 T0的实测值,
T0 2.997 4.0322
故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,
不足以否定H0 .
例5
对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验, 545 530 550 545
重复测量5次，测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545
过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可
x 0 Z0 n 第五步：判断
(x )
2
| Z 0 | Z | Z 0 | Z
2 2
则H0相容，接受H0
z
2
0
z x
2
则否定H0，接受H1 故称其为 由于取用的统计量服从 Z(U)分布， Z(U) 检验法。 选择假设H1 表示Z可能大于μ 0，也可能小于μ 如图，拒绝域是是区域
第八章
假设检验
一 、假设检验的基本概念
二、正态总体均值与方差 的假设检验
§8。2
正态总体均值与方差的假设检验
设总体 X ~ N ( , 2 ) X 1 , X 2 ,, X n 为X的样本。 我们对μ ,σ 2作显著性检验 1、单个正态总体均值的假设检验
X ~ N ( , 2 ), 已知
超市对于供应商的商品进行检验，检验员是假定这批次商品
0还是 0呢?
对于原假设 : 0
即x 0 t ( n 1) s n
否定域为T=
x-0 s/ n
t (n 1)
对于原假设 : 0
否定域为T=
x-0 s/ n
t ( n 1)
即“
得 H0否定域
”是一个小概率事件 .
或 代入算出统计量 则H0相容，接受H0 则否定H0，接受H1
第四步： 将样本值 第五步：判断
故称其为t 检验法。 由于取用的统计量服从t分布，
例3
某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5
毫米. 实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ， 2 2 现从该厂生产的一批产品中 X ~ N ( , ), 未知， 抽取6件, 得尺寸数据如下:
可解得拒绝域： 2 12 ( n 1)；
2 2 2 而对单边问题 H 0： 2 （ 2 0）；H1： 2 0， 0 2 可解得拒绝域： 2 ( n 1)。
（n 1)s 2＝ 2
2
0
例5
取10根测得其熔化 电工器材厂生产一批保险丝， 59, 57, 68, 54, 55, 71.
显然
2.7 02 19.023
则H0相容，接受H0 。
Байду номын сангаас
可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为
例2
某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩:
试分析该次考试成绩标准差是否为
已知该次考试成绩
解: 提出假设
（=0.05）
取统计量 查表 根据样本值算得
显然
则H0相容，故接受H0 。
表明考试成绩标准差与12无显著差异。
解: H 0 : 4.55 （ 4.55） X 4.55 统计量 Z 0.11 5
H1 : 4.55
由 p{Z z } α
得水平为的拒绝域为
Z z 1.645
这里
4.364 4.55 Z0 3.78 1.645 拒绝H0 0.11 5