第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示
uuur 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，
uuur
uur
uuur
uuur
BC ＝b，CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； uuuur
(3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
返回
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
返回
(2)设
uuur OA
＝xi＋yj，则向量
uuur OA
的坐标(x，y)就是终点A
的坐
标，即若
uuur OA
＝(x，y)，则A点坐标为
(x，y)
，反之亦成
立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ．
返回
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2011·北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量
uuur a＝(1,2)，若 AB∥a，则实数 y 的值为
()
A．5
B．6
C．7
D．8
uuur
uuur
解析：因为 AB＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB∥a，
平面向量的基本定理及其坐标表示
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所以有xy11－＋21＝＝21，和－2－1－y2＝x22＝1. 解得xy11＝＝40，和xy22＝＝0－2. 所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)， 从而C→D＝(－2，－4)．
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[规律总结] 向量的起、终点坐标、向量坐标可“知 二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通 过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本 定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认 识．
第四章 平面向量
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1
第2课时 平面向量的基本定理及其坐标表示
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2
考纲传真： 1. 了解平面向量的基本定理及其意义． 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
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请注意！ 平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加 法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量 数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也 是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和 数形结合的思想方法．
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思考：4. [2012·黄冈]在平行四边形ABCD
中，E、F分别是BC、CD的中点，DE
交AF于H，记 A→B 、 B→C 分别为a、b，
则A→H＝( )
A. 25a－45b
B. 25a＋45b
C. －25a＋45b
D. －25a－45b
答案：B
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解析：A→F＝b＋12a，D→E＝a－12b，设D→H＝λD→E，则 D→H＝λa－12λb，∴A→H＝A→D＋D→H＝λa＋(1－12λ)b，
第四章第2讲平面向量基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示,[学生用书P 80])1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 12叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21． (2)①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [做一做]1．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2，4) C ．(6，10) D ．(－6，－10) 答案：A2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫1，83B.⎝⎛⎭⎫－133，83C.⎝⎛⎭⎫133，43D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 答案：D1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． [做一做]3．已知e 1，e 2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ＝e 1＋e 2B ．a ＝3e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋e 2D ．a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1－4e 2 答案：C4．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0答案：C,[学生用书P 80～P 81])考点一__平面向量基本定理及其应用__________如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .[规律方法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1.设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13考点二__平面向量的坐标运算________________已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM→＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点， ∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M (0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N (9，2)．∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．2.已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．解析：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． 答案：(4，7)考点三__平面向量共线的坐标表示(高频考点)____平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点共线问题．(1)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2(2)已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．[解析] (1)a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ）12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x >0)．(2)法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以P 点的坐标为(3，3)． [答案] (1)A (2)(3，3)[规律方法] (1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．3.(1)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 (2)(2015·河北唐山模拟)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．(3)(2014·高考陕西卷)设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.(2)∵b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反， ∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)．(3)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ.因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：(1)C (2)(－4，－2) (3)12,[学生用书P 82])方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[解] 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12ysin α＝32y；所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y取得最大值2.[名师点评] 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．已知|a |＝|b |＝2，a ⊥b ，若向量c 满足|c －a －b |＝2，求|c |的取值范围．解：因为a ⊥b ，不妨令a ＝(0，2)，b ＝(2，0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝2，得(x －2)2＋(y －2)2＝4，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时到原点的距离最远， 而PO ＝OA －2＝22－2，P ′O ＝OA ＋2＝22＋2，所以22－2≤|c |≤22＋2.1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A.BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2.(2015·宁夏质检)如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B.AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，而DA →与BC →共线，OD →与OB →共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3) 解析：选D.∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)， 故向量c 可以是(－1，3)．4．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A.AB →＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则|AB →|＝32＋（－4）2＝5.与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45.5. (2015·长春模拟)设向量OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP →|∶|PB →|＝2，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 2 解析：选C.由题意知AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB→－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2. 6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－547．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC →＝________．解析：AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)． PC →＝P A →＋AC →＝(－2，7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6，21)． 答案：(－6，21) 8．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1，1)＋m (1，2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2，3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m ，1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)}9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →∥BC →.∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，∴m ＝32.10.(2015·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则， 得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2。
平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1），b＝（x2,y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1），｜a|＝错误!。
(2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标。
②设A（x1，y1）,B（x2,y2），则错误!＝(x2－x1,y2－y1）,|错误!｜＝错误!。
3。
平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1），b＝(x2,y2）,其中b≠0。
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1。
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（×）（2)在△ABC中，向量错误!，错误!的夹角为∠ABC.（×）(3）若a，b不共线,且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2，μ1＝μ2。
(√)(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（√)（5)若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.（×) （6）已知向量a＝（1－sinθ，1），b＝(错误!，1＋sinθ），若a∥b，则θ等于45°。
(×) 2。
已知点A（6,2)，B（1，14），则与错误!共线的单位向量为________.答案(－错误!，错误!)或(错误!，－错误!）解析因为点A（6，2）,B（1，14）,所以错误!＝(－5,12），｜错误!｜＝13,与错误!共线的单位向量为±错误!＝±错误!（－5,12）＝±（－错误!，错误!）.3。
第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
知识点二
x1 y1 能表示成 ＝ ，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2 x2 y2 －x2y1＝0.
知识点三
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
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知识点三
[自测练习]
知识点一
解析
→ AB＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)，
知识点一
知识点二
→ (0，－1) BD＝________.
知识点三
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知识点三
平面向量共线的坐标表示
知识点一
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 易误提醒 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不
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知识点一
平面向量基本定理
知识点一 知识点二
如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这
有且只有 一对实数 λ1， 一平面内的任意向量 a， λ2， 使 a＝λ1e1
＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的 一组 基底 ．
→ → → (3)设 O 为坐标原点， ∵CM＝OM－OC＝3c， → → ∴ OM ＝ 3c ＋ OC ＝ (3,24) ＋ ( － 3 ， － 4) ＝ (0,20)． → → → ∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， → → ∴ ON ＝－ 2b ＋ OC ＝ (12,6) ＋ ( － 3 ，－ 4) ＝ (9,2)， → ∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．
高二数学课件：第四章 第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
0°≤θ ≤180° ②范围：向量a与b的夹角的范围是_____________.
同向 ③当θ ＝0°时,a与b_____. 反向 当θ ＝180°时,a与b_____. 垂直 当θ =90°时,a与b_____.
【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=_______. (2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λ a+b与向量c=(2,1)共线，则 λ =_________.
【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= . (2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ), 又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1.
两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标
x1 x 2 分别相等，即 利用向量相等可列出方程组求其中的未 ， y y 2 1
知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.
uuu r uuu r 【例2】(1)(2012·广东高考)若向量 BA 2,3 ,CA 4,7 ,
∴ a d c, 代入②
方法二: 设 AB a,AD b, 因为M，N分别为CD，BC的中点，
1 1 所以 BN b， DM a， 2 2 2 1 a (2d c) c b a 3 2 ⇒ 因而 b 2 (2c d ) d a 1 b 3 2 4 4 2 2 即 AB d c, AD c d. 3 3 3 3
p q 3 p 1 ∴ , ∴ . 2p q 2 q 4 1 答案：(1)( 3 ， (2)(5，4) ) 2 2
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
平面向量基本定理及坐标表示
习题1：平面向量的基本定理应用
要点一
题目
要点二
解答
已知平面向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, -1)$ ，求向量$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$的坐标表示 。
根据平面向量的基本定理，向量加法和数乘具有分配 律。因此，$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} = (2, 3) + 2(1, -1) = (2, 3) + (2, -2) = (4, 1)$。
重要性
平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基 础，它建立了向量与实数之间的桥梁，使得 向量的运算和研究更加便捷。同时，该定理 也为解决平面几何问题提供了新的思路和方 法。
03
CATALOGUE
平面向量基本定理与坐标表示的关系
平面向量基本定理与坐标表示的关系
定义
平面向量基本定理是指任何一个 平面向量都可以用两个不共线的 向量线性表示。
平面向量的运算
向= (x_1, y_1)$， $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则它们的和 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。几何意义为平行四边形 法则或三角形法则。
向量的数乘
向量运算的简化
平面向量基本定理为向量运算提供了方便。利用基底向量的线性组合，可以简 化向量的加、减、数乘和数量积等运算。
02
CATALOGUE
平面向量的坐标表示
平面向量的定义与性质
定义
平面向量是在二维平面上的有向线段，具有大小和方向两个属性。
性质
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝|(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2|. (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.共线向量的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 2．若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是( ) A ．(3，－4) B ．(－3,4) C ．(3,4) D ．(－3，－4) 3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( )A ．5B ．10 C.325D ．154．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(1,3)，AC →＝(2,5)，则AD →＝________，BD →＝________. 5．(2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则 λμ＝________.考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用(1)(2014·长春模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE→＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(2)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．规律方法1 1.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．对点训练 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．考向二 [075] 平面向量的坐标运算已知O (0,0)，A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．规律方法2 1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用.2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.对点训练 如图4－2－3，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求第四个顶点D 的坐标．考向三 [076] 平面向量共线的坐标表示(1)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．(2)(2014·青岛期中)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A ．－13 B.13 C ．－79 D.79规律方法3 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．对点训练 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．思想方法之十二 待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决．———— [1个示范例] ———— [1个对点练] ————如图4－2－4所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b ，利用a 和b 表示向量OM →.如图4－2－5所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.第二节 平面向量基本定理及坐标表示1． A 2． D 3． B 4． (1,2) (0，－1) 5． B 6． 4【尝试解答】 (1)(1)43 (2)23a ＋13 对点训练【答案】 12(1) (6，－42)．(2) ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3) (9，－18)．对点训练 【解】 设顶点D (x ，y )．若平行四边形四个顶点的顺序为ABCD ， 则AB →＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，DC →＝(1－x ，－2－y )．由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝1－x ，－4＝－2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.故第四个顶点D 的坐标为(2,2)；若平行四边形四个顶点的顺序为ACBD ，则AC →＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，DB →＝(3－x ，－1－y )．由AC →＝DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝3－x ，－5＝－1－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故第四个顶点D 的坐标为(6,4)； 若平行四边形四个顶点的顺序为ABDC ，则AB →＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD →＝(x －1，y ＋2)．由AB →＝CD →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝x －1，－4＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－6.故第四个顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，第四个顶点D 的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)．【尝试解答】(1)(－4，－2) (2)D 对点训练 (1)B (2)m ≠12【解】 设OM →＝ma ＋nb ，则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝12b －a .因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数λ，使AM →＝λAD →，即(m －1)a ＋nb ＝－λa ＋λ2b .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－λ，n ＝λ2，消去λ，得m ＋2n ＝1，①同理CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ，因为C 、M 、B 三点共线，所以存在实数t ，使CM →＝tCB →，即⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ＝t ⎝⎛⎭⎫b －14a .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t ，n ＝t ，消去t ，得4m ＋n ＝1，② 联立①②，得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .练习【解】 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0，所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 1．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝|(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2|. (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． 2．向量平行的坐标表示(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.共线向量的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③【解析】 ②中，e 2＝2e 1，e 1与e 2共线；③中e 1＝4e 2，e 1与e 2共线，故选A. 【答案】 A2．若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是( ) A ．(3，－4) B ．(－3,4) C ．(3,4) D ．(－3，－4) 【解析】 2b －a ＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)． 【答案】 D3．已知a ＝(4,5)，b ＝(8，y )且a ∥b ，则y 等于( )A ．5B ．10 C.325 D ．15【解析】 ∵a ∥b ，∴4y －40＝0，∴y ＝10. 【答案】 B4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(1,3)，AC →＝(2,5)，则AD →＝________，BD →＝________. 【解析】 AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD →＝AD →－AB →＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)． 【答案】 (1,2) (0，－1)5．(2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 显然命题①②是正确的．对于③，以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个 不一定能满足，③是错的，对于命题④，若λ＝μ＝1，|a |＞2时，与 |a |＝|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2矛盾，则④不正确．【答案】 B6．(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则 λμ＝________.【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 4考向一 [074] 平面向量基本定理及其应用(1)(2014·长春模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE→＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.(2)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．【思路点拨】 (1)以AD →，AB →为基底分别表示AC →，AE →，AF →，根据平面向量基本定理列方程组求解． (2)AB →＝2DC →―→DO →＝12OB →―→借助三角形法则表示AO →.【尝试解答】 (1)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.(2)由AB →＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|，从而|BO →|＝2|OD →|.∴BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，∴AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .【答案】 (1)43 (2)23a ＋13规律方法1 1.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．对点训练 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】 由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】 12考向二 [075] 平面向量的坐标运算已知O (0,0)，A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【思路点拨】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解． 【尝试解答】 a ＝AB →＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b ＝BC →＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c ＝CA →＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a ＝mb ＋nc ，得(5，－5)＝(－6m ，－3m )＋(n,8n )＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)． 又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)． ∴MN →＝(9，－18)．规律方法2 1.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用.2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.对点训练 如图4－2－3，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A (4,3)，B (3，－1)，C (1，－2)，求第四个顶点D 的坐标． 【解】 设顶点D (x ，y )．若平行四边形四个顶点的顺序为ABCD ， 则AB →＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，DC →＝(1－x ，－2－y )．由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝1－x ，－4＝－2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.故第四个顶点D 的坐标为(2,2)；若平行四边形四个顶点的顺序为ACBD ，则AC →＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)， DB →＝(3－x ，－1－y )．由AC →＝DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝3－x ，－5＝－1－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故第四个顶点D 的坐标为(6,4)；若平行四边形四个顶点的顺序为ABDC ，则AB →＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，CD →＝(x －1，y ＋2)．由AB →＝CD →，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝x －1，－4＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－6.故第四个顶点D 的坐标为(0，－6)．综上，第四个顶点D 的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)．考向三 [076] 平面向量共线的坐标表示(1)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．(2)(2014·青岛期中)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A ．－13 B.13 C ．－79 D.79【思路点拨】 (1)根据a 与b 的关系，设出a 的坐标，再根据|a |＝25求解； (2)由向量平行关系的坐标表示列出等式，求出sin α后，再利用二倍角公式进行求解． 【尝试解答】 (1)∵a 与b 的方向相反且b ＝(2,1)，∴设a ＝λb ＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，即λ2＝4，又λ＜0，∴λ＝－2，因此a ＝(－4，－2)． (2)∵a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，又由a ∥b 可知13＝tan αcos α，即sin α＝13， ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79.【答案】 (1)(－4，－2) (2)D规律方法3 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．对点训练 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．【解析】 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，∴a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由于(a ＋λb )∥c ，且c ＝(3,4)，∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3,1)，BC →＝(－m －1，－m )．由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是m ≠12.【答案】 (1)B (2)m ≠12思想方法之十二 待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决．———— [1个示范例] ———— [1个对点练] ————如图4－2－4所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b ，利用a 和b 表示向量OM →.【解】 设OM →＝ma ＋nb ，则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝12b －a .因为A 、M 、D 三点共线，所以存在实数λ，使AM →＝λAD →，即(m －1)a ＋nb ＝－λa ＋λ2b .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－λ，n ＝λ2，消去λ，得m ＋2n ＝1，① 同理CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ，因为C 、M 、B 三点共线，所以存在实数t ，使CM →＝tCB →，即⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ＝t ⎝⎛⎭⎫b －14a .所以⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t ，n ＝t ，消去t ，得4m ＋n ＝1，②联立①②，得m ＝17，n ＝37，所以OM →＝17a ＋37b .如图4－2－5所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.【解】 因为AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，所以由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0， 所以AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又因为A ，N ，B 三点共线，C ，M ，N 三点共线，由平面向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， 所以λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.所以(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1. 所以CM →＝－NM →＝MN →，CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .11。
第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
A.1
B.2
C.3
D.4
5
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一轮 ·数学（文）
解析：对于①、②，由平面向量基本定理可知①正确，②错误；对于③，
满足条件的λ有无数多个，故③错误；对于④，因为 e1 与 e2 不共线，λe1
＋μe2＝0，查，难度较低.
2
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知识点一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个___不__共__线____向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a，_有__且__只__有____一对实数 λ1，λ2，使 a＝____λ_1_e1_＋__λ_2_e2___. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1
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命题分析预测 从近五年的高考情况来看，本节重
学科核心素养
点是平面向量基本定理的应用与坐 本节主要考查学生的直观想象与数
标计算，多以选择题、填空题形式 学运算核心素养.
3
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1.基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基 底. 2.基底给定，同一向量的分解形式唯一.
4
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高考数学 第四章第二节 平面向量基本定理及坐标表示课件 新A
所以OM ＝17a＋37b.
解： EM ＝OM －OE ＝ (17－p)a＋37b， EF ＝ OF －OE ＝－pa＋qb，
保持例题条件不变，在线段 AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 EF 过点 M，
设OE ＝p OA，OF ＝qOB.
求71p＋73q的值．
∵ EF 与 EM 共线， ∴17－－pp＝37q， ∴17q－pq＝－37p， 即71p＋73q＝1.
解：由例题可知 k＝－1163， ∴a＋kc＝(3,2)－1163(4,1) ＝(3,2)－(6143，1163) ＝(－2153，1103)2b－a ＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2) ∴a＋kc＝153(2b－a) 又∵153＞0 ∴a＋kc 与 2b－a 同向．
在问题(2)成立的前提下， a＋kc与2b－a是共线同 向还是反向？
OD＝－12 DB＝－12a＋12b.
考点二
平面向量的坐标运算
已知 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， (1)求 AD＋2BD－3 BC ； (2)设CM ＝3CA，CN ＝－2BC ，求 MN 及 M、N 点的坐标．
[自主解答] (1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3) ∴ AD＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，BC ＝(1,1) ∴ AD＋2 BD－3BC ＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1) ＝(－3,5)＋(－8,4)－(3,3) ＝(－14,6)．
所以有xy11－＋21＝＝21 和－2－1－y2＝x22＝1 . 解得xy11＝＝40 和xy22＝＝0－2 . 所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)， 从而CD＝(－2，－4)．
高三数学 第4章第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )(3)相等向量的坐标相同． ( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( )A ．5 B.13 C.17 D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A.12a ＋12bB.12a ＋13bC.14a ＋12bD.12a ＋14bD [AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12(AE →－AB →)＝12AB →＋12AE →＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b ，故选D.]4．(教材改编)已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.－4 [AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，t －4)，由AB →∥CD →得4(t －4)＝－32，解得t ＝－4.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．(1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]平面向量基本定理及其应用1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [当e 1与e 2不共线时，可表示a .当e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)时，(－1)×(－2)≠5×2，因此e 1与e 2不共线，故选B.]2．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13bA [由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13 (AC →－AB → )＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .故选A.]3．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [根据向量的减法和加法的三角形法则知a －b ＝e 1－3e 2，故选C.][规律方法] 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.平面向量的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 (2)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．(3)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC→|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．(1)D (2)－3 (3)3－1 [(1)由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43. (2)由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝9.m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. (3)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c ＞0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.][规律方法] 平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)． 平面向量共线的坐标表示【例2】 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎨⎧2＝λ3＝mλ， 解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →.∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32. [规律方法] 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(1)(·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为( )A.13 B ．－13 C.23 D ．－23(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)B (2)k ≠1 [(1)2a ＋b ＝(－1,2m ＋1)，由题意知－3(2m ＋1)＝－1，解得m ＝－13，故选B.(2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.]1．(·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)A [法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]2．(·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.]3．(·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 12 [由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.]。
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个正交基底{e1，e2}，e1，e2分别是与x轴和y轴同方向
的 单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
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在坐标平面xOy内，任作一向量 AB ＝a，由平面向量基 本定理知，存在唯一的有序实数对(a ，a )使得 a＝a1e1＋
1 2
a2e2，(a1，a2) 就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a ＝ (a1，a2)，显然，0＝ (0,0) ，e1＝(1,0)，e2＝ (0,1) ． (2)在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量 OA 所唯一确定．设A(x，y)，则 OA ＝xe1＋ ye2＝(x，y) ．
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第二 节 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 坐 标 表示
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
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[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
1 n ∴m＝ ，n＝－1.∴m＝－4. 4
答案：－4
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1．平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的 基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基 底．
(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，
并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是 不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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怎 么 考 1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的 应用是重点． 2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点
交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．
3.高考中常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.
(
)
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解析：②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②③中e1，e2共线， 不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底． 答案：A
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2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且 b∥c，则x的值为 ( )
A．4
C．2
B．－4
D．－2
解析：由2a＝(2,2)及2a＋b＝(4,3)得b＝(2,1)．由 b∥c得x＋4＝0得x＝－4. 答案： B
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[冲关锦囊] 1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结
合起来，从而使几何问题可转化为数量运算． 2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注 意方程(组)思想的应用． 注意：向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其
起点和终点的坐标都变了，但向量的坐标不变.
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[精析考题] [例3] (2011· 广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)． ( )
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3．(教材习题改编)已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与 AB 同向的
单位向量是
3 4 A.5，－5 4 3 C.－5，5 3 4 B.－5，5 4 3 ，－ D. 5 5
(
)
解析：∵A(4,1)，B(7，－3)， AB ＝(3，－4)， AB ＝3，－4. ∴与 AB 同向的单位向量为 5 | AB | 5
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二、平面向量的坐标表示
1．平面向量的正交分解: 如果基底的两个基向量e1，e2 互相垂直，则称这个基 底为 正交基底 ，在 正交基底 下分解向量，叫做正交 分
解．
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2．平面向量的坐标表示:
(1) 在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的
两个单位向量e1，e2.这时，就在坐标平面内建立了一
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2．共线向量充要条件的应用技巧
两个向量共线的充要条件在解题中应用非常广泛：
已知坐标，判定平行；已知平行，可求参数．但要 注意与共线向量定理结合应用，如果求与一个已知 向量共线的向量时，用后者更简单．
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[精析考题] [例1] (2012· 南京模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和
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一、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该 平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2， 使 a＝a1e1＋a2e2 . 其中，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向
量的一组 基底 ，记为 {e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量
a关于 基底{e1，e2} 的分解式．
解析：因为 AB ＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB ∥a，
用向量c、d表示为______．
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1 解析：∵ AB ＋ BN ＝ AB ＋ AD ＝d， AD ＋ DM ＝ 2 1 AD ＋ AB ＝c， 2
4 2 联立上面两式可解得 AB ＝ d－ c. 3 3
3 答案：－2
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4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB ＝a， BC ＝b， CA ＝c，且 CM ＝3c， CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
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2．向量坐标的求法： (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝ (x2－x1，y2－y1) ，即一 个向量的坐标等于 向量终点的坐标减去向量起点的坐标 ． 3．平面向量共线的坐标表示：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，其中b≠0，则a与b共线(即
1 2λ＋μ＝1， 于是得 λ＋1μ＝1， 2
4 [答案] 3
4 所以λ＋μ＝3.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 常德模拟)如图，平面内的两条相交直线 OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ(不包含边界)．设 OP ＝m OP1 ＋n OP2 ， 且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( A．m>0，n>0 C．m<0，n>0 )
答案： A
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4．在平行四边形ABCD中，若 AB ＝(1,3)， AC ＝(2,5)，则 AD ＝________， BD ＝________. 解析： AD ＝ BC ＝ AC － AB ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， BD ＝ AD － AB ＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．
3．(2012· 淮安模拟)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)， OC ＝a＋λb，
O为坐标原点，若点C在函数y＝sin 数λ的值为________．
π x的图象上，则实 12
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解析：由题意得 OC ＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，
故点C的坐标为(6,4＋2λ)， 6π 3 根据条件得4＋2λ＝sin12＝1，解得λ＝－2.
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解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
a∥b)⇔a＝ λb ⇔ a1b2－a2b1＝ 0 .
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1．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；
1 3 ③e1＝(2，－3)，e2＝2，－4，能作为表示它们所在平面内所有
向量基底的是 A．① C．②③ B．①③ D．①②③
若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝ 1 A.4 C．1 1 B.2 D．2
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[自主解答]
可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×
1 4－3×2＝0，∴λ＝ . 2
[答案]
B
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012· 北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量 a＝(1,2)，若 AB ∥a，则实数 y 的值为 ( ) A．5 C．7 B．6 D．8
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[自主解答]
AD ＝ BC ＝ AC － AB ＝(1,3)B ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
[答案] C
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
答案：(1,2)
(0，－1)
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5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD， M，N分别是CD，AB的中点，设 AB
n ＝a， AD ＝b.若 MN ＝ma＋nb，则m＝________.
1 1 1 解析： MN ＝ MD ＋ DA ＋ AN ＝－ a－b＋ a＝ a－b， 4 2 4
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(3)∵ CM ＝ OM － OC ＝3c， ∴ OM ＝3c＋ OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)． 又∵ CN ＝ ON － OC ＝－2b， ∴ ON ＝－2b＋ OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)． ∴N(9,2)．∴ MN ＝(9，－18)．
B．m>0，n<0 D．m<0，n<0
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解析：由题意及平面向量基本定理易得在 OP ＝m OP1 ＋n OP2