专题17 以极值为背景的解答题-2018年高考数学备考优等生百日冲刺(江苏专版)
2018年高考数学冲刺卷(2) (江苏版含答案)
SWhile End I I S S I While I S int Pr 12511+←+←<←←OCDBC 1AB 1A 1D 12018年高考数学冲刺卷（2）【江苏版含答案】考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M __________． 2. 已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．3. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 ．5. 甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为 ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．7. 如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12VV 的值为 ．8. 设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，80 90 100 110 120 130错误! 0.00.010.00.00.0DFCPAB则AM NM ⋅=．9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 .11. 已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 .12. 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．13. 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ． 14. 设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。
专题3.1 第01关-2018年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)(解析版)
新题原创强化训练第一关一、 填空题1． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ． 【答案】6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．2．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ． 【答案】 (,e)-∞-3．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．【答案】 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0，设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．4．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ．A BCMN【答案】 54-5．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】2【解析】设1a x y=+，19b y x =+，则10a b +=．因为ab =()1x y+⋅()1191091016y xy +=+++≥ （当且仅当19xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x +的最小值是2．6．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 【答案】 1009π【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾；若01q <<，由1a =n 充分大，则1n a <，矛盾，所以1q =，从而1n a a ==π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()过点12⎛⎝⎭，．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点F ．（1）求a b ，的值； （2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF1y -=． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP的方程为：2)y x +．令0x =，得7y =-E的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+．学科#网 直线BP 的方程为：0011y y x ++=，令0y =，得00xx =． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121x y ++00000022221x y x y ++++=⋅⋅()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 2． 设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式． 所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ② ()21233a a a a p ++=+． ③②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤ ⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =． 若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =．代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n n a a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列． 因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．3．已知函数()e (1)x f x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当10e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，11e 2b -=时，ab 取得最大值为12e ．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥． 学科&网。
专题19 以新定义数列为背景的解答题-2018年高考数学备考优等生百日冲刺(江苏专版)
专题19 以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解。
其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.类型一 以数列和项与通项关系定义新数列典例1 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”， 22a =，设312232222n n na a a a T =++++，证明： 3n T <．【答案】（1）12,*n n a n N -=∈．（2）见解析；（3）见解析．（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得： 11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得： 132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=- 所以132n n S a ++=-故有， 132n n n a a a +++=-，又n =1时， 132a a =-，故33a =，满足： 321a a a =+ 所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8, 故312232345123582222222222n n n nna a a a a T =++++=++++++所以，123451112352222222n n n nn a a T -+=+++++两式相减得：12234123411111211122222222222222n n n n n n nn nn a a a a a T --++-=+++++-=+++++-=2131442n n n a T -++-，显然21,02nn n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <．【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3）耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合.【举一反三】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”.（2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b n d b n d b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b p d b p d b b d =+-+-=-+，3331p p b b λ++=- ()3131b p d b p d b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213d b n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113d b n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313d b n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n d b b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列.类型二 以分段形式定义新数列典例2 已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由.【答案】（1）()23nn b =-- （2）()222234nn nS =--- （3）当n 为偶数时， 12n n n S b S +>> 都成立，（3）详见解析 【解析】（2）21221n n a a n +=--- ，所以21221n n a a n ++=-- ， 当n 为奇数时，可令*21,n k k N =-∈则()()211232221......n k k k S S a a a a a ---==+++++()()()()()223211113 (211222)4k k n k k+--+=+-++-+=-=-=-，当n 为偶数时，可令*2,n k k N =∈则()()21232221221......n k k k k k k S S a a a a a a S b ---==++++++=+()222234nn=---；（3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立， 因为()22121n S n +=-+ ， ()22223nn S n =--- ， 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->--- 即只要满足 ①：22n > ，和②：()()22321nn -+>+ ， 对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()22321n n -⋅+>+ ，不成立，当n 为偶数时，满足()22321nn ⋅+>+，即22123nn n +->令2213n nn n c +-=，因为()22222222321812160333n n n nn n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ，且当2n = 时， 22123nn n +->，所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时， 212n n n S b S +>>成立 . 【名师指点】分段函数在数列中应用，既考察各段数列特性，又考查两者综合性质.【举一反三】（1）若数列（2）若数列称数列的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1（2k=5,1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，②∵，即两个负项.数.，显然不存在.时，.时，1,3,1,3,5,7,9，…，-1,2,4,8，-16,32，…，6.类型三以分拆定义新数列典例3 记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=∙∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k k kr k S a a a -≤+++=+++=-<.因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C DC D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CC D =，U F DC C =则E φ≠，F φ≠，EF φ=.于是C E CDS S S =+，D F CDS S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222ll k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C CDD S S S +≥.【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.【举一反三】设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i . 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*， 则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G . （3）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n . 则pn n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<21.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}in k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何iim n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意n k n p ≤≤，pn k a a ≤，特别地，pn N a a ≤.对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0. 因此1)(111111+≤-+=--++++ii i i i n nnnna a a a a .所以p a a a a a a i ip npi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.【精选名校模拟】1．对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：对任意正整数()n n k >，21111kn k n k n n n k n k na a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=总成立，那么称{}n a 是“()Q k 数列”．（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“()2Q 数列”，并说明理由； （2）若{}n a 既是“()2Q 数列”，又是“()3Q 数列”，求证： {}n a 是等比数列． 【答案】（1）见解析；（2）见解析。
2018高考数学冲刺试卷(江苏卷4)(每题均有详细解答)
全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)4命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都．必须．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。
第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1. 设全集I 是实数集R ，M ＝｛x | x 2>4｝与N ＝｛x |2x －1≥1｝都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为 ▲ ． 2．复数534+i的共轭复数是 ▲ ． 3．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是 ▲ ．4．下面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是 ▲ ．5．在等比数列}{n a 中，543412,9,1,0a a a a a a a n +-=-=>则且＝ ▲ ．6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是 ▲ ．7．已知函数 ()sin cos f x x x =-，且02x π<<，则()f x '取得最大值时，x ＝ ▲ ．8．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =-≤≥≥，若向区域Ω内随机投一点P ， 则点P 落入区域A 的概率为 ▲ ． 9．若数}{n a （*N n ∈）是等差数列，则有数列na a ab nn +++=21（*N n ∈）也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n c （*N n ∈）是等比数列，则有：=n d ▲ （*N n ∈）也是等比数列．10．已知sin()4cos 2παα-=，则sin 2α等于 ▲ ． 11．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线焦点的圆，被直线l 分成弧长为2∶1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 ▲ ．12．已知△ABC 满足2···AB AB AC BA BC CACB =++u u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r ，则∠C 等于 ▲ ．13．直线m x y 23+=和圆222n y x =+相切，其中m 、*N n ∈，5||≤-n m ，试写出所有满足条件的有序实数对),(n m ： ▲ ．14．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，对于)()(21x f x f +的值有下列推断：①恒小于0 ；②恒大于0 ；③可能为0 ；④可正可负．则其中正确推断的序号为 ▲ ．第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分15分，第一小问满分9分，第二小问满分6分）已知向量(cos sin )x x x =+m ，(cos sin ,2cos )x x x =-n ．()f x =⋅m n （Ⅰ）求()f x 的解析式和它的单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在0x x =处取得最大值，且100<<x ，求0x 的值．16．（本题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AD AB ⊥，AD CD ⊥，⊥PA 底面ABCD ，22====AB CD AD PA ，M 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面PAD ；（Ⅱ）在△PAD 内找一点N ，使⊥MN 平面PBD ．17．（本题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．18．（本题满分15分，第一小问满分4分，第二小问满分11分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x ),g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。
2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.1以解析几何中定点、定值为背景的解答题附解析
2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.1以解析几何中定点、定值为背景的解答题附解析专题二 压轴解答题第一讲 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量".一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一 定值问题典例 1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，左焦点()2,0F -，直线:l y t =与椭圆交于,A B 两点， M 为椭圆上异于,A B 的点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若()1M -，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程； （3）设直线,MA MB 与y 轴分别交于,C D ，证明： OC OD ⋅为定值.【答案】（1）22184x y +=（2）2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（3）见解析 【解析】（2）设(),A s t ，则(),B s t -，且2228s t +=.① ∵以AB 为直径的圆P 过M 点 ∴MA MB ⊥ ∴0MA MB ⋅=，又∵()1MA s t =++，()1MB s t =-+∴()22610s t -++=.②由①②解得： 13t =，或1t =-（舍） ∴2709s =. 又∵圆P 的圆心为AB 的中点()0,t ，半径为2ABs =， ∴圆P 的标准方程为2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（3）设()00,M x y ，则MA l 的方程为()0000t y y y x x s x --=--，若k 不存在，显然不符合条件. 令0x =得000C tx sy y s x --=-；同理00D tx sy y s x --=--，∴OC OD⋅000000C D tx sy tx sy y y s x s x -+--=⋅=⋅---222222220000222200t x s y t x s y x x x s--==-- ()()()2222002282828282t y t y y t ---=--- 2202288422t y t y -==-为定值. 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，.F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）73 （3）53m = 【解析】（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,{ 1,43x y x y--=+=，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故()11713317BF FD --==-． （3）设00,)A x y （，则()00,B x y --，直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得()2220000156815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152Cc y y y x x x -=-=--， 同理， D 点坐标为0085(52x x ++， 03)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =．类型二 定点问题典例2 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，B 为椭圆的上顶点， 12BF F ∆A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()22222264163430340m k k mk m ∆=-+->+->，即()1222122834{ 43·.34mkx x km x x k +=-+-=+， 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122y yx x =---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k mmkkkk--+++=+++，∴2271640m mk k ++=． 解得： 12m k =-， 227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题，它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．【举一反三】已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1) 曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±;(2)见解析. 【解析】（Ⅱ）由已知直线l 过点()1,0T ， 设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221{99x my x y =++=，消去x 得 ()229280m y my ++-=,设()()1122,,,P x y Q x y ，则12212229{89m y y m y y m +=-+-=+，直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+- ， 22221SQ y y k x s my s==-+-， ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-.当3s =时， ()282991SP SP k k s -==--；当3s =-时， ()2811891SP SP k k s -==--. 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值. 类型三 定线问题典例3 已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆M 的方程；（2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2) 点G 在定直线1x =上 【解析】∴22221{ 424199a b a b-=+=， 解得224,3a b ==， 椭圆M 的方程为22143x y += （2）方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点(P ，85Q ⎛ ⎝⎭，则直线120A P l y -+=和直线2:20A Q l y +-=，联立20 20y y -+=+-=，解得G ⎛ ⎝⎭， 当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知：1,2G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 猜想点G 在直线1x =上，证明如下：由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠， 联立方程()224{34120y k x x y =-+-=，消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21223234k x x k +=+， ()21226412*34k x x k -⋅=+则直线()111:22A P y l y x x =++与直线()222:22A Q yl y x x =-- 联立两直线方程得()()12122222y yx x x x +=-+-（其中x 为G 点横坐标） 将1x =代入上述方程中可得1212322y y x x -=+-， 即()()()()122134242k x x k x x --=--+， 即证()1212410160x x x x -++= 将()*代入上式可得()2222464121032163434k kk k ⨯-⨯-+++()2222161632034034k k k k --++==+，此式成立∴点G 在定直线1x =上. 方法二由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠ 联立方程()224{34120y k x x y =-+-=， 消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()()112233,,,,,P x y Q x y G x y ，则21223234k x x k+=+， 2122641234k x x k -⋅=+12x x ∴-==由1A ，P ， G 三点共线，有： 311322y y x x =++ 由2A ， Q ， G 三点共线，有：323222y y x x =-- 上两式相比得()()()()()()212133121224222242y x k x x x x y x k x x +-++==---- ()()()()12122112121238338x x x x x x x x x x x x -++--==--++-+，解得31x =∴点G 在定直线1x =上．【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【举一反三】如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】从而1DF =112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2DF =所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=【精选名校模拟】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ， B （A 在x 轴上方），且AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）. （1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q . ①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.【答案】（1）22163x y += (2) ①12-②【解析】(2)设平行AB 的直线的方程为y x m =+，且0m ≠，① 联立22{ 163y x mx y =++=，得到2234260x mx m ++-=， 所以12223Q x x m x +==-， 3Q Q my x m =+=； 故，直线OQ 的斜率为13=223Q OQ Q m y k m x ==--（定值）②由题意可知1,:,:2A AB y x OQ y x ==-，联立方程组221,2{1,63y x x y =-+=得()()2,1,2,1,C D --设()00,P x y ，先考虑直线斜率都存在的情形：直线:AP y x =， 联立方程组：{12y x y x==-得x y y x E ⎛⎫--,直线()001:122y PC y x x ++=--, 联立方程组： ()001122{y y x x y x++=--=得0000000022,33x y x y F y x y x ⎛⎫++ ⎪+-+-⎝⎭,则000023x y AF y x +==+-CE ==，所以AF CE ⋅==当直线斜率不存在时结果仍然成立.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN ⋅为定值．【答案】（1）k =2）见解析。
2018高考数学冲刺试卷(江苏卷10)(每题均有详细解答)
全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)10命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须做．．．．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。
第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合,,A B A B 都是非空集合，则“()x A B ∈ ”是“x A ∈且x B ∈”的 ▲ 条件（在充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要中选择一个填空）．2．已知函数()2(1)f x x k x k =+--的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是 ▲ ．3．定义一种运用如下：11122122x y x y x y x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则复数1i z i i ⎤-=⎥⎥⎦（i 是虚数单位）的共轭复数是 ▲ ．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面BC 1D 1所成角 的正切值为 ▲ ．5．直线0Ax By C ++=与圆224x y +=相交于两点,M N ，若222C A B =+， 则OM ·（O 为坐标原点）等于 ▲ ． 6．若函数()sin()(,0)44y f x y x P ππ==+的图象和的图象关于点对称，()f x 则的表达式是 ▲ ．7．已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(l g )(1)g x g >，则x 的取值范围是 ▲ ．8．若,,a b c R +∈，且24a b c ++=，则()t a a b c bc =+++的最大值是 ▲ ．9．已知32sin cos 44=-αα，)2,0(πα∈，则cos(2)3πα+= ▲ ． 10. 已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是 ▲ ．11. 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，DC BAA 1BCD 第4题图作品上交时间为5月1日至30日． 评委会把同学们上 交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图如图．已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频率为12，则本次活动共有 ▲ 件作品参加评比．12. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为６，则z 的最小值为 ▲ ．13． 设()f x 是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且'()22f x x =+，()f x = ▲ ．14. 已知命题：椭圆192522=+y x 与双曲线151122=-y x 的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例： ▲ ．第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知甲、乙两人分别位于图中的M 、N 两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东南西北四个方向的其中一个方向行走一格．已知甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是13，向北行走的概率是14．甲、乙分别按某个方向行走的事件记为A 、B ，记事件A 、B 同时发生的概率为()P AB ，且()P AB 满足如下公式：()()()P AB P A P B =⨯． （Ⅰ）分别求出甲、乙二人向南行走的概率； （Ⅱ）试问甲、乙二人至少经过几分钟相遇？最短时间内相遇的概率是多少？E NM F东北西南第15题图16．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中， BD 是它的一条对角线，且)(R ∈=λλ，2==，CB CD -=．（Ⅰ）若△BCD 是直角三形，求λ的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求BA CB ⋅．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45，底面ABCD 为直角梯形，190,2ABC BAD PA BC AD ∠=∠===． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）在棱PD 是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？ 若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．BACD第16题图B ADCP第17题图18．（本小题满分16分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足：21056,n n n S a a =++且1315,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）证明数列{}n a 是等差数列，并求出其通项n a ； （Ⅱ）设12n n n b a a +=⋅，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m S <对所有的*n N ∈都成立的实数m的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，它的离心率为33，直线2:+=x y l 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求与椭圆1C有共同的准线，并且以0x =为渐近线的双曲线2C 的方程；（Ⅲ）设点P 是双曲线2C 右支上一点,12,F F 分别是双曲线2C 左、右焦点，证明12PF F ∆的内心（内 切圆圆心）I 到y 轴的距离是一个定值．20．（本小题满分16分）设函数()2(,)x af x a b R b x +=∈-在(上单调递增，在上单调递减．（Ⅰ）求,a b 之间的关系式；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求()f x 的解析式；（Ⅲ）当1b <-时，是否存在实数m ，使得22'2()()()F x b x f x m x =-⋅-在(,0)-∞上为单调函数？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．第Ⅲ卷（附加题 共40分）本大题6小题，共40分，其中第一、第二小题每小题12分为必做题；第三、第四、第五、第六小题中选做两小题，多做无效，每小题8分。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。
要特别注意含参的讨论。
例3、已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；例7、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．二、达标训练1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x 3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．2、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ＜1，x 3－9x 2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为________．4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是 ．5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．6、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．7、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.专题17 三次函数的图像与性质三、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根，亦即方程（Ⅰ）20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和（Ⅱ）3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根.首先（Ⅰ）中20x ax -=，即(2)0a x -=，若2a =，则2x ≥都是方程20x ax -=的根，不符合题意，所以2a ≠，因此（Ⅰ）中由20x ax -=解得0x =，下面分情况讨论（1）若0x =是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a ≥，即0a ≤，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根，因为0x ≠，由3260x x ax --=，得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根，首先60a +>，其次解得的负根需满足0a <≤，从而解得302a -<≤， （2）若0x =不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a <，即0a >，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即30260a x a x x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根，由3260x x ax --=，得0x a =<适合，另外226x a=+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根，首先60a +>，解得的正根需满足a ≥，从而解得02a <≤，但前面已经指出2a ≠，故02a <<，综合（1）、（2），得实数a 的取值范围为3(,2)2-.例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质，然后根据f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x 的值，借助于函数f (x )的图像来对m 的取值范围进行确定．当x ≤0时，f (x )＝12x －x 3，所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0，则x ＝－2(正值舍去)，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增，故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时，f (x )＝－2x 单调递减，f (0)＝0，f (8)＝－16，因此，根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。
2018高考数学冲刺试卷(江苏卷9)(每题均有详细解答)
全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)9命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟。
第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1、已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x,x ∈A}，则集合A ∩B= ▲ ．2、（07山东15）当)2,1(∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 3、(07浙江3)直线x －2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ▲ ．4、已知三棱锥ABC S -中，,,,,60,9000c SC b SB a SA BSC ASC ASB ====∠=∠=∠则三棱锥的体积为 ▲ ．5、函数11)(2-+-=x x a x f 为奇函数的充分必要条件是 ▲ ．6、在△ABC 中，222,cot 1004(cot cot )a b dc C A B +==+且，则常数d 的值为 ▲ ．7、等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，2008200612008,220082006S S a =--=，则S 2008= ▲ ． 8、如果44(1sin )sin (1cos )cos ,(0,2)θθθθθπ+>+∈且，那么角θ的取值范围是 ▲ ． 9、用反证法证明若x 2+5x+6=0，则x=－2或x=－3时应假设 ▲ ．10、(07全国II.3改编)设复数z 满足12ii z+=，则z= ▲ ． 11、(07湖北13)已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为221+=x y ，则f(1)+f ′(1)= ▲ ． 12、已知1133(3)(12)x x ---<+，则x 的取值范围是 ▲ ．13、设函数2()32x f x x x =++，点A 0表示坐标原点，点A n 的坐标为*(,())()n f n n N ∈，K n 表示直线A 0A n 的斜率，设12n n S k k k =+++ ，则S n = ▲ ． 14、对于方程：421x y +=，有如下几种说法：①该曲线关于x 轴对称； ②该曲线关于y 轴对称；③该曲线关于原点对称； ④该曲线是一个封闭图形且面积大于π。
2018年江苏高考数学二轮复习：专项限时集训7函数零点、单调性、极值等综合问题有答案
专项限时集训(七)函数零点、单调性、极值等综合问题(对应学生用书第125页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R .(1)当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点分别是x 1和x 2(x 1＜x 2)，求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln 2.【导学号：56394110】[解] (1)因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ， 从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－2a ＋1x ＋1x＝2ax －1x －1x，x ＞0.2分当a ≤0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1， 所以f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0,1)和区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，f (x )在区间(0,1)和区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减；当a ＝12时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；当a ＞12时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减.(2)法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x (x ＞0)，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x，由题意知x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12.记g (x )＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－b 2＜0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，x 2∈(1，＋∞)，且bx 1＝2x 21＋1，bx 2＝2x 22＋1，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－x 22)－(bx 1－bx 2)＋ln x 1x 2＝－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2，因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 22－14x 22－ln(2x 22)，x 2∈(1，＋∞)．令t ＝2x 22∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝t 2－12t －ln t .因为当t ＞2时，φ′(t )＝t －122t2＞0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)上单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln 2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln 2.14分法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x (x ＞0)，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x，由题意知x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12.记g (x )＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－b 2＜0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在(x 1，x 2)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－b2＋ln 12－(1－b )＝－34＋b 2－ln 2，因为b ＞3，所以f (x 1)－f (x 2)＞－34＋b 2－ln 2＞34－ln 2.14分2．(本小题满分14分)(南通、泰州市2017届高三第一次调研测试)已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2)若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝38时，f (x )＝38x 2－x －ln x .所以f ′(x )＝34x －1－1x ＝3x ＋2x －24x(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．所以当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝－12－ln 2.3分(2)证明：由f (x )＝ax 2－x －ln x ，得f ′(x )＝2ax －1－1x ＝2ax 2－x －1x，x ＞0.所以当a ≤0时，f ′(x )＝2ax 2－x －1x＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点．因为当－1≤a ≤0时，f (1)＝a －1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e 2－e ＋a e 2＞0， 所以当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上有零点． 综上，当－1≤a ≤0时，函数f (x )有且只有一个零点.7分(3)法一：由(2)知，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点． 因为函数f (x )有两个零点，所以a ＞0.由f (x )＝ax 2－x －ln x ，得f ′(x )＝2ax 2－x －1x(x ＞0)，令g (x )＝2ax 2－x －1.因为g (0)＝－1＜0,2a ＞0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，x 0)上单调递减；在(x 0，＋∞)上单调递增． 要使得函数f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，只需要函数f (x )的极小值f (x 0)＜0，即ax 20－x 0－ln x 0＜0. 又因为g (x 0)＝2ax 20－x 0－1＝0，所以2ln x 0＋x 0－1＞0，又因为函数h (x )＝2ln x ＋x －1在(0，＋∞)上是增函数，且h (1)＝0， 所以x 0＞1，得0＜1x 0＜1.又由2ax 20－x 0－1＝0，得2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋122－14，所以0＜a ＜1.以下验证当0＜a ＜1时，函数f (x )有两个零点． 当0＜a ＜1时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2a a2－1a －1＝1－a a＞0，所以1＜x 0＜1a.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a e 2－1e＋1＝e 2－e －a e 2＞0，且f (x 0)＜0. 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，x 0上有一个零点．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝4a a2－2a－ln 2a ≥2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＝1＞0(因为ln x ≤x －1)，且f (x 0)＜0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2a 上有一个零点．所以当0＜a ＜1时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，2a 内有两个零点.综上，实数a 的取值范围为(0,1)． 下面证明：ln x ≤x －1.设t (x )＝x －1－ln x ，所以t ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x ＞0)．令t ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0. 所以函数t (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以当x ＝1时，t (x )有最小值t (1)＝0. 所以t (x )＝x －1－ln x ≥0，得ln x ≤x －1成立.14分法二：由(2)知，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上最多有一个零点． 因为函数f (x )有两个零点，所以a ＞0. 由f (x )＝ax 2－x －ln x ＝0，得关于x 的方程a ＝x ＋ln xx 2(x >0)有两个不等的实数解． 又因为ln x ≤x －1， 所以a ＝x ＋ln x x 2≤2x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1(x ＞0)． 因为x ＞0时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12＋1≤1，所以a ≤1.又当a ＝1时，x ＝1，即关于x 的方程a ＝x ＋ln xx 2有且只有一个实数解． 所以0＜a ＜1. 14分(以下解法同法一)3．(本小题满分14分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax ，a 为正实数．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a≤0； (3)若函数f (x )有且只有1个零点，求a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x －2x 2＋2x ，则f ′(x )＝1x－4x ＋2，所以f ′(1)＝－1，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －1＝0.4分(2)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1a＋1，设函数g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1＝1－xx，另g ′(x )＝0，得x ＝1，列表如下：x (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋0 －g (x )极大值所以g (x )的极大值为g 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝ln 1a －1a＋1≤0.8分(3)f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2－ax －1x，x ＞0，令f ′(x )＞0，得a －a 2＋8a 4a ＜x ＜a ＋a 2＋8a 4a ，因为a －a 2＋8a 4a＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ，＋∞上单调递减．所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a .设x 0＝a ＋a 2＋8a4a，因为函数f (x )只有1个零点，而f (1)＝0，所以1是函数f (x )的唯一零点．当x 0＝1时，f (x )≤f (1)＝0，f (x )有且只有1个零点，此时a ＋a 2＋8a 4a＝1，解得a ＝1.下证，当x 0≠1时，f (x )的零点不唯一．若x 0＞1，则f (x 0)＞f (1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＞1，即0＜a ＜1，则1a＞1.由(2)知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜0，又函数f (x )在以x 0和1a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 0和1a之间存在f (x )的零点，则f (x )共有2个零点，不符合题意；若x 0＜1，则f (x 0)＞f (1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＜1，即a ＞1，则0＜1a＜1.同理可得，要1a和x 0之间存在f (x )的零点，则f (x )共有2个零点，不符合题意．因此x 0＝1，所以a 的值为1. 14分4．(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期末)已知函数f (x )＝g (x )·h (x )，其中函数g (x )＝e x，h (x )＝x 2＋ax ＋a .(1)求函数g (x )在(1，g (1))处的切线方程；(2)当0＜a ＜2时，求函数f (x )在x ∈[－2a ，a ]上的最大值；(3)当a ＝0时，对于给定的正整数k ，问函数F (x )＝e·f (x )－2k (ln x ＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e≈2.718，e ≈1.649，e e ≈4.482，ln 2≈0.693)【导学号：56394111】[解] (1)g ′(x )＝e x，故g ′(1)＝e ，g (1)＝e ， 所以切线方程为y －e ＝e(x －1)，即y ＝e x .2分(2)f (x )＝e x ·(x 2＋ax ＋a ), 故f ′(x )＝(x ＋2)(x ＋a )e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝－2.①当－2a ≥－2，即0＜a ≤1时，f (x )在[－2a ，－a ]上递减，在[－a ，a ]上递增， 所以f (x )max ＝max{f (－2a )，f (a )}， 由于f (－2a )＝(2a 2＋a )e －2a，f (a )＝(2a 2＋a )e a，故f (a )＞f (－2a )，所以f (x )max ＝f (a )；②当－2a ＜－2，即1＜a ＜2时，f (x )在[－2a ，－2]上递增，[－2，－a ]上递减，在[－a ，a ]上递增， 所以f (x )max ＝max{f (－2)，f (a )}，由于f (－2)＝(4－a )e －2，f (a )＝(2a 2＋a )e a，故f (a )＞f (－2)， 所以f (x )max ＝f (a )；综上得，f (x )max ＝f (a )＝(2a 2＋a )e a.6分(3)结论：当k ＝1时，函数F (x )无零点；当k ≥2时，函数F (x )有零点． 理由如下：①当k ＝1时，实际上可以证明：e x 2e x－2ln x －2＞0.F ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1－2x ，显然可证F ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1－2x在(0，＋∞)上递增，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，12，使得F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，F (x )递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，F (x )递增，所以F (x )min ＝F (x 0)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋2－ln x 0－1，其中x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，12，而φ(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2－ln x －1递减，所以φ(x )＞φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－35＞0，所以F (x )min ＞0，所以命题得证.10分下面证明F (e k )＞0，可借助结论e x ＞x 2(x ≥2)处理，首先证明结论e x ＞x 2(x ≥2)： 令φ(x )＝e x －x 2(x ≥2)，则φ′(x )＝e x －2x ，故φ′(x )＝e x－2x ＞0， 所以φ′(x )＝e x－2x 在[2，＋∞)上递增， 所以φ′(x )＞φ′(2)＞0，所以φ(x )＝e x －x 2在[2，＋∞)上递增， 所以φ(x )＞φ(2)＞0，得证．借助结论得ee k＋2k ＋1＞e k 2＋2k ＋1＞(k 2＋2k ＋1)2＝(k ＋1)4＝(k ＋1)(k ＋1)3＞2k (k ＋1)，所以F (e k)＞0，又因为函数F (x )连续，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e k 上有零点. 16分5．(本小题满分16分)(扬州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在 ，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；(3)设a >0，求证：函数f (x )既有极大值，又有极小值．[解] (1)∵f ′(x )＝a e x x －1＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1,∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为：y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)， ∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得：a ＝－1e.4分(2)若a ＜0，f ′(x )＝a e x x －1＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值； 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0恒成立，函数在(0,1)上无极值；法一：在(1，＋∞)上，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＞1，f x 0＞0，f ′x 0＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＞1， ①a e x 0x0＋x 0＞0， ②a e x 0x 0－1＋x20x20＝0， ③由③得：a e x 0＝－x 20x 0－1，代入②得：－x 0x 0－1＋x 0＞0，结合①可 解得：x 0＞2，再由f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0＞0得：a ＞－x 20e x 0，设h (x )＝－x 2ex ，则h ′(x )＝x x －2ex，当x ＞2时，h ′(x )＞0，即h (x )是增函数，所以a ＞h (x 0)＞h (2)＝－4e2，又a ＜0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件.8分 法二：在x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x＋2)x ， ∵x ∈(1，＋∞)，∴e x∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数， ∴a ≤－1，∴a e x≤a e≤－e ，∴a e x＋2＜0，∴H ′(x )＜0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减，又H (1)＝1＞0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4＜0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且1＜x ＜x 0时，H (x )＞0，即f ′(x )＞0；x ＞x 0时，H (x )＜0，即f ′(x )＜0； ∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝a e x 0x 0＋x 0，(*) 又H (x 0)＝a e x 0(x 0－1)＋x 20＝0，∴a e x 0x 0＝－x 0x 0－1代入(*)得：f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0x 0－2x 0－1＜0， ∴不存在负整数a 满足条件.8分(3)证明：设g (x )＝a e x(x －1)＋x 2，则g ′(x )＝x (a e x＋2)， 因为a ＞0，所以，当x ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ＜0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；故g (x )至多有两个零点． 又g (0)＝－a ＜0，g (1)＝1＞0，所以存在x 1∈(0,1)， 使g (x 1)＝0再由g (x )在(0，＋∞)上单调递增知， 当x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，故f ′(x )＝g xx 2＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 1，＋∞)时，g (x )＞0，故f ′(x )＝g xx 2＞0，f (x )单调递增； 所以函数f (x )在x 1处取得极小值． 当x ＜0时，e x＜1，且x －1＜0，所以g (x )＝a e x (x －1)＋x 2＞a (x －1)＋x 2＝x 2＋ax －a ，函数y ＝x 2＋ax －a 是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使g (t )＞0，又g (0)＝－a ＜0， 故在(t,0)上存在x 2，使g (x 2)＝0， 再由g (x )在(－∞，0)上单调递减知， 当x ∈(－∞，x 2)时，g (x )＞0，故f ′(x )＝g xx 2＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 2,0)时，g (x )＜0，故f ′(x )＝g xx 2＜0，f (x )单调递减； 所以函数f (x )在x 2处取得极大值．综上，函数f (x )既有极大值，又有极小值. 16分。
专题3.3 第03关-2018年高考数学备考优生百日闯关系列(江苏专版)(原卷版)
新题原创强化训练第三关一、 填空题1．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则y z x =的最大值与最小值之和为 ． 2．已知函数2()||2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是 ．3．将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π4y x ϕ=+（πϕ<）的图象（如图），点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为 ．4．已知正实数,x y 满足111x y +=，则3411x y x y +--的最小值为 ． 5．已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ON r ⋅的值为 . 6.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根123,,,x x x x，且123x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 . 二、解答题1.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？2.已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <． （ⅰ）若213t t =，求a 的值； （ⅱ）若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．3.在数列{}n a 中，11a =，28a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值；（2）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．。
专题2-4 以极值为背景的解答题-2018年高考数学备考优
专题二 压轴解答题 第四关 以极值为背景的解答题【名师综述】极值点不同于零点，极值点不仅导数值为零（中学只研究可导函数），而且在其附近导数值要变号.因此以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是考查分类讨论思想的一个常见的载体.类型一 求函数极值或单调区间或最值问题 典例1 已知函数()()2ln xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在()0,a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在()0,1上的极值点为0x ，求证： ()02f x <-.【答案】(1)当x = ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2) 122a e -≤-；(3)证明见解析.【解析】∴当x = ()f x 的极大值为12e，无极小值. （2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-， ()30x a ∴+<，∴ 12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立， ∴ 2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-， ()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴ ()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----， ()0ln a ∴≤-， 1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e-<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时， ()'2ln 10g x x =+>， ()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时， ()'2ln 10g x x =+>， ()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时， ()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭ 111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e -∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时， ()()2ln 1xf x x =-， ()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--， ()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时， ()'0h x ≤， ()12ln h x x x x ∴=--单调递减， ()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. ②当120x e-<≤时， ()'0h x ≥， ()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e -=->又()()222212ln h ee e e ----=--⋅ 2510e=-<， ∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， ()0'0f x ∴=，当00x x <<时， ()0'0f x >， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时， ()0'0f x <， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 由①和②可知， ()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时， ()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--=， 0001ln 2x x x -∴=， ()()020ln 1x f x x ∴=- ()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭， 又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0201211222f x x ∴=<-⎛⎫--⎪⎝⎭. 【名师指点】以导函数为研究对象，实质讨论研究方程的根与系数的关系. 【举一反三】已知函数()()()21ln f x x ax g x x a a R =++=-∈，．⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ， ()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；（2）[)1,-+∞ 【解析】所以()()()211121x x h x x x x='-+=+- 所以当102x <<时， ()0h x '<，当12x >时， ()0h x '>， 所以函数()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值； （2）设函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同， 则()()()()121212f xg x f x g x x x -==-''所以()211212121ln 12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入()21211221ln x x x ax x a x -=++--得： ()222221ln 20*424a a x a x x -++--= 设()221ln 2424a a F x x a x x =-++--，则()23231121222a x ax F x x x x x +-=-++=' 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时， ()0F x '<，当0x x >时， ()0F x '> 所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得： ()()20000min 012ln 2F x F x x x x x ==+-+-设()212ln 2G x x x x x =+-+-，则()211220G x x x x=+++>'对0x >恒成立， 所以()G x 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时()00F x ≤, 又当2a x e+=时()222421ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--221104a a e +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得： 2120y x'=--< 所以()120,1y x x =-在单调递减，因此[)20000121=21+x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞． 类型二 由极值确定参数取值范围问题典例2 已知函数()()ln ,,f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间()1,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()()[],1,H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）][(),1,e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e <<. 【解析】（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞． （3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-，令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln xt x x-'=， 当[]1,x e ∈时， ()0t x '≥， ()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时， ()0,t x ≥∴()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增，()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时， ()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时， ()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， 1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时， ()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时， ()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时， ()0t x ≥，()()()202ln ,1{ln ,e ax x x x x H x e x x ax xx e-≤≤∴=-≤≤，()()()00,1{12,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e-≤<∴+-<≤'=，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--， 下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+≤+≤， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< minln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减， (]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e <<时， ()H x 在[]1,e 上有极值点． 【名师指点】由极值的情况，探讨导函数零点的情况，进而研究方程根的分布情况. 【举一反三】已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,e +∞；（2）[)1,+∞. 【解析】当()0,x e ∈时， ()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时， ()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()10g =， 当x e >时， ()0g x >，所以()20g e a << ∴()210g e a e<<=解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得， 11ln 2a x x =， 22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-， 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-，所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-， 因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t t t λλ+>+- 即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-， 则()0h t <在()0,1上恒成立， ()ln h t t tλλ='+-，令()ln I t t t λλ=+-， ()()()2210,1t I t t t t tλλ-=-=∈' ①当1λ≥时， ()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时， ()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意； ③当01λ<<时， ()01I t t λ>⇔<<' 所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减， 故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞. 类型三 利用极值证明不等式问题典例3 已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭， e 为自然对数的底数。
2018高考数学冲刺试卷(江苏卷17)(每题均有详细解答)
全国著名重点中学领航高考冲刺试卷数 学(江苏卷)17命题：王建宏本试卷分为第I 卷（填空题）、第II 卷（解答题）和第Ⅲ卷（附加题）三部分，文科考生只要求．．．做第I 卷、第II 卷，第Ⅲ卷．．．不做．．，满分160分，考试时间120分钟；理科考生第I 卷、第II 卷和第Ⅲ卷都必须．．．做．，满分160+40分，考试时间120＋30分钟. 第I 卷（填空题 共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题．．卡相应位置上．．．．．．．1．若集合}1|{2xy y M ==,{|P y y ==,那么=P M ▲ 。
2. 复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z b z -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ▲ ．（写出一个有序实数对即可）3．各项均不为零的等差数列{}n a 中，若)2(0121≥=+--+n a a a n n n ，则2008S 的值为 ▲ ；4. 已知锐角α终边上一点的坐标为(1，3)，若一扇形的中心角为α且半径为2，则该扇形的面积 为 ▲ 。
5．不等式|2|(1)2x x --<的解集是 ▲ 。
6. 已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心▲ 。
7．为激发学生学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：}01[]|{<-=xx x A ，}043|{2≤--=x x x B ，}1log |{21>=x x C ；然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“[]”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若三位同学说的都对，则“[]”中的数为 ▲ 。
8.下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为3时,输出的结果为 ▲ 。
2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】
2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题【含答案】一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲ .8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是▲ .则BE CE u u u r u u u r的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。
数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．．．．．．若多做，．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；②求p的取值范围.2018年江苏高考理科数学模拟冲刺试题参考答案15.解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以2243sin 1cos 1(),55B B --由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以26sin 25 2.3sin 5AC C AB B ⋅===（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+于是cosA cos(B C)cos()cos cossin sin ,444B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==，故42322cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =-=因此1cos()cos cossin sin6662A A A πππ-=+=+=16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224;33V A B PO m ⋅⋅=⨯⨯=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288.V AB OO m ⋅=⨯=柱 所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m)，则0<h<6,OO 1=4h.连结O 1B 1.因为在11RT PO B ∆中，222111OB PO PB +=，所以2236h +=⎝⎭，即()22236.a h =-于是仓库的容积()()222311326436,06333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<锥柱， 从而()()2226'36326123V h h =-=-. 令'0V =，得23h = 或23h =-（舍）. 当023h <<时，'0V > ，V 是单调增函数； 当236h <<时，'0V <，V 是单调减函数. 故23h =时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当123PO = 时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l||OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0， 则圆心M 到直线l 的距离267555mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点， 所以5555,-≤≤+解得22t -≤+因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.19．（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a a x b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xx x x h x a a b b a a b b =+=+， 从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =.若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02x g g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln a b-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 20．（1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=.又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈， 所以1121133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I .②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ， 故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I .综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .21．A 证明：在ADB ∆和ABC ∆中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角，所以ADB ∆∽ABC ∆，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC ∆中，因为E 是BC 的中点，所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠.所以EDC ABD ∠=∠.B ．解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故112122021a cb dcd⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得11412abcd⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以11412B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因此，15112144021012AB⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦.C．解：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程1122x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得22)12(1)124t++=，即27160t t+=，解得1t=，2167t=-.所以1216||7AB t t=-=.21D.证明：因为|1|,|2|33a ax y-<-<所以|24||2(1)(2)|2|1||2|2.33a ax y x y x y a+-=-+-≤-+-<⨯+=22.解：（1）抛物线2:y2(0)C px p=>的焦点为(,0)2p由点(,0)2p在直线:20l x y--=上，得0202p--=，即 4.p=所以抛物线C的方程为28.y x=（2）设1122(x,y),(x,y)P Q，线段PQ的中点00(x,y)M因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1-，则可设其方程为.y x b=-+①由22y pxy x b⎧=⎨=-+⎩消去x得2220(*)y py pb+-=因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以12,y y≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>. 方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).323.解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ （2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时 11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+L 又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+L ，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m m m m m m nm m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm C C C C C C m C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+L L L。
2018江苏高考数学试题及答案解析(K12教育文档)
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅,其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π， 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、， 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证:(1)11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； (2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）焦如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，点12(3,0),(3,0)F F -,圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △,求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值;(3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >,判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分）已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］(本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2,点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．（本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序（2,1)，(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．90 4．85．[2，+∞）6．3107．π6-8．29．2210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明:（1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ）平方米,△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14,1)． （2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ),θ∈［θ0，π2）． 设f (θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈［θ0，π2)，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′,得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ)为增函数； 当θ∈（π6，π2)时，()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解:（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得 222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=,从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y , 由(*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去）,则2012y =，因此P 的坐标为102(,)2． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ,g (x )=x 2+2x —2,则f ′（x )=1，g ′（x )=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′(x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x )不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f (x ）与g （x )的“S ”点，由f (x 0）与g （x 0）且f ′（x 0)与g ′(x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（＊） 得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此,a 的值为e2．（3）对任意a 〉0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x )与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**) 此时，0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f （x )与g （x ）在区间（0,1）内的一个“S 点"． 因此，对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2,3,4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5,7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此,d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···,m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x 〈f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． (2）设P (x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=， 则直线l 过A （4,0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2, 所以π4cos 236AB ==．因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科％网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ，A 1C 1的中点分别为O ,O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅． 因此,异面直线BP 与AC 1 (2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ， 因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ,z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1,2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以2018江苏高考数学试题及答案解析(word 版可编辑修改)牛人数学助力高考数学 (1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
江苏省2018年高考数学冲刺预测试卷(一)含答案
, 2， 2
3 B , 2 ，则 f (0) 2
．
9.已知在体积为 4 的圆柱中， AB ， CD 分别是上、下底面直径，且 AB CD ，则三棱锥
A BCD 的体积为
2
．
x
10.已知函数 f ( x) log a x a （ a 0 ，且 a 1 ） ，若 f (3) f (4) ，则不等式
6 OF2 ，求直线 l 的方程. 11 1 x 2 19.已知 f ( x) (2 x 2 f '(0))e ， g ( x) f ( x) a ( x 1) 2 ， h( x) f ( x) a ( x 4 x) 4 . 2
直平分线交 x 轴于 A 点，且 OA （Ⅰ）求 f ( x) ； （Ⅱ）求 g ( x) 单调区间； （Ⅲ）若不等式 h( x) 0 在 [0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 20.设 m 个不全相等的正数 a1 ， a2 ，…， am ( m 3) 依次围成一个圆圈. （Ⅰ）设 m 2017 ，且 a1 ， a2 ， a3 ，…， a1009 是公差为 d 的等差数列，而 a1 ， a2017 ，
*
（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械 费用）
x2 y 2 18.已知椭圆 ： 2 2 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，短轴的两个顶点与 a b
F1 ， F2 构成面积为 2 的正方形.
（Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）直线 l 与椭圆 在 y 轴的右侧交于点 P ， Q ，以 PQ 为直径的圆经过点 F2 ， PQ 的垂
ABCD ， GDC 90 ，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点，若点 P 为线段 GD 的中点.
2018年江苏省高考数学冲刺试卷(一)
2018年江苏省高考数学冲刺试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1. 已知全集为R，集合A={x|2x≥4}，B={x|x2−3x≥0}，则A∩(∁R B)=________．【答案】[2, 3)【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】A={x|x≥2}，B={x|x≤0, 或x≥3}；∴∁R B={x|0<x<3}；∴A∩(∁R B)=[2, 3)．2. 若复数z=1−i2−i，则z的虚部为________．【答案】−1 5【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】z=1−i2−i =(1−i)(2+i)(2−i)(2+i)=3−i5=35−15i，则z的虚部为−15．3. 已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=12，且a2a8=2a5+3，则a9=________．【答案】18【考点】等比数列的通项公式【解析】各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由通项公式计算可得所求值．【解答】各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q>0，a1=12，且a2a8=2a5+3，可得12q⋅12q7=2⋅12q4+3，解得q 4=6（负的舍去），则a 9=a 1q 8=12×36=18．4. 已知某高级中学，高一、高二、高三学生人数分别为880、860、820，现用分层抽样方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________．【答案】43【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】用分层抽样方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为860880+860+820×128=8602560×128=43，5. 执行如图所示程序框图，输出的S 为________．【答案】17【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S =27，i =1时，不满足S >12，S =47，满足继续循环的条件，i =2；当S =47，i =2时，满足S >12，S =17，满足继续循环的条件，i =3；当S =17，i =3时，不满足S >12，S =27，满足继续循环的条件，i =4；当S =27，i =4时，不满足S >12，S =47，满足继续循环的条件，i =5；当S =47，i =5时，满足S >12，S =17，不满足继续循环的条件，故输出的S 值为17，6. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且|FM|=4|PM|，则双曲线C 的离心率为________．【答案】 √5【考点】双曲线的离心率【解析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|FM|=4|PM ，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率【解答】设F(c, 0)，则c 2=a 2+b 2∵ 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程 为y =±b a x ，∴ 垂线FM 的斜率为−a b ，∴ 直线FM 的方程为y =−a b (x −c)，令x =0，得P 的坐标(0, ac b )，设M(x, y)，∵ |FM|=4|PM|，∴ (x −c, y)=4(−x, ac b −y)，∴ x −c =−4x 且y =4ac b −4y ， 即x =c 5，y =4ac 5b ， 代入y =b a x ，得4ac 5b =b a ⋅c 5，即4a 2=b 2，∴ 4a 2=c 2−a 2，∴ 5a 2=c 2，∴ √5a =c ，∴ e =c a =√5，7. 在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，则甲被选中、乙没有被选中的概率为________．【答案】415【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C62=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，由此能求出甲被选中、乙没有被选中的概率．【解答】在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务，基本事件总数n=C62=15，甲被选中、乙没有被选中包含的基本事件个数m=C11C41=4，∴甲被选中、乙没有被选中的概率为p=mn =415．8. 已知函数f(x)=2cos(ωx−φ)(ω>0, φ∈[0, π])的部分图象如图所示，若A(π2,√2)，B(3π2,√2)，则f(0)=________．【答案】−√2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数f(x)的部分图象求得f(x)的解析式，再计算f(0)的值．【解答】由函数f(x)=2cos(ωx−φ)的部分图象知，f(x)的周期为T=3π2−π2=π，∴ω=2πT=2；又f(π2)=2cos(π−φ)=−2cosφ=√2，∴cosφ=−√22；又φ∈[0, π]，∴φ=3π4；∴f(x)=2cos(2x−3π4)．∴ f(0)=2cos(−3π4)=−√2．9. 已知在体积为4π的圆柱中，AB ，CD 分别是上、下底面直径，且AB ⊥CD ，则三棱锥A −BCD 的体积为________．【答案】83【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】将三棱锥分解成两个小棱锥计算．【解答】取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，则AD =BD ，∴ OD ⊥AB ，又AB ⊥CD ，CD ∩OD =D ，∴ AB ⊥平面OCD ，设圆柱的底面半径为R ，高为ℎ，则V 圆柱=πR 2ℎ=4π，即R 2ℎ=4，∴ 三棱锥A −BCD 的体积为V A−OCD +V B−OCD =13S △OCD ⋅AB=13×12×2R ×ℎ×2R =2R 2ℎ3=83．10. 已知函数f(x)=log a x 2+a |x|(a >0，且a ≠1)，若f(−3)<f(4)，则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为________．【答案】(−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4)【考点】对数函数的图象与性质【解析】直接利用函数的性质和定义域求出结果．【解答】函数f(x)=log a x 2+a |x|(a >0，且a ≠1)，若f(−3)<f(4)，则：函数单调递增，故：不等式f(x 2−3x)<f(4)满足：x 2−3x <4，解得：−1<x <4，由于：x 2−3x ≠0，解得：x ≠0且x ≠3，故：不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为：(−1, 0)∪(0, 3)∪(3, 4)．11. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120∘，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →．若AE →⋅AF →=1，CE →⋅CF →=−23，则λ+μ=________． 【答案】56【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的性质及其运算律【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由AE →⋅AF →=1，求得4λ+4μ−2λμ=3 ①；再由CE →⋅CF →=−23，求得−λ−μ+λμ=−23②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若AE →⋅AF →=(AB →+BE →)⋅(AD →+DF →)=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →=2×2×cos120∘+AB →⋅μDC →+λAD →⋅BC →+λAD →⋅μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘=4λ+4μ−2λμ−2=1，∴ 4λ+4μ−2λμ=3 ①．CE →⋅CF →=−EC →⋅(−FC →)=EC →⋅FC →=(1−λ)BC →⋅(1−μ)DC →=(1−λ)AD →⋅(1−μ)AB →=(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−23②．由①②求得λ+μ=56.故答案为：56.12. 已知关于实数x ，y 的不等式组{x +2y −19≥0x −y +8≥02x +y −14≤0，构成的平面区域为Ω，若∃(x 0, y 0)∈Ω，使得(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，则实数m 的取值范围是________．【答案】[2565, +∞) 【考点】 简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，由满足(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，它的几何意义是区域内的点到(1, 1)的距离的平方等于m ，利用数形结合进行求解即可．【解答】平面区域M 如如图所示．求得A(2, 10)，C(3, 8)，B(1, 9)．若∃(x 0, y 0)∈Ω，使得(x 0−1)2+(y 0−1)2≤m ，则问题转化为求(1, 1)到直线x +2y −19=0的距离，由点到直线的距离公式得：d =√1+4=16√55， 故m ≥256513. 已知a >0，若函数f(x)={2e 2lnx,x >0|x 3+x|,x ≤0且g(x)=f(x)−ax 2有且只有五个零点，则a 的取值范围是________．【答案】(2, e)【考点】函数零点的判定定理【解析】由g(x)=0，可得f(0)=0，只要x ≠0时f(x)=ax 2有4个不同的实数解，即为a =f(x)x 2，分别讨论x >0，x <0，函数的极值，通过图象即可得到所求范围．【解答】由g(x)=0，可得f(x)=ax 2，当x =0时，f(0)=0成立；由题意可得只要x ≠0时f(x)=ax 2有4个不同的实数解，即为a =f(x)x 2，当x >0时，y =2e 2lnxx 2， 导数y′=2e 2⋅x(1−2lnx)x 4， 由0<x <√e ，可得函数y 递增；x >√e 时，函数y 递减，即有x =√e 处取得极大值e ，当x <0时，函数y =|x +1x |，x =−1处有极大值2，作出函数y =f(x)x 的图象，由图象可得当2<a <e 时，y =a 和y =f(x)x 2的图象有四个交点，综上可得a 的范围是(2, e)．14. 已知数列{a n }的首项a 1=1，其前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2+2n +p ，若{a n }单调递增，则p 的取值范围是________．【答案】(12,32) 【考点】数列递推式求得数列的前几项，运用数列的递推式，可得从第四项起奇数项、偶数项均为公差为2的等差数列，可得p 的不等式，解不等式即可得到所求范围．【解答】a 1=1，其前n 项和为S n ，且S n +S n+1=n 2+2n +p ，可得a 1+a 1+a 2=3+p ，可得a 2=1+p ，a 1+a 2+a 1+a 2+a 3=8+p ，可得a 3=4−p ，由S n +S n+1=n 2+2n +p ，可得S n−1+S n =(n −1)2+2(n −1)+p ，n ≥2，相减可得a n +a n+1=2n +1，将n 换为n −1，可得a n−1+a n =2n −1，相减可得a n+1−a n−1=2，n ≥3，可得a 4=3+p ，a 5=6−p ，a 6=5+p ，a 7=8−p ，a 8=7+p ，…，由{a n }单调递增，可得a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<…，可得1<1+p <4−p <3+p <6−p <5+p <8−p <7+p <…，解得p >0，且p <32，且p >12，即12<p <32，二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0．(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若a =2c ，b =2，求△ABC 的面积．【答案】(Ⅰ)由题意知(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0，即(2a+c)sinBsinC cosC+bsinCsinB cosB =0， 所以2a+c cosC +b cosB =0，由正弦定理得2sinA+sinC cosC +sinB cosB =0， 整理得2sinAcosB +sinCcosB +sinBcosC =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0，即2sinAcosB +sinA =0，所以cosB =−12，可得B =23π；(Ⅱ)当a =2c 时，由余弦定理得4=a 2+c 2−2accosB =7c 2，所以c =2√77，a =4√77， 所以S △ABC =12acsinB =12×87×√32=27√3．三角形求面积【解析】(Ⅰ)运用切化弦和正弦定理、和差公式，以及特殊角的三角函数的值，可得所求角；(Ⅱ)运用余弦定理，解方程可得a ，c ，再由三角形的面积公式可得所求值．【解答】(Ⅰ)由题意知(2a +c)sinBtanC +bsinCtanB =0，即(2a+c)sinBsinC cosC+bsinCsinB cosB =0， 所以2a+c cosC +b cosB =0，由正弦定理得2sinA+sinC cosC +sinB cosB =0， 整理得2sinAcosB +sinCcosB +sinBcosC =0，即2sinAcosB +sin(B +C)=0，即2sinAcosB +sinA =0，所以cosB =−12，可得B =23π；(Ⅱ)当a =2c 时，由余弦定理得4=a 2+c 2−2accosB =7c 2，所以c =2√77，a =4√77， 所以S △ABC =12acsinB =12×87×√32=27√3．如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，△GAD 为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，∠GDC =90∘，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．(Ⅰ)求证：AP ⊥平面GCD ；(Ⅱ)求证：平面ADG // 平面FBC ．【答案】证明：(Ⅰ)因为△GAD 是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP ⊥GD ．因为AD ⊥CD ，GD ⊥CD ，且AD ∩GD =D ，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ，又AP ⊂平面GAD ，故CD ⊥AP ，又CD ∩GD =D ，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ．(Ⅱ)∵ BF ⊥平面ABCD ，∴ BF ⊥CD ，∵ BC ⊥CD ，BF ∩BC =B ，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴ CD ⊥平面FBC ，由(Ⅰ)知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG // 平面FBC．【考点】平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】(Ⅰ)推导出AP⊥GD．AD⊥CD，GD⊥CD，从而CD⊥平面GAD，进而CD⊥AP，由此能证明AP⊥平面GCD．(Ⅱ)推导出BF⊥CD，BC⊥CD，从而CD⊥平面FBC，再由CD⊥平面GAD，能证明平面ADG // 平面FBC．【解答】证明：(Ⅰ)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD．因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD=D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD=D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD．(Ⅱ)∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，∵BC⊥CD，BF∩BC=B，BF，BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG // 平面FBC．秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用y（元）与使用年数n的关系为：y=kn+b(n≥2，且n∈N∗)，已知第二年付费1800元，第五年付费6000元．(1)试求出该农机户用于维修保养的费用f(n)（元）与使用年数n(n∈N∗)的函数关系；(2)这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入−维修保养费用-购买机械费用）【答案】(1)依题意，当n=2，y=1800，n=5，y=6000，即{1800=2k +b,6000=5k +b, 解得{k =1400,b =−1000, 所以f(n)={0,n =1,1400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗;(2)记使用n 年，年均收益为W （元）， 则依题意，n ≥2时，W =60000−1n [137600+1400(2+3+...+n)−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n −1)(n +2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n)=60300−(700n +137200n) ≤60300−2√700n ⋅137200n=40700，当且仅当700n =137200n，即n =14时取等号．所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法 【解析】(Ⅰ)依题意列方程组求出k 、b 的值，写出函数f(n)； (Ⅱ)记使用n 年，年均收益为W （元），列出w 的解析式， 利用基本不等式求出w 的最大值以及对应的n 值． 【解答】(1)依题意，当n =2，y =1800， n =5，y =6000， 即{1800=2k +b,6000=5k +b, 解得{k =1400,b =−1000, 所以f(n)={0,n =1,1400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗;(2)记使用n 年，年均收益为W （元）， 则依题意，n ≥2时，W =60000−1n [137600+1400(2+3+...+n)−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n −1)(n +2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n)=60300−(700n +137200n)≤60300−2√700n ⋅137200n=40700，当且仅当700n =137200n ，即n =14时取等号．所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大．已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形． (Ⅰ)求Γ的方程；(Ⅱ)直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过点F 2，PQ 的垂直平分线交x 轴于A 点，且OA →=611OF 2→，求直线l 的方程． 【答案】（I ）短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形，∴ b =c ，12×2b ×2c =2，解得b =c =1，∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ Γ的方程为x 22+y 2=1．(II)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y =kx +m ，代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，x 1>0，x 2>0，PQ 的中点为M(x 0, y 0)，由直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，则x 1+x 2=−4km1+2k 2>0，则km <0，x 1x 2=2m 2−21+2k >0，则m >1或m <−1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 21+2k 2，又F 2(1, 0)，∴ F 2P →=(x 1−1, y 1)，F 2Q →=(x 2−1, y 2)，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 2，∴ F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+y 1y 2+1=3m 2+4km−11+2k 2=0，∴ 3m 2+4km −1=0，①又x 0=x 1+x 22=−2km1+2k 2，y 0=kx 0+m =m1+2k 2， ∴ PQ 的垂直平分线方程为：y =−1k(x +2km 1+2k 2)+m 1+2k 2，∵ OA →=611OF 2→，∴ A(611, 0)， 把A 点坐标代入PQ 的垂直平分线方程，整理得：11km +6(1+2k 2)=0，②将①代入②整理得：18m 2+35km +12k 2=0，(3k +2m)(4k +9m)=0，解得：k =−23m 或k =−94m ，代入①解得：m =±√3，将k =−94m （舍去） ∴ 当m =√3时，k =−2√33或m =−√3，k =2√33，∴ 直线l 的方程：y =−2√33x +√3，或y =2√33x −√3．【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据三角形的面积公式即可求得b 和a 的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)设直线PQ 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得3m 2+4km −1=0，根据中点坐标公式及直线的点斜式方程，令y =0，求得A 点坐标，即可求得k =−23m ，代入即可求得直线l 的方程． 【解答】（I ）短轴的两个顶点与F 1，F 2构成面积为2的正方形，∴ b =c ，12×2b ×2c =2，解得b =c =1，∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ Γ的方程为x 22+y 2=1．(II)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为y =kx +m ，代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，x 1>0，x 2>0，PQ 的中点为M(x 0, y 0)，由直线l 与椭圆Γ在y 轴的右侧交于点P ，Q ，则x 1+x 2=−4km1+2k 2>0，则km <0，x 1x 2=2m 2−21+2k 2>0，则m >1或m <−1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 21+2k 2，又F 2(1, 0)，∴ F 2P →=(x 1−1, y 1)，F 2Q →=(x 2−1, y 2)，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 2，∴ F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+y 1y 2+1=3m 2+4km−11+2k 2=0，∴ 3m 2+4km −1=0，①又x 0=x 1+x 22=−2km1+2k 2，y 0=kx 0+m =m1+2k 2，∴ PQ 的垂直平分线方程为：y =−1k (x +2km1+2k 2)+m1+2k 2， ∵ OA →=611OF 2→，∴ A(611, 0)，把A 点坐标代入PQ 的垂直平分线方程，整理得：11km +6(1+2k 2)=0，②将①代入②整理得：18m 2+35km +12k 2=0，(3k +2m)(4k +9m)=0，解得：k =−23m 或k =−94m ，代入①解得：m =±√3，将k =−94m （舍去） ∴ 当m =√3时，k =−2√33或m =−√3，k =2√33，∴ 直线l 的方程：y =−2√33x +√3，或y =2√33x −√3．已知f(x)=（2x +2f ′(0)）e x ，g(x)=f(x)+12a(x −1)2，ℎ(x)=f(x)+a(x 2+4x)+4．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求g(x)单调区间；(Ⅲ)若不等式ℎ(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）∵ f′(x)=(2x +2f′(0)+2)e x ， ∴ f′(0)=2f′(0)+2，得f′(0)=−2， ∴ f(x)=(2x −4)e x ．（2）由题意知g(x)=(2x −4)e x +12a(x −1)2， ∴ g ′(x)=(2x −2)e x +a(x −1)=(x −1)(2e x +a)， 当a ≥0时，令g ′(x)>0，得x >1， 令g ′(x)<0，得x <1，∴ g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减， 当a <−2e 时，ln(−a2)>1， 令g ′(x)>0，得x <1或x >ln(−a2)， 令g ′(x)<0，得1<x <ln(−a2)，∴ g(x)在(−∞, 1)，(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减， 当−2e <a <0时，ln(−a 2)<1，令g′(x)>0，得x>1或x<ln(−a2)，令g′(x)<0，得ln(−a2)<x<1，∴g(x)在(−∞,ln(−a2))，(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g′(x)>0在R上恒成立，综上所述，当a≥0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，g(x)在(−∞, 1)和(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，g(x)在(−∞,ln(−a2))和(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g(x)在R上单调递增．(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，当2a≥0时，有m′(x)≥0，此时函数y=m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)=4a−2，(i)若4a−2≥0即a≥12时，y=ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，则ℎ(x)min=ℎ(0)=0恒成立；(ii)若4a−2<0即0≤a<12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x0)=0，此时函数y=ℎ(x)在(0, x0)上单调递减，x∈(x0, +∞)上单调递增，且ℎ(0)=4a−4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意；当2a<0时，有m′(0)=2a<0，则在[0, +∞)上存在g′(x1)=0，在x∈(0, x1)上单调递减，在(x1, +∞)上单调递增，∴y=ℎ′(x)在[0, +∞)上先减后增，又ℎ′(0)=−2+4a<0，则函数y=ℎ(x)在[0, +∞)上先减后增，且ℎ(0)=4a−4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为a≥12．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)由已知可得f′(x)=(2x+2f′(0)+2)e x，取x=0，可得f′(0)=−2，从而求得f(x)=(2x−4)e x．(Ⅱ)由题意知g(x)=(2x−4)e x+12a(x−1)2，g′(x)=(2x−2)e x+a(x−1)=(x−1)(2e x+a)，当a≥0时，由导函数的符号可得g(x)的单调区间；当a<−2e时，ln(−a2)>1，由g′(x)>0和g′(x)<0分别解得g(x)的单调区间，当−2e<a<0时，ln(−a2)<1，g′(x)>0和g′(x)<0分别解得g(x)的单调区间；(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，可得ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)，由导数可得有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，得到m(x)≥m(0)=4a−2，然后对4a−2与0的大小分类分析得答案．【解答】（1）∵f′(x)=(2x+2f′(0)+2)e x，∴f′(0)=2f′(0)+2，得f′(0)=−2，∴f(x)=(2x−4)e x．（2）由题意知g(x)=(2x−4)e x+12a(x−1)2，∴g′(x)=(2x−2)e x+a(x−1)=(x−1)(2e x+a)，当a≥0时，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得x<1，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，ln(−a2)>1，令g′(x)>0，得x<1或x>ln(−a2)，令g′(x)<0，得1<x<ln(−a2)，∴g(x)在(−∞, 1)，(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，ln(−a2)<1，令g′(x)>0，得x>1或x<ln(−a2)，令g′(x)<0，得ln(−a2)<x<1，∴g(x)在(−∞,ln(−a2))，(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g′(x)>0在R上恒成立，综上所述，当a≥0时，g(x)在(1, +∞)上单调递增，在(−∞, 1)上单调递减，当a<−2e时，g(x)在(−∞, 1)和(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(1,ln(−a2))上单调递减，当−2e<a<0时，g(x)在(−∞,ln(−a2))和(1, +∞)上单调递增，在(ln(−a2),1)上单调递减，当a=−2e时，g(x)在R上单调递增．(Ⅲ)ℎ(x)=(2x−4)e x+a(x2+4x)+4，ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，令m(x)=ℎ′(x)=(2x−2)e x+2a(x+2)，有m′(x)=2xe x+2a(x≥0)，当2a≥0时，有m′(x)≥0，此时函数y=m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)=4a−2，(i)若4a−2≥0即a≥12时，y=ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，则ℎ(x)min=ℎ(0)=0恒成立；(ii)若4a−2<0即0≤a<12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x0)=0，此时函数y=ℎ(x)在(0, x0)上单调递减，x∈(x0, +∞)上单调递增，且ℎ(0)=4a−4，∴ 不等式不可能恒成立，故不符合题意；当2a <0时，有m ′(0)=2a <0，则在[0, +∞)上存在g ′(x 1)=0，在x ∈(0, x 1)上单调递减，在(x 1, +∞)上单调递增，∴ y =ℎ′(x)在[0, +∞)上先减后增，又ℎ′(0)=−2+4a <0，则函数y =ℎ(x)在[0, +∞)上先减后增，且ℎ(0)=4a −4， ∴ 不等式不可能恒成立，故不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为a ≥12．设m 个不全相等的正数a 1，a 2，…，a m (m ≥3)依次围成一个圆圈．(Ⅰ)设m =2017，且a 1，a 2，a 3，…，a 1009是公差为d 的等差数列，而a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为q =d 的等比数列，数列a 1，a 2，…，a m 的前n 项和S n (n ≤m)满足S 3=15，S 2017=S 2016+12a 1，求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设a 1=a ，a 2=b(a ≠b)，若数列a 1，a 2，…，a m 每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a 8；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，m ≤2017，求符合条件的m 的个数． 【答案】（1）因a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，从而a 2017=a 1d ，a 2016=a 1d 2，由S 2017=S 2015+12a 1得a 2017+a 2016=12a 1， 故解得d =3或d =−4（舍去）．因此d =3，又S 3=3a 1+3d =15，解得a 1=2． 从而当n ≤1009时，a n =a 1+(n −1)d =2+3(n −1)=3n −1，当1010≤n ≤2017时，由a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列， 求得a n =a 1d 2017−(n−1)=a 132018−n ； 因此a n ={3n −1,n ≤10092⋅32018−n ,1010≤n ≤2017； （2）由题意a n 2=a n−12an+12，a m 2=a m−12a12，a 12=a m 2a22，∴ a n =a n−1a n+1，求得a 3=a 2a 1，a 4=1a 1，a 5=1a 2，a 6=a1a 2，a 7=a 1=a ， a 8=a 2=b ；(Ⅲ)猜想：m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；证明：a n2=a n−12an+12， a m 2=a m−12a12， a 12=a m 2a22， 所以{a n =a n−1a n+1(1<n <m),a m =a m−1a 1,a 1=a m a 2,； 又a r+3=ar+2a r+1=a r+1a r⋅1a r+1=1a r(1≤r ≤m −3)，④故有a r+6=1ar+3=a r ，(1≤r ≤m −6)．⑤若猜想不成立，设m =6k +p ，其中1≤p ≤5， 若取p =1，即m =6k +1， 则由此得a m =a 6k+1=a 1，而由③得a m =a1a 2，故a 1=a1a 2，得a 2=1，由②得a m−1=a ma 1，从而a 6=a 6k =a m−1，而a 6=a1a 2，故a 1=a 2=1，由此推得a n =1(1≤n ≤m)与题设矛盾，同理若p =2，3，4，5均可得a n =1(1≤n ≤m)与题设矛盾， 因此m =6k 为6的倍数；又m =6k ≤2017，解得k ≤33616，∴ k =1，2，3，4，…，336， 即m 的值共有336个． 【考点】 数列的应用 【解析】(Ⅰ)根据题意，利用等差、等比数列的定义和通项公式，求出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)由题意利用等比数列的等比中项与递推公式，求得a 8的值； (Ⅲ)m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；利用递推公式写出对应通项公式，用反证法证明结论成立，再根据题意求出m 值的个数． 【解答】（1）因a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列，从而a 2017=a 1d ，a 2016=a 1d 2，由S 2017=S 2015+12a 1得a 2017+a 2016=12a 1， 故解得d =3或d =−4（舍去）．因此d =3，又S 3=3a 1+3d =15，解得a 1=2． 从而当n ≤1009时，a n =a 1+(n −1)d =2+3(n −1)=3n −1，当1010≤n ≤2017时，由a 1，a 2017，a 2016，…，a 1010是公比为d 的等比数列， 求得a n =a 1d 2017−(n−1)=a 132018−n ； 因此a n ={3n −1,n ≤10092⋅32018−n ,1010≤n ≤2017； （2）由题意a n 2=a n−12an+12，a m 2=a m−12a12，a 12=a m 2a22，∴ a n =a n−1a n+1，求得a 3=a 2a 1，a 4=1a 1，a 5=1a 2，a 6=a1a 2，a 7=a 1=a ， a 8=a 2=b ；(Ⅲ)猜想：m =6k ，k =1，2，3，…，336，一共有336个；证明：a n2=a n−12an+12， a m 2=a m−12a12， a 12=a m 2a22， 所以{a n =a n−1a n+1(1<n <m),a m =a m−1a 1,a 1=a m a 2,； 又a r+3=ar+2a r+1=a r+1a r⋅1ar+1=1a r(1≤r ≤m −3)，④故有a r+6=1ar+3=a r ，(1≤r ≤m −6)．⑤若猜想不成立，设m=6k+p，其中1≤p≤5，若取p=1，即m=6k+1，则由此得a m=a6k+1=a1，，而由③得a m=a1a2故a1=a1a，得a2=1，2，从而a6=a6k=a m−1，由②得a m−1=a m a1而a6=a1a，故a1=a2=1，2由此推得a n=1(1≤n≤m)与题设矛盾，同理若p=2，3，4，5均可得a n=1(1≤n≤m)与题设矛盾，因此m=6k为6的倍数；，又m=6k≤2017，解得k≤33616∴k=1，2，3，4， (336)即m的值共有336个．[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，过点P作圆O的切线PC，切点为C，过点P的直线与圆O交于点A，B(PA<PB)，且AB的中点为D．若圆O的半径为2，PC=4，圆心O到直线PB的距离为√2，求线段PA的长．【答案】连接OC，OD，因为O为圆心，AB中点为D，∴OD⊥AB，又PC为圆O的切线，∴OC⊥PC，由条件可知OD=√2，∴AB=2√OA2−OD2=2√2，由切割线定理可得PC2=PA⋅PB，即16=PA∗(PA+2√2)，解得PA=2√2．【考点】与圆有关的比例线段【解析】连接OC，OD，推导出OD⊥AB，OC⊥PC，由切割线定理可得PC2=PA⋅PB，由此能求出PA 的长． 【解答】连接OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴ OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴ OC ⊥PC ，由条件可知OD =√2，∴ AB =2√OA 2−OD 2=2√2， 由切割线定理可得PC 2=PA ⋅PB ， 即16=PA ∗(PA +2√2)， 解得PA =2√2．[选修4-2：矩阵与变换]若二阶矩阵M 满足[−2122−1]，M =[−304−1]．求曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程． 【答案】记矩阵A =[−2122−1]，则行列式△=(−2)×(−1)−2×12=1≠0， 故A −1=[−1−12−2−2]，所以M =A −1[−304−1]=[−1−12−2−2][−304−1]=[112−22]， 即矩阵M =[112−22]． 设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．所以[]=[112−22][x y ]=[x +12y −2x +2y ]， 所以{x ′=x +12yy ′=−2x +2y ，所以{x =4x ′−y ′6y =2x ′+y ′3， 又点P(x, y)在曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上，代入整理得2x ′2+3y ′=0，由点P(x, y)的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2+3y =0． 【考点】几种特殊的矩阵变换 【解析】记矩阵A =[−2122−1]，则A −1=[−1−12−2−2]，从而求出矩阵M =[112−22]．设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．由此能求出结果． 【解答】记矩阵A =[−2122−1]，则行列式△=(−2)×(−1)−2×12=1≠0， 故A −1=[−1−12−2−2]，所以M =A −1[−304−1]=[−1−12−2−2][−304−1]=[112−22]，即矩阵M =[112−22]． 设曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上任意一点P(x, y)在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′, y ′)．所以[]=[112−22][x y ]=[x +12y −2x +2y ]， 所以{x ′=x +12y y ′=−2x +2y ，所以{x =4x ′−y ′6y =2x ′+y ′3， 又点P(x, y)在曲线4x 2+4xy +y 2−12x +12y =0上，代入整理得2x ′2+3y ′=0，由点P(x, y)的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2+3y =0． [选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)射线OP:θ=α（其中0<α<π2）与C 2交于P 点，射线OQ:θ=α+π2与C 2交于Q 点，求1|OP|2+1|OQ|2的值． 【答案】（1）因为曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），所以曲线C 1的直角坐标系方程为x −2y −2=0，所以曲线C 1的极坐标系方程为ρcosθ−2ρsinθ−2=0， 因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ，所以ρ2(2+sin 2θ)=6，所以曲线C 2的直角坐标系方程为2x 2+3y 2=6． （2）依题意得，点P 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α ， 所以|OP|=√6√2+sin 2α1|OP|2=2+sin 2α6，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2， 所以|OQ|=√6√2+cos 2α1|OQ|2=2+cos 2α6，所以1|OP|2+1|OQ|2=2+sin 2α6+2+cos 2α6=56．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程能求出曲线C 1的直角坐标系方程，从而能求出曲线C 1的极坐标方程；曲线C 2的极坐标方程转化为ρ2(2+sin 2θ)=6，由此能求出曲线C 2的直角坐标方程．(Ⅱ)点P 的极坐标分别为{ρ=√62θ=α，求出|OP|，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2，求出|OQ|，由此能求出1|OP|2+1|OQ|2的值． 【解答】（1）因为曲线C 1的参数方程为{x =2ty =t −1 （t 为参数），所以曲线C 1的直角坐标系方程为x −2y −2=0，所以曲线C 1的极坐标系方程为ρcosθ−2ρsinθ−2=0， 因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=√6√2+sin 2θ，所以ρ2(2+sin 2θ)=6，所以曲线C 2的直角坐标系方程为2x 2+3y 2=6． （2）依题意得，点P 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α ， 所以|OP|=√6√2+sin 2α1|OP|2=2+sin 2α6，点Q 的极坐标分别为{ρ=√6√2+sin 2θθ=α+π2 ， 所以|OQ|=√6√2+cos 2α1|OQ|2=2+cos 2α6，所以1|OP|2+1|OQ|2=2+sin 2α6+2+cos 2α6=56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=2|x −2|+3|x +3|．若函数f(x)的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a +25b =m ，求1a +1b 的最小值，并求出此时a ，b 的值． 【答案】依题意，f(x)={−5x −5,x <−3x +13,−3≤x ≤25x +5,x >2，当x =−3时，函数f(x)有最小值10，故4a +25b =10， 故1a +1b =110(1a +1b )(4a +25b)=110(29+25b a+4a b )≥4910，当且仅当25b a=4ab时等号成立，此时a =57，b =27． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】先将函数y =f(x)的解析式中去绝对值，写成分段函数的形式，根据分段函数求出函数f(x)的最小值m =10，并由4a +25b =10，得110(4a +25b)=1，再将1a +1b 与110(4a +25b)相乘，展开利用基本不等式可求出1a +1b 的最小值，同时利用基本不等式取等号的条件结合4a +25b =10两个等式联立可求出对应的a 和b 的值．依题意，f(x)={−5x −5,x <−3x +13,−3≤x ≤25x +5,x >2，当x =−3时，函数f(x)有最小值10，故4a +25b =10， 故1a +1b =110(1a +1b )(4a +25b)=110(29+25b a+4ab)≥4910， 当且仅当25b a=4ab时等号成立，此时a =57，b =27． [必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在研究塞卡病毒(Zikavirus)某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z 症状的情况，做接种试验．试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率为14，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关．(Ⅰ)若出现Z 症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；(Ⅱ)若在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期．设接种试验持续的接种周期数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概率： P 1=14+34×14+34×34×14=14+316+964=3764．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，P(ξ=1)=P(C)=C 32(14)2×34+C 33(14)3=532， P(ξ=2)=[1−P(C)brack ×P(C)=(1−532)×532=1351024，P(ξ=3)=[1−P(C)brack ×[1−P(C)brack ×1=7291024， 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ=1×532+2×1351024+3×7291024=26171024．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】(Ⅰ)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出试验至多持续一个接种周期的概率．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，分别求出P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列和数学期望．(Ⅰ)试验至多持续一个接种周期的概率： P 1=14+34×14+34×34×14=14+316+964=3764．(Ⅱ)随机变量ξ=1，2，3，设事件C 为“在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，P(ξ=1)=P(C)=C 32(14)2×34+C 33(14)3=532，P(ξ=2)=[1−P(C)brack ×P(C)=(1−532)×532=1351024， P(ξ=3)=[1−P(C)brack ×[1−P(C)brack ×1=7291024，所以ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ=1×532+2×1351024+3×7291024=26171024．已知(1+12x)n 展开式的各项依次记为a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)…a n (x)，a n+1(x)．设F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+2a 2(x)+3a 3(x)…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)． （1）若a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次成等差数列，求n 的值；（2）求证：对任意x 1，x 2∈[0, 2]，恒有|F(x 1)−F(x 2)|≤2n−1(n +2)−1． 【答案】由题意可得 a k (x)=C nk−1⋅(12x)k−1，k =1、2、3，…n +1， 故a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次为 C n 0=1，C n1⋅12=n2，C n 2(12)2=n(n−1)8．再由2×n 2=1+n(n−1)8，解得 n =8．∵ F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+2a 2(x)+3a 3(x)…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)=C n 0+2C n 1⋅(12x)+3C n 2⋅(12x)2+(n +1)C n n⋅(12x)n ，∴ F(2)=C n 0+2C n 1+3C n 2+...+(n +1)C n n ．设S n =C n 0+2C n 1+3C n 2+...+(n +1)C n n ，则有S n =(n +1)C n n +nC n n−1+...+3C n 2+2C n 1+C n 0．把以上2个式子相加，并利用C n k =C n n−k 可得 2S n =(n +2)[C n 0+C n 1+C n 2+...+C nn ]=(n +2)⋅2n ，∴ S n =(n +2)⋅2n−1．当x ∈[0, 2]时，由于F′(x)>0，∴ F(x)在[0, 2]上是增函数，故对任意x 1，x 2∈[0, 2]，恒有|F(x 1)−F(x 2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n +2)−1，命题得证． 【考点】等差数列的性质二项式定理的应用【解析】（1）由题意可得a k(x)=C n k−1⋅(12x)k−1，求得a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．（2）由F(x)的解析式求得F(2)=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，设S n=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，利用二项式系数的性质求得S n=(n+2)⋅2n−2．再利用导数可得F(x)在[0, 2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n+2)−1．【解答】由题意可得a k(x)=C n k−1⋅(12x)k−1，k=1、2、3，…n+1，故a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次为C n0=1，C n1⋅12=n2，C n2(12)2=n(n−1)8．再由2×n2=1+n(n−1)8，解得n=8．∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+na n(x)+(n+1)a n+1(x)=C n0+2C n1⋅(12x)+3C n2⋅(12x)2+(n+1)C n n⋅(12x)n，∴F(2)=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n．设S n=C n0+2C n1+3C n2+...+(n+1)C n n，则有S n=(n+1)C n n+nC n n−1+...+3C n2+ 2C n1+C n0．把以上2个式子相加，并利用C n k=C n n−k可得2S n=(n+2)[C n0+C n1+C n2+...+C n n]= (n+2)⋅2n，∴S n=(n+2)⋅2n−1．当x∈[0, 2]时，由于F′(x)>0，∴F(x)在[0, 2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=2n−1(n+2)−1，命题得证．。
2018年高考数学自由复习步步高系列(江苏版)第二天导数Word版含解析
又当 x
ea
2
时
F
x
1 4e2a 4
a 2ea 2
ln ea 2
a2 4
a2
11 4 ea 2
2
a
0
因此当 0 x0 1 时，函数 F x 必有零点；即当 0 x0 1 时，必存在 x2 使得 * 成立；
即存在 x1, x2 使得函数 f x 上点 x1, f x1 与函数 g x 上点 x2, g x2 处切线相同．
2x 1 x 1 x
所以当 0
x
1 时， h x
1 0 ，当 x 时， h x
0，
2
2
所以函数 h x 在区间
1 0,
单调递减，在区间
1 ,
2
2
单调递增，
所以当 x
1
时，函数
hx
取得极小值为
11 +ln2
，无极大值；
2
4
7
所以 F x 在区间 0, x0 上单调递减，在区间 x0, 上单调递增，
代入 a= 1 2x02 x0
, ex 1 , p ( x) 0 恒成立 , 所以 p( x) 在 0,
上递增 ,
p(0) 0 ,
故 p(x) 0 在 0, 上恒成立，符合题意 .
……… 12 分
2 当 a 1时，令 p (x) 0 ，得 x ln a ，令 p ( x) 0，得 0 x ln a ,
故 p(x) 在 0,ln a 上递减，所以 p(ln a) p 0 0 ，
（ 1）若函数 g(x)
f (x) ex 是奇函数，求实数 a 的值；
（ 2）若对任意的实数 a ，函数 h( x) kx b（ k, b 为实常数） 的图象与函数 f ( x) 的图象总
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专题17 以极值为背景的解答题【名师综述】极值点不同于零点，极值点不仅导数值为零（中学只研究可导函数），而且在其附近导数值要变号.因此以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是考查分类讨论思想的一个常见的载体.类型一 求函数极值或单调区间或最值问题 典例1 已知函数()()2ln xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在()0,a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在()0,1上的极值点为0x ，求证： ()02f x <-.【答案】(1)当x = ()fx 的极大值为12e，无极小值；(2) 122a e -≤-；(3)证明见解析.【解析】∴当x = ()fx 的极大值为12e，无极小值.（2）()()312ln 'a xxf x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-， ()30x a ∴+<，∴12ln 0a x x+-≤对()0,x a ∈-恒成立，∴2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-， ()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----， ()0ln a ∴≤-， 1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e-<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时， ()'2ln 10g x x =+>， ()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时， ()'2ln 10g x x =+>， ()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e-=时， ()12m ing x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e-∴≤-.综上122a e-≤-.（3）当1a =-时， ()()2ln 1xf x x =-， ()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--， ()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时， ()'0h x ≤， ()12ln h x x x x ∴=--单调递减， ()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e-<≤时， ()'0h x ≥， ()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212lnh e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e-=-> 又()()222212ln h e e e e ----=--⋅ 2510e=-<，∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， ()0'0f x ∴=，当00x x <<时， ()0'0f x >， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e-<≤时， ()0'0f x <， ()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知， ()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时， ()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--=， 0001ln 2x x x -∴=，()()020ln 1x fx x ∴=- ()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()201211222fx x ∴=<-⎛⎫--⎪⎝⎭.【名师指点】以导函数为研究对象，实质讨论研究方程的根与系数的关系. 【举一反三】已知函数()()()21ln f x x a x g x x a a R =++=-∈，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ， ()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）[)1,-+∞ 【解析】所以()()()211121x x h x x xx='-+=+-所以当102x <<时， ()0h x '<，当12x >时， ()0h x '>，所以函数()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）设函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同， 则()()()()121212fx g x f x g x x x -==-''所以()211212121ln 12x a x x a x a x x x ++--+==-所以12122a x x =-，代入()21211221ln x x x a x x a x -=++--得：()222221ln 20*424a ax a x x -++--=设()221ln 2424a aF x x a xx=-++--，则()23231121222a x a x F x xxxx+-=-++='不妨设2000210(0)x a x x +-=>则当00x x <<时， ()0F x '<，当0x x >时， ()0F x '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增， 代入2000121=2x a x x x -=-可得： ()()20000m in12ln 2Fx Fx x x x x ==+-+-设()212ln 2G x x x x x=+-+-，则()211220G x x xx=+++>'对0x >恒成立，所以()G x 在区间()0,+∞上单调递增，又()1=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时()00F x ≤,又当2a x e+=时()222421ln 2424a a a a aF x ea ee+++=-++--221104a a e +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点()()11,x f x 与函数()g x 上点()()22,x g x 处切线相同． 又由12y x x=-得： 2120y x'=--<所以()120,1y x x=-在单调递减，因此[)200121=21+x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[)1,-+∞． 类型二 由极值确定参数取值范围问题典例2 已知函数()()ln ,,f x x a x g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间()1,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()()[],1,H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e-；（2）][(),1,e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e<<或112a e<<.【解析】（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立，∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x∈0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立，∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立，1,a e ∴+≤1a e ∴≤-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln x H x x a x e x e xa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,,x t x a x e x=-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时， ()0t x '≥， ()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e -≤≤-.1）当0a -≥，即0a ≤时， ()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x a x x e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x a x H x =+->'单调递增，()Hx ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e-<即1a e>时， ()0,t x <()()[]2ln ,1,Hx e x x a xx e ∴=-∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e a x x H x e a x x e ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时， ()0H x ''≥，()H x ∴'在[]1,e 递增，()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()Hx ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e xa=≥''-≤≤可得()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， 1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又()()()()()1210,22210H e a H e e a e e a e =-=-=-''()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '= ()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()Hx ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e=时， ()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e ex "⎛⎫⎛⎫=--=->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()Hx ∴无极值点．4）当10a e<<时，()t x 在[]1,e 递增，()01,x e ∴∃∈使得00ln x a x =，∴当[]01,x x ∈时， ()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时， ()0t x ≥，()()()202ln ,1{ln ,e a x x x x x Hx e x x a xxx e-≤≤∴=-≤≤，()()()00,1{12,e a x ln x x x H x e ln x a x x x e-≤<∴+-<≤'=，令()[]()2ln ,1,,2ln 1a x x x k x x e k x a x x '-=∈=--， 下面证明()0k x '≤，即证ln 12ln 1,2x a x x a x+≤+≤，又'2ln 1ln ()0x x xx+=-<m inln 12x x e +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e≤，所以结论成立，即()0k x '≤，()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减， (]0,x e 递增，0x ∴为()Hx 的极小值.综上当10a e<<或112a e<<时， ()H x 在[]1,e 上有极值点．【名师指点】由极值的情况，探讨导函数零点的情况，进而研究方程根的分布情况.【举一反三】已知函数()()()2ln 1f x a x x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()2,e +∞；（2）[)1,+∞. 【解析】当()0,x e ∈时， ()0g x '>； 当(),x e ∈+∞时， ()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()10g =， 当x e >时， ()0g x >， 所以()20g e a<<∴()210g e a e<<=解得2a e >，故实数a 的取值范围是()2,e +∞.（2）由（1）得， 11ln 2a x x =， 22ln 2a x x =，两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+，故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-， 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+，所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-，即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-，所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-，因为120x x <<，令()120,1x t x =∈，所以()ln 11t tt λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<，令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-， 则()0h t <在()0,1上恒成立， ()ln h t t tλλ='+-，令()ln I t t tλλ=+-， ()()()2210,1t I t t t ttλλ-=-=∈'①当1λ≥时， ()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减，()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时， ()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减，所以()()10h t h >=不符合题意； ③当01λ<<时， ()01I t t λ>⇔<<' 所以()h t '在(),1λ上单调递增，所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减， 故()()10h t h >=不符合题意综上所述，实数λ的取值范围是[)1,+∞. 类型三 利用极值证明不等式问题典例3 已知函数()()2ln 1.f x x m x m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭， e 为自然对数的底数。