初中数学创新性开放性(1)

证明：作⊙O2的直径BF交⊙O2于F，则 ∠FAB=90°且∠FAD+∠FBD=180°， ∴∠BAD+∠FBD=90°。但∠BAD=∠CEB，故 ∠CEB+∠FBD=90°。∵CE∥DB， ∴∠CEB+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°， 即∠FBE=90°，∴EB是⊙O2的切线
(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变， 连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出 图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求 证明）
证明：作直径BF交⊙O2于F ，连 结AB、AF，则∠BAF=90°，
即∠F+∠ABF=90°。 ∵∠F=∠ADB， ∴∠ABF+∠ADB=90°。 ∵EC∥BD，∴∠ACE=∠ADB， 又∠ACE=∠ABE， ∴∠ABE=∠ADB，故 ∠ABF+∠ABE=90°，即 ∠EBO2=90°，∴EB⊥BO2， ∴EB是⊙O2的切线
证明∵EC∥DB， ∴∠ACE=∠ADB，又 ∠ACE=∠ABE， ∴∠ACE=∠ADB=∠ABE。 ∵C是劣弧AB的中点， ∴∠BAC=∠BEC=∠AEC， ∴△AFC∽△ABD∽△EA C∽△EFB
例4.如图直径为13的⊙O1经过原 点O，并且与x轴、y轴分别交于A、 B两点，线段OA、OB(OA>OB) 的长分别 是方程x2+kx+60=0的两 个根
2
(1) > (2) >
(3) > (4) =
结论：对于任意两个实数a和b， 一定有 a2+b2≥2ab
2 证明：∵(a-b) ≥0， 2 2 即a -2ab+b ≥0，
∴a2+b2≥2ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2.如图：已知△ABC为 ⊙O的内接三角形， ⊙O1 过C点与AC交点E，与 ⊙O交于点D，连结AD并 延长与⊙O1交于点F与BC 的延长线交于点G，连结 EF,要使EF∥CG，△ABC 应满足什么条件？请补充 上你认为缺少的条件后， 证明EF∥GC(要求补充的 条件要明确，但不能 多余)
(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D， 当OC2=CD×CB时，求C点的坐标
解：连结O1C交OA于点E， OC2=CD×CB，即 OC/CB=CD/OC,又 ∠OCB=∠DCO， ∴△OCD∽△BCO， ∴∠COD=∠CBO，∴， = ∴O1C⊥OA且平分OA， ∴OE=1/2OA=6， O1E=1/2AB=5/2， ∴CE=O1C-O1E=4，∴C的坐 标为(6，-4)
(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结 AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的 相似三角形(不另外连线，不要求证明)
要证BE是⊙O2的切线，需知 ∠EBO2=90°，不妨过B点作 ⊙O2的直径BF交⊙O2于F点， 则∠BAF=90°，即 ∠F+∠ABF=90°， ∵∠F=∠ADB， ∠EBO2=∠EBA+∠ABF，要 知∠EBO2=90°，需知 ∠ABE=∠ADB，但 ∠ABE=∠ACE，由EC∥BD， 得∠ACE=∠ADB，故 ∠ABE=∠ADB得证，从而知 ∠EBO2=90°，因此BE是 ⊙O2的切线
(2)分析：猜想EB与⊙O2的关 系是相切的 仍作⊙O2的直径BF，则 ∠FAB=90°，同时 ∠FAD+∠FBD=180°， ∴∠BAC+∠FBD=90°。现只 需要得知∠FBE=90°即可。由 CE∥BD可知， ∠CEB+∠DBE=180°，又， ∠CEB=∠BAC， ∴∠BAC+∠EBD=180°， ∴∠EBD-∠FBD=90°，即 ∠FBE=90°，故EB与⊙O2是 相切的
例3.如图：已知⊙O1与⊙O2相交于A.B两点，经过A 点的直线分别交⊙O1.⊙O2于C.D两点(D.C不与B重 合).连结BD，过C点作BD的平行线交⊙O1于点E，连 结BE (1)求证：BE是⊙O2的切线 (2)如图2，若两圆圆心在公 共弦AB的同侧，其他条件不 变，判断BE与⊙O2的位置关 系(不要求证明)
创新型、开放型问题
曾庆坤
例1.比较下面的两列算式结果的大小：
(在横线上填“>”、“<”、“=”)
(1)42+32____2×4×3
(2)(-2)2+12___2×(-2)×1 (3) (4)22+22____2×2×2 通过观察归纳，写出能反映这种规 律的一般结论，并加以证明
1 2 1 ( 2) ( ) 2 2 2 2
(3)在⊙O1上是否存在点P， 使S△POD=S△ABD？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 分析：假设这样的点P是存在的， 不妨设P(m，n)，则P到x轴的距 离可表示为|n|，从已知中得知P 到x轴的最大距离为9，所以 |n|≤9。又S△POD=1/2OD×|n|
S△ABD=1/2AD×OB,∴OD|n|=A D×OB=(OA-OD)OB,即 OD|n|=(12-OD)×5若能求出OD 的长，就可得知|n|。从而知P点 是否在⊙O1上由(2)知 OD OC △OCD∽△BCO，则 OB BC 从中可求出OD的长
分析：要使EF∥GC，需知∠FEC=∠ACB，但 从图中可知∠FEC=∠FDC，∠FDC=∠B，所 以∠FEC=∠B，故当∠B=∠ACB时，可得证 EF∥GC 要使EF∥GC，△ABC应 满足AB=AC或 ∠ABC=∠ACB
证明：连结DC，则 ∠FDC=∠FEC， ∠FDC=∠B， ∴∠FEC=∠B， ∵∠B=∠ACB， ∴∠FEC=∠ACB， ∴EF∥GC
(1)求线段OA、OB的长
(2)已知点C在劣弧OA上，连结 BC交OA于D，当OC2=CD×CB 时，求C点的坐标
(3)在⊙O1上是否存在点P， 使 S△POD=S△ABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)解：∵OA、OB是方 程x2+kx+60=0的两个根， ∴OA+OB=-k， OA×OB=60 ∵OB⊥OA，∴AB是 ⊙O1的直径 ∴OA2+OB2=132，又 OA2+OB2=(OA+OB)22OA×OB，∴132=(-k)22×60 解 之得： k=±17 ∵OA+OB>0，∴k<0故k=-17，于是 方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5