一类具时滞2n阶非线性常微分方程周期解的存在性

F ûx (n) û22 -
a+ 2(n-
1)
ûx ( n-
1)
û22
-
ûa 2(n- 2) ûûx ( n- 2) û22 -
…
∫2P
- ûa4 ûûx ″û22 - a2 + ûx ′û22 - L ûx ′û2dt 0
∫ ∫ 2P
2P
F ûx ( n) ûdt + K [ - a2( n- 1) ûx ( n- 1) û2 + a2( n- 2) ûx ( n- 2) û2 + …
F 2P( ûeû∞ + D 1 + D 2 + D 3) ûx ( 2n) û2
其中,
D 1 = m ax { ûf 1( x ) ûûx ′û2: ûx ûF C1 , ûx ′ûF C5} , D 2 = max { ûf 2( x ) x ′û: ûx ûF C1 , ûx ′ûF C5}
于是由( 3. 3) 式, 我们有
ûx û∞ F d +
2Pûx ′û2 F d +
2 Põ
ûeû1 + 2ûad û1 A1- L
õ
ûx Βιβλιοθήκη Baidu∞
( 3. 10)
因此有( 3. 4) 成立.
为估计 x ′( t) , 将方程 ( 2. 1) K 两边同乘以 - x ″( t ) , 然后由 0 到 2P积分, 由( 2. 2) 式,
摘要: 通过应用拓扑度的方法, 获得了一类具时滞 2n 阶非线性微分方程 2P周期解的存在性的充分条件. 关键词: 重合度; 非线性; 周期解
1 引言及预备
时滞微分方程周期解的存在性, 在生态学和控制论等领域都有重要的意义. 本文研究
2n- 1
∑ x ( 2n) +
aj x ( j ) + f 1( x ) ûx ′û2 + f 2 ( x ) x ′+ g ( t - S, x ) = e( t)
的结论.
为了叙述方便, 我们记
∫ ûx ûp =
2P
ûx ( t ) ûp dt
1
p , ûx û∞ =
max ûx ( t ) û, a+ = max { 0, a}
0
t∈[ 0, 2P]
∑ ‖x ‖ =
2n- 1
ûx ( j ) û∞, x ( 0) =
j= 0
x , f ′ 1( x ) =
1) 对任意 K∈ ( 0, 1) , 方程 L x = KN x 的解满足 x | 58 ,
2) 对任意 x ∈ Ker L ∩ 58 , QN x ≠ 0,
3) Br ouw er 度 deg { J QN , 8 ∩ KerL , 0} ≠ 0, 则算子方程 L x = KN x 在 do mL ∩ 8- 中至少有一解.
且 D 3 = m ax { ûg ( t - S, x ) û: t ∈ R , ûx û F C2} . 由( 3. 13) 式, 我们有
ûx ( 2n) û2 F
1 A1
2P( ûeû∞ + D 1 + D 2 + D 3) ∶= C6
足 ‖x ‖ F M1 .
设 x ( t ) 为方程 ( 2. 1) K的任一 2P周期解, 由 0 到 2P积分方程 ( 2. 1) K, 有
∫ ∫ 2P f 1( x ) ûx ′û2 + g ( t - S, x ) dt =
2P
e( t ) dt = 0
0
0
( 3. 1)
由( H4) 可知, v t0 ∈ [ 0, 2P] , 使得
df 1( x ) dx
A1 =
1-
a - + 2( k- 1)
ûa2( k- 2) û -
…-
ûa4 û -
a+2
A2 =
1-
a - + 2( k- 1)
ûa2( k- 2) û -
…-
a+4
-
ûa 2û
收稿日期: 2009-03-20
24 4
数 学 的 实 践 与 认 识
39 卷
另外, 我们还假设下列条件成立: ( H1 ) 存在常数 L E 0, 使得( - 1) nx f 1( x ) E - L , P x ∈ R .
1) 不具有时滞时, 即下述方程
n- 1
∑ x ( n) +
aj x ( j) + f 1( x ) ûx ′û2 + f 2( x ) x ′+ g( t , x ) = e( t )
j= 2
存在 2P周期解的充分条件.
( 1. 4)
本文通过应用重合度的方法, 在具有时滞的情况下获得了方程( 1. 1) 2P周期解存在性
k- 1
∑ x ( 2k) +
aj x ( 2j) + ( - 1) ( k+ 1) g ( t, x ) = 0
j= 1
( 1. 2)
或
k- 1
∑ x ( 2k+ 1) +
a x ( 2j + 1) j
+
g( t, x) =
0
j= 1
( 1. 3)
周期解存在性的研究已经取得了相当丰富的结果( 见文献[ 1-6, 8] . 文献[ 7] 给出了方程( 1.
引理2. 1 假设 x ∈ c2( R, R ) 且 x ( t + 2P) = x ( t ) , 则
ûx
′ ( t)
û22
F
ûx
″ (t)
û22
引理 2. 1 即 wirt inger 不等式, 其证明可参看文[ 10] 引理2. 2[ 9] L 是指标为零的F redholm 算子, N 在 8- 上是 L 紧的, 并且
( H*4 ) L < A 且( H4 ) 成立, 其中 A 为常数.
2 几个引理
引入辅助方程:
2n- 1
∑ x ( 2n) + K ajx (j ) + f 1 ( x ) ûx ′û2 + f 2( x ) x ′+ g( t - S, x ) = Ke( t ) j= 2
下列引理将会在定理 3. 1 的证明中用到:
( 2. 1) K ( 2. 2)
3 主要结果
定理3. 1 设( H1 ) -
( H3) 成立.
且
(
H
* 4
)
成立.
若n
为偶数,
且A
=
A 1,
则方程( 1. 1) 至
少存在一个 2P周期解.
证明 我们将利用引理2. 2 来证明定理, 为此需证明方程 ( 2. 1) K 可能的 2P周期解的集
合为有界集. 即证存在与 K无关的常数 M 1 > 0, 使得方程 ( 2. 1) K的任意可能的 2P周期解满
( 3. 12)
由于 x ( t) 是 2P周期解, 从而存在 T 0 ∈ ( 0, 2P) , 使得 x ′( T 0) = 0, 因此
∫ ûx ′( t) û =
t
x ″( s) ds F
T0
∫ 2Põ
2P
ûx ″( s) û2ds
1 2
F
0
2PC4 ∶= C5
( 3. 13)
现在我们估计 x ( j) ( j = 2, 3, …, 2n - 1) , 将方程 ( 2. 1) K 两边同乘 x ( 2n) , 然后由 0 到 2P积
∫2P
( H2) e( t ) dt = 0. 0
( H3 ) f ′ 1( x ) ∈ C( R , R ) , 且( - 1) nf ′ 1 ( x ) E 0, P x ∈ R . ( H4) 存在常数 d > 0, 使得 ( - 1) nx g( t - S, x ) > 0, 且
( - 1) nx f 1( x ) E 0, P t ∈ R, ûx û > d
ûx
(n+
1
)
û2
]
dt
∫ ∫∑ 2P
2P 2n- 1
F ûx ( 2n) û2dt + K ( aj x ( j) ) x ( 2n) dt
0
0 j= 2
∫2P
= K [ e( t ) - f 1( x ) ûx ′û2 - f 2 ( x ) x ′- g ( t - S, x ) ] x ( 2n) dt 0
分, 则有,
∫2P
A 1ûx ( 2n) û22 = A 1 ûx ( 2n) û2dt 0
∫ ∫ 2P
2P
F
ûx ( 2n) û2dt +
K
[-
a+ 2 (n-
1)
ûx ( 2n-
1)
û2
-
ûa2( n- 2) ûûx ( 2n- 2) û2 -
…
0
0
-
a4 ûx ( n+ 2) û2 -
a
+ 2
19 期
武延树: 一类具时滞 2n 阶非线性常微分方程周 期解的存在性
24 5
ûx û∞ < C1且 ûx ′û2 < C2
( 3. 4)
结合条件(
H
* 4
)
我们做如下证明.
当条件( H*4 ) 成立时, 令
g ( t - S, x ) ,
ûx û > d
G ( t, x ) =
g(t -
S,
第 39 卷第 19 期
数学的实 践与认识
V o l. 39 No . 19
2009 年 10 月 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE AND T HEORY Octo ber , 2009
一类具时滞 2n 阶非线性常微分方程周期解的存在性
武延树
( 滨州学院 数学与信息科学系, 山东 滨州 256603)
0
0
∫ ∫ 2P
2P
+ x f 1( x ) ûx ′û2] dt + K g( t - S, x ) x dt = K e( t) x dt
0
0
( 3. 8)
从而结合( H1) 和( 2. 2) 式, 可得:
( A 1 - L ) ûx ′û22 F ( A 1 - L ) ûx ( n) û22
d õ sg n( x ) )
ûx d
û,
ûx û F d
( 3. 5)
h( t , x ) = g( t - S, x ) - G( t , x )
( 3. 6)
容易得到
x G( t , x ) E 0 且 ûh( t , x ) ûF 2ad( t) , P ( t, x )
( 3. 7)
其中 ad( t) ∈ C( R, R ) , ad( t + 2P) = ad( t ) 且 ad( t) E m ax ûg( t , x ) û. 设 x ( t) 为方程 t∈R, ûxûF d
( 2. 1) K 的任一 2P周期解, 将方程 ( 2. 1) K 两边同乘以 x ( t) , 然后由 0 到 2P积分, 可得:
∫ ∫ 2P
2P
ûx (n ) û2dt + K [ - a2( n- 1) ûx n- 1û2 + a2( n- 2) ûx n- 2 û2 + … + a4 ûx ″û2 - a2ûx ′û2
( 3. 11)
24 6
数 学 的 实 践 与 认 识
39 卷
其中 C3 = m ax ûg ( t - S, x ) û, C-3 = max ûf 2( x ) û, 于是有,
t∈R, ûx ûFC1
ûx ûFC1
ûx ″ 2 û2 F
1 A1
(
ûeû2
+
2PC3 + C- 3C2) ∶= C4
Schw arz 不等式及条件( H3) , 可得
A 1 ûx ″û22
F A 1ûx ( n+
û 1) 2 2
∫ ∫ 2P
2P
F ûx (n+ 1) û2dt + K [ - a2( n- 1) ûx (n) û2 + a2(n- 2) ûx ( n- 1) û2 + …
0
0
∫ + a4 ûx ( 3) û2 - a2 ûx ″û2] dt +
j= 2
( 1. 1)
的 2P周期的存在性. 其中 f 1, f 2, e: R → R 和 g: R × R → R 为连续函数, e( t ) 和 g( t - S,
x ) 为关于 t 的 2P周期函数, 且 aj ( j = 2, 3, …, n - 1) , S为常数.
近几十年来, 关于高阶 Duff ing 方程
0
0
∫2P
+ a4ûx ″û2 - a2 ûx ′û2 + x f 1 ( x ) ûx ′û2 ] dt + K x G( t , x ) dt 0
∫ ∫ 2P
2P
= K e( t ) dt - K h( t, x ) x dt F ( ûe( t ) û1 + 2ûad û1) ûx û∞
0
0
( 3. 9)
K 3
2P
f
0
′ 1( x )
ûx ′û4dt
∫ ∫ ∫ 2P
2P
2P
= - K e( t ) x ″dt + K g ( t - S, x ) x ″dt + K f 2( x ) x ′x ″dt
0
0
0
F ( ûe û2 + 2PC3 ) ûx ″û2 + C-3ûx ′û2 õ ûx ″û2
F ( ûe û2 + 2PC3 + C-3 C2 ) ûx ″û2
ûx ( t0 ) û < d
( 3. 2)
因此
∫t
ûx û∞ =
t∈m[ 0a, x2P] ûx ( t ) û F
t∈m[
ax
0, 2P]
x ( t 0) +
x ′( t) dt F d +
t0
2Pûx ′û2
( 3. 3)
现证下列命题成立
命题 假设 x ( t ) 为方程 ( 2. 1) K的任一 2P周期解, 则存在常数 C1 和 C2, 使得