15第15讲4.3-4.4

第十五讲 Ch.4 大数定律与中心极限定理

§4.1 随机变量序列的两种收敛性

.215208.-P (自学)

§4.2特征函数

.229215.-P (自学)

§4.3 大数定律

Remark

问题：第一章中关于稳定性的论断，如“概率是频率的稳定值”等等，理论上如何解释？

解释方法：利用大数定律就可以给出合理的解释！ 大数定律的定义：概率论中，揭示随机现象平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律. 4.3.1 伯努利大数定理 1. 依概率收敛(可参考.209208

.-P )

)i 数列{

n

s n }收敛于p 是指：

p n

s n

n =+∞→lim )ii 频率n

s n

依概率收敛于p 则是指：对0>∀ε，有 0lim =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛≥-+∞

→εp n s P n n ，

1lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-+∞

→εp n s P n n .

Remark 通俗理解)i 中{n

s n }收敛于p 就是，随着n 的

充分大，,

1n s n +,2n

s n +…，全部都比

n

s n 更靠近p ；而)ii 中

{

n

s n }依概率收敛于p 的区别在于，随着n 的充分大，

由于随机性，在

,

1n s n +,2n

s n +…中可能有若干个不比

n

s n 更

靠近p 的现象.

2. 复习：切比雪夫不等式

设X 为..V R ，DX 存在，则对0>∀ε

，有

()2

ε

εDX

EX X P ≤

≥-,

或

()2

1ε

εDX

EX X P -

≥<-.

3. 伯努利大数定（律）理

定理4.3.1 设n s 为“n 重伯努利独立试验”中“成功”的次数, p

为每次试验“成功”的概率，则对0

>∀ε

，

有

1lim =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛<-+∞

→εp n s P n n ，

0lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-+∞

→εp n s P n n . Proof 由假设易知n s ~),(p n b ，且

p np n

Es n n s E n n =⨯==

11)(， n

p p p np n

Ds n

n s D n n )1()1(11)(2

2

-=

-⨯=

=

.

于是，对.

.V R n

s X n =

利用切比雪夫不等式，并由概率

的非负性，对0>∀ε，有

2

)

(

))(

(

0ε

εn

s D n

s E n

s P n n n ≤

≥-≤，

即

2

)1()(

0ε

εn p p p n

s P n -≤

≥-≤.

令+∞

→n

，由“夹逼定理”得

0lim =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛≥-+∞

→εp n s P n n . 又考虑到“

ε

<-p n

s n ”为“

ε

≥-p n

s n ”的对立事件，得

1lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-+∞

→εp n s P n n . Remarks

)i 伯努利大数定理表明：随着试验次数的增多，

“成功”的频率n s n

与其概率p 发生大偏差的概率为0，这就是“概率是频率的稳定值”的很好解释！

)ii 了解伯努利大数定理的应用例. .232231.-P

4.3.2 大数定律中常用的几个定理

.236232.-P

(稍作了解即可)

服从大数定律：定义4.3.1 .233.P

§4.3节思考练习：.238236

.-P

4.

§4.4中心极限定理

主要研究内容: ..V R 序列{}n

X 的极限分布为正态分布

的条件！

主要结论:一个随机指标受到很多随机因素的影响，且每个因素又都不能起决定性的作用时,则该随机指标服从正态分布. §4.4节没有课外作业.