导数及其应用[1].板块四.导数与其它知识综合1-函数.学生版

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BjJU![匡知识内容
i .导数与函数的性质、基本初等函数的结合,这是导数的最主要的考查内容; 常常涉及到函数与方程的知识,有时需要结合函数图象求解; 2•导数与数列的结合,要注意数列作为函数的特殊性; 3. 导数与三角函数的结合;
4. 导数在不等式的证明中的运用,经常需要构造函数,利用导数去求单调性,证明不等式.
目]也![住典例分析
题型一:导数与函数综合
0有三个不同实根,则实数 a 的取值范围为(
a 1 C . 1 a 3 D . 0
g x
设f x
x
f x 上的点P 到点Q 0 , 2的距离的最小值为 「2,求m 的
值;
f x kx 有且仅有一个零点,求k 的值,并求出相应的零点.
kx 存在零点,并求出零点.
【例3】已知函数f (x) ax 3 (a 1)x 2
48(a 2)x b 为奇函数,
⑴求f(x)的解析式; ⑵求f(x)的单调区间.
⑶若f (x) m 有三个不同的实根,求 m 的取值范围.
【例4】 设函数f x x 3
bx 2
cx(x R),已知g(x) f (x) f (x)是奇函数.
⑴求b 、c 的值.⑵求g(x)的单调区间与极值. ⑶若g(x) m 有三个不同的实根,求 m 的取值范围.
【例5】 设函数f(x) x
3
9
x 2
6x a •
【例2】
已知二次函数
g(x)的导函数的图像与直线 y 2x 平行,且y g(x)在x 1处取得极小值
方程的根的问题
【例1】若方程x 3 3ax 2
A. a 0 B
m 1(m
0). ⑴若曲线y ⑵若函数y
⑶k k R 如何取值时,函数y f x
2
⑴对于任意实数x , f (x) > m恒成立,求m的最大值;
⑵若方程f (x) 0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
【例6】已知函数f (x) ax3 bx2 4x的极小值为8,其导函数y f (x)的图象经过点(2, 0),如图所示.
⑴求f (x)的解析式;
⑵若函数y f x k在区间[3,2]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围.
【例7】已知二次函数f(x)满足:①在x 1时有极值;②图象过点(0,3),且在该点处的切线与直线2x y 0平行.
⑴求f (x)的解析式;
⑵求函数g(x) f(x2)的单调递增区间.
⑶求g(x)在[1 , 2]上的最大值与最小值.
⑷关于x的方程g(x) m最多有几个解?并求出此时m的取值范围.
【例8】设函数f x x In x m,其中常数m为整数.
⑴当m为何值时,f x > 0 ;
⑵定理:若函数g x在a , b上连续,且g a与g b异号,则至少存在一点x0 a, b , 使g X D
0 .(注:此定理在新课标的必修一中已经给出了)
试用上述定理证明:当整数m 1时,方程f x 0在e m m, e2m m内有两个实根.
【例9]已知f(x)是二次函数,不等式f(x) 0的解集是(0,5),且f(x)在区间1,4上的最大值是
12.
⑴求f(x)的解析式;
⑵是否存在自然数m,使得方程f (x) ^7 0在区间(m ,m 1)内有且只有两个不等的实数
x
根?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
【例10]设a为实数,函数f (x) x3 x2 x a ,
⑴求f(x)的单调区间与极值;
⑵当a在什么范围内取值时,方程 f (x) 0仅有一个根.
【例11】已知函数f x lx 3 ax 2
b 在
x 2处有极值. 3
⑴求函数f x 的单调区间;
⑵若函数f x 在区间 3 , 3上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围.
【例12】已知函数f x x 3 ax 2
b a, b R .
⑴若a 1,函数f x 的图象能否总在直线y b 的下方?说明理由? ⑵若函数f x 在0, 2上是增函数,求a 的取值范围.
⑶设x 1 , x 2 ,冷为方程f x 0的三个根,且x 1, 0 , x 2 0 , 1 , x 3 , 1 U 1 ,
求证:a 1 .
图象的交点问题
【例13】已知直线y kx 与曲线y Inx 有交点,则k 的最大值为(
) A. e 1 B . e C . e 2 D
. 0
【例14】直线y ex b ( e 为自然对数的底数)与两个函数
f (x) e x
, g (x) Inx 的图象至多有一个公
共点,则实数b 的取值范围是 ____________ .
【例15】已知函数f(x) x 3ax 1,a 0
⑴求f x 的单调区间; ⑵若f x 在x 1处取得极值,直线y m 与y f x 的图象有三个不同的交点,求 m 的取
值范围.
【例16】已知函数f x x 3
3ax 1 , g x f x ax
⑴对满足1 < a <1的一切a 的值,都有g x ⑵设
a m 2
,当实数m 在什么范围内变化时, 共点.
⑵ 若函数f(x)的图象与直线y ax 只有一个公共点,求实数 b 的取值范围.
【例18】已知函数f x 1x 3
ax 2
bx ,且f 1
0 .
3
⑴ 试用含a 的代数式表示b ; ⑵求f x 的单调区间;
⑶令a 1,设函数f x 在论,X 2人X 2处取得极值,记点 M 人,f 人,N X 2 , f X 2
证明:线段MN 与曲线f x 存在异于M , N 的公共点.
5,其中f (x)是f (x)的导函数. 0,求实数x 的取值范围;
函数 y f x 的图象与直线y 3只有一个公
【例17】已知函数f (x) x 3 x 2
⑴当a 1时,求函数 ax b .
f(x)的单调区间;
【例 19】f(x) mx33(m 1)x23(m 2)x 1,其中m R .
⑴若m 0,求f(x)的单调区间;
⑵在⑴的条件下,当x 1,1时,函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,
求m的取值范围;
⑶设g(x) mx3 (3m 2)x2 3mx 41 nx m 1,问是否存在实数m,使得y f (x)的图象与y g(x)的图象有
且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
【例20】已知函数f (x) x2 8x, g(x) 61 nx m .
⑴求f(x)在区间t ,t 1上的最大值h(t);
⑵是否存在实数m,使得y f (x)的图象与y g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m
的取值范围;若不存在,说明理由.
【例21】已知x 3是函数f x aln 1 x x2 10x的一个极值点.
⑴求a ;
⑵求函数f x的单调区间;
⑶若直线y b与函数y f x的图象有3个交点,求b的取值范围.
【例22】已知函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
⑴求a的值;
⑵是否存在实数b,使得函数g(x) bx2 1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点,若存在,求出实
数b的值;若不存在,试说明理由.
其它
【例23】已知f (x) lgx,函数f(x)定义域中任意的为,乂2(捲X2),有如下结论: ① 0 f (3) f(3) f(2) f
(2):② 0 f (3) f (2) f (3) f (2);
③ f (X1)f (X2)0 .④f x1 X2 f(x1) f(X2)
x1 x2 2 2
上述结论中正确结论的序号是__________________ .
【例24】已知二次函数y g(x)的图象经过原点0(0,0)、点R(m , 0)和点B(m 1 ,m 1) ( m 0,且m 1).
⑴求函数y g(x)的解析式;
⑵设 f (x) (x n)g (x) ( m n 0),若 f (a) f (b) 0, b a,求证:b n a m.
⑶在例题⑵的条件下,若m n 2. 2,则过原点与曲线y f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能,
请给出证明;若不能,请说明理由.
精品资料
【例25】设函数y f(x)在(a,b)上的导函数为f (x) , f (x)在(a,b)上的导函数为f (x),若在(a,b)上, f (x) 0恒成立,则称函数f (x)在(a,b)上为’凸函数”已知f (x)
12 6 2
⑴若f(x)为区间(1,3)上的凸函数”试确定实数 m的值;
⑵若当实数m满足|m0 2时,函数f (x)在(a,b)上总为凸函数”求b a的最大值.
【例26】已知函数f(x)的图象在[a, b]上连续不断,定义:
f i(x) min{ f (t) |a < t < x} (x [a, b]) , f2(x) max{ f (t) | a < t < x} (x [a,b]).
其中,min{ f (x) | x D}表示函数f (x)在D上的最小值, max{f(x)|x D}表示函数f (x)在D上
的最大值•若存在最小正整数k,使得f2(x) f1(x) < k(x a)对任意的x [a, b]成立,则称函数
f (x)为[a, b]上的’k阶收缩函数”
⑴若f (x) cosx , x [0, n,试写出f1(x), f2(x)的表达式;
⑵已知函数f (x) x2, x [ 1, 4],试判断f(x)是否为[1, 4]上的’k阶收缩函数”如果是,求出对应
的k;如果不是,请说明理由;
⑶已知b 0,函数f(x) x3 3x2是[0, b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围.
【例27】设f x是定义在区间1, 其
中h x对任意的x 1, 有性
质P a . 上的函数,其导函数为
都有h x 0,使得f x
x .如果存在实数a和函数h x ,
h x x2ax 1 ,则称函数
【例28】
已知函数f (x) x 2, g(x) ⑴已知函数 x log m x 2x ,如果
x 是增函数,且h
x 的导函数h x 存
在正零点,求m 的值; ⑵设F x
上单调递增,求实数 ⑶试求实数p 的个数,使得对于每个p ,关于X 的方程Xf(x) pg(x) 2p 的偶数根.
f x t
g x 1 t t 2,且 |F
0,1 t 的取值范围.
1都有满足| x 2009
⑴设函数f (x) ln x b — (x 1),其中b 为实数,
x 1
(i) 求证:函数 f x 具有性质P b ;
(ii) 求函数f x 的单调区间.
⑵已知函数g x 具有性质P 2 •给定x, , X 2 1 ,
1 m 冷 mx 2,且
1 , 1,若 |g g ,X 1 X 2,设 m 为实数, m^ 1 m X 2,
g % g X 2 ,求m 的取值范围.
【例29】定义在区间D 上的函数f x ,如果满足:对 x D , 常数A ,都有f x > A 成立,则称
函数f x 在区间D 上有下界,其中A 称为函数的下界 ⑴试判断函数f x
x 3 48
在0,
x
⑵又具有下图特征的函数称为在区间 在 ,0上是否有上界?并说明理由;
⑶若函数f x 在区间D 上既有上界又有下界, 则称函数f x 在区间D 上有界,函数f x 叫 做有界函
数•试探究函数 f x ax' b ( a 0, b 0 , a, b 是常数)是否是 m , n ( m 0 ,
x
n 0 , m 、n 是常数)上的有界函数?
上是否有下界?并说明理由; D 上有上界•
请你类比函数有下界的定义,给出函数 f x 在区间D 上有上界的定义,并判断⑴中的函数。

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