中考数学专题复习――线段和差的最小值问题PPT课件
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16
17
• （2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB 边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA 上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以 四边 形GEFC为平行四边形，有GE=CF.
• 又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、 F使四边形CDEF的周长最小.
• 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的 中点，CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1.
C
D
A
O P P’ B
D’
11
类型2：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
C
N′ M
D
AN
B
图3
12
练习： 1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°， 点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意 一点，则PK+QK的最小
9
3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G 分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，
连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 2
（2）△BPG周长的最小值是 3
。
A
E P’
PF
B
G
C 10
4、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C 是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上 有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是 多少？并画出点P的位置.
值为（ B ）
A、1 B、
C、 2 D、 +1
A
D
P’
K
K’
E
Q
Q’
B
P
C
13
类型3：多条线段和最小
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B 的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A， B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图， 并求出P、Q两点的坐标。
A’ຫໍສະໝຸດ Baidu
P’
P. .
Y
B1
B
C
Q A
O
P
X
图5
A1
15
类型4：先平移，再对称 如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的 正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的 周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的 坐标.
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，
点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最
小值。
B
B
A
A
P
L
P
A’
基本图形:两点一线
基本解法:利用对称性,将“折”转“直”
L B’
6
出题背景变式有：
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆 、坐标轴、抛物线等。
解题思路：
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
7
类型1：两个定点，一个动点 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8， 点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是 边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 _______5______．
D
M’
A
P’ P
C
M
N
B
8
练习
1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
A
B
19
类型5：线段差的最大值
如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交 于点A（-1， 0）点B（0，-5）点C．
(I)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角 形PAB的周长最小，求出点P的坐标。
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点F， 使FC-FB值最大．请求出点F的坐标．
y AO
称性。
3
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛 奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之 和最短？为什么？
A
P
街道
P’
B
4
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛 奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之 和最短？为什么？
B
A
街 道
P
P’
A’
5
求线段和最小值的一般步骤：
C
x
P
B
20
拓展
如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点 M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1） 的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取 最小值时，点M的横坐标 x=__________________。
Y
6
5
P (5,5)
4
3 2
(2,1) Q 1
Y 6 5
4 3 2
(2,1) Q 1
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连
结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度，
最小值等于____5_____；
B
y
E
C B
A
A
P
C
o
A’ P
街道旁 x
图1
D
2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的 平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为 （6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。
中考数学中的最短问题
----线段和、差的最值问题
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
学习目标
• 掌握线段和、差最值的求解方法。
知识准备
1、轴对称的性质； 2、两点之间线段最短； 3、垂线段最短； 4、勾股定理； 5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对
Q Q’ B’
14
练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然 保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为 10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角 坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁 和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组 成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
P (5,5)
• 所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为 （0， -2），设直线G 的解析式为y=kx+b，则 ，解得 k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令 y=0，则x= ，所以点E的坐标为（ ，0）,所以点 F的坐标为（ +2，0）即F的坐标为（ ，0）
18
练习
看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须 与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设 计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明 理由。
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• （2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB 边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA 上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以 四边 形GEFC为平行四边形，有GE=CF.
• 又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、 F使四边形CDEF的周长最小.
• 因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的 中点，CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1.
C
D
A
O P P’ B
D’
11
类型2：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
C
N′ M
D
AN
B
图3
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练习： 1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°， 点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意 一点，则PK+QK的最小
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3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G 分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，
连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 2
（2）△BPG周长的最小值是 3
。
A
E P’
PF
B
G
C 10
4、已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C 是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上 有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是 多少？并画出点P的位置.
值为（ B ）
A、1 B、
C、 2 D、 +1
A
D
P’
K
K’
E
Q
Q’
B
P
C
13
类型3：多条线段和最小
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B 的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A， B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图， 并求出P、Q两点的坐标。
A’ຫໍສະໝຸດ Baidu
P’
P. .
Y
B1
B
C
Q A
O
P
X
图5
A1
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类型4：先平移，再对称 如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的 正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的 周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的 坐标.
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，
点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最
小值。
B
B
A
A
P
L
P
A’
基本图形:两点一线
基本解法:利用对称性,将“折”转“直”
L B’
6
出题背景变式有：
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆 、坐标轴、抛物线等。
解题思路：
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
7
类型1：两个定点，一个动点 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8， 点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是 边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 _______5______．
D
M’
A
P’ P
C
M
N
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练习
1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
A
B
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类型5：线段差的最大值
如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交 于点A（-1， 0）点B（0，-5）点C．
(I)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使三角 形PAB的周长最小，求出点P的坐标。
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点F， 使FC-FB值最大．请求出点F的坐标．
y AO
称性。
3
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛 奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之 和最短？为什么？
A
P
街道
P’
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如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛 奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之 和最短？为什么？
B
A
街 道
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P’
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求线段和最小值的一般步骤：
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x
P
B
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拓展
如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点 M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1） 的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取 最小值时，点M的横坐标 x=__________________。
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6
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P (5,5)
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3 2
(2,1) Q 1
Y 6 5
4 3 2
(2,1) Q 1
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连
结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度，
最小值等于____5_____；
B
y
E
C B
A
A
P
C
o
A’ P
街道旁 x
图1
D
2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的 平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为 （6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。
中考数学中的最短问题
----线段和、差的最值问题
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
学习目标
• 掌握线段和、差最值的求解方法。
知识准备
1、轴对称的性质； 2、两点之间线段最短； 3、垂线段最短； 4、勾股定理； 5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对
Q Q’ B’
14
练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然 保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为 10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角 坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁 和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组 成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
P (5,5)
• 所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为 （0， -2），设直线G 的解析式为y=kx+b，则 ，解得 k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令 y=0，则x= ，所以点E的坐标为（ ，0）,所以点 F的坐标为（ +2，0）即F的坐标为（ ，0）
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练习
看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须 与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设 计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明 理由。