数学建模 自来水运输与货物装运
数学建模 自来水运输与货物装运
数学建模自来水运输与货物装运本文将探讨关于自来水运输与货物装运的数学建模。
自来水运输和货物运输是现代社会不可或缺的服务，其在经济和社会的作用越来越重要。
其中，数学建模将在这个过程中扮演重要角色，来帮助我们更好地了解这些服务及其运作方式。
一、自来水运输建模自来水的供应是城市化进程中极为重要的环节。
水的提供必须满足一定的规模，最大限度地避免供应短缺。
因此，自来水供应的建模必须能够预测水需求的变化，并决定水的运输路径。
第一个问题是关于水的需求量。
通过研究城市的基础设施、历史数据、人口增长率等，可以得到一个预测模型，确定未来水需求。
其次，需要确定自来水的来源。
自来水通常通过水管输送，然而水的来源有很多：地下水、河水和湖水。
显然，各种来源的距离，水质的不同，以及城市地理位置等各种因素将直接影响到水的选择以及其运输成本。
基于这些数据，我们将能够建立一个数学模型，选择最合适的水源，并决定水的运输路径，保证水资源的供应，并最大限度地减少成本。
第二个问题是解决水的运输路径。
在此，我们可以建立一个数学模型，以决定水的运输方式，以及运输路径。
该模型需要考虑以下几个要素：（1）路线的长度与准确性：为了减少运输成本，需要最小化中转点数量和路线长度，同时确保水的质量和数量达到城市的需求。
（2）上限和下限要素：水的供应和需求间存在一定的上限和下限，水资源和基础设施也有其各自的最大容量和固有限制。
因此，数学建模必须明确地确定这些上限和下限要素，并在此基础上制定运输计划。
二、货物装运建模货物装运实质上是货物运输的关键，也需要数学建模以优化运输成本和运输时间。
正确地计算运输成本不仅有助于降低物流成本，更可以给予生产者更大的回报，同时能有效反映供应链的稳定性。
一个好的数学模型必须考虑以下要素：（1）车辆数量和种类在建模时，必须考虑到从始至终货物的数量和类型，路线的长度等因素，以便在最佳时间内选择最适合的车辆数量和种类。
同时，这个模型还必须知道运输任务的时间时间范围。
第四章 数学规划模型 数学建模(姜启源第四版)ppt课件
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
基本模型
变量
目标 函数 约束 条件
x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2 利润
Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶 模型 牛奶 或
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
可 加 性
连续性
模型求解
x1 x2 50
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40
自来水运输与货机装运输.doc
自来水输送与货机装运摘要：本文通过用建立数学模型的方法，对自来水输送与货机装运的问题及生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大的问题进行分析，从而得出获取最大利润的有效方案得到了运费最小获利最大的方法。
关键词：不等式方程组 运输 作图比较1 问题的提出运输问题生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。
1．1 自来水输送 水库供水量(千吨)收入：900元/千吨 支出 引水管理费 其他费用:450元/千吨1.2 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 1.3 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 问题分析元/千吨 甲 乙 丙 丁 A 160 130 220 170 B140130 190 150 C 190 200230/A ：50B ：60C ：50甲：30；50 乙：70；70 丙：10；20 丁：10；40水库供水量(千吨)小区基本用水量(千吨)小区额外用水量(千吨)（以天计）总供水量：160 < 总需求量：120+180=300 收入：900元/千吨 总收入900 160=144,000(元) 其他费用:450元/千吨 其他支出450 160=72,000(元) 确定送水方案使利润最大⇒ 使引水管理费最小2 合理假设与变量说明2.1 每种货物可以分割到任意小2.2 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布 2.3 多种货物可以混装，并保证不留空隙 2.4 水库i 向j 区的日供水量为 ijx （34x =0）2.5ijx --第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)3.模型建立和求解3.1确定3个水库向4个小区的供水量 目标函数供应限制约束条件 需求限制 线性规划模型(LP)3.1.1 模型求解OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 24400.00VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX11 0.000000 30.0000003332312423222114131211230200190150190130140170220130160x x x x x x x x x x x Z Min ++++++++++=5014131211=+++x x x x 506033323124232221=++=+++x x x x x x x 8030312111≤++≤x x x 14070322212≤++≤x x x 3010332313≤++≤x x x 50102414≤+≤x xX12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.000000 X33 10.000000 0.000000X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000总利润 88700（元）这类问题一般称为“运输问题”3.2 货机装运 三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3)三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例如何装运，使本次飞行获利最大？ 3.2.1模型建立 货机装运 目标函数(利润) 货舱重量货舱容积3.2.2模型建立货机装运3332312423222114131211220250260300260320310280230320290x x x x x x x x x x x Z Max ++++++++++=)(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211x x x x x x x x x x x x Z Max +++++++++++=81610433323134232221241312111x x x x x x x x xx x x +++=+++=+++平衡要求货物供应3.2.3模型求解 货机装运OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1) 121515.8V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000货物2：前仓10,后仓5； 货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。
货物配送问题数学建模
货物配送问题数学建模一、问题描述在物流配送中，如何合理地安排货物的配送路线，使得货物能够最快地到达目的地，同时保证配送成本最小化，是一个重要的问题。
本文将以某物流公司为例，探讨如何利用数学建模的方法解决货物配送问题。
二、问题分析该物流公司需要将货物从A地配送到B地，其中A地有n个发货点，B地有m个收货点。
每个发货点的货物重量不同，每个收货点的需求量也不同。
为了保证配送效率，该物流公司需要在每个发货点选择最优的配送路线，使得货物能够最快地到达目的地，同时保证配送成本最小化。
具体而言，该问题需要考虑以下因素：1.货物重量：每个发货点的货物重量不同，需要考虑不同重量的货物在配送过程中的影响。
2. 配送路线：如何选择最优的配送路线，使得货物能够最快地到达目的地，同时保证配送成本最小化。
3. 配送成本：配送成本包括人工成本、车辆成本、油费等，需要考虑如何在保证配送效率的同时最小化配送成本。
三、数学建模为了解决上述问题，我们可以采用数学建模的方法。
具体而言，我们可以将该问题建模为一个最小费用最大流问题。
最小费用最大流问题是图论中的一个经典问题，其主要思想是在网络流的基础上，引入费用这一概念，使得在满足流量限制的同时，最小化总费用。
在本问题中，我们可以将发货点看作源点，收货点看作汇点，货物的重量看作每个边的流量限制，配送成本看作每个边的费用。
具体而言，我们可以将该问题建模为以下几个步骤：1. 建立网络模型：将发货点和收货点看作网络中的节点，将货物的配送路线看作网络中的边，建立网络模型。
2. 确定流量限制：将每个发货点的货物重量看作每个边的流量限制。
3. 确定费用：将配送成本看作每个边的费用。
4. 求解最小费用最大流：利用最小费用最大流算法，求解最小费用最大流，得到最优的配送路线。
四、实际案例为了验证上述方法的有效性，我们在某物流公司的实际配送中进行了测试。
具体而言，我们将该问题建模为一个最小费用最大流问题，并利用最小费用最大流算法求解最优的配送路线。
数学建模 4.2 自来水输送与货机装运
数学建模 4.2 自来水输送与货机装运自来水输送是现代城市生活中不可或缺的一环，是保障城市正常运转的基础设施之一。
而货机装运则是确保产品运输效率、降低成本的重要环节。
本文将从两者的运输原理、优化问题等方面阐述它们在数学建模中的应用。
1.自来水输送自来水输送一般采用管道输送，管道内通常水流速度较快，流量较大。
同时，管道的长度、宽度和弯曲程度等因素都会影响水的流动情况，进而影响输水速度和流量等性质。
因此，对于自来水输送的数学建模，需要考虑如下问题：（1）管道截面积和长度的关系：由于管道长度的加大会导致水压的下降，从而影响水的流量和速度等性质。
因此，需要建立管道截面积和长度的关系模型，来描述管道长度变化对水流量等运动学性质的影响。
（3）水的压力和流量：管道内的水受到重力和管道运动的作用力，从而表现出一定的压力和流量等物理性质。
因此，需要建立水的压力和流量的关系模型，来描述自来水输送中的压力特性。
基于上述模型，可以进行自来水输送系统的优化设计。
比如，通过合理安排管道的截面积和长度等参数，可以提高水的流量和速度，从而提高自来水输送的效率。
此外，还可以通过优化水的压力和流量等参数，减少能源的消耗，降低生产成本等。
2.货机装运货机装运是商品物流中一个非常重要的环节，对于提高运输效率、降低物流成本等方面具有重要意义。
货机装运的优化包括以下方面：（1）载重量和体积的最优匹配：货机运输时需要考虑货物的载重量和体积等因素，从而决定货机的装载方案。
因此，需要建立载重量和体积的最优匹配模型，来确定每一批货物的最佳装载数量和方案。
（2）货物堆积和包装的优化：货物的堆积和包装方式也会影响货机的装载效率。
因此，需要建立堆积和包装的优化模型，来确定最佳的货物堆积和包装方式，从而提高货机的装载效率。
（3）货机路径规划和调度：货机的运输路线和调度也是货机装运优化的重要方面。
对于大规模的货运系统，需要建立货机路径规划和调度模型，从而确保货机运输过程中的安全性、效率和可行性。
数学模型 自来水输送与货机装运
运输问题 生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点， 怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；
各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制， 如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。
水 库 供 水 量 千 吨
例1 自来水输送
A：50
甲：30；50
B：60 C：50
（以天计）
乙：70；70 丙：10；20 丁：10；40
A : x11 x12 x13 x14 50 x11 x12 x13 x14 100
B, C 类似处理
需求约束可以不变
求解
A(100) 100 30
B(120) 40 50
甲(30;50) 乙(70;70) 30 丙(10;20)
C(100)
50 丁(10;40)
总利润 88700（元）
X33 30.000000 0.000000
例2 货机装 运
三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3)
前仓：
中仓：
后仓：
飞机平衡
10；6800
16；8700
8；5300
三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例
重量（吨） 空间( 米3/
吨）
货物1
18
480
货物2
15
650
货物3
23
580
利润（元/ 吨） 3100
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡 要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
数学建模大赛-货物运输问题
货物配送问题【摘要】本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。
我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。
针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。
第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。
第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时最少、费用最少的方案。
耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。
针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。
耗时为26.063小时，费用为4374.4元。
针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。
我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。
然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨，则用6吨货车运输，若在7~8吨用8吨货车运输。
最后得出耗时最少、费用最省的方案。
耗时为19.6844小时，费用为4403.2。
一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
安徽大学数学建模第四章
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
资 源
―资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
Global optimal solution found. 结果解释 Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 最优解下“资源”增加 Variable Value Reduced Cost 1单位时“效益”的增 X1 20.00000 0.000000 量 X2 30.00000 0.000000 影子价格 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48 TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
图解法
约 l2 : 12 x1 8x2 480 束 12 x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C z=3360 l3
max z 72 x1 64 x2
z=c (常数) ~等值线
O
l5
z=0
x1 D z=2400
在B(20,30)点得到最优解. 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
实验11自来水输送模型4页
实验11自来水输送模型4页前言自来水输送模型是研究水的输送过程中发生的各种物理现象的数学模型，通常分为用于长距离输送和用于城市供水系统的两种类型。
在实验中，我们将使用模型模拟自来水输送过程并评估其性能。
实验原理在城市供水系统中，自来水从水库经由输水管道经过净化后到达消费者家中，其输送过程既受到压力、流量、水质等物理因素的影响，又受到管道本身的摩擦力、绕流损、阻力等因素的影响。
为了模拟这个过程，我们需要建立一个模型。
建模的第一步是设定一个概念图。
图1显示了用于长距离输送的自来水输送模型的概念图。
该模型包括水源、输水管道、水流加压系统、泵站和水池等元素。
在该系统中，水源被输送到一系列水池中，在水池中，水的流量和压力可以被调控，使水能够从高处流向低处。
在该系统中，水流的速度和压力以及泵站的峰值输出能力将影响水的输送速度和质量。
图1 用于长距离输送的自来水输送模型的概念图为了实际计算出水的输送速度和压力，需要采用连续方程和动量方程来描述水在输送管道中的流动。
连续方程和动量方程是用于研究物质流动和压力变化的一组非常重要的方程。
连续方程描述了物质质量和体积流率之间的关系。
它基于质量守恒定律，即物质不会灭失也不会创造。
在液体流动中，连续方程可以写成以下形式：∂ρ/∂t+∇•(ρv)=0其中，ρ是液体的密度，v是液体的速度，t是时间，∇是运算符，•表示被积函数的各元素相乘后的和。
动量方程描述了流体的运动状态，并基于牛顿第二定律改写为以下形式：其中，p是压力，g是重力加速度，f是摩擦力。
当输送管道被设置为水管时，可以使用爱森拍尔-雷诺方程来计算摩擦力和绕流损耗。
流量、管道直径、管道长度和管道表面粗糙度将影响爱森拍尔-雷诺数Re，进而影响管道内部的水流动情况。
设计实验本实验的目的是使用自来水输送模型来模拟水的输送过程，并评估其性能。
具体实验步骤如下：2. 通过连续方程和动量方程来描述水在输送管道中的流动，确定可以影响水质和输送速度的参数。
数学建模自来水运输与货物装运
数学建模课堂作业第一题：自来水运输问题【问题分析】分配供水量是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。
而从题目给出的数据看，A,B,C 三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900*（50+60+50）=144000元，与送水方案无关。
所以，要使利润最大，只需要使引水管理费最小即可。
另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。
【模型建立】很明显，决策变量为A,B,C 三个水库（i=1,2,3），分别向甲、乙、丙、丁四个区（j=1,2,3,4），的供水量。
设水库i 向j 区的日供水量为Xij 。
由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即Xij=0，设水库i 向j 区的引水管理费为Cij 因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少。
于是有：Min 34ijij i=1j=1Z=C X ∑∑；约束条件有两类：一类是水库的供水量限制，另一类是各区的需求量限制。
由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为41150j j X==∑;42160j j X==∑; 43150j j X==∑;考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为：3113080i i X =≤≤∑;32170140i i X =≤≤∑;3311030i i X =≤≤∑;3411050i i X =≤≤∑;【模型求解】利用LINGO 软件求解，程序为：model :!3供应点4居民区运输问题;sets :waters/w1..w3/: capacity;vendors/v1..v4/: demand1,demand2;links(waters,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;min =@sum (links: cost*volume);!需求约束;@for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))>=demand1(J));@for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))<=demand2(J));!供应约束;@for (waters(I):@sum (vendors(J): volume(I,J)) =capacity(I));!这里是数据;data :capacity=50 60 50;demand1=30 70 10 10;demand2=80 140 30 50;cost=160 130 220 170140 130 190 150190 200 230 10000;enddataend得到结果为：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 13Variable Value Reduced Cost CAPACITY( W1)CAPACITY( W2)CAPACITY( W3)DEMAND1( V1)DEMAND1( V2)DEMAND1( V3)DEMAND1( V4)DEMAND2( V1)DEMAND2( V2)DEMAND2( V3)DEMAND2( V4)COST( W1, V1)COST( W1, V2)COST( W1, V3)COST( W1, V4)COST( W2, V1)COST( W2, V2)COST( W2, V3)COST( W2, V4)COST( W3, V1)COST( W3, V2)COST( W3, V3)COST( W3, V4)VOLUME( W1, V1)VOLUME( W1, V2)VOLUME( W1, V3)VOLUME( W1, V4)VOLUME( W2, V1)VOLUME( W2, V2)VOLUME( W2, V3)VOLUME( W2, V4)VOLUME( W3, V1)VOLUME( W3, V2)VOLUME( W3, V3)VOLUME( W3, V4)Row Slack or Surplus Dual Price123456789101112送水方案是：A水库向一区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50,10千吨，C水库向甲、丙分别供水40,10千吨。
数学建模 运输问题 送货问题
数学建模论文题目:送货问题学院(直属系):数学与计算机学院年级、专业:2010级信息与计算科学姓名:杨尚安刘洋谭笑指导教师:蒲俊完成时间:2012年3月20日摘要本文讨论的是货运公司的运输问题，根据各公司需求和运输路线图，建立了线性规划模型和0-1规划模型，对货运公司的出车安排进行了分析和优化，得出运费最小的调度方案。
对于问题一，由于车辆在途中不能掉头，出车成本固定，要使得总成本最小，即要使在一定的车辆数下，既满足各公司的需求，又要尽量减小出车次数。
故以最小出车数为目标函数，建立线性规划模型，并通过lingo求解，得出最小出车数27次。
接着考虑车的方向问题，出车分为顺时针和逆时针，建立0-1模型，并求解，得出满足问题一的调度方案（见附录表1）。
对于问题二，车辆允许掉头，加上车辆装载货物和空装时运输费不同，，要使总成本最小，故可以通过修改原目标函数，建立线性规划模型和0-1规划模型，求解，得出最佳派出车辆3辆并列出满足问题二的调度方案。
对于问题三第一小问，增加了运输车辆的类型。
即装载材料的方法很多，在上述分析的基础上，通过增加约束条件，建立新的线性规划模型，并求解，得出满足问题三的调度方案。
在第二小问中，由于给出部分公司有道路相通，可采用运筹学中的最短路问题的解决方法加以解决。
关键字：线性规划模型0-1规划模型调度一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。
运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。
数学建模案例
数学建模案例案例1 化⼯⼚排污某河流有两个化⼯⼚，流经第⼀化⼯⼚的河流为每天500万m2，在两个⼯⼚之间有⼀条流量为每天200万m2⽀流，第⼀化⼯⼚每天排放含有某种有害物质的⼯业污⽔2万m2，第⼆化⼯⼚每天排放这种⼯业污⽔1.4万m2，第⼀化⼯⼚每天排放的⼯业污⽔流到第⼆化⼯⼚以前，有20%可⾃然净化。
根据环保要求，河流中⼯业污⽔的含量不⼤于0.2%，这两个⼯⼚都需要各⾃处理不部分⼯业污⽔。
第⼀化⼯⼚处理⼯业污⽔的成本是1000元/万m2，第⼆化⼯⼚处理⼯业污⽔的成本是800元/万m2。
现在满⾜环保要求的条件下，每⼚各应处理多少⼯业污⽔，使这两个⼯⼚总的处理⼯业污⽔费⽤最⼩。
案例2 ⾃来⽔输送收⼊：900元/千吨引⽔管理费500○⼯⼚1⽔库供⽔量(千吨)⼩区基本⽤⽔量(千吨)⼩区额外⽤⽔量(千吨)应如何分配⽔库供⽔量，公司才能获利最多？若⽔库供⽔量都提⾼⼀倍，公司利润可增加到多少？案例3 公共部门建模（ST. JOSEPH 公共事业委员会）St. Joseph公共事业委员会负责对最近⼀次洪⽔所导致的公共事业问题进⾏检查并汇报。
需要调查的项⽬包括电线、天然⽓管道以及绝缘设施。
委员会只有1星期时间⽤于检查。
委员会分到了3名电⽓专家与2名天然⽓专家，每⼈可以在其专业领域范围内进⾏40⼩时的检察⼯作。
另外委员会还预留出了$10,000⽤于绝缘设施的检查。
这$10,000可以雇⽤当地专业的绝缘设施企业Weathertight Insulation进⾏多达100⼩时（$100/⼩时）的检察。
这些专家需要对当地的民宅、写字楼以及⼯⼚进⾏检查。
⽬标是在指定时间内对尽可能多的建筑进⾏全⾯检查以收集所需信息。
但是检查的写字楼及⼯⼚数量均不能低于8处，且检查的民宅数量不能低于检查总数的60%。
⼀旦确定了需要检查的每种建筑的数量，接下来就将专家随机安排到各个建筑执⾏检查⼯作。
委员会指定了每种建筑及检查项⽬的⼤致检查时间：委员会雇⽤了⼀个管理咨询团队来确定需要检查的民宅、写字楼以及⼯⼚的数量。
数学建模 自来水运输与货物装运
数学建模课堂作业第一题：自来水运输问题【问题分析】分配供水量是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。
而从题目给出的数据看，A,B,C 三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900*（50+60+50）=144000元，与送水方案无关。
所以，要使利润最大，只需要使引水管理费最小即可。
另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。
【模型建立】很明显，决策变量为A,B,C 三个水库（i=1,2,3），分别向甲、乙、丙、丁四个区（j=1,2,3,4），的供水量。
设水库i 向j 区的日供水量为Xij 。
由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即Xij=0，设水库i 向j 区的引水管理费为Cij 因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少。
于是有：Min 34ijiji=1j=1Z=C X∑∑；约束条件有两类：一类是水库的供水量限制，另一类是各区的需求量限制。
由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为41150jj X==∑;42160jj X==∑;43150jj X==∑;考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为：3113080i i X =≤≤∑;32170140i i X =≤≤∑;3311030i i X =≤≤∑;3411050i i X =≤≤∑;【模型求解】利用LINGO 软件求解，程序为：model :!3供应点4居民区运输问题; sets :waters/w1..w3/: capacity;vendors/v1..v4/: demand1,demand2; links(waters,vendors): cost, volume; endsets !目标函数;min =@sum (links: cost*volume); !需求约束;@for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))>=demand1(J)); @for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))<=demand2(J)); !供应约束;@for (waters(I):@sum (vendors(J): volume(I,J)) =capacity(I)); !这里是数据; data :capacity=50 60 50; demand1=30 70 10 10; demand2=80 140 30 50; cost=160 130 220 170 140 130 190 150 190 200 230 10000; enddata end得到结果为：Global optimal solution found.Objective value: 24400.00Total solver iterations: 13Variable Value Reduced Cost CAPACITY( W1) 50.00000 0.000000 CAPACITY( W2) 60.00000 0.000000 CAPACITY( W3) 50.00000 0.000000 DEMAND1( V1) 30.00000 0.000000 DEMAND1( V2) 70.00000 0.000000 DEMAND1( V3) 10.00000 0.000000 DEMAND1( V4) 10.00000 0.000000 DEMAND2( V1) 80.00000 0.000000 DEMAND2( V2) 140.0000 0.000000 DEMAND2( V3) 30.00000 0.000000 DEMAND2( V4) 50.00000 0.000000 COST( W1, V1) 160.0000 0.000000 COST( W1, V2) 130.0000 0.000000 COST( W1, V3) 220.0000 0.000000 COST( W1, V4) 170.0000 0.000000 COST( W2, V1) 140.0000 0.000000 COST( W2, V2) 130.0000 0.000000 COST( W2, V3) 190.0000 0.000000 COST( W2, V4) 150.0000 0.000000 COST( W3, V1) 190.0000 0.000000 COST( W3, V2) 200.0000 0.000000 COST( W3, V3) 230.0000 0.000000 COST( W3, V4) 10000.00 0.000000 VOLUME( W1, V1) 0.000000 30.00000 VOLUME( W1, V2) 50.00000 0.000000 VOLUME( W1, V3) 0.000000 50.00000 VOLUME( W1, V4) 0.000000 20.00000 VOLUME( W2, V1) 0.000000 10.00000 VOLUME( W2, V2) 50.00000 0.000000 VOLUME( W2, V3) 0.000000 20.00000 VOLUME( W2, V4) 10.00000 0.000000 VOLUME( W3, V1) 40.00000 0.000000 VOLUME( W3, V2) 0.000000 10.00000 VOLUME( W3, V3) 10.00000 0.000000 VOLUME( W3, V4) 0.000000 9790.000Row Slack or Surplus Dual Price1 24400.00 -1.0000002 10.00000 0.0000003 30.00000 0.0000004 0.000000 -40.000005 0.000000 -20.000006 40.00000 0.0000007 40.00000 0.0000008 20.00000 0.0000009 40.00000 0.00000010 0.000000 -130.000011 0.000000 -130.000012 0.000000 -190.0000送水方案是：A水库向一区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50,10千吨，C水库向甲、丙分别供水40,10千吨。
Matlab数学建模论文自来水输送问题的数学规划方案
自来水输送问题的数学规划方案【摘要】本文考虑在简单情况下自来水输送的数学规划问题，模型较为简单。
之后，我们使用Matlab对该典型线性规划（LP）进行了求解与结果分析。
结论显示，引水管理费的差异是导致获利大小的关键因素。
最后，本文对该模型还可引入的影响条件进行了改进讨论，并换用LINGO对结果进行了验证。
关键词：自来水输送问题数学规划线性规划LP Matlab一、问题重述某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、C由三个水库供应。
四个区每天必须的基本生活用水分别为30、70、10、10千吨，但三个水库每天最多只能分别供应50、60、50千吨自来水。
由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所付出的引水管理费不同（如表，其中C水库与丁区间无输水管道），其它管理费均为450元/千吨。
各区用户每千吨收费900元。
此外，各区用户都向公司二、问题假设（一）输送到各区的自来水只要在基本用水与额外用水量以内，各区即全额付费。
三、符号说明1.x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,z1,z2,z3：各水库向各居民区的供水量（详见表1.2）2.u1,u2,u3：公司从A、B、C的获利3.u：公司的总获利四、问题分析、模型的建立与求解1.问题的分析该问题为典型的数学规划问题，决策变量、目标函数都较为明显，求解过程较为简单。
2.模型的建立设A、B表1.2则公司从A水库的获利为：u1=900(x1+x2+x3+x4)−(160+450)x1−(130+450)x2−(220+450)x3−(170+450)x4公司从B水库的获利为：u2=900(y1+y2+y3+y4)−(140+450)y1−(130+450)y2−(190+450)y3−(150+450)y4公司从C水库的获利为：u3=900(z1+z2+z3)−(190+450)z1−(200+450)z2−(230+450)z3公司的总获利为：u=u1+u2+u3限定条件如下，各区每天的供水量：甲区：乙区：丙区：丁区：水库每天供水量的限定：A水库：4∑xi=50i=1B水库：4∑yi=60i=1C水库：3.模型的求解合并u1,u2,u3三式，得到总的目标函数：限定条件为：4∑xi=50i=14∑yi=60i=1用Matlab写出线性规划程序求解（源程序详见附录）。
自来水输送问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的电子文件名号为（如果赛区设置报名号的话）： 11城控6/7班所属学校（请填写完整的全名）：柳州铁道职业技术学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄泓翔2. 周文静3. 徐浩指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：何友萍日期：2012 年 6 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：B 題 ：自来水输送问题摘 要分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多，而从题目给出的数据看，A 、B 、C 三个水库的供水量为50+60+50=160千吨，不超过四个区的基本生活用水30+70+10+10=120千吨与额外申请的用水量50+70+20+40=180千吨的总和120+180=300千吨，处于供应小于需求的状态，因而总能全部卖出从而获利，于是自来水公司每天的总收入为900⨯(50+60+50)=144000元，不涉及送水方案，而自来水公司每天的管理费为450⨯(50+60+50)=7200也不涉及送水方案，依上可知如要使利润最大只需要引水管理最小即可，另外还要考虑供水量与各区的需求问题。
M 11x +13012x +22013x +17014x +14021x +13022x +19023x +15024x +19031x +23032x +20033x约束条件：1.水库的供应量限制 2.各居民区的需求量限制由于供不应求，为使利润最大化，水库的水应全部输向居民区关键词：水输送 供水 利润一问题陈述自来水输送问题B 題 ：自来水输送问题某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 由三个水库供应。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指在物流运输过程中，如何合理地将货物装箱以最大限度地利用装载空间，并确保货物的安全和稳定。
这是一个复杂的问题，需要综合考虑货物的形状、尺寸、重量、数量以及运输工具的限制等因素。
数学建模可以帮助我们在物流装箱问题中找到最优的解决方案。
首先，我们可以将货物的形状和尺寸抽象为几何体，如长方体、圆柱体等。
然后，通过数学方法计算每个货物的体积，并根据运输工具的限制，确定每个装箱的容量。
接下来，我们可以将问题转化为一个优化问题，即如何在有限的容量内，最大化装载的货物总体积。
在数学建模过程中，我们可以利用线性规划、整数规划、动态规划等方法来求解最优解。
通过确定目标函数和约束条件，我们可以使用数学模型来找到最佳的装箱方案。
同时，我们还可以考虑一些实际问题，如货物的稳定性、避免堆叠过高、减少装卸时间等因素，来综合评估每个装箱方案的可行性。
此外，随着科技的发展，人工智能和机器学习等技术也可以应用于物流装箱问题的数学建模中。
通过对大量历史数据的分析和学习，我们可以提前预测不同类型货物的运输需求，并自动优化装箱方案，提高装箱效率和节省运输成本。
总之，物流装箱问题数学建模是一个复杂且具有挑战性的问题。
通过运用数学方法和相关技术，我们可以找到最优解决方案，提高装箱效率，减少物流成本，提升物流运输的整体效益。
自来水管道规划模型 数学建模
自来水管道连接规划模型摘要现代日常生活中，需要通过自来水管道将自来水运输至各个用户处，本文主要分析讨论自来水管道连接规划问题，即在自来水管道铺设过程中在绕开障碍物的前提下的最优路径且自来水管道中各个供水点及用户以最短路径连接的问题。
排除障碍区域：面积分析法即在二维坐标系上标定各点，障碍区域用由阴影覆盖的凸多边形表出,通过对点坐标之间的向量运算判定各点是否位于阴影区域。
最优路径规划：通过Prim算法计算最小生成树，得出最优连接方案（prim算法：在图G=（V, E) （V表示顶点，E表示边）中,从集合V中任取一个顶点（例如取顶点v0）放入集合 U中,这时 U=｛v0}，集合T(E）为空。
2. 从v0出发寻找与U中顶点相邻（另一顶点在V中）权值最小的边的另一顶点v1，并使v1加入U。
即U={v0,v1 ｝，同时将该边加入集合T（E）中。
3。
重复2，直到U=V 为止。
这时T(E)中有n—1条边，T = (U， T(E））就是一棵最小生成树)。
关键词：管道连接面积法障碍点筛选 Prim算法最小生成树一．问题重述自来水是人们日常生活中不可缺少的生活要素，然而自来水管网的组建却有很多问题需要解决。
一般来说，我们假设管网中任意两个用户之间存在直线段相连，但是在连接过程中，有些区域是必须绕开的，这些必须绕开的区域我们称为障碍区域。
表1给出了若干个可能的用户的地址的横纵坐标，可能的用户的含义是：如果用户的地址不在障碍区域内，那么该用户就是需要使用自来水的用户（即有效用户)，否则如果用户的地址在障碍区域内，那么该用户就是无效用户（即不要将该用户连接在网络中）。
表2-表5是分别是4个障碍区域必须要覆盖的点的坐标，而对应障碍区域就是覆盖这些要覆盖的点的最小凸集。
（1)请您判定表1中那些用户为有效用户。
（2）请设计一个算法将有效用户连接起来，并且连接的距离总和最小.表1若干个可能的用户的地址的横纵坐标表2障碍区域1必须要覆盖的点的坐标表3障碍区域2必须要覆盖的点的坐标表4障碍区域3必须要覆盖的点的坐标表5障碍区域4必须要覆盖的点的坐标二．问题分析建立模型要达到的目的就是节省管道，即在满足每个有效用户用水的情况下,使得铺设的管道最短。
数学建模-(货物运输)
1、某货物运输公司 5种型号的汽车. 由于运输条件，当地货源等各种因素，每种型号的汽车运输货物到不同城市所得的利润如表1.设一种汽车只能到一个城市，每个城市都只能要一种型号的汽车，应如 何安排发货？解：设ij x （i =1,2,3,4,5;j =1,2,3,4,5）i 为各种型号的汽车；j 为五个不同的城市。
ij x =0或1,（0不发往该城市，1为发往该城市）目标函数为：max z =2011x +1612x +1813x +2514x +3015x +2221x +1422x +1623x +1724x +2025x +3531x +2832x +1233x +1834x +2235x +4041x +3542x +3043x +1544x +2445x +2851x +2052x +1953x +1754x +2755x根据条件约束，“一种汽车只能到一个城市，每个城市都只能要一种型号的汽车”。
写出约束条件矩阵A=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1; 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ; 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]; 用MATLAB 编程为：c=[20 16 18 25 30 22 14 16 17 20 35 28 12 18 22 40 35 30 15 24 28 20 19 17 27] C=-cA=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1;1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ;0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ];b=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];Aeq=[]beq=[]lb=zeros(25,1);VUB=ones(25,1);[x,fval]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,VUB)窗口运行为：>> c=[20 16 18 25 30 22 14 16 17 20 35 28 12 18 22 40 35 3015 24 28 20 19 17 27]C=-cA=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1;1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ;0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ];b=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];Aeq=[]beq=[]lb=zeros(25,1);VUB=ones(25,1);[x,fval]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,VUB)c =Columns 1 through 2220 16 18 25 30 22 14 16 17 20 35 28 12 18 22 40 35 30 15 24 28 20Columns 23 through 2519 17 27C =Columns 1 through 22-20 -16 -18 -25 -30 -22 -14 -16 -17 -20 -35 -28 -12 -18 -22 -40 -35 -30 -15 -24 -28 -20Columns 23 through 25-19 -17 -27Aeq =[]beq =[]Optimization terminated.x =0.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000fval =-138.0000所以，最大利润为车辆1发往城市4、车辆2发往城市3、车辆3发往城市1、车辆4发往城市2、车辆5发往城市5 。
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数学建模课堂作业第一题：自来水运输问题【问题分析】分配供水量是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。
而从题目给出的数据看，A,B,C 三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是900*（50+60+50）=144000元，与送水方案无关。
所以，要使利润最大，只需要使引水管理费最小即可。
另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。
【模型建立】很明显，决策变量为A,B,C 三个水库（i=1,2,3），分别向甲、乙、丙、丁四个区（j=1,2,3,4），的供水量。
设水库i 向j 区的日供水量为Xij 。
由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即Xij=0，设水库i 向j 区的引水管理费为Cij 因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少。
于是有：Min 34ijiji=1j=1Z=C X∑∑；约束条件有两类：一类是水库的供水量限制，另一类是各区的需求量限制。
由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为41150jj X==∑;42160jj X==∑;43150jj X==∑;考虑到各区的基本生活用水量与额外用水量，需求量限制可以表示为：3113080i i X =≤≤∑;32170140i i X =≤≤∑;3311030i i X =≤≤∑;3411050i i X =≤≤∑;【模型求解】利用LINGO 软件求解，程序为：model :!3供应点4居民区运输问题; sets :waters/w1..w3/: capacity;vendors/v1..v4/: demand1,demand2; links(waters,vendors): cost, volume; endsets !目标函数;min =@sum (links: cost*volume); !需求约束;@for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))>=demand1(J)); @for (vendors(J):@sum (waters(I): volume(I,J))<=demand2(J)); !供应约束;@for (waters(I):@sum (vendors(J): volume(I,J)) =capacity(I)); !这里是数据; data :capacity=50 60 50; demand1=30 70 10 10; demand2=80 140 30 50; cost=160 130 220 170 140 130 190 150 190 200 230 10000; enddata end得到结果为：Global optimal solution found.Objective value: Total solver iterations: 13Variable Value Reduced Cost CAPACITY( W1)CAPACITY( W2)CAPACITY( W3)DEMAND1( V1)DEMAND1( V2)DEMAND1( V3)DEMAND1( V4)DEMAND2( V1)DEMAND2( V2)DEMAND2( V3)DEMAND2( V4)COST( W1, V1)COST( W1, V2)COST( W1, V3)COST( W1, V4)COST( W2, V1)COST( W2, V2)COST( W2, V3)COST( W2, V4)COST( W3, V1)COST( W3, V2)COST( W3, V3)COST( W3, V4)VOLUME( W1, V1)VOLUME( W1, V2)VOLUME( W1, V3)VOLUME( W1, V4)VOLUME( W2, V1)VOLUME( W2, V2)VOLUME( W2, V3)VOLUME( W2, V4)VOLUME( W3, V1)VOLUME( W3, V2)VOLUME( W3, V3)VOLUME( W3, V4)Row Slack or Surplus Dual Price123456789101112送水方案是：A水库向一区供水50千吨，B水库向乙、丁区分别供水50,10千吨，C水库向甲、丙分别供水40,10千吨。
引水管理费为24400元，利润为24400=47600元。
讨论：如果A,B,C三个水库每天的最大供水量都提高一倍，则公司总供水能力为320千吨，大于总需求量300千吨，水库供水量不能全部卖出，因而不能像前面那样，将获利最多转为引水管理费最少。
此时我们首先需要计算A,B,C三个水库分别向甲、乙、丙、丁四个区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减去其他管理费450元，再减去引水管理费，得到表二。
于是决策目标是：Max34ij iji=1j=1Z=C X∑∑,其中Cij表示第i个水库向第j个区供水的净利润.由于水库供水量不能全部卖出，所以上面约束应改为：41 1100 jjX=≤∑; 42 1120 jjX=≤∑; 43 1100 jjX=≤∑;将上式构成的线性规划模型输入LINGO求解得到：model:!3供应点4居民区运输问题;sets:waters/w1..w3/: capacity;vendors/v1..v4/: demand;links(waters,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;max=@sum(links: cost*volume);!需求约束;@for(vendors(J):@sum(waters(I): volume(I,J))=demand(J));!供应约束;@for(waters(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=100 120 100;demand=80 140 30 50;cost=290 320 230 280310 320 260 300260 250 220 0;enddataend得到结果为：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 6Variable Value Reduced CostCAPACITY( W1)CAPACITY( W2)CAPACITY( W3)DEMAND( V1)DEMAND( V2)DEMAND( V3)DEMAND( V4)COST( W1, V1)COST( W1, V2)COST( W1, V3)COST( W1, V4)COST( W2, V1)COST( W2, V2)COST( W2, V3)COST( W2, V4)COST( W3, V1)COST( W3, V2)COST( W3, V3)COST( W3, V4)VOLUME( W1, V1)VOLUME( W1, V2)VOLUME( W1, V3)VOLUME( W1, V4)VOLUME( W2, V1)VOLUME( W2, V2)VOLUME( W2, V3)VOLUME( W2, V4)VOLUME( W3, V1)VOLUME( W3, V2)VOLUME( W3, V3)VOLUME( W3, V4)Row Slack or Surplus Dual Price12345678送水方案为：A水库向乙区供水100千吨，B水库向甲、乙、丁区分别供水30,40,50千吨，C水库向甲、丙、区分别供水50,30千吨。
总利润为88700元。
评注：本题考虑的是将某种物资从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小，或总利润最大，这类问题一般称为运输问题，是线性规划应用最广泛的领域之一。
在标准的运输问题中，供需量通常是平衡的，即供应点的总供应量等于需求点的总需求量。
本题中供需量不平衡，但这并不会引起本质的区别，一样可以方便地建立线性规划模型求解。
第二题货机装运【问题分析】本题中，目标是使得在本次飞行中获利最大。
货仓的重量限制、体积限制表中已给出。
同时也已知了各货物的种类、重量、所占空间以及所获利润，由此可以表示出决策变量、目标函数以及约束条件，通过LINGO软件即可求出结果。
【模型假设】问题中没有对货物装运提出其它要求，我们可做如下假设：每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙。
【模型建立】决策变量：用Xij 表示第i 种货物装入第j 个货舱 重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前仓、中仓、后仓.Ci 表示第i 种货物所得的利润（元/吨），Di 表示第i 种货物所占的空间。
决策目标是最大利润，即Max 4311iiji j Z C X===∑∑;约束条件包括以下四个方面：供装载的四种货物的总重量的约束，即31118jj X=≤∑;32115jj X=≤∑;33123jj X=≤∑;34112jj X=≤∑;2)三个货舱的重量限制，即41110i i X=≤∑;42116i i X=≤∑;4318i i X=≤∑；3)三个货舱的空间限制，即4116800ii i D X=≤∑;4218700ii i D X=≤∑;4315300ii i D X=≤∑;4)三个货舱装入重量的平衡约束，即44412311110168i i i i i i XXX=====∑∑∑【模型求解】将以上模型输入LINGO 中求解，程序为： model : sets :huowu/w1..w4/:product1,product2,profit; huocang/c1..c3/:limit1,limit2; links(huowu,huocang):c,x; endsets data :product1=18 15 23 12;product2=480 650 580 390; profit=3100 3800 3500 2850; limit1=6800 8700 5300; limit2=10 16 8; enddatamax =@sum (links(i,j):profit(i)*x(i,j)); @for (huowu(i):@sum (huocang(j):c(i,j))<=1); @for (huocang(j):@sum (huowu(i):c(i,j))<=4); @for (huocang(j):@sum (huowu(i):x(i,j))<limit2(j)); @for (huocang(j):@sum (huowu(i):product2(i)*x(i,j))<=limit1(j)); @for (huowu(i):@sum (huocang(j):x(i,j))<=product1(i)); @for (huocang(j)|j#lt#3:@sum (huowu(i):x(i,j))/limit2(j)=@sum (huowu(i):x(i,j+1))/limit2(j+1)); 运行结果为：Global optimal solution found.Objective value: Total solver iterations: 10Variable Value Reduced Cost PRODUCT1( W1) PRODUCT1( W2) PRODUCT1( W3)PRODUCT1( W4)PRODUCT2( W1)PRODUCT2( W2)PRODUCT2( W3)PRODUCT2( W4)PROFIT( W1)PROFIT( W2)PROFIT( W3)PROFIT( W4)LIMIT1( C1)LIMIT1( C2)LIMIT1( C3)LIMIT2( C1)LIMIT2( C2)LIMIT2( C3)C( W1, C1)C( W1, C2)C( W1, C3)C( W2, C1)C( W2, C2)C( W2, C3)C( W3, C1)C( W3, C2)C( W3, C3)C( W4, C1)C( W4, C2)C( W4, C3)X( W1, C1)X( W1, C2)X( W1, C3)X( W2, C1)X( W2, C2)X( W2, C3)X( W3, C1)X( W3, C2)X( W3, C3)X( W4, C1)X( W4, C2)X( W4, C3)Row Slack or Surplus Dual Price1234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20实际上不妨将所得到的最优解做四舍五入，结果为货物2装入前仓10吨，装入后仓5吨，货物3装入中仓13吨，装入后仓3吨，货物4装入中仓3吨。