桂电2013大物AII_振动

y A2 cos( t 20 )
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
相互垂直的同频率简谐振动的合成：
相互垂直的同频率简谐振动的合成：
相互垂直的不同频率简谐振动的合成：
李萨如图
x3 3 cos(10t ) ，则 为何值时，三个简 3 / 4 谐运动叠加后合振幅最大？ 为何值时，三个简谐振
（2）若 动叠加后，合振动的振幅最小？ / 4
同方向不同频率的振动的合成：
2 A2
1
2
0
A
两个同方向、不同频 率、但频率相差不大 的简谐运动叠加后出
x1 A1 cos(t 1 )
相位差：
x2 A2 cos(t 2 )
（t 2 ) （t 1）＝2 1
1、2同相
1、2反相 2超前 2落后
2k (2k 1) 0 0
例 9：
两个同周期简谐振动曲线如图所示x1的相位比x2的 相位：（ B ）

R
O
x
例 3：
一质点的振动方程为：
x 0.2 cos(2t / 3)
则在t=0.3 （s）时： （ D） （A）质点在平衡位置右方，沿X轴负向运动。 （B）质点在平衡位置左方，沿X轴正向运动。
（C）质点在平衡位置右方，沿X轴正向运动。
（D）质点在平衡位置左方，沿X轴负向运动。
振动方程的物理意义？
简谐运动的能量：
1、动能：
v A sin( t )
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2 1 2 1 2 2 E p kx kA cos (t ) 2 2 1 2 E kA 2
只有保守力作功 机械能守恒
k
2、势能：
x / cm
10 5 0
P
t
4.0
0
（3）到达P相应位置所需时间。
t 1.6 s
旋转矢量法：
x A cos(t )
旋转矢量法：
A


A
t
x x0 x x A cos （t ） x0 A cos
o
例 6：
某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：
（1）运动方程；
振动方程：
x A cos(t 2) 2 A cos[ (t T ) ]
x

0 A
t
T 2 /
t 2 t 常见的形式： t 2 T
例 4：
根据下列振动方程求振动物体的振幅、角频率及初相位。
（A）
x A cos(t ) 振幅： A 角频率： x A sin(t ) 振幅： A 角频率：
3 1.6 达到P所需时间：t 5 24
o

3
x
0 .1
x
t0
例 7：
把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成 角， 然后放手任其振动，试判断图中各状态所对应的相位。
0
/2

/ 2


A A
0
0
x
x
0
x
A
0
x
A
练习4：
在图所示的简谐运动的矢量图中，|A| = 2cm，ω =π /4， Oc 为 A 在 t =2s 时刻的位置，请写出（1）振动表达式；（2） 振动速度表达式；（3）振动加速度表达式；（4）t = 3s 时的 相位。
x
x1 x2
/ 2。 （B）超前 / 2 。 （C）落后 。 。 （D）超前
（A）落后
0
t
x2
0
x
x1

练习5：
已知两个简谐振动曲线如图所示，原点和另外三点将时 间三等分，求x1的相位比x2的相位超前多少？
x
x1
x2
0
t
判断振动方程、速度和加速度方程的相位差
振动方程： 振动质点的速度： 振动质点的加速度： x, v, a

x1
1
A1
现合振幅时大时小的
x2
x x
现象 ——拍
同方向不同频率的振动的合成：
同方向不同频率的振动的合成：
2 A2
1
2
0
A
振幅变化的周期：T
2 2 1

x1
1
A1
x2
x x
1 拍频： 2 1 T
同方向不同频率的振动的合成：
设一质点同时参与两个简谐振动：
3、总能量：
简谐运动的能量： 能量
kA2 / 2
E kA2 / 2
Ek
Ep
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
例11：
弹簧振子作简谐振动时的总能量为E，如果振幅增 大为原来的两倍，振动质量减少为原来的一半，则总能 量E´为： （A） E´=E （C） E´=4E （ C ） （B） E´=2E （D） E´=0.5E
x / cm
10 5 0
P
t
4.0
（2）点P对应的相位；
（3）到达P相应位置所需时间。
例 6：
解：A 0.1 作该振动的旋转矢量图
x / cm
10 5 0
P
由旋转矢量图可知：
t
4.0
t4
/ 3
/2 /3
4
5 24
5 t ) 24 3

运动方程： x 0.1 cos( 点P对应的相位： 0
练习7：
质量0.1kg的物体以0.01m的振幅作简谐运动，其最大
加速度为0.04m/s2，求：（1）振动的周期；（2）系统振动
的总能量；（3）物体在何处时其动能和势能相等；（4）位
移等于振幅的一半时，动能与势能之比。
本章小结：
1、什么是简谐振动？ 满足：
F kx
x 或：
A(cosωt )
m
f
b 0
x
F mg k ( x b) mg kb F kx （ k 为正常数）
G
x
练习1：
如图所示，一质量为m的物体放在倾角为θ 光滑斜面上，并 用轻弹簧将其与斜面顶端连接，先将物体沿斜面向上推至弹 簧处于自然长度，然后放手。试证明木块的运动是简谐振动。
m

k
例 2：
2
例 5：
一长为 l 的 均匀细棒悬于其一端的光滑水平固定 轴上，作成一复摆。已知细棒绕通过其一端的轴的转动 惯量 J 1 ml 2 ，此摆作微小振动的周期为
3
（ C ）
（A） T 2
l g
（B）T 2
l 2g
l
2l （C） T 2 3g
l （D）T 2 3g
练习3：
一立方木块浮于静水中，其浸入部分的高度为 a ，今用手
指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为 b ，然后 放手任其运动。若不计木块的粘滞阻力，试证明木块作简谐运 动，并求振动的周期 T 和振幅 A 。
f
a
b 0
G
x
x
例 6：
某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：
（1）运动方程；
x / cm
k 2 令 m
d 2 mgl 0 2 dt J
2
g mgl 令 J l
x A cos(ωt )
max cos(ωt )
练习2：
证明下列运动是简谐振动：
（1）一小球在半径很大的光滑凹
形球面内作小幅振动；

O
（2）质点做匀速圆周运动时，它 在直径上的投影点的运动。
2、怎样求振动三要素？ 解析法、旋转矢量法 3、怎样将多个同方向简谐振动进行合成？ 旋转矢量法
4、简谐振动的能量有哪些特点？
1 2 E k E p kA 2
Ek E p
试证明当单摆做小角度摆动时， 其运动为简谐振动。
F mg sin mg
Fl M mgl
（mgl为正常数）

k
T
O F
m
G
单摆的运动方程：
F kx
M mgl
d J 2 mgl dt
2
d x m 2 kx dt
2
d2x k x0 2 dt m
x A cos （t ） 振幅： A 角频率：
（ ） 初相位：
（B）
初相位：（ ）

2
（C）
初相位：

几种常见简谐振动的周期：
1、弹簧振子
k m
2
m T 2 k
2、单摆
g l
2
l T 2 g J T 2 mgl
3、复摆
mgl J
x1 Acos1t
该质点实际的运动情况：
x2 Acos2t
x x1 x2
2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t)
振幅
相互垂直的同频率简谐振动的合成：
设一质点同时参与两个简谐振动：
x A1 cos( t 10 )
合振动的轨迹方程：
/ 3
( 3)
将（3）代入（1）得： 0 0.1 cos(4 / 3) 4 / 3 / 2
5 / 24
例 6：
某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：
（1）运动方程； 5 x 0.1 cos( t ) 24 3 （2）点P对应的相位；