微积分基本概念

微积分基本概念
第一章 函数、极限连续
重点：函数性质与函数的图形
函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.
一、函数
（一）函数的概念 1．函数的定义
【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作
.),(D x x f y ∈=
x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数
的值域.
xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.
定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域
与对应法则都相同.
2．函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.
3．函数定义域的求法
由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.
（二）函数的几何特性 1．单调性
（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.
类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.
（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.
2．有界性
【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.
【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得
|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数. 有界函数的图形完全落在两条平行于x 轴的直线之间.
函数是否有界与定义域有关,如nx y 1=（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的.
有界函数的界是不惟一的,即若对任意D x ∈,都有|()|f x ≤M ,则也一定有|)(|x f ≤
)0,0(>>+a M a M .
3．奇偶性
【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有
))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.
奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则
)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；
)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.
常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.
利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1)21)(1)(x x n x f ++=;
(2)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-.
0,1,
0,1)(x e x e x g x x
【解】 (1)因为)1(1)(1(1)(2
2x x n x x n x f ++-=-++-=- 2
2
221111)
1)(1(1x
x n
x
x x x x x n
++=++++++-=
),()1(12x f x x n -=++-= 所以)1(1)(2x x n x f ++=是奇函数.
(2)因为)(0
,
10,10
,
10,1)()
(x g x e x e x e x e
x g x x
x
x -=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--=-----
4．周期性
【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有
)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.
我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.
图1-1
（三）初等函数 1．基本初等函数
（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c . （2）幂函数 α
x y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）
（a ） (b )
图1-2
（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x
y ,其定义域为（-∞,+∞）.
当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x
e y =（图1-3）
（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x
y α=互为反函数.微积分
中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）
(图1-3) (图1-4)
另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.
对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.
则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.
此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4
x y -=为凸弧.y ′=3
4x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122
x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.
2．反函数
【定义 1.7】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的
D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作
.),
(1R y y f x ∈=-
并称其为)(x f y =反函数.
习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1
.
函数)(x f y =与反函数)(1
x f
y -=的图形关于直线x y =对称.
严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x
log ==与互为反
.
,
以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如
⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧≤->+=.
0,
1,0,1)(.0,
1,
0,1)(2
x nx x e x g x x x x x f x
都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.
分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.
二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）
极限是微积分的基础. （一）数列极限
按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义
【定义1.9】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作
A a n n =∞
→lim
1．∞→x 时的极限
【定义1.10】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数
A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作
.)(lim A x f n =∞
→
当+∞→x 或-∞→x 时的极限
当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作
.
)(lim )(lim )(lim ).
)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞
→+∞
→∞
→-∞
→+∞→
3．0x x →时的极限
【定义1.11】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作
.)(lim 0
A x f x x =→
4．左、右极限
若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作
.)(lim 0
A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0
若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作
.)(lim 0
A x f x x =+
→ 或 A x f =+)0(0
.)(lim )(lim )(lim 0
A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→
（三）函数极限的性质 1．惟一性
若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
则A=B . 2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.
3．局部保号性
若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻
域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

若A x f x x =→)(lim 0。

且在0x 的某邻域（点0x 可以除外）有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝，则必有A ≥0
（或A ≤0）。

4．不等式性质
若A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，且A>B ，则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外），使)(x f >)(x g .
若A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
.且在0x 的某邻域（点0x 可以除外）有)(x f <)(x g 或（)(x f ≤
)(x g ），则A ≤B 。

5．四则运算 同数列
（四）无穷小量与无穷大量 1．无穷小量的定义
【定义1.12】 若0)(lim 0
=→x f x x ，则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。

（若,)(lim 0
∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量）。

2．无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。

3．无穷小量的运算性质
（i ）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。

三、函数的连续性
（一）函数连续的概念 1．两个定义
【定义1.13】 设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,。

若)()(lim 00
x f x f x x =→，则称0)(x x f 在点连续；若D x f 在)(中每一点都连续，则称0)(x x f 在点右连续。

【定义1.14】 若)()(lim 00
x f x f x x =+→，则称0)(x x f 在点右连续。

若)()(lim 00
x f x f x x =-→，则称0)(x x f 在点左连续。

0)(x x f 在点连续0)(x x f 在⇔点既左连续又右连续。

2．连续函数的运算
连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，因而初等函数在其定义区间内处处连续。

（二）间断点
1．若)(lim )(lim 0
0x f x f x x x x -+→→与都存在，且不全等于)(0x f ，则称0x 为)(x f 的第一类间断点。

其中若)(lim 0
x f x x →存在，但不等于)(0x f （或)(x f 在0x 无定义），则0x 为)(x f 的可去间断点。

若)(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→与都存在，但不相等，则称0x 为)(x f 的跳跃间断点。

2．若)(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点。

（三）闭区间上连续函数的性质
若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续，又)()(lim ),()(lim b f x f f x f b
x x ==-+→→αα
，则称函数)(x f 在
闭区间],[b a 上连续。

1．最值定理
设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 和最小值m ,即存在],[,21b a x x ∈，使
],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且。

2．价值定理
设)(x f 在],[b a 上连续，且m,M 分别是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的],[M m k ∈，总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使。

【推论1】 设)(x f 在],[b a 上连续，m,M 分别为最小值和最大值，且mM <0,则至少存在一点
0)(],,[=∈c f b a c 使。

【推论1】 设)(x f 在],[b a 连续，且0)()(<⋅b f a f ，则一定存在],,[b a c ∈使0)(=c f 。

推论1，推论2又称为零值定理。

第二章 导数及其应用
一、导数的概念
1．导数定义
【定义2.1】 设y=f(x)在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限
x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim lim
0000
存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x 0点的导数,此时称y=f(x)在x 0点可导,用
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==='
'00
0)
(,,)(x x dx x df x x dyx dy
x x y x f 或
或
或
表示.
若)(x f y =在集合D 内处处可导（这时称f(x)在D 内可导）,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作
⎪⎭
⎫
⎝
⎛''dx x df dx
dy y x f )(,,)(或或
或
. 2．导数的几何意义
,
00穷小的阶低于x ∆时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导.只有y ∆与x ∆是同阶无穷小,或y ∆是比x ∆高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导.
例如,0||,31===x x y x y 在点连续,但不可导.
二、导数的运算
1．几个基本初等函数的导数 （1）.0='=y c
y
（2）.,1-='=a a
ax y x y
（3）x x x x
e y e y na a y x y ='=='=,;1,
（4）.1
,1;11,log x
y nx y na x y x y a ='=='=
2．导数的四则运算 （1）)(])([x u c x u c '⋅='⋅； （2）)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；
（3）)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅；
).0()
(0)()(00→∆∆+∆=-∆+=∆x x x A x f x x f y
其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为
.0
x A x x df
x x dy
∆====
x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.
)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00
x x f x x dy
∆'==.当x x f =)(时,可得
x dx ∆=,因此
.)(,)(00
dx x f dy dx x f x x dy '='==
由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.
（2）微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.
当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.
2．微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则
)
()
()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.
0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u d
x du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=⋅±=±== 一阶微分形式不变性：
设)]([x f y ϕ=是由可微函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成,则)]([x f y ϕ=关于x 可微,且
dx dx
du
du u df du u f dy x d x f dx x x f x f d ⋅=
'='='⋅'=)()()()]([)()]([)])([(即
ϕϕϕϕϕ
由于du u f dy )('=,不管u 是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u 是自变量,)(u f y '='.若u 是中间变量,x u u f y x u u '⋅'='=则),(.
四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程
求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-.
第二种情况是过曲线)(x f y =外一点（a,b ）,求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠.
设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点（a,b ）代入方程中,有
))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切
线也不惟一.
第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为
)()(x g y x f y ==与
解题方法是设在两条曲线上的切点分别为))(,()),(,(b g b a f a 这两点的切线斜率相等,从而有方程
).()(b g a f '=' ①
..
,
,
,0000
第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性.
当)(0x f '=0,若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点,若0)(0<''x f ,0x 为极大值点,0)(0=''x f 判别法失效,仍需用第一判别法.
3．函数在闭区间[a,b ]上的最大值与最小值.
极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点（驻点和不可导点）,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.
第四讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分
重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法
六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定
1．概念
【定义2.5】 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧（简记为 ）；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧（简记为 ）,曲线凹、凸的分界点称为拐点.
2．凹凸的判定
设函数)(x f y =在区间（a,b ）内二阶可导,若在（a,b ） 内恒有)(x f ''>0（或)(x f ''<0）,则曲线
)(x f y =在（a,b ）内是凹弧（或凸弧）.
3．拐点的求法与判定
拐点存在的必要条件是)(0x f ''=0或)(0x f ''不存在（请与极值比较其共性）.
设)(x f 在（a,b ）内二阶可导,)(0)(),,(000x f x f b a x ''=''∈或不存在,若)(x f ''在0x 点的左右变号,则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,否则就不是拐点.
由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k 个,则这个k 个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内)(x f '不变号,由
)(x f '>0（或0)(<'x f ）判定f （x ）在该子区间内单调递增（或递减）,同时也可以将极大值点和极小
值点求出.
求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.
第三章 定积分及其应用
一、不定积分
1．不定积分概念
【定义3.1】(原函数) 若对区间I 上的每一点x ,都有
,)()()()(dx x f x dF x f x F =='或
则称F （x ）是函数f(x)在该区间上的一个原函数.
原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x ),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F （x ）+C 的形式,其中C 是任意常数.
【定义3.2】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作⎰dx x f )(.若F(x)是
f(x)的一个原函数,则
⎰+=)()()(是任意常数C C
x F dx x f
【定义3.3】(原函数的存在性) 在区间I 上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区
间上也必连续.
⎰⎰=')())(()())((x d x f dx x x f ϕϕϕϕ ⎰du u f )(
=C u F +)( C x F +))((ϕ. 【说明】 1°运算较熟练后,可不设中间变量)(x u ϕ=,上式可写作
.))(()())((C x F x d x f +=⎰ϕϕϕ
2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x 用x 的可微函数)(x ϕ替换后公式仍然成立.
用第一换元积分法的思路 不定积分⎰dx x f )(可用第一换元积分法,并用变量替换)(x u ϕ=,其关键是被积函数g(x)可视为两个
因子的乘积
),())(()(x x f x g ϕϕ'=
且一个因子)())((x x f ϕϕ是的函数（是积分变量x 的复合函数）,另一个因子)(x ϕ'是)(x ϕ的导数（可以相差常数因子）.
t
，
⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u
【说明】 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。

用分部积分法的思路 (I)公式的意义 欲求⎰
'dx v u
求⎰
'.dx u v
(II)关于选取u 和v '
用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为)(x u u =,哪一个因子为)(x v v '='.一般来说,选取u 和v '应遵循如下原则:
1°选取作v '的函数,应易于计算它的原函数;
2°所选取的u 和v ',要使积分⎰'dx u v 较积分⎰
'dx v u 易于计算;
3°有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法,第一次选作v '(或u )的函数,第二次不能选由v '(或u )所得到的v (或v ').否则,经第二次运用,被积函数又将复原.
(Ⅲ)分部积分法所适用的情况
,,
(2)定积分的值与积分变量无关,即⎰⎰
=a
a
dt t f dx x f )()(;
(3)
⎰⎰
-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(,特别地,
⎰
=a
a
dx x f 0)(.
定积分的几何意义 设)(x f 在[a,b ]上边续,
⎰
b
a
dx x f )(在几何上表示介于i 轴、曲线y =)(x f 及直线b x a x ==,之间各
部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号.
利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容.
【定理3.2】(可积的必要条件) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上可积,则)(x f 在[a,b ]上有界. 【定理3.2】(可积的充分条件) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上连续,则)(x f 在[a,b ]上可积.
【定理 3.4】(可积的充分条件) 在区间[a,b ]上只有有限个间断点的有界函数)(x f 在该区间上可积.
2.定积分的性质
设)(x f ,)(x g 在[a,b ]上可积 b
b
],1[,)()(b x dt t f x x
a
∈=Φ⎰
是)(x f 在[a,b ]上的一个原函数,即
)()()(x f dt t f dx d x x
a
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰.
设)(),(x x ψϕ可导
【推论1】 设⎰
=Φϕ
a
dt t f x )()(,则)())(()(x x f x ϕϕ'=Φ'.
【推论2】 设⎰=
Φ)
()
()()(x x dt t f x ϕψ
,则
)())(()())(()(x x f x x f x ψψϕϕ'-'=Φ'.
【推论3】 ⎰
=
Φ)
()()()(x a
dt x g t f x ϕ,则
)
()(x
x ϕϕ'⎰⎰'-='b
a b
a dx x u x v a
b x v x u dx x v x u )()()()()()(.
用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设⎰⎰=
x c b
a dx x f dt t x f )(,)()(求ϕ,这时,应设dx dv x f u ==),(.
(4)计算定积分常用的公式 1°
20
224
1
a dx x a a
π=-⎰
.
2°奇偶函数积分 设],[)(a a x f -在上连续,则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⎰⎰
-.)(,
0,
)(,)(2)(0为奇函数时为偶函数时x f x f dx x f dx x f a a
a
3°
⎰⎰⎰
-+=-+=--a a
a
a
a
dx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)(.
计算定积分,当积分区间为[-a,a ]时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换u x -=,
用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.
若上述极限不存在,则称广义积分
⎰
+∞
a
dx x f )(发散.
类似地,广义积分
⎰
∞
-b
dx x f )(用极限
⎰
<+∞→b
a
a b a dx x f )()(lim
的存在与否来定义它的敛散性.
函数)(x f 在),(+∞-∞上的广义积分,定义为
⎰
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-+=c
c
dx x f dx x f dx x f )()()(
其中c 是任一有限数,任当等号右端的两个广义积分都收敛时,左端的广义积分才收敛;否则称它是发散的.
6.定积分的应用(求平面图形的面积) (1)面积公式
1°曲线)(x f y =,直线0)(,=<==y b a b x a x 及所围图形的面积
⎰=b
a
dx x f S .|)(|
2°曲线)(x f y =,)(x g y =和直线)(,b a b x a x <==所围图形的面积
⎰-=b
a
dx x g x f S .|)()(|
3°曲线)(y x ϕ=,直线0)(,=<==x d c d y c y 及所围图形的面积
⎰=d
c
dy y S .|)(|ϕ
4°曲线)(y x ϕ=,)(y x ψ=和直线0)(,=<==x d c d y c y 及所围图形的面积
⎰-=d
c
dy y y S .|)()(|ψϕ
(2)解题程序
1°据已知条件画出草图;
2°选择积分变量并确定积分限:直接判定或解方程组确定曲线的交点; 3°用相应的公式计算面积.
【说明】 选择积分变量时,一般情况下计算面积时,图形不分块或少分块为好.
第七讲
第四章 多元函数微分学
重点：一阶、二阶偏导数的计算(不含复合函数和隐函数)、二元函数无条件极
值的求法(必要性和充分性)
一、重要定义、定理及公式
1.多元函数、极限与连续概念
【定义4.1】(二元函数定义) 以x,y 为自变量,z 为因变量的二元函数记作
.),(),,(D y x y x f z ∈=
数对集D 是函数的定义域，f 是由(x,y )对应z 的法则;若记}),(),,(|{D y x y x f z z Z ∈==,则Z 是函数的值域.
几何意义 函数D y x y x f z ∈=),(),,(,其图形是空间直角坐标系下一张空间曲面;该曲面在Oxy 平面上的投影区域就是该函数的定义域D .
【定义4.2】(二元函数的极限) 函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内除去点0P 以外都有定义.如果动点P （x,y ）与定点),(000y x P 之间的距离2020)()(y y x x -+-=ρ趋向于0时，),(y x f 趋向于一个常数A ，那么就称A 为P 趋向于0P 时函数),(y x f 的极限，记作
.),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→
【定义4.3】(连续性) 设函数),(y x f 在点),(y x P 的某邻域内有定义,若
二元函数),(y x f 在点),(000y x P 连续不是偏导数存在的必要条件;偏导数存在也未必连续.
【定义4.5】(高阶偏导数) 函数),(y x f z =在偏导数x z ∂∂、y
z ∂∂关于x 和关于y 的偏导数,称为),(y x f 的二阶偏导数,共有四个:
).,(),,(),,(),,(22222y x f z y z y z y y x f z x y z y z x y x f z y x z x z y y x f z x
z x z x yy yy yx yx xy xy xx xx ''=''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂''=''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂''=''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂''=''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂
【定理4.6】 若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数),(y x f xy
''和),(y x f yx ''在区域D 内连续,则必有 ),(y x f xy
''=),(y x f yx ''.
.
(1) 求偏导(函)数时,一般用一元函数的导数公式与运算法则.
(2) 求在某定点),(00y x 的偏导数时,可采取两种方法:
1°先求偏导(函)数,然后再定值;
2°用下述公式
00000000),(),(,),(),(y y dy
y x df y x f x x dx y x df y x f y x =='==', 即求),(00y x f x '时,可先由),(y x f 得到),(0y x f ,再注),(00y x f y '时也如此.
三、求函数极值的思路
1.无条件极值问题
求函数),(y x f z =在其定义域D 上的极值.
求函数极值的程序
(1)求驻点(可能取极值的点) 由定理4.7知,求方程组⎩⎨⎧='='0),(0),(y x f y x f y
x 的一切实数解; (2)判定 用定理4.9判定所求驻点是否为极值点;
, 2°其次,求可能极值点,求偏导数,并解方程组
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂.0),(00y x g y g y
f y F x
g x f x F λλ 一般情况是消去λ,解出x,y ,则点(x,y )就是可能极值点.
3°判定可能极值点是否为极值点
MBA 考试不要求判别充分条件,对应用问题,一般根据问题的实际意义来判定.
3.最大值与最小值问题
在有界闭区域D 上的连续函数),(y x f 一定有最大值和最小值.
为了求出极值,需先算出函数),(y x f 在区域D 内部所有驻点、偏导数不存在的点的函数值,一般而言,这是无条件极值问题;其次,需算出函数),(y x f 在区域D 的边界上点的函数值,一般而言,这是以),(y x f 为目标函数,以D 的边界曲线方程为约束条件的条件极值问题;最后比较,其中最大(最小)者,即为函数),(y x f 在D 上的最大(最小)值.
这是一般方法,实际上这样做,将是极为复杂甚至是困难的.
对于应用问题,若已经知道或能够判定函数在区域D 的内部确实有最大(或最小)值;此时,若在D 内函数仅有一个驻点,就可以判定,该驻点的函数值就是函数在区域D 上的最大(或最小)值.
附录
名师之谈－数学如何学习
一、数学考试在联考中占居的位置及如何入手复习数学
MBA 联考中，数学部分占的比重还是相当大的。

对大多数考生来说，数学是个难点，也是浪费时间较多的一门课程。

从2002年开始，MBA 联考把数学、语文、逻辑作为一门综合科目来考察。

数学的题量并没有减少很多，只是类型上作了改变，都改成选择题。

其中包括条件充分性判断和问题求解两个部分，这无疑对考生的数学思维提出了更高的要求。

2005年联考数学的新变化是分值略为下降，数学总分从90分改为70分，但题型更加灵活多变，所以这就要求考生掌握扎实的基本功和熟练的解题技巧，并具有一定的解题速度。

如果达不到一定的速度或计算不准确就等于不会。

根据以往的教学经验，我建议考生在复习中注意以下几点：
1、不是背诵的背诵
要先把教材吃透，对教材上的概念、定理、公式要认真领会，牢牢掌握。

因为其中的每一个字都是经过了甚至数百年的，无数次的推敲和提炼，如能将定义、定理、性质理解透彻，也就达到了背诵的效果了。

书上的例题一定要认真看、仔细反复地做，掌握解题方法。

在历年的联考中，都曾出现过书上的例题作为真题出现。

所以说，书上的例题一定要达到看到题目就能立即反应出考点和解题步骤。

2、走出题海战术的误区
有的考生说我把几本书的习题通做一遍，考试的时候就没问题了。

这是很多考生复习中存在的误区。

MBA 考试更注重的是逻辑性和数学思维。

盲目地做题所达到的效果，更大的可能就是会的题永远会，不会的题总是不容易掌握。

而相对整个知识体系来说，不易了解自己的强项和弱项。

况且MBA联考不仅仅是数学一门，无论你单科的实力有多强，偏科复习都是极其危险的，因此要注意合理分配时间，保障复习的整体效果。

3、参考书目
不要盲目选购大量的参考书。

书店的参考书种类繁多，很难选择，根据自身情况有选择性的购买。

二、考试如何有效答题避免失分，答题技巧经验之谈
有句俗话说得好，失败是成功之母，研究失败是为了避免重犯错误，我们通过研究失分的原因就可以知道今后答题的技巧，通过对近两年大量数学试卷的分析和统计，我总结了考生失分的原因，主要有三个方面：
1、对基础知识的记忆不够清晰和准确
数学试题特别注意对基础知识的考查，选择题和填充题所占比例高达50%，而且计算题也特别重视与基础知识的结合从近来阅卷后的统计数据来看，考生基础知识不扎实，记忆不准确的问题是相当严重的。

2、基本技能不够熟练
解题缺乏思路，基本解题方法掌握和运用不熟练，做选择题耗时长而准确率低，造成无谓失分。

3、运算能力不强
从历届考试的情况来看，试卷上运算失误过多的原因大致可以归纳为：①使用方法不当；②计算不够缜密；③对错误的运算结果识别、判断的能力差，解题思路正确、方法对头但运算失误，在做选择时最终不能得分，十分令人痛惜，运算是数学的主要任务，实际上也是一种综合能力，有些试题，只有依据题设条件与正确的分析和推理，以求发现最简捷合理的巧妙解法，这必将可以避免大量繁琐的推演和盲目的计算，从而减低运算的失误率。

所以总的来说还是要抓基础，提高运算能力。

三、辅导班听课的注意事项
我们知道一般辅导班讲课学时有限，因此，一般一节课的内容往往相当多，讲课的节奏也较快，如何有效地掌握辅导班教学内容，有几点忠告可供大家参考：
1、“讲得学生人人都能听懂的教师，不是好教师”，这是美国大学教授们所奉行
的观点，也是辅导课堂的特点。

因为将知识分解，讲得太细，会使学生获取知识的能力下降，也不利于学生的自学能力的培养。

因此，不要企望上课时能把全部内容都听懂，更不要在某一地方卡壳之后，中止听课。

2、上课主要听概念，尤其注意教师强调的地方，这往往是容易出现错误的地方；
听定理证明的方法，而不要过分拘泥于听懂证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充。