微积分基本概念

微积分基本概念

第一章 函数、极限连续

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作

.),(D x x f y ∈=

x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数

的值域.

xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.

定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域

与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.

（二）函数的几何特性 1．单调性

（1）【定义1.2】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.

类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数.

（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.

2．有界性

【定义1.3】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.

【定义 1.4】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得

|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数. 有界函数的图形完全落在两条平行于x 轴的直线之间.

函数是否有界与定义域有关,如nx y 1=（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的.

有界函数的界是不惟一的,即若对任意D x ∈,都有|()|f x ≤M ,则也一定有|)(|x f ≤

)0,0(>>+a M a M .

3．奇偶性

【定义 1.5】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有

))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.

奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则

)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；

)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.

常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.

利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】 判断下列函数的奇偶性: (1)21)(1)(x x n x f ++=;

(2)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-.

0,1,

0,1)(x e x e x g x x

【解】 (1)因为)1(1)(1(1)(2

2x x n x x n x f ++-=-++-=- 2

2

221111)

1)(1(1x

x n

x

x x x x x n

++=++++++-=

),()1(12x f x x n -=++-= 所以)1(1)(2x x n x f ++=是奇函数.

(2)因为)(0

,

10,10

,

10,1)()

(x g x e x e x e x e

x g x x

x

x -=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--=-----

4．周期性

【定义 1.6】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有

)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.

我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.

图1-1