宁夏银川市唐徕回民中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（每题5分共计60分）
1．直线l经过原点和（1，﹣1），则它的倾斜角是（）
A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或135°
2．直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（）
A．k=﹣，b=3 B．k=﹣，b=﹣2 C．k=﹣，b=3 D．k=﹣，b=﹣3
3．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0
5．把﹣1125°化成k•360°+α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．﹣3×360°﹣315° B．﹣9×180°﹣45° C．﹣4×360°+315° D．﹣
3×360°+45°
6．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（）
A．sinα﹣tanα B．sinα+cosα C．tanα+sinα D．cosα﹣tanα
7．下列结论能成立的是（）
A．tanα=2且=﹣B．tanα=1且cosα=﹣
C．sinα=1且tanα•cosα=D．sinα=且cosα=
8．下列说法中正确的个数是（）
①零向量是没有方向的
②零向量的长度为0
③零向量的方向是任意的
④单位向量的模都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（）
A．﹣B．C．D．﹣
10．若向量，，则向量的坐标是（）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
11．要将y=sin（2x+）的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y=sin（2x+）的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
12．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
二、填空题（每题5分，共计20分）
13．在空间直角坐标系中，点M（﹣2，4，﹣3）在xOz平面上的射影为M′点，则M′点关于原点的对称点的坐标是．
14．若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω= ．
15．已知，不共线，=+2，=2+λ，要使，
作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是．
16．若点A，B的坐标分别为（2，﹣2），B（4，3），向量=（2k﹣1，7），且
∥，则k的值为．
三、解答题（本题包括六道小题共计70分）
17．已知α为第三象限角，
．
（1）化简f（α）；
（2）若，求f（α）的值．
18．直线l过两直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x+y+2=0的交点，且与直线l3：
4x+3y﹣2=0平行，求直线l的方程．
19．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使=，=，
=，若=，=，试用，将，，表示出来．
20．在△ABC中，sinA+cosA=，求tanA的值．
21．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图
象与P点最近的一个最高点坐标为（，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最大值，并写出相应的x的值；
（3）求使y≤0时，x的取值范围．
22．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），
（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；
（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．
2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分共计60分）
1．直线l经过原点和（1，﹣1），则它的倾斜角是（）
A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或135°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的倾斜角．
【解答】解：∵直线l经过坐标原点和点（1，﹣1），
∴直线l的斜率k==﹣1，
∴直线l的倾斜角α=135°．
故选：C．
2．直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（）
A．k=﹣，b=3 B．k=﹣，b=﹣2 C．k=﹣，b=3 D．k=﹣，b=﹣3 【考点】直线的一般式方程．
【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k 及与y轴的截距b即可．
【解答】解：方程3x+2y+6=0变形为：
y=﹣x﹣3，
∴此直线的斜率k=﹣，直线在y轴上的截距b=﹣3．
故选C
3．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．
4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB 的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）
∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，PQ的斜率k===1
可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0
故选：C
5．把﹣1125°化成k•360°+α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．﹣3×360°﹣315° B．﹣9×180°﹣45° C．﹣4×360°+315° D．﹣
3×360°+45°
【考点】终边相同的角．
【分析】根据所给的角是一个负角，用一个360的整倍数的负角，且负角度绝对值比所给的负角度绝对值大，再加上一个周角内的正角，得到结果．
【解答】解：﹣1125°=﹣1440°+315°=﹣4×360°+315°，
故选：C．
6．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（）
A．sinα﹣tanα B．sinα+cosα C．tanα+sinα D．cosα﹣tanα
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由α为第二象限的角，得到﹣1＜cosα＜0，从而得到1+
＜0，则答案可求
【解答】解：∵α是第二象限的角，
∴﹣1＜cosα＜0，
∴tanα+sinα=sinα（1+）＜0．
故选：C．
7．下列结论能成立的是（）
A．tanα=2且=﹣B．tanα=1且cosα=﹣
C．sinα=1且tanα•cosα=D．sinα=且cosα=
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简，即可作出判断．
【解答】解：A、tanα=2，则有=，错误；
B、tanα=1，则有cosα=±=±，正确；
C、sinα=1，则有cosα=0，tanα•cosα=0，错误；
D、sinα=，则有cosα=±=±，错误，故选：B．
8．下列说法中正确的个数是（）
①零向量是没有方向的
②零向量的长度为0
③零向量的方向是任意的
④单位向量的模都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】向量的物理背景与概念．
【分析】根据零向量与单位向量的定义进行判断．
【解答】解：零向量的长度为0，方向是任意的，单位向量的长度为1．
故①错误，②③④正确．
故选D．
9．若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．
【分析】利用诱导公式化简即可得出．
【解答】解：∵sin（3π+α）=﹣，∴，
∴．
∴cos==﹣
sinα=．
故选A．
10．若向量，，则向量的坐标是（）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据两个向量坐标形式的运算法则可得向量=（0，﹣2）﹣（3，2），运算求得结果．
【解答】解：向量=（0，﹣2）﹣（3，2）=（﹣3，﹣4），
故选D．
11．要将y=sin（2x+）的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y=sin
（2x+）的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，可得结论．
【解答】解：设将函数y=sin（2x+）的图象向左平移m个单位，所得图象为偶函数．
由于平移后函数图象所对应的函数解析式为：y=sin=sin（2x+2m+），
由于：所得图象为偶函数，
可得：2m+=kπ+，k∈Z，
解得：m=+，k∈Z，
所以：当k=0时，m=，即将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，图象转化为某一个偶函数图象，
故选：B．
12．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间
[，]上单调递增，则答案可求．
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由
，得
．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：B．
二、填空题（每题5分，共计20分）
13．在空间直角坐标系中，点M（﹣2，4，﹣3）在xOz平面上的射影为M′点，则M′点关于原点的对称点的坐标是（2，0，3）．
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】由在空间直角坐标系中，点M（﹣2，4，﹣3）在xOz平面上的射影为M′点，先求出M′的坐标，由此能求出M′点关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点M（﹣2，4，﹣3）在xOz平面上的射影为M′点，
∴M′（﹣2，0，﹣3），
∴M′点关于原点的对称点的坐标是（2，0，3）．
故答案为：（2，0，3）．
14．若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，
则ω= ．
【考点】三角函数的最值．
【分析】根据已知区间，确定ωx的范围，求出它的最大值，结合0＜ω＜1，求出ω的值．
【解答】解：
，
故答案为：
15．已知，不共线，=+2，=2+λ，要使，
作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是（﹣∞，4）∪（4，+∞）．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据题意，与不共线，求出与共线时λ的值，即可得出所求λ的取值范围．
【解答】解：根据题意，要使，作为平面内所有向量的一组基底，则与
不共线，
当与共线时，必存在实数m使=m，m∈R；
即2+λ=m（+2），
故可得，解得m=2，λ=4；
故要使两向量作基底，必有λ≠4．
故答案为：（﹣∞，4）∪（4，+∞）．
16．若点A，B的坐标分别为（2，﹣2），B（4，3），向量=（2k﹣1，7），且
∥，则k的值为．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】求出向量，根据向量=（2k﹣1，7），且∥，得到关于k 的方程，解出即可．
【解答】解：∵A，B的坐标分别为（2，﹣2），B（4，3），
∴=（2，5），
又=（2k﹣1，7），且∥，
∴5（2k﹣1）=14，解得：k=，
故答案为：．
三、解答题（本题包括六道小题共计70分）
17．已知α为第三象限角，
．
（1）化简f（α）；
（2）若，求f（α）的值．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．
（2）通过，求出sinα，然后求出cosα，即可得到f（α）的值．
【解答】解：（1）
（2）∵
∴从而
又α为第三象限角
∴
即f（α）的值为．
18．直线l过两直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x+y+2=0的交点，且与直线l3：
4x+3y﹣2=0平行，求直线l的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】联立方程组，求出交点坐标，求出l的斜率，代入点斜式方程即可．
【解答】解：由，解得，
∵直线l3的斜率是﹣，l∥l3，
∴直线l的斜率k=﹣，
故直线l的方程是y=2=﹣（x+2），
即：4x+3y+2=0．
19．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使=，=，
=，若=，=，试用，将，，表示出来．
【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由=得=，根据向量减法法则，结合题中数
据得=﹣=﹣﹣，再由化简
得=﹣+．同理得到=﹣，进而得到=﹣
（+）=+．
【解答】解：∵=，∴=
由此可得，=﹣=﹣﹣
∵
∴=﹣﹣（﹣）=﹣=﹣+．
同理可得=﹣，=﹣=﹣（+）=+．
20．在△ABC中，sinA+cosA=，求tanA的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】已知等式与sin2A+cos2A=1联立，求出sinA与cosA的值，将已知等式两边平方求出2sinAcosA的值，即为sin2A的值小于0，确定出A的范围，判断得到满足题意sinA与cosA的值，即可求出tanA的值．
【解答】解：联立得：，
解得：或，
由sinA+cosA=两边平方得：（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA=，即
2sinAcosA=sin2A=﹣，
∴180°＜2A＜360°，即90°＜A＜180°，
∴cosA＜0，sinA＞0，
∴sinA=，cosA=，
则tanA==﹣2﹣．
21．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图
象与P点最近的一个最高点坐标为（，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最大值，并写出相应的x的值；
（3）求使y≤0时，x的取值范围．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）由函数的最大值求A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数取最大值的条件以及函数的最大值，得出结论．
（3）由5sin（2x﹣）≤0，可得2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z），由此求得x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知=﹣=，∴T=π．
∴ω==2，由ω•+φ=0，得φ=﹣，又A=5，∴y=5sin（2x
﹣）．
（2）函数的最大值为5，此时，2x﹣=2kπ+（k∈Z）．∴x=kπ+
（k∈Z）．
（3）∵5sin（2x﹣）≤0，∴2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z）．
∴x的取值范围是{x|kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈Z）}．
22．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），
（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；
（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；
（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．
【考点】圆的一般方程．
【分析】（1）由点P（m，m+1）在圆C上，解得m=4，从而点P（4，5），由此能求出PQ的斜率．
（2）点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．
（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，
3）与圆上的动点N连线l的斜率．由此能求出t=的最大值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8．点P（m，m+1）在圆C上，所以m2+（m+1）2﹣4m﹣14（m+1）+45=0，解得m=4，
故点P（4，5）．所以PQ的斜率是k P Q==；
（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，
所以|MQ|的最大值、最小值分别是
|QC|+r，|QC|﹣r．Q（﹣2，3），C（2，7），
|QC|==4，r=2，
所以|MQ|m a x=6，|MQ|m i n=2．
（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，
t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．
设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．
当直线和圆相切时，d=r，即=2，解得
k=2±．
所以t=的最大值为2+．
2018年7月5日。