浅谈向量在高中数学解题中的有效运用
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也 就 可 以从 几 何 学 的 角 度 来 理 解 ． 由于 向量 有 长 度 ，
ＢＣ的中点 ， 求直线 Ｆ Ｄ、 Ｅ Ｆ、 ＤＥ 的方程 ．
Ｑ 解 析 已 知 三 角 形３ 个顶点的 坐 标， Ａ （ ０ ， 一 ４ ） 、
Ｂ（ ４ ， ０ ） 、 Ｃ （ 一６ ， ２ ） ， 能 够 得 知 中点 Ｆ、 Ｄ、 Ｅ 的
的代数 运算 中 ， 因而 向量运 算可 以解 决代数 问题 ．
２ 向量在 高 中数学解 题 中的应 用
１ ）向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用
在求 解不 等式 的过程 中 ， 可 以采用 向量 法． 例如，
￣ ／ ｎ ＋ｂ 。 ±￣ ／ ｃ ＋ｄ 的结 构 ， 可 以构造 向量 的和 与差 ，
程 的不断改 革 ， 学生学 习 时不 仅 需要 掌 握 一章 的相 关 知识 ， 而且 还需 要 建 立章 节 之 间 的联 系 ， 灵 活 运 用 知 识． 为此 ， 必ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 加 强 向量 在 高 中数 学解 题 中 的 有 效 运 通过 以上 例 题 ， 在 课 堂 中进 行 有 效 应 用 ， 进 而 帮
找 到问题 答案 ．
■●
ｌ ｂ ｌ ≥ｌ 口± ｂ Ｉ 可得 ￣ ／ （ 一２ ） ＋９＋ ￣ ／ （ ｚ 一５ ） 。 ＋１≥
￣ ／ （ ｚ 一２ ＋５ 一ｚ ） ＋（ ３ ＋１ ） 。 ， 所 以
例 １ 在 正 方 体 ＡＢ Ｃ Ｄ— Ａｌ Ｂ１ Ｃ １ Ｄ 中 ， Ｅ 是 ＤＤ
４ ） ， Ｂ（ ４ ， ０ ） ， Ｃ（ 一６ ， ２ ） ， 点 Ｅ、 Ｆ、 Ｄ分 别是 ＡＢ、 ＡＣ、
教学 领域 ． 我 国于 上 个 世 纪 ９ ０年 代 将 向量 并 人 了高
中数 学 教学 大纲 中 ， 成 为高 中数学 教学 的重 要 内容 ． 向量是有 向线 段 ， 因而 可 以 表示 物体 的 位 置 ； 而 物 体 的位置 和形状 ， 是 几何 学 的研 究 对 象 ， 因而， 向量
则 一 一 １ ， 一３ ／ ２ ，所 以 ｍ一 （ １ ， ３ ／ ２ ， 一１ ） ， 假 设 在 棱
Ｃ Ｄ 上 是 存 在 一 点 Ｆ， 使得 Ｂ Ｆ∥ 平 面 Ａ Ｂ Ｅ， 设 Ｆ（ 。 ， ２ ， ２ ）（ ０ ≤ｚ 。 ≤２ ） ，贝 ０ ＢＦ一 （ 。 一２ ， ２ ， ２ ） ， ０
② 向量 法 在 不 等 式 中 的 应 用 ．
因而可 以利 用 其 刻 画 物 体 的 面 积 、 体积、 长 度 等 基 本
的几何 度量 问题 ； 由于 向 量 具 有 方 向 性 ， 因而 ， 可 以 应
用 向量 描述 平 面 、 直线等几何对象的位置关系 ； 代 数 研究中， 有关 加 、 减、 乘、 除 的运 算 ， 也 同样适 用 于 向量
— —
０
， ， ｌ ・ ＢＦ一 １ ×（ 。 一２ ） 一 × ２ 一（ 一１ ） ×２ — ０， 得 。 一
厶
１ ， 所 以 当 Ｆ为 ｃ Ｄ 中点时 ， Ｂ Ｆ∥平面 Ａ Ｂ Ｅ． 向量是 高 中数 学 的重 要 内容 之 一 ， 在 高 中代 数 、 几何及 三角 函数 中都得 到 了广泛 应 用． 尤其 随着 新课
利用 向量 的三 角 不 等 式 ｌ 口Ｉ 一１ ｂ ｌ ≤１ Ｇ ±ｂ ｌ ≤ Ｉ ｎ ｌ ＋ ｌ ｂ ｌ 求解 ．
向量 在立体 几何 中应 用 ， 与 在平 面几 何 中 的应 用 模 式一 致 ， 但加 入 了立 体 几 何 中 的空 间 想 象 ， 使 得 学
ｌ 例 ３ 证明￣ ／ （ ｘ －２ ） ＋９ ＋￣ ／ （ 一５ ） ＋ｌ ≥５ ．
证 明 设 ｎ 一（ １ ｚ 一２ ） ，ｂ 一（ ５ 一 ， １ ） ， 由Ｉ ｎ Ｉ ＋
生在传 统 的几何 问题 处理 模 式 中存 在 一定 的差 异 ， 因 而， 采 用 向量 法 ， 能够促使几何问题简化 ， 化繁 为简，
１ 向量 的 认 识
① 利 用 向量法 求 出直线方 程．
一
向量 早在 １ ９世 纪 就 已经 成 为物 理 学 家 、 数 学 家 研究 和应 用 的对象 ， 到了 ２ ０世 纪 ， 向量被 引 入 了数 学
一
一 例 ２ 已知 三角形 ＡＢ Ｃ的 ３个顶点 分别 为 Ａ（ ０ ，
￣ ／ （ 一２ ） ＋９ ＋￣ ／ （ 一５ ） 。 ＋１ ≥５ ． 向量 具 有几 何形式 及代 数 形 式 的双 重 身份 ， 是 数 学 知识 的交 会点 ， 不仅 将其 作 为 高 中数 学 的一 种 知识
助学 生将 繁琐 的解 题过程 简 单 化 ， 同 时还 可 提高 课 堂
效率 ， 培 养学 生 的立体思 维 能力． ２ ） 向 量 在 平 面 几 何 中的 应 用
向量 的核 心 就是平 面 向量 数 量积 ， 其 数 量 特征 则 是 向量 的长 度及 夹角 ．
用， 进 而 提高解 题效 率 ， 减轻 学生 学 习压 力．
坐标 分别 为 （ ２ ， 一２ ） 、 （ 一１ ， １ ） 、 （ ３ ， 一１ ） ， 设 Ｍ（ ｘ， ）
为 ＤＥ 上 的 一 个 点 ， 由ＤＭ ／ ／ＤＥ可 求 出 Ｄ Ｅ 所 在 方
程， 同理 可求 出 Ｅ Ｆ、 Ｆ Ｄ所 在 的方程 ． 利用 向量 分析 几 何元 素之 间 的关 系将 上 述 问题 转 换 为 共线 向量 与直 线 向量 的问题 ， 就能 够求 出 Ｅ Ｆ、 ＦＤ 的直 线方 程．
残藤锄妻套南 数 学辱逸 坞 霭敦逵
◇ 江苏 沙红 丽
ＢＥ 一 （ 一 ２， ２， １），１ ３ Ａｊ 一（ ２， ０， ２） ．
设面 Ｂ Ｅ Ａ 的法 向量 为 ｍ一 （ １ ｚ ， ｙ ， ） ， 则 ｍ・ Ｂ Ｅ一
～
２ ｚ＋ ２ ４ － ｚ一 ０，且 ｍ・ ＢＡ１ —２ ｘ，２ ｚ 一 ０， 取 ． ２ ７ —１ ，
ＢＣ的中点 ， 求直线 Ｆ Ｄ、 Ｅ Ｆ、 ＤＥ 的方程 ．
Ｑ 解 析 已 知 三 角 形３ 个顶点的 坐 标， Ａ （ ０ ， 一 ４ ） 、
Ｂ（ ４ ， ０ ） 、 Ｃ （ 一６ ， ２ ） ， 能 够 得 知 中点 Ｆ、 Ｄ、 Ｅ 的
的代数 运算 中 ， 因而 向量运 算可 以解 决代数 问题 ．
２ 向量在 高 中数学解 题 中的应 用
１ ）向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用
在求 解不 等式 的过程 中 ， 可 以采用 向量 法． 例如，
￣ ／ ｎ ＋ｂ 。 ±￣ ／ ｃ ＋ｄ 的结 构 ， 可 以构造 向量 的和 与差 ，
程 的不断改 革 ， 学生学 习 时不 仅 需要 掌 握 一章 的相 关 知识 ， 而且 还需 要 建 立章 节 之 间 的联 系 ， 灵 活 运 用 知 识． 为此 ， 必ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 加 强 向量 在 高 中数 学解 题 中 的 有 效 运 通过 以上 例 题 ， 在 课 堂 中进 行 有 效 应 用 ， 进 而 帮
找 到问题 答案 ．
■●
ｌ ｂ ｌ ≥ｌ 口± ｂ Ｉ 可得 ￣ ／ （ 一２ ） ＋９＋ ￣ ／ （ ｚ 一５ ） 。 ＋１≥
￣ ／ （ ｚ 一２ ＋５ 一ｚ ） ＋（ ３ ＋１ ） 。 ， 所 以
例 １ 在 正 方 体 ＡＢ Ｃ Ｄ— Ａｌ Ｂ１ Ｃ １ Ｄ 中 ， Ｅ 是 ＤＤ
４ ） ， Ｂ（ ４ ， ０ ） ， Ｃ（ 一６ ， ２ ） ， 点 Ｅ、 Ｆ、 Ｄ分 别是 ＡＢ、 ＡＣ、
教学 领域 ． 我 国于 上 个 世 纪 ９ ０年 代 将 向量 并 人 了高
中数 学 教学 大纲 中 ， 成 为高 中数学 教学 的重 要 内容 ． 向量是有 向线 段 ， 因而 可 以 表示 物体 的 位 置 ； 而 物 体 的位置 和形状 ， 是 几何 学 的研 究 对 象 ， 因而， 向量
则 一 一 １ ， 一３ ／ ２ ，所 以 ｍ一 （ １ ， ３ ／ ２ ， 一１ ） ， 假 设 在 棱
Ｃ Ｄ 上 是 存 在 一 点 Ｆ， 使得 Ｂ Ｆ∥ 平 面 Ａ Ｂ Ｅ， 设 Ｆ（ 。 ， ２ ， ２ ）（ ０ ≤ｚ 。 ≤２ ） ，贝 ０ ＢＦ一 （ 。 一２ ， ２ ， ２ ） ， ０
② 向量 法 在 不 等 式 中 的 应 用 ．
因而可 以利 用 其 刻 画 物 体 的 面 积 、 体积、 长 度 等 基 本
的几何 度量 问题 ； 由于 向 量 具 有 方 向 性 ， 因而 ， 可 以 应
用 向量 描述 平 面 、 直线等几何对象的位置关系 ； 代 数 研究中， 有关 加 、 减、 乘、 除 的运 算 ， 也 同样适 用 于 向量
— —
０
， ， ｌ ・ ＢＦ一 １ ×（ 。 一２ ） 一 × ２ 一（ 一１ ） ×２ — ０， 得 。 一
厶
１ ， 所 以 当 Ｆ为 ｃ Ｄ 中点时 ， Ｂ Ｆ∥平面 Ａ Ｂ Ｅ． 向量是 高 中数 学 的重 要 内容 之 一 ， 在 高 中代 数 、 几何及 三角 函数 中都得 到 了广泛 应 用． 尤其 随着 新课
利用 向量 的三 角 不 等 式 ｌ 口Ｉ 一１ ｂ ｌ ≤１ Ｇ ±ｂ ｌ ≤ Ｉ ｎ ｌ ＋ ｌ ｂ ｌ 求解 ．
向量 在立体 几何 中应 用 ， 与 在平 面几 何 中 的应 用 模 式一 致 ， 但加 入 了立 体 几 何 中 的空 间 想 象 ， 使 得 学
ｌ 例 ３ 证明￣ ／ （ ｘ －２ ） ＋９ ＋￣ ／ （ 一５ ） ＋ｌ ≥５ ．
证 明 设 ｎ 一（ １ ｚ 一２ ） ，ｂ 一（ ５ 一 ， １ ） ， 由Ｉ ｎ Ｉ ＋
生在传 统 的几何 问题 处理 模 式 中存 在 一定 的差 异 ， 因 而， 采 用 向量 法 ， 能够促使几何问题简化 ， 化繁 为简，
１ 向量 的 认 识
① 利 用 向量法 求 出直线方 程．
一
向量 早在 １ ９世 纪 就 已经 成 为物 理 学 家 、 数 学 家 研究 和应 用 的对象 ， 到了 ２ ０世 纪 ， 向量被 引 入 了数 学
一
一 例 ２ 已知 三角形 ＡＢ Ｃ的 ３个顶点 分别 为 Ａ（ ０ ，
￣ ／ （ 一２ ） ＋９ ＋￣ ／ （ 一５ ） 。 ＋１ ≥５ ． 向量 具 有几 何形式 及代 数 形 式 的双 重 身份 ， 是 数 学 知识 的交 会点 ， 不仅 将其 作 为 高 中数 学 的一 种 知识
助学 生将 繁琐 的解 题过程 简 单 化 ， 同 时还 可 提高 课 堂
效率 ， 培 养学 生 的立体思 维 能力． ２ ） 向 量 在 平 面 几 何 中的 应 用
向量 的核 心 就是平 面 向量 数 量积 ， 其 数 量 特征 则 是 向量 的长 度及 夹角 ．
用， 进 而 提高解 题效 率 ， 减轻 学生 学 习压 力．
坐标 分别 为 （ ２ ， 一２ ） 、 （ 一１ ， １ ） 、 （ ３ ， 一１ ） ， 设 Ｍ（ ｘ， ）
为 ＤＥ 上 的 一 个 点 ， 由ＤＭ ／ ／ＤＥ可 求 出 Ｄ Ｅ 所 在 方
程， 同理 可求 出 Ｅ Ｆ、 Ｆ Ｄ所 在 的方程 ． 利用 向量 分析 几 何元 素之 间 的关 系将 上 述 问题 转 换 为 共线 向量 与直 线 向量 的问题 ， 就能 够求 出 Ｅ Ｆ、 ＦＤ 的直 线方 程．
残藤锄妻套南 数 学辱逸 坞 霭敦逵
◇ 江苏 沙红 丽
ＢＥ 一 （ 一 ２， ２， １），１ ３ Ａｊ 一（ ２， ０， ２） ．
设面 Ｂ Ｅ Ａ 的法 向量 为 ｍ一 （ １ ｚ ， ｙ ， ） ， 则 ｍ・ Ｂ Ｅ一
～
２ ｚ＋ ２ ４ － ｚ一 ０，且 ｍ・ ＢＡ１ —２ ｘ，２ ｚ 一 ０， 取 ． ２ ７ —１ ，