第6章现代控制理论
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案
=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得
现代控制理论-第6章-多变量输出反馈控制和解耦控制
(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
馈矩阵，将3p q 1个 闭环极点配置在规定位置。对于n 3p的
多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全
部n q个闭环极点；对于n 3p 的多变量系统，则有n 3p 1
个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的Q、q 有关。实际
上通常是n
3p
1个小的数目，通过重复设计
及
Q
，从而重
式(6-87)，即
kWi k1
k2
2 2
2k1
2k2
0
任取 k1 1，则k2 1，故k 1 1。闭环特征多项式由式(6-
85)给出为
H3
s
s
1
s6
2 1
p2 r2
s5
6
q2 1 r2
9r2
s4
12
9 p2 1
r2
r1
9r2
s3
5 p1 9 p2 9q2 2r1 2r2 s2 31 2 p1 2 p2 q1 9q2 s
例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为
0 1 0 0 0 0 1
0
0
1
0
0
0 0
x& 0 0 0 1 0 x 0 2 u
00Βιβλιοθήκη 0010 0
现代控制理论基础 第6章 线性系统的最优控制
7
方法的比较
总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法” ；当控制量有 约束时，采用“极小值原理” 或“动态规划”；如果系统是线性的， 采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大 量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、 方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易 于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控 制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。
J 值为极值 J （最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上 就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法” 。
5
采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控 制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制， 例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面 也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其 抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上 有较小的实用价值。
线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理 意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解 较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简 单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的 工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原 理和设计方法。
下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设 计中的一些主要结论。
8
第三节 线性二次型最优控制
一、控制对象数学模型
线性系统的状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中，
n x(t) 为 维状态向量；
（6-4）
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
现代控制理论课件
输入：外部对系统的作用（激励）； 控制：人为施加的激励；
输入分控制与干扰。
输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息 。若输出是由传感器测量得到的， 又称为观测。 状态、状态变量和状态向量 ：能完整描述和唯一确定系统时域行为或运行过
程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态；其中的各个变量称为状态变 量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。 状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。
1－1 自动控制发展历史简介 自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类在认识世界和改造世 界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。 早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并 应用于水钟和油灯中。在如图1－1所示的水钟原理图中，最上面的蓄水 池提供水源，中间蓄水池浮动水塞保证恒定水位，以确保其流出的水滴 速度均匀，从而保证最下面水池中的带有指针的浮子均匀上升，并指示 出时间信息。 同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南 车等控制装置。首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发 明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器，如图1－2所示。而前苏联则认 为1765年珀尔朱诺夫（I.Polzunov）的浮子水位调节器最有历史意义。
5
现代控制理论的基本内容 科学在发展，控制论也在不断发展。所以“现代”两个字加在“控制理 论”前面，其含义会给人误解的。实际上，我们讲的现代控制理论指的 是五六十年代所产生的一些控制理论，主要包括： 用状态空间法对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方程求 解分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的实现问题； 用变分法、最大（最小）值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制 问题；其中常见的最优控制包括时间最短、能耗最少等等，以及它们的 组合优化问题；相应的有状态调节器、输出调节器、跟踪器等综合设计 问题； 最优控制往往要求系统的状态反馈控制，但在许多情况下系统的状态是 很难求得的，往往需要一些专门的处理方法，如卡尔曼滤波技术来求得。 这些都是现代控制理论的范畴。 六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重 要的分支课程，如线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论，系 统辩识理论，等等。
现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第111讲
第6章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
• 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。
• 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
(2)确定将原系统化为能控标准型 (A, B,C ) 的变换阵 Pc2
若给定状态方程已是能控标准型，那么 Pc2 I ，无需转换
只需要求系统不变量 i
,
然后确定Pc
即可
2
系统不变量： f () I A n n1n1 1 0
1 0 0
n1 1
Pc2 [ An1b, An2b,, b]
2
0
1 2 n1 1
2019/7/21
20
(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：
f *( ) （ 1（) 2 )
（
n )
0
B
P 1 c2
B
0
1
能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：
0
1
0
0
0
0
1
A BK
0
0
0
0
1
(0 k1 ) (1 k2 ) ( 2 k3 ) ( n1 kn )
现代控制理论(22-24讲：第6章知识点)
6-3 系统的镇定问题
在系统综合中,有时仅要求改变不稳 定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇 定(stabilization)。
镇定问题是极点配置问题的一个特殊 情况，其目的是使系统的所有极点位于根 平面的左半平面，而不要求它们的确切位 置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是 能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是 能控的。
f ( ) ( 1 )( 2 )......( n )
n a1 n 1 a1 a (2) n 0
欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式 即可得到：
11
k 1 a a0 k 2 a a1k n a
19
1、由要求的超调量和调整时间决定期望 闭环极点: 给定的品质指标为：ζ ；ts 。 故
% e
1 210ຫໍສະໝຸດ %nts (2%)
4
n
从而，期望主导极点即为:
1,2 n jn 1 2 jd
20
而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极 点离虚轴的距离，即
此时，闭环系统的特征多项式为：
10
f ( ) det( I - ( A B K )) n (an1 k n ) n1 (a1 k 2 ) (a0 k 1 )(1)
_ _ _
_
_ _
（3）设闭环系统的期望极点为λ 1,λ 2,… λ n ， 则期望特征多项式
（3）期望特征多项式为：
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 4 2 6 4
（4）比较上两式的系数，即得到： K=[4 3 1] （5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第6章课件
由伴随方程 H 0
x
const
(t
f
)
x(t
f
)
1 2
cx2 (t
f
)
cx(t
f
)
因为 const
(t) (t f ) cx(t f )
由控制方程
H u 0
u
即
u* (t) cx(t f )
将 u* 代入状态方程 x u cx(t f )
解为 x(t) cx(t f )(t t0 ) c1
（7）
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量 u(t)，使以下性能指标
J [x(t f )] t f L(x, u,t) d t t0
沿最优轨线 x(t)取极小值。
（8）
（性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎 问题）
当 t t0 时，代入上式，求得 c1 x(t0 ) ，所以
x(t) cx(t f )(t t0 ) x(t0 )
当 t t f 时，
x(t
f
)
1
x(t0 ) (t f
t0
)
最优性能指标为
J
*
1 2
cx2
(t
f
)
1 2
tf t0
u2 d t 1 cx2 (t0 ) 2 1 c(t f t0 )
（10）
则 J [x(t f )] t f [H (x, u, λ,t) λT (t)x]d t
t0
[x(t f )] t f H (x, u, λ,t) d t t f λT (t)x d t
t0
《现代控制理论(第3版)》刘豹(教学大纲)
现代控制理论一、课程说明课程编号:课程名称：«现代控制理论»英文名称：Modern Control Theory总学时：48总学分：3适用对象: 自动化专业先修课程：自动控制原理线性代数二、课程开设的背景与目标课程开设的背景“现代控制理论”是自动化专业的专业基础课。
课程设在第六学期，它和第五学期开设的“自动控制原理”一并构成自动化专业的核心理论基础。
作为教学对象的三年级下学期本科生已经修完了所有相关的数学课程，具有了较为完善的数学基础知识，并在修完了第五学期开设的“自动控制原理”课后，对自动控制的原理、概念和方法有了一定的了解。
本课程开设目标自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为现今的现代控制中以状态空间模型为主。
因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的知识。
“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核心方法。
三、教学内容与安排第一章前言（2学时）主要介绍控制理论的产生背景及现代控制理论研究的主要内容，使学生对现代控制理论的发展及其所研究的主要问题有一个初步了解。
第二章控制系统的状态空间表达式（6学时）状态空间描述是现代控制理论中描述系统动态运动过程的基本方法，是学习现代控制系统的起点。
本章的重点是状态、状态空间表达式的基本概念、状态空间表达式建立的基本方法。
第三章控制系统状态空间表达式的解（8学时）本章重点介绍线性定常系统状态方程的解；状态转移矩阵的概念、特点、性质。
要求学生了解离散时间系统状态方程的求解方法。
实验一：第四章线性系统的能控性和能观性（10学时）本章主要介绍系统状态的可控性、可观性，它们是系统的重要特性。
学生应掌握系统可控性、可观性的基本概念、判据及系统的对偶性原理，了解按照可控性、可观性对系统进行结构分解的方法。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
![现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型](https://img.taocdn.com/s3/m/d65dd491fc4ffe473368abc0.png)
min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)
1
R R2C1 1 1 1 1 x1 x2 u1 x R1 R2C1 R2C1 R2C1 1 1 1 2 x1 x2 u1 x R2C2 R2C2 R2C2 y u2 u1 x1
即:
R1 R2C1 1 R1 R2C1 x x 2 1 R2C2
x2
u
R1
R3
y
R2
图 P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
2 x1 x2 R3 R2 x2 L2 x
1 x1 x2 R3 u x1 L1 x / R1
y x1 x2 R3
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 (2)在零初试条件 下取拉氏变换得：
2s 3Y ( s ) 3sY ( s ) s 2U ( s ) U ( s ) 1 2 1 s Y (s) s 1 2 2 U ( s ) 2s 3 3s s 3 3 s 2
dy1 dy ， x4 2 。 dt dt
3 Kx1 B1 M1 x
2
d ( x2 x1 ) dt
对 M 2 有：
4 f (t ) B M2x
经整理得：
1
d ( x2 x 1) dx B 2 dt dt
2
状态方程为：
1 x3 x x 2 x4 B B K 3 x1 1 x3 1 x4 x M1 M1 M1 B B B 1 4 1 x3 ( 1 2 ) x4 u x M2 M2 M2 M2
1 1 R2C1 x1 R2C1 u1 x2 1 1 R C R2C2 2 2
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x1
y
1 W ( s) 3 s 18s 2 72s
0 A 0 0
2013年7月27日
1 12 0
0 0 1 , b 0 , c 1 1 6
非能控标准型
0
0
第6章第24页
2）求期望的共轭闭环主导极点和其它闭环极点
带状态反馈系统的表达式：
状态方程改变， 输出方程不变。
x ( A bK ) x bv; y cx
2极点配置
1×n
n ×1
W (s) c[sI ( A bK )]1 b; f ( ) det[ sI ( A bK )]
2013年7月27日 第6章第12页
3）期望闭环特征方程
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j )
*
4 6 4
3 2
4）比较系数
f * ( ) f ( ) K 4
2013年7月27日
4
1
第6章第21页
5）设状态变量直接可测，画出其引入状态反馈后的模拟方框图
引入状态反馈
K k0 Leabharlann k1k n 1
x ( A bK ) x bv; y cx
0 kn 1 0 k0 0 0 k1 0 0 0 kn 1
0 0 b K k0 k1 0 1 0 0 A bK 0 (a0 k0 )
0 0 A bK 0 (a0 k0 )
1 0 0 ( a1 k1 )
0 1 0 ( a2 k2 )
0 1 ( an 1 kn 1 ) 0
加入状态反馈后，仍为能控标准形，b、c阵未变，故零点（分子） 未变； A阵改变，极点（分母）改变。
2013年7月27日 第6章第15页
结论：★
• 利用状态反馈可以重新配置系统的极点，以改善系统的性能； • 只有所有状态能控才可能通过引入状态反馈并通过输入u影响所 有状态（改变极点），故系统能够通过状态反馈配置极点的前 提是系统能控（不可控极点与输入无关，不可改变）； • 状态反馈不影响系统的能控性，不改变系统传递函数（阵）的 分子，但改变分母（极点）； • 当系统原传递函数（阵）有零点时，可能在改变了分母后，引 起零极点对消，影响系统的能观性。 • 尽量选择状态变量在物理上容易采集的实现作为原系统的实现。
* * f * ( ) ( 1* )( 2 ) ( n 1 )
n an 1* n 1 a1* a0*
（5）确定能控标准型下反馈增益矩阵
f * ( ) f ( ) k0 a0* a0 , k1 a1* a1 ,..., k n 1 an 1* an 1
则期望特征多项式为：
f * ( ) 100） 7.07 j 7.07)( 7.07 j 7.07) （ ( 3 114.1 2 1510 10000
2013年7月27日
x Ax bu ycx
0 1 0 a2 0 0 1 an 1
1 0 0 a1
0 0 b 0 1
第6章第13页
x Ax bu ycx
1 0 0 (a1 k1 )
0 1 0 (a2 k2 )
0 1 (an 1 kn 1 ) 0
加入状态反馈后，仍为能控标准形，b、c阵未变，故零 点（分子）未变； A阵改变，极点（分母）改变。
2013年7月27日 第6章第14页
2013年7月27日
第6章第16页
2、极点配置算法（非奇异变换法 ）
（1）判断能控性 （2）对于系统Σ=(A,b,c)，确定使系统转换能控标准型的非奇异 变换阵T ，化为能控标准形，并求原系统特征多项式为
f '( ) | I A | an 1
n
n 1
a1 a0
2013年7月27日
第6章第19页
例6.1试确定状态反馈增益矩阵，使闭环系统的极点为-2，-1±j。
1 0 x 0 0 0 2 y 10
解：1）系统为能控标准型。
0 0 1 x 0 u 1 3 0 0 x
f '( ) 3 3 2 2
2）极点配置：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标的综合问题。从 线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间及频
域中的幅值稳定裕度、相位稳定裕度，实质上都等价于系统极点的位置，
因此相应的综合问题都可视为极点配置问题。 3）系统解耦：以使一个多输入多输出系统实现为“一个输入只控制一个 输出”，作为性能指标。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用。 4）跟踪问题：以使系统的输出y(t)无静差地跟踪外部信号作为性能指标。
2013年7月27日 第6章第11页
6.2.2状态反馈与极点配置（单-单系统）
1带状态反馈系统的数学描述 如图，被控系统见虚线框内，矩阵K是反馈控制（系数）矩阵。
v
原被控系统的 状态空间表达式
u
+
b
+
x
∫
x
y
c
原被控系统
-
u v Kx
A
K
x Ax bu y cx
第6章 系统的综合
6.1 基本概念
6.2 极点配置与状态反馈 6.3 输出反馈
6.4 状态重构与状态观测器
6.5 带状态观测器的状态反馈系统 6.6 解耦控制系统
6.7 稳态精度与渐近跟踪
2013年7月27日 第6章第1页
6.1 基本概念
2013年7月27日
第6章第2页
6.1.1 引言
所谓综合与设计，即给定一个受控设备和预期性能指标 （稳、快、准），要求综合设计出控制器的结构和参数。综 合设计的基础是依据系统的定性分析，因为定性分析充分解 释了系统性质、潜在能力与限制。例如，经典控制理论中， 利用BODE图进行综合设计时，稳定性分析发挥了重要作用。
f ( ) | I ( A bK ) | n (an 1 kn 1 ) n 1 ( a1 k1 ) ( a0 k0 )
f ( ) | I A | n an 1 n1 a1 a0
所以得证：闭环系统的极点可以任意配置。（重要）
x2 x1
u
x3
∫
x3 x2
∫
∫
x1
10
y
3 2
2013年7月27日 第6章第20页
2）加入反馈矩阵。
K k0
k1
k2
由相关结论可得：
f ( ) | I ( A bK ) | 3 (3 k2 ) 2 (2 k1 ) k0
6.2.3单变量系统极点配置定理★ 1、极点配置的条件
x Ax bu y cx
采用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是原系统 Σ=(A,b,c)完全能控。 2.证明：化为能控标准形
x Tx, x T -1 x
0 0 A T -1 AT 0 a0
线性反馈控制系统的基本组成：受控对象、控制器、检 测装置。
经典控制理论：单-单系统，反馈量为系统的输出量； 现代控制理论：多-多系统，除输出反馈外，还用状态反馈。
2013年7月27日
第6章第3页
6.1.2 性能指标的类型
本章内容针对非优化型性能指标，常用的提法有：
1）系统的镇定：以渐近稳定作为性能指标的综合问题。
（3）引入反馈矩阵
K k0
k1
kn 1
f ( ) | I ( A bK ) | (an 1 kn 1 )
n
2013年7月27日
n 1
(a1 k1 ) a0 k0） （
第6章第17页
（4）根据闭环系统期望特征值，导出期望特征多项式
期望特征多项式
2013年7月27日 第6章第18页
2）直接代入法 3）爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 以上3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。如果系 统的阶次n≥4，则推荐使用第一种与第三种方法，因为所有
的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用第二种方法，由于
计算机不能处理含有未知参数的特征方程，因此必须进行手 工计算。
2013年7月27日
第6章第9页
6. 2极点配置与状态反馈 ★
2013年7月27日
第6章第10页
6.2.1期望极点对系统动态性能的影响
1、系统极点对系统的影响
系统极点在复平面上的分布是决 定系统动态性能的主要因素。 2、极点的选择 控制方案与性能指标之间，以及各个性能指标与极点分布间的 关系互相矛盾,其选择非常麻烦。在最优控制中，采用某种综合目 标函数J，通过使J最小来调和以上矛盾。 3、极点配置 通过对反馈矩阵的设计，使闭环系统的极点为所期望的极点， 以获得理想的动态特性。
2013年7月27日
第6章第22页
例6.2
设计图中系统的反馈控制矩阵K=[k1
环系统满足下列动态指标： （1）%≤5% （2）ts ≤0.5s
k2 k3]，使闭
2013年7月27日
第6章第23页
解：1）首先建立原系统对应的状态空间表达式：
u -
x3
∫ 6
x3
-
x2
∫ 12