2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练(：相似三角形的五种基本模型

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沪科版九年级数学上册第二十二章专题训练相似三角形的五种基本模型

专题训练相似三角形的五种基本模型►模型一平行线型1．如图5－ZT－1，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为()A．7.5 B．10C．15 D．20图5－ZT－12．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)如果AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求CE的长．图5－ZT－23．［2016·枞阳县白云中学期中］如图5－ZT－3，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．图5－ZT－3►模型二相交线型4．如图5－ZT－4所示，已知AC和BD相交于点E，且CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.图5－ZT－45．［2016·黄山市期末］如图5－ZT－5，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°.请写出图中的两对相似三角形(不另外添加字母和线)，并选择其中的一对进行证明．图5－ZT－5►模型三子母型6．如图5－ZT－6所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)写出图中的相似三角形；(2)选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．图5－ZT－67．［2017·马鞍山市期末］如图5－ZT－7，△BAC，△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC＝∠AGF＝90°.若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG 与边BC的交点分别为D，E.请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．图5－ZT －7► 模型四旋转型8．如图5－ZT －8，△ABC 与△AEF 中，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AB 交EF 于点D.给出下列结论：①∠AFC ＝∠C ；②DE ＝CF ；③△ADE ∽△FDB ； ④∠BFD ＝∠CAF.其中正确的结论是__________(填序号)．图5－ZT －89．［2017·庐阳区四模］如图5－ZT －9，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，DE ∥AB ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接CF ，交DE 于点G.(1)求证：CD·CF ＝CG·CA ； (2)求证：DG ＝EG ；(3)将△CDE 绕点C 逆时针旋转得△CD 1E 1，CG 旋转到CG 1，如图②，连接AD 1，G 1F ，E 1B ，求G 1FE 1B的值．图5－ZT －9► 模型五一线三等角型 10．［2017·蜀山区中考一模］如图5－ZT －10，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 在BC 上且BD ＝2CD ，E ，F 分别在AB ，AC 上运动且始终保持∠EDF ＝45°，设BE ＝x ，CF ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象表示为( )图5－ZT －10图5－ZT －1111．［2017·江西］如图5－ZT －12，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EBF ∽△FCG .图5－ZT －1212．如图5－ZT －13，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.当点P 与A ，B 两点不重合时，求DPPQ的值．教师详解详析1．[解析] C ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC .又∵BD ＝2AD ，DE ＝5，∴DEBC ＝AD 3AD ＝13，∴BC ＝15.故选C. 2．解：(1)证明：∵DC ∥AB ，∴△ABF ∽△ECF .(2)∵AD ＝BC ，AD ＝5 cm ，AB ＝8 cm ，CF ＝2 cm ，∴BF ＝3 cm. 由(1)知△ABF ∽△ECF ，∴AB CE ＝BF CF ，即8CE ＝32.∴CE ＝163cm. 3．[全品导学号：80402192]解：(1)证明：∵ED ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝DEBC .∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC . ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC . ∴∠DBE ＝∠DEB ，∴DE ＝BD . ∴AE AC ＝BDBC，即AE ·BC ＝BD ·AC . (2)设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高， h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高， h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高． ∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝32，∴h △ADE h △ABC ＝35. ∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.4．证明：∵CE ·AE ＝BE ·DE ，∴CE BE ＝DEAE.又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE . 5．解：△ADE ∽△ACB ，△FCE ∽△FDB . 答案不唯一，如对△ADE ∽△ACB 进行证明：∵∠BDE ＋∠BCE ＝180°，∠BDE ＋∠ADE ＝180°， ∴∠ADE ＝∠BCE ，即∠ADE ＝∠ACB . 又∵∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB .6．解：(1)△ACD ∽△ABC ，△CDB ∽△ACB ，△ACD ∽△CBD . (2)答案不唯一，如选择△ACD ∽△ABC .理由： ∵∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .7．解：(答案不唯一)△ABE ∽△DAE ，△DAE ∽△DCA .对△ABE ∽△DAE 进行证明：∵△BAC ，△AGF 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∠GAF ＝45°，∴∠EAD ＝∠EBA ，又∵∠AED ＝∠BEA ，∴△ABE ∽△DAE . 8．[答案] ①③④[解析] 在△ABC 与△AEF 中， ∵AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ， ∴△ABC ≌△AEF ，∴∠EAF ＝∠BAC ，AF ＝AC ，∴∠AFC ＝∠C ；由∠B ＝∠E ，∠ADE ＝∠FDB ，可知△ADE ∽△FDB ；由于∠EAF ＝∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAF .由△ADE ∽△FDB 可得∠EAD ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAF .综上可知，①③④正确．9．解：(1)证明：∵DE ∥AB ，∴△DGC ∽△AFC ，∴CD CA ＝CGCF，∴CD ·CF ＝CG ·CA . (2)证明：∵DE ∥AB ，∴△DGC ∽△AFC ，△CGE ∽△CFB ， ∴DG AF ＝CG CF ，EG BF ＝CG CF ，∴DG AF ＝EG BF. ∵F 是AB 的中点， ∴AF ＝BF ，∴DG ＝EG .(3)在题图①中，∵DE ∥AB ， ∴△CGE ∽△CFB ，∴CG CF ＝CECB.∵△CD 1E 1是由△CDE 绕点C 逆时针旋转得到的，∴△CDE ≌△CD 1E 1， ∴CG ＝CG 1，CE ＝CE 1，∴CG 1CF ＝CE 1CB. 又∵∠FCG 1＝∠BCE 1，∴△FCG 1∽△BCE 1， ∴G 1F E 1B ＝CFCB. ∵∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，F 是AB 的中点， ∴CF ＝12AB ，CB AB ＝32，∴CBCF ＝3，∴G 1F E 1B ＝CF CB ＝33. 10．[解析] D 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝2AB ＝3 2.又∵BD ＝2CD ，∴BD ＝2 2，CD ＝ 2.∵∠CDF ＋∠BDE ＝∠BED ＋∠BDE ＝135°，∴∠CDF ＝∠BED ，∴△CDF ∽△BED ，∴CD BE ＝CF BD ，即2x ＝y 2 2，则y ＝4x.又∵点E ，F 分别在AB ，AC 上运动，∴x 的取值范围为0＜x ≤3，函数值y 的取值范围为0＜y ≤3，故选D.11．证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°. ∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△EBF ∽△FCG .12．解：(1)证明：∵BD ⊥BE ，A ，B ，C 三点共线， ∴∠ABD ＋∠CBE ＝90°.∵∠C ＝90°，∴∠CBE ＋∠E ＝90°， ∴∠ABD ＝∠E .又∵∠A ＝∠C ，AD ＝BC ， ∴△DAB ≌△BCE (AAS )，∴AB ＝CE ，∴AC ＝BC ＋AB ＝AD ＋CE . (2)如图，过点Q 作QF ⊥BC 于点F ，则△BFQ ∽△BCE ， ∴BF BC ＝QF CE ，即BF 3＝QF 5， ∴QF ＝53BF .∵DP ⊥PQ ，∴∠APD ＋∠FPQ ＝180°－90°＝90°. ∵∠FPQ ＋∠PQF ＝180°－90°＝90°， ∴∠APD ＝∠PQF .又∵∠A ＝∠PFQ ＝90°， ∴△ADP ∽△FPQ ，∴AD PF ＝APQF ，即35－AP ＋BF ＝AP QF ＝AP53BF ，∴5AP －AP 2＋AP ·BF ＝5BF ，整理得(AP －BF )(AP －5)＝0. ∵点P 与A ，B 两点不重合，∴AP ≠5，∴AP ＝BF ，∴PF ＝AB ＝5. 由△ADP ∽△FPQ ，得DP PQ ＝AD PF ，∴DP PQ ＝35.。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

相似模型【相似模型一：A 字型】特征模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】特征模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．（1）求证：；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习.doc

（ 1）判定定理 1：AA相似三角形的判定文字语言数学语言图形一．知识点讲解如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

1. 相似三角形的定义A A ABC ∽/, B B/A /B /C / B /C/（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。

（简记为：两角分别相等的两个三如图所示， ABC 与 DEF 相似 ,记作“ ABC ∽ DEF ”，读作 ABC 相似于 DEF 。

角形相似。

）（ 2）判定定理 2：SAS 文字语言数学语言图形如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且AB AC //,且 A A A B A C/ / /（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

夹角相等，那么这两个三角形相似。

ABC ∽ A / B /C/B /C/（3）注意： ①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

（简记为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

）② 相似三角形相似比是有顺序的。

（ 3）判定定理 3：SSS③ 全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。

文字语言数学语言图形④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果一个三角形的三条边与另一个 AB AC BC三角形的三条边对应成比例，那么/ / / / B / C / A B A C2. 平行线截三角形相似的定理这两个三角形相似。

A BC ∽ /B C/A/（1）平行线截三角形相似的定理：（简记为：三边成比例的两个三角形相似。

）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

（ 4）判定定理 4：HL （2）数学表达式：文字语言数学语言图形DE // BC如果一个直角三角形的斜边和一条 AB AC BC ABC ∽ DEF/ / / /B /C / A B A C直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这A BC ∽ A /B /C/B /C/两个三角形相似。

上海教育版数学九年级上册24.3《相似三角形》练习题1

相似三角形一、相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

二、相似三角形的判定方法(一)判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。

除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法：（1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用）（2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。

（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。

(此知识常用，但用时需要证明)三、判定相似三角形的思路1、有一对等角，找 :①、另一对等角 ②、等角的两边对应成比例2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等 ②、第三边也成比例3、直角三角形，找一对锐角相等4、等腰三角形，找：①、顶角相等 ②、一对底角相等 ③、底和腰成比例四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似：1、平行线型：A（ 1 ）（ 2 ）（a ）如图1，“A ” 型：即公共角的对边平行(b) 如图2，“X ”型：对顶角的对边平行2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下：E DAB C C D E B A E C B DA B DC E BD C A( 3 ) ( 4 ) ( 5 )a 、如图3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE ，则△ABC ∽△ADE ；b 、如图4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB ，或AC:AB=AD:AC, 则△ACD ∽ △ABC ；C 、如图5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B ，或 AD:AB=AE:AC, 则△ADE ∽ △ABC ；( 6 )d 、如图6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,则△AOB ∽ △DOC;五、相似三角形面积之比等于相似比的平方例题、习题1、P 是ΔABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ΔABC ，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的条件的直线最多有（）条A 2条B 3条C 4条D 5条 2、如图，已知D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1＝∠2， ∠3 ＝∠4。

沪科版九年级数学上册第二十二章专题训练相似三角形的五种基本模型

沪科版九年级数学上册第二十二章专题训练相似三角形的五种基本模型专题训练相似三角形的五种基本模型►模型一平行线型1．如图5－ZT－1，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为()A．7.5 B．10C．15 D．20图5－ZT－12．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)如果AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求CE的长．图5－ZT－23．［2019·枞阳县白云中学期中］如图5－ZT －3，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．图5－ZT－3△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E.请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．图5－ZT－7►模型四旋转型8．如图5－ZT－8，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D.给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DE＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF.其中正确的结论是__________(填序号)．图5－ZT－89．［2019·庐阳区四模］如图5－ZT－9，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，DE ∥AB，交AC于点D，交BC于点E，F是AB 的中点，连接CF，交DE于点G.(1)求证：CD·CF＝CG·CA；(2)求证：DG＝EG；(3)将△CDE绕点C逆时针旋转得△CD1E1，CG旋转到CG1，如图②，连接AD1，G1F，E1B，求G 1F E 1B的值．图5－ZT －9► 模型五一线三等角型10．［2019·蜀山区中考一模］如图5－ZT －10，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 在BC 上且BD ＝2CD ，E ，F 分别在AB ，AC 上运动且始终保持∠EDF ＝45°，设BE ＝x ，CF ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象表示为( )图5－ZT －10图5－ZT －1111．［2019·江西］如图5－ZT －12，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EBF ∽△FCG.图5－ZT －1212．如图5－ZT －13，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.当点P与A，B两点不重合时，求DPPQ的值．图5－ZT－13教师详解详析1．[解析] C ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC .又∵BD ＝2AD ，DE ＝5，∴DE BC ＝AD 3AD ＝13，∴BC ＝15.故选C. 2．解：(1)证明：∵DC ∥AB ，∴△ABF ∽△ECF .(2)∵AD ＝BC ，AD ＝5 cm ，AB ＝8 cm ，CF ＝2 cm ，∴BF ＝3 cm.由(1)知△ABF ∽△ECF ，∴AB CE ＝BF CF ，即8CE＝32.∴CE ＝163cm. 3．[全品导学号：80402192]解：(1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝DE BC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC . ∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC .∴∠DBE ＝∠DEB ，∴DE ＝BD .∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE ＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝32，∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴CEBE＝DEAE.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.5．解：△ADE∽△ACB，△FCE∽△FDB.答案不唯一，如对△ADE∽△ACB进行证明：∵∠BDE＋∠BCE＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠BCE，即∠ADE＝∠ACB.又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.6．解：(1)△ACD∽△ABC，△CDB∽△ACB，△ACD∽△CBD.(2)答案不唯一，如选择△ACD∽△ABC.理由：∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.7．解：(答案不唯一)△ABE∽△DAE，△DAE ∽△DCA.对△ABE∽△DAE进行证明：∵△BAC，△AGF为等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∠GAF＝45°，∴∠EAD＝∠EBA，又∵∠AED＝∠BEA，∴△ABE∽△DAE.8．[答案] ①③④[解析] 在△ABC与△AEF中，∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∴∠AFC＝∠C；由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，可知△ADE∽△FDB；由于∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF.由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAF.综上可知，①③④正确．9．解：(1)证明：∵DE∥AB，∴△DGC∽△AFC，∴CDCA＝CGCF，∴CD·CF＝CG·CA.(2)证明：∵DE∥AB，∴△DGC∽△AFC，△CGE∽△CFB，∴DGAF＝CGCF，EGBF＝CGCF，∴DGAF＝EGBF.∵F是AB的中点，∴AF＝BF，∴DG＝EG. (3)在题图①中，∵DE∥AB，∴△CGE∽△CFB，∴CGCF＝CECB.∵△CD1E1是由△CDE绕点C逆时针旋转得到的，∴△CDE≌△CD1E1，∴CG＝CG1，CE＝CE1，∴CG1CF＝CE1CB.又∵∠FCG1＝∠BCE1，∴△FCG1∽△BCE1，∴G1FE1B＝CFCB.∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，F是AB 的中点，∴CF＝12AB，CBAB＝32，∴CBCF＝3，∴G1FE1B＝CFCB＝33.10．[解析] D在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2AB＝3 2.又∵BD ＝2CD，∴BD＝2 2，CD＝ 2.∵∠CDF＋∠BDE＝∠BED＋∠BDE＝135°，∴∠CDF＝∠BED，∴△CDF∽△BED，∴CDBE＝CFBD，即2x＝y2 2，则y＝4x.又∵点E，F分别在AB，AC上运动，∴x的取值范围为0＜x≤3，函数值y的取值范围为0＜y≤3，故选D.11．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.12．解：(1)证明：∵BD⊥BE，A，B，C三点共线，∴∠ABD＋∠CBE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CBE＋∠E＝90°，∴∠ABD＝∠E.又∵∠A＝∠C，AD＝BC，∴△DAB≌△BCE(AAS)，∴AB＝CE，∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE.(2)如图，过点Q作QF⊥BC于点F，则△BFQ∽△BCE，∴BFBC＝QFCE，即BF3＝QF5，∴QF＝53BF.∵DP⊥PQ，∴∠APD＋∠FPQ＝180°－90°＝90°. ∵∠FPQ＋∠PQF＝180°－90°＝90°，∴∠APD＝∠PQF.又∵∠A＝∠PFQ＝90°，∴△ADP∽△FPQ，∴ADPF＝APQF，即35－AP＋BF＝APQF＝AP53BF，∴5AP－AP2＋AP·BF＝5BF，整理得(AP－BF)(AP－5)＝0.∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP＝BF，∴PF＝AB＝5.由△ADP∽△FPQ，得DPPQ＝ADPF，∴DPPQ＝35.。

2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形专题训练相似三角形的五种基本模型 (新版)浙教版

相似三角形的五种基本模型► 模型一 “A ”字型1．如图9－ZT －1，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9.(1)求AD AB的值；(2)若BD ＝10，求ED AD的值．图9－ZT －12．如图9－ZT －2，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1 cm/s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ ，设运动时间为t s(0＜t ＜2)，当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？图9－ZT －2►模型二“X”字型3．如图9－ZT－3，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )A.13B.23C.34D.459－ZT－39－ZT－44．如图9－ZT－4，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线，M是边BC上一点，BM＝3，N是线段MC上的一个动点，连结DN，ME，DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．5．2017·株洲如图9－ZT－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)△ABG∽△CFG.图9－ZT－5► 模型三旋转型 6．如图9－ZT －6，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE .图9－ZT －67．如图9－ZT －7，在△ABC 和△AED 中，AB ·AD ＝AC ·AE ，∠CAE ＝∠BAD ，S △ADE ＝4S △ABC.求证：DE ＝2CB .图9－ZT －7► 模型四垂直型图9－ZT －88．如图9－ZT －8，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 从点A 出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )图9－ZT －9► 模型五一线三等角型图9－ZT －109．如图9－ZT －10，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．210．(1)尝试：如图9－ZT －11①，已知A ，E ，B 三点在同一条直线上，且∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝90°.求证：△ADE ∽△BEC ；(2)一位同学在尝试了上题后还发现：如图9－ZT －11②③，只要A ，E ，B 三点在同一条直线上，且∠A ＝∠B ＝∠DEC ，则(1)中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．图9－ZT －1111．如图9－ZT－12，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．图9－ZT－12详解详析1．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ACB ，∴AD AB ＝DE BC ＝13.(2)∵AD AB ＝13，BD ＝10，∴AD AD ＋10＝13，∴AD ＝5，∴ED AD ＝35.2．解：在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2＋AC 2＝5(cm)，由题意知AP ＝(5－t )cm ，AQ ＝2t cm.当PQ ∥BC 时，△AQP ∽△ACB ，∴AQ AC ＝AP AB ，∴2t 4＝5－t 5，解得t ＝107，107＜2，符合题意；当PQ ⊥AB 时，△APQ ∽△ACB ，∴AQ AB ＝AP AC ，∴2t 5＝5－t 4，解得t ＝2513，2513＜2，符合题意．综上所述，当t ＝107 或2513 时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．3．C [解析]∵AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴BE CE ＝AB CD＝13，同理△BEF ∽△BCD ，∴EF CD ＝BE BC ＝BE BE ＋CE ＝14.∴EF ＝14CD ＝34.故选C. 4.256或5013[解析] 如图，作EF ⊥BC 于点F ，DN ′⊥BC 于点N ′且交EM 于点O ′，此时∠MN ′O ′＝90°.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝10.∵DN ′∥EF ，∴四边形DEFN ′是平行四边形．∵∠EFN ′＝90°，∴四边形DEFN ′是矩形，∴EF ＝DN ′，DE ＝FN ′＝10.∵AB ＝AC ，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴BN ′＝DN ′＝EF ＝FC ＝5，MN ′＝5－3＝2，而DE MN ′＝DO ′O ′N ′，∴102＝DO ′5－DO ′，∴DO ′＝256；当∠MON ＝90°时，则△DOE ∽△EFM ， ∴DO EF ＝DE EM.∵EM ＝EF 2＋MF 2＝13，∴DO ＝5013.故答案为256或5013.5．证明：(1)由正方形ABCD 和等腰直角三角形DEF ，得∠ADC ＝∠EDF ＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DF ，∴∠ADE ＋∠ADF ＝∠ADF ＋∠CDF ， ∴∠ADE ＝∠CDF .在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF .(2)如图，延长BA 到点M ，交DE 于点M ， ∵△ADE ≌△CDF ， ∴∠EAD ＝∠FCD ，即∠EAM ＋∠MAD ＝∠BCD ＋∠BCF .∵∠MAD ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EAM ＝∠BCF . ∵∠EAM ＝∠BAG ， ∴∠BAG ＝∠BCF . 又∵∠AGB ＝∠CGF ， ∴△ABG ∽△CFG . 6．证明：∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAF ＝∠DAE －∠DAF ，即∠BAD ＝∠CAE . ∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE .7．证明：∵AB ·AD ＝AC ·AE ，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE ＋∠DAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，即∠DAE ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB . 又∵S △ADE ＝4S △ABC ， ∴S △ADES △ABC＝4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CB 2＝S △ADE S △ABC＝4，∴DE CB ＝2， ∴DE ＝2CB .8．D [解析] 整个运动过程分成两段：①当点P 在AB 上运动时，即0≤x ≤3，随着x的增加y 值不变，y ＝4；②如图，当点P 在BC 上运动时，3＜x ≤5， ∵∠BAP ＋∠DAP ＝90°， ∠BAP ＋∠APB ＝90°， ∴∠DAP ＝∠APB .又∵∠AED ＝∠ABP ＝90°，∴△ADE ∽△PAB ， ∴AD AP ＝DE AB，即4x ＝y 3， ∴y ＝12x.故选D.9．A [解析] 如图，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D .设点A 的坐标是(m ，n )，则AC ＝n ，OC ＝m . ∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOC ＋∠BOD ＝90°. ∵∠DBO ＋∠BOD ＝90°， ∴∠DBO ＝∠AOC .又∵∠BDO ＝∠ACO ＝90°， ∴△BDO ∽△OCA ， ∴BD OC ＝OD AC ＝OBOA.∵OB ＝2OA ， ∴BD ＝2m ，OD ＝2n .∵点A 在反比例函数y ＝1x的图象上，∴mn ＝1.∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上，点B 的坐标是(－2n ，2m )， ∴k ＝－2n ·2m ＝－4mn ＝－4. 故选A.10．解：(1)证明：∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝90°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝90°. ∵∠DEA ＋∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△BEC .(2)同意，以题图②为例说明：∵∠A ＝∠DEC ，∠A ＋∠D ＝∠DEC ＋∠CEB ，∴∠D ＝∠CEB . 又∵∠A ＝∠B ， ∴△ADE ∽△BEC .11．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠EDB ＋∠BED ＝120°. ∵∠EDF ＝60°， ∴∠CDF ＋∠EDB ＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD. (2)∵△BDE∽△CFD，∴BDCF＝BECD，即13＝BE5，解得BE＝53.。

2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练(：相似三角形的五种基本模型

沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

A3沪科版九年级数学上相似三角形典型例题练习.doc

上海教育版数学九年级上册24.3《相似三角形》练习题1

沪科版九年级数学上册第二十二章 专题训练 相似三角形的五种基本模型

2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 专题训练 相似三角形的五种基本模型 (新版)浙教版

沪科版九年级数学上册第二十二章专题训练相似三角形的五种基本模型

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