【试卷A4】通锡苏学大2015届高考数学密卷(三)
(完整版)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
江苏省通锡苏2015届高考密卷数学试题(三)
绝密★启用前通锡苏2015届高考数学密卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合{}{}=,,,,,=,,A a b c d e B b e f ，则A B 的子集个数为 ．2. 若复数z 满足(1)34z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点处于第 象限.3. 通锡苏学大教育提倡绿色出行、运动快乐，决定举行环金鸡湖骑行大赛.现计划从所有教职员工中选拔100人参赛，已知通锡苏学大教育现有老年教职员工200人，中年教职员工500人，青年教职员工300人.若采用分层抽样的办法,则应抽取的青年教职员工参赛人数为 ．4. 在A B C D E 、、、、五个不同城市中，经气象台测定，明日有两个城市下雨，则A B 、两市中至少有一个城市下雨的概率为 ．5. 右图是一个算法流程图，则输出的m 值为 ．6. 将直线2y x =绕原点逆时针旋转4π，则所得直线的斜率为 ．7. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是 ．8. 若直线y x n =+与函数()ln g x x m =-的图像相切，则实数=m n + .9. 已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为 .10. 已知圆22:()()9M x m y m +++=上有且仅有两个点到点(1,2)A 的距离为2，则实数m 的取值范围为 ．11. 在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D E 、分别为AB AC 、上的动点，若1=3AD CE AB AC =，且8D E B C ⋅= ，则=BC．12. 设()sin 2cos 2(,)f x a x b x a b R =+∈，若()f xa b +的取值范围为 ． 13. 在等比数列{}n a中，1212a a ≤≤≤≤，n S 是其前n 项和，则10S 的取值范围为 ． 14. 已知函数1()1()x f x aex R -=-∈，若方程()||0f x x a +-=有且仅有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分14分) 已知函数()sin sin()3f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若3(),24f C a ==，且ABC ∆的面积为求c 的值.16.(本小题满分14分)如图，四棱锥A BCDE -中，AB BC BE 、、两两垂直且AB BC BE ==，//DE BC ，=2DE BC ，F 是AE 的中点.（1）求证：//BF ACD 面； （2）求证：ADE ACD ⊥面面.17.（本小题满分14分）如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群. 建立坐标系（单位：百米），则雕塑群的左上方边缘曲线AB 是抛物线24(13,0)y x x y =≤≤≥的一段. 为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF （宽度不计），要求直路EF 与曲线AB 相切（记切点为M ），并且将广场分割成两部分，其中直路EF 左上部分建设为主题陈列区. 记M 点到OC 的距离为m （百米），主题陈列区的面积为S （万平方米）. （1）当M 为EF 中点时，求S 的值； （2）求S 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 是右准线且准线方程为4x =.B A 、分别是其左右顶点，P 是椭圆上异于左右顶点的任意一点. 直线PA PB 、与椭圆的右准线分别交于E F 、两点，连接AF 与椭圆交于点M .（1）求椭圆的标准方程； （2）证明：E B M 、、三点共线.19.（本小题满分16分） 设函数321()(1)43f x x a x ax a =+--+，其中a 为常数. （1）当2a =时，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 在区间[0,3]上的最大值为3，求实数a 的取值集合； （3）试讨论函数'()y f x =的图像与函数21(1)y a x=-+的图像的公切线条数.20.（本小题满分16分）已知各项均不为零的数列{}n a 满足1(0)a a a =>，当2n ≥时，1,0,n n n a S S -⋅成等差数列，其中n S 为数列{}n a 前n 项和.（1）用a 表示23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式（用a 表示）；（3）{}n a 中是否存在连续的三项11,,k k k a a a -+为等差数列？若存在，求出k 及对应的a 的值；若不存在，请说明理由.通锡苏2015届高考数学密卷数学附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应．．．．．．．．．．．．．的答题．．．区域内．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，ABC ∆中，12BC =，以BC 为直径的半圆分别交AB AC 、于点E F 、，若3AC AE =，求EF 的值．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量.C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，求以点(1,0)A 为圆心，且过点(2,)3B π的圆的极坐标方程.D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知,,x y z R ∈,且323x y z +-=,求222x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某公司现生产一批产品，次品率为5%，现对100个样品进行检验，随机抽取2个样品，其中随机变量X 表示2个样品中次品的个数.（1）求至少有一个样品都是次品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布和数学期望.23. (本小题满分10分).已知各项均为正数的数列{}n a 满足:11()2n a n N ++∈. （1）若12(1)(2)0a a --<,求1a 的范围；（2）设{}max ,a b 表示a b 、两数中较大的数.试证明：对任意的n N +∈，都有{}1max 1,n a a ≤.绝密★启用前通锡苏2015届高考数学密卷参考答案命题人：周城、王力、顾丹丹、薄宏志、叶华兴、唐泽、李雷、梁倞、汤洋、王举 审核人：周坤、李强注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求6.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数学试题
（第10题）A B C D E F （第11题）题）P （第5题）开始开始 输入x y ←5 x <4 y ←x 2-2x +2 输出y 结束结束 Y N （第4题）题）时间（小时） 频率频率组距组距0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 100 125 150 江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是的值是 ▲ ． 2． 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为的实部为 ▲ ． 3． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ìíî≤≤,,则z =2x +y 的最小值是的最小值是 ▲ ．4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，中的频数为100，则n 的值为的值为 ▲ ．5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为的值为 ▲ ．6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为为整数的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为的渐近线的距离为▲ ．8． 在等差数列{a n }中，若a n +a n +2=4n +6（n ∈N *），则该数列的通项公式a n = ▲ ． 9． 给出下列三个命题：给出下列三个命题： ①“a ＞b ”是“3a a＞3b b”的充分不必要条件；”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 33+ax 22（x ∈R ）为奇函数”的充要条件．）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为 ▲ ．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．PC PD 的最小值为的最小值为 ▲ ．1 1≤，＞.若函数的取值范围为的取值范围为 ▲ ．2112的值为的值为 ▲ ．的取值范围为 ▲ ．＜＜) ABCDA 1 B 1 C E xyO 2 -2 （第16题）题）3p - 32p如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221a b +=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(3-，0)，F 2(3，0)，且经过点(3，12)．（1）求椭圆的方程及离心率；）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k1k 2的值；的值；②求OB 2+OC 2的值．的值．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB 长为503m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超．．．过．200 m． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2q ，试将运动休闲，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为q 的函数，并求出S 的最大值．的最大值．ABCDPQ（第18题）题）OyxOF 1F 2 BC （第17题）题）D2)a a2)r 22 CABOPH3的值．的值． D1 B 1 D 1 开始开始 输入x y ←5 x <4 y ←x 2-2x +2 输出y结束结束 Y N 时间（小时）频率频率 组距组距0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 75 100 125 150 100 125 150 的值是的值是 ▲ ．的实部为的实部为▲ ．的最小值是 ▲ ．100，则n 的值为的值为 ▲ ．的值为的值为 ▲ ．为整数的概率为为整数的概率为 ▲ ．4▲ ．10= ▲ ．DFP其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为 ▲ ．= ▲ cm 2PC PD 的最小值为的最小值为 ▲ ．5的取值范围为的取值范围为 ▲ ．的值为的值为▲ ．的取值范围为 ▲ ．＜＜) )ABCDA1 B1 CEFABCDA1 B1 ExyO2 -2 （第16题）题）3p-32p))))22333343222211(33)(0)(33)(0)22--+--+-3yxOF 1F 2BC D2121121) 44)(1)21)33)()33)m n +为等腰梯形．为等腰梯形． ] ，(503625(33cos 3)] ，83cos 3] ，83sin ，) ， ABCDPOABCDP O E F] ，3] ，153)153))a a )1231133)2n -+)232))22)a a)a a)(1)a a aa a a a)()2())2()+-a))-a212记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t -，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t tt--．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -¢=＞0，故g (x )在(1 )+¥，上单调递增．上单调递增．于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．……………………………………………………………13分 再证x 1+x 2＜13e a--1．因f (x )=0Ûh (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点．的两零点． 由()h x ¢=a -1-ln x =0，得x =1ea -(记p =1ea -)．仿（1）知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ìíî＜＞，＜ 作函数h (x )=2()ln ln x p xp x p ---+，则22()()()x p h x x x p -¢=+≥0，故h (x )单调递增．单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0，即，21111(3e1)eaax x ----+＞0．同理，21122(3e 1)ea a x x ----+＜0．故，21122(3e1)ea a x x ----+＜21111(3e1)ea a x x ----+，1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1ax x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a--1．………………………………………………………16分) CABOHCABOH2)r 222r 2222r d -3的值．的值． (1AD =-，，1(1,1,1,1,0),0)DB =，(0,0,2)DD =0,0DB DD ×=×=n ，即110,|||10||||AD AD AD ×<>==n n n ，所成角的正弦值为1010．…………………………(110)(10DB DE ==，，，，，00DB DE ×=×=，n ，得，(0,1,2)DC =00DB DC ×=×=，n ，得214||||321ll >==+n n n n ，A B D1 B 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 （第22题答图）xyz所以2314||3321ll -=+，得1l =．所以112AE AA =．……………………………10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．的表达式．解：（1）由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ´=964； 当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564； 当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．…… 3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：的概率分布如下表：X 2 3 4 5 P964 3564516（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E (X 2)=935526734564641664´+´+´=．……………………………… 5分 （2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，………………………7分所以，E (X n +1) =3×38p 0+4×+4×((58p 0+48p 1)+5×)+5×((48p 1+58p 2)+6×)+6×((38p 2+68p 3)+7×)+7×((28p 3+78p 4)+8×)+8×((18p 4+88p 5) =298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．……………………………10分。
2015年江苏高考数学模拟试卷(5套,含附加)有详细答案
2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。
【VIP专享】2015年江苏省高考数学试卷及答案Word版
2015年江苏省高考数学试卷1、填空题1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.{}123A =，，{}245B =，，A B 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足（i 是虚数单位），则z 的模为_______.234z i =+4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量，，若，则m-n 的值为()21a = ，()2a =- 1，()()98ma nb mn R +=-∈ ，______.7.不等式的解集为________.224x x -<8.已知，，则的值为_______.tan 2α=-()1tan 7αβ+=tan β9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切xOy )0,1()(012R m m y mx ∈=---的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 }{n a 11=a 11+=-+n a a n n *N n ∈}1{na 。
12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
若点到直线xOy P 122=-y x P 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
01=+-y x 13.已知函数，，则方程实根的个|ln |)(x x f =⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g 1|)()(|=+x g x f 数为 。
14.设向量，则的值为 )12,,2,1,06cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ∑=+⋅1201)(k k k a a 。
2015高考真题——数学(江苏卷)Word版含答案
2015高考真题——数学（江苏卷）Word版含答案数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。
圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为_______.2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6. 已知向量=（2,1），=（1，-2），若=（9，-8）（m，nR），则的值为______.7. 不等式的解集为________.8.已知，，则的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。
10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。
11.数列满足，且（），则数列前10项的和为。
12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。
若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为。
13.已知函数，，则方程实根的个数为。
14.设向量，则的值为。
二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在中，已知(1)求BC的长；（2）求的值。
16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，求证：（1）(2)17. （本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.（本小题满分16分）已知函数。
江苏省2015届高三下学期高考南通密数学试题Word版含解析
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ． 【答案】6 【解析】 试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点：复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立，因此max (sin )1a θ≥= 考点：集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有 株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部周长不小于100cm 的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m =r ，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r，则实数m = ．【答案】1 【解析】第3题图试题分析：2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m -⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或r r r ，又a b ≠r r，所以2, 1.m m ≠=考点：向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是 ．【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a ==，第二次循环：20,34S a ==<，结束循环，输出20.S = 考点：循环结构流程图6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．3 【解析】试题分析：取AC 中点M，则DM BM ==，222+DM BM BD =，即DM BM ⊥,因为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABC DM S a ∆⋅=⨯= 考点：三棱锥体积7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=． 当n S 取最大值时，n = ． 【答案】5 【解析】试题分析：设公差为,d 则465219412a a a d d +=⇒=⇒+=⇒=-，因此第5题图219(1)(2)102n S n n n n n =+⨯-⨯-=-+，所以当5n =时，n S 取最大值考点：等差数列前n 项和公式，二次函数最值 8.已知44ππθ-≤≤，且1cos45θ=，则44cos sin θθ-= ．【解析】试题分析：因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=-+=，而2213cos42cos 21cos 255θθθ==-⇒=，又2cos 24422ππππθθθ-≤≤⇒-≤≤⇒=44cos sin θθ-=考点：二倍角公式9.若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆 22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．【答案】516【解析】试题分析：由直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=1(34)0b b a <⇒-<，又0b >，所以340b a -<，其区域为梯形OABC,其中3(00),(10),(11),(1)4O A B C ，，，，,而在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b 构成一个矩形ABDE ,其中(11),(10),D E --，，因此所求概率为梯形OABC 面积与矩形ABDE 面积的比值，即11(1)1524.216⨯+⨯=考点：几何概型概率10.设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为 ．【答案】[,]62ππ【解析】试题分析：因为[,]2[,2],6666x a x a ππππ∈-⇒+∈-+1()sin(2)[,1]62f x x π=+∈-，所以72[,][,]62662a a πππππ+∈∈, 考点：三角函数性质11.已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x =．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(,6ln3]e【解析】考点：函数零点12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠= ，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．【答案】 【解析】试题分析：在四边形OAPB 中，60APB ∠= ，90OAP OBP ∠=∠= ，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<． 考点：圆的切线，椭圆离心率13.设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113n ni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．【答案】{1，2，3} 【解析】试题分析：由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n ni i i i a a ==>∑∑等价于1113nni i i i a a ==>∑∑，即231()1()3231132n n --⋅>--，解之得22()193n <<，n N *∈ ，n ∴只能取1,2,3．考点：等比数列求和14.设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．【答案】(0,1)(2,)+∞ 【解析】试题分析：()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥-> ，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．考点：利用导数解不等式二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r的值．【答案】（1）3A π=（2）277【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-⇒sin()2sin cos A B C A +=⇒1cos 2A =解得3A π=（2）先利用AD BC ⊥化简AD AC ⋅uuu r uu u r得：2AD AC AD AD DC AD ⋅=⋅+= （）,因此关键求AD ，这可利用余弦定理解出a =再根据面积公式求出高AD ：11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅⇒AD =试题解析：（1）tan (2)tan b A c b B =- ， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又 在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=， 又 sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=， 又 0A π<<，3A π∴=；（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-， 2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅32AD =⋅，AD ∴= 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅=== .考点：正余弦定理，向量数量积 16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于PD BC ⊥，又底面ABCD 为矩形BC CD ⇒⊥，因此BC ⊥平面PCD ，进而平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG //PC GO ∴，再根据中位线性质得G 为PA 的中点.PBC DG试题解析：（1） 底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥ ，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D = ， BC ∴⊥平面PCD ，又BC ABCD ⊂ 平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ； （2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴，PG COGA OA∴=， 底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA 的中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中 tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路AB 段的长AB ．【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）在AOM ∆中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠AM ⇒=2）在AOM ∆中，可利用正弦定理求出角4MAO π∠=，这样在AOB ∆中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：sin sin AB AOAOB ABO=∠∠AB ⇒=试题解析：（1）在AOM ∆中，15AO =，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M 与站A 的距离AM为； （2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=， 4ABO πα∴∠=-， tan 2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABO πα∴∠=-=AOB πα∠=-，sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =， 由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即15AB =，AB ∴=AB 段的长AB为． 考点：三角函数应用，正余弦定理 18.（本小题满分16分）设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =椭圆C的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．【答案】（1）2214x y +=（2（3）详见解析【解析】试题分析：（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得1b =，再利用e =解得2a =（2）本题实质求圆中弦长，先求出11((,22M N ，确定圆心及半径，再根据垂径定理得AB ==，从而可得面积（3）本题实质研究2A P 的斜率与EF 的斜率的关系：解题思路可为利用2A P 的斜率k 表示EF 的斜率，先用2A P 的斜率k 分别表示出222824(,)1414k kP k k --++，2(21)(,0)21k F k -+及424(,)2121k k E k k +--，再表示EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+-，这里有一定运算量试题解析：（1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又e =，， 2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，可得11((,22M N ， ∴圆D的半径r =AB ∴==，∴ABD ∆的面积为1122S ==； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（， 令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+， 直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--， ∴EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+- ，∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<． 【答案】（1）21b a =--（2）①当0a =时，在(1,)+∞单调减函数，在(0,1)单调增；②当102a <<时，在(11,)2a 上单调减；在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，在(0,)+∞单调增；④当12a >时．()g x 在(1,)+∞和(0,12)a 单调增；在(1,1)2a单调减（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定a 与b 的关系：(1)120g a b '=++=⇒21b a =--（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由(21)(1)()(0)ax x g x x x --'=>知需分0a =，102a <<，12a =，12a >四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设210x x >>，（3）由题设210x x >>， 21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<-21212121ln ln x x x x x x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()h x 在(1,)+∞是减函数，而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <= 210x x >> ，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ② 令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数， 1x ∴>时，()(1)0H x H >=，2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式 20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列；②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值； （2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．【答案】（1）①13,22A B ==，数列{}n b 是等比数列；②3；（2）3λ≤【解析】试题分析：（1）①由132a =，294a =列出关于,A B 两个独立条件，解出13,22A B ==，利用1(2)n n n a S S n -=-≥解出递推关系式121n n a a n --=+，再根据n n b a n =-，构造11[(1)]2n n a n a n --=--，从而得证数列{}n b 是等比数列；②从数列{}n a 是等差数列出发，将条件转化为关于n 恒等式：2211()122d d n a n a d An Bn +++-=++，消去1a ，d 得出,A B 关系，即可求出1B A -的值；（2）本题实质求和1ni =(1)1111(1)1n n n n n n ++==+-++，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1）1C = ，21n n a S An Bn ∴+=++， ①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=， 令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠， 112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++ ，1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，(1)1111(1)1n n n n n n ++=+-++，1111ni n n =+-∴+，13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++， 令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-= ，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤．考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值附加题21.A （选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．DCBA【答案】AC 【解析】试题分析：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，在直角三角形ABC 中由射影定理得AC 的长度．试题解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，∠ACB＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得2CE ＝AE ·EB，又CE (6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，2AC ＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC = 考点：射影定理21.B （选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵． 【答案】 【解析】试题分析：先由矩阵对应关系求出2,3.a b =⎧⎨=⎩，再根据逆矩阵公式求逆矩阵 试题解析：2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c d e f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 考点：逆矩阵21.C （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程． 【答案】2cos ρθ= 【解析】试题分析：先求出圆心坐标(1,0)，再利用余弦定理求半径1r ，最后写出圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．试题解析：因为圆心为直线2sin()sin 33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r =，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数） 考点：圆极坐标方程21.D （选修４－５：不等式选讲） 设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥ 【答案】详见解析 【解析】试题分析：根据均值不等式，得11a b +≥=，11b c +≥=，11a c +≥=三式相加即得试题解析：由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥，11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++≥．由1abc =1=．所以，111a b c ++≥+= 考点：均值不等式【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.22．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证1221n n a a n n++++与比值为非零常数，代入化简即可1(33)4622(33)(2)2311(1)n n n nn a n a n a a n n n n n n +++++++++===+++（2）由（1）得123n n a n -+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+，即证11141122521n n n n +++<-+++ ，这可利用数学归纳法进行论证 试题解析：（1）令2n n a c n+=， 则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n n c n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠ ，0n c ∴≠，13n nc c +∴=， ∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<，∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+ ； 当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立．由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+ ． 考点：等比数列定义，数学归纳法 23.（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M 作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．【答案】（1）24x py =（2）①详见解析②1p =或4p =. 【解析】试题分析：（1）直接法求轨迹：设点(,)M x y 坐标，将条件NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r用坐标表示并化简即可得24x py =（2）①用0(,)Q x p -点横坐标分别表示A 、B 横坐标，22101240x x x p --=及22202240x x x p --=，所以12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，得出关系1202x x x +=是解题目标②20AB =⇔2020⇔=20⇔=，再由1221284x x x x p +=-⎧⎨⋅=-⎩1p ⇒=或4p =. 试题解析：（1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+， (,2)NF x p =- ，(,)FM x y p =- ，(,2)FN x p =- ，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =；另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+= ，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p =+ ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p ，则切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-= ，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根， 1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p -- ，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20=，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.考点：直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式： 圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分） 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。
(完整word)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.（5分）（2015?江苏）已知集合A={1 , 2, 3}, B={2 , 4, 5},则集合AU B中元素的个数为 _考点:并集及其运算.专题:集合.分析：求出A U B,再明确元素个数解答：解：集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4,5}；所以AUB中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2.（5分）（2015?江苏）已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为_6_考点：众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可.解答：解：数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为：44-6+548+7^6 =6>6故答案为：6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3.（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i （ i是虚数单位），则z的模为一. 考点:复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答：解：复数z满足z2=3+4i ,可得lzllzl=l3+4il=Jj莓梓巧，A lzl=^故答案为：•街点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力.4.（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7WTulft Z<Sgg 4 2冲+ 3End ^hile Print S考点:伪代码.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I, S的值，当1=10时不满足条件IV 8,退出循环，输出S的值为7・解答：解：模拟执行程序，可得S = 1, 1=1满足条件1< 8, S=3, 1=4满足条件1< 8, S=5, 1=7满足条件I < 8, S=7, 1=1不满足条件1<8,退出循环，输出S的值为7.故答案为：7.点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为虫・考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可. 解答：解：根据题意，记白球为A,红球为B,黄球为Cl、C2,则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC 2、BC1、BC2、C1C2共6不申，其中2只球的颜色不同的是AB、AC 1、AC 2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P伞.故答案为：卫.点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.6.(5 分)(2015?江苏)已知向量3= ( 2, 1) , b= ( 1, - 2)，若( 9, - 8) ( m, neR),则m - n的值为_H—考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题：平面向量及应用.分析: 解答: 直接利用向量的坐标运算，求解即可.解：向量-2），点评2n可得,解得m=2, n=5,考查计算能力.< 4的解集为（- 1, 2）.8. （5分）（2015?江苏）已知3 2, tan考点：指、对数不等式的解法.专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：利用指数函数的单调性转化为x2 - x< 2,求解即可.解答：x2 -K解；V2 <4,2・・・x - x< 2,7即x - x - 2< 0,解得：- 1< x<2故答案为：（- 1, 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可.解答：〒解：tan a = - 2, tan （ a + 3 ）'=,可知（an（ a + 0）L- tan ^ tanP =T,即l+2tan® = 7,解得tan B =3. 故答案为：3.点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.7.9. （5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总押只与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.2 11.（5 分）（2015?江）数列｛a 1｝足 a*),数列｛ 丄｝的前10的和 20—考点：数列的求和;数列推式.:等差数列与等比数列. 分析：務別J数歹 I ｛a n1n+1 n｝足 a =1,且 a a =n+l （n WN 利用“裂求和”即可得出. *）,利用“累加求和”可得an n解答:解：•* an=n二 当 n 》2 ,n (n+1)当n=l ,上式也成立,解答：解：由意可知，原来和柱的体和: 吉心5冗1, 0)心且与直 mx y(x 1) ?+y 2=2分析:求出心到直的距离 d 的解答::算；空位置关系与距离.分析：由 意求出原来柱和 的体，出新的柱和 的底面半径r,求出体，由前后体相等列式求得r.新和柱的底面半径 r,新和柱的体和： —X4K r 2+8^ r ?二竺仝 |3 3•••空£$竺,解得：rWr-33故答案：低 点：本 考了柱与 的体公式，是基的算.10. （ 5分）（2015?江）在平面直角坐系 xOy 中，以点（ 2m 1=0 （ mWR ）相切的所有中，半径最大的的准方程考点：的准方程；的切方程.:算；直与.故答案:(x1) +y=2 . 点：本 考所的准方程，考点到直的距离公式，考学生的算能力，比基.解：心到直的距离 x 1) +y =2.a n n. (n+1)2[(「扣20故答案为:n 项和公7 7 12. (5x -y+l=』-占)• ・・・数列｛ 1 ｝的前n 项的和S =n2n ~n+l数列｛—-)的前io 项的和为22.务1120点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前 查了推理能力与计算能力，属于中档题.右支上的一个动点，若点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 丄 考点：双曲线的简单性质. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线x - y =1的渐近线方程为 x±y=o, c 的最大值为直线 的距离. 解答：解：由题意，双曲线x 2- y 2=l 的渐近线方程为x±y=0 , 因为点P 到直线x- y+l=0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x-y+l=0与直线x- y=0的距离，即 故答案为：愛.|2点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.a o<x<i13. ( 5分)(2015?江苏)已知函数亍(x) =llnxl , g ( x) 4.,则方程| x 24 | =2, X^>1If ( x) +g ( x) 1=1实根的个数为4 .考点：根的存在性及根的个数判断. 专题:综合题；函数的性质及应用.分析：：由lf(x)+g(x) 1=1可得g (x) = - f ( X)± 1 ,分别作出函数的图象，即可得出 结论. 解答：解：由 If ( x) +g ( x) 1 = 1 可得 g ( x) = - f ( X) ± 1 .g( X)与h ( x) = - f ( x) +1的图象如图所示，图象有两个交点；-4」Jg(x)与(f) ( x) = f(x) 1的象如所示，象有两个交点;•4_-S L所以方程lf( x) +g ( x) 1=1根的个数 4.故答案：4.点：本考求方程lf( x)+g(x)l=l根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力, 属于中档•—k开上兀fi G罠14.(5 分)(2015?江)向量=(cos ° , sin ° +cos ° ) ( k=0, 1, 2,…，12),11£ _皿_k=0( ak?ak+i)的・考数列的求和.点■等差数列与等比数列;平面向量及用.■■分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出.解解:=k 兀飞.k 冗 (k+1)冗 sin~g- cos-------------- ----kTT (k+1)兀kH(k+1) cos 可・cos p+sirr ---- 一 kTl . (k+1)兀kTl (k+n Kcos p sin 1GOJs QOS g2・3H ・咔・97T,+5开C05_T.¥开丄・11兀 sinrV 11兀丄 I -.13H 1-+化和差公6 | ・k 兀 k 兀、厂.(k+1)兀siri ——+cos —— J ( sm --------- ---- cos --6 6 6 6 7T —+JI_3、范・ 2k+1l 1 2H1TT二、解答（本大共 6小，共 90分，解答 写出文字明、明程或演算步）15. （ 14 分）（2015?江）在 AABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 ° .（1） 求BC 的； （2） 求 sin2C 的.考点：余弦定理的用；二倍角的正弦. :解三角形.・ 2k+L 仃」/ _2k+l “丄 n .= COS"^S1 _— n+7； ^cos -17+COS —''分析：（1）直接利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求出C的正弦函数，然后利用一倍角公式求解即可.解答・•解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2 2AB ?ACcosA=4+8 2X2X3^： =7, 所以BC=听.（2）由正弦定理可得：••• AB < BC , C 角,16.( 14ABC -A [B则cosC=71- sin2C=^l -孑等•因此sin2C=2sinCcosC=2 ・7 7 7点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键.考点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题：证明题；空间位置关系与距离.分析：(1)根据中位线定理得DE〃AC ,即证DE〃平面AA1C1C；(2)先由直三棱柱得出CC1丄平面ABC ,即证AC丄CC1；再证明AC丄平面BCC1B 1, 即证BC 1丄AC ；最后证明BC1丄平面B 1AC ,即可证出BC 1丄AB 1.解答：证明：(1)根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE〃AC；又因为DE ?平面AA 1C1C, AC ?平面AA 1C1C,所以DE 〃平面AA 1C1C；(2)因为棱柱ABC・A 1B1C1是直三棱柱，所以CC1丄平面ABC ,因为AC ?平面ABC ,所以AC丄CC1；又因为AC丄BC,CC1?平面BCC 1B1,BC ?平面BCC冷\BC ACC1=C,所以AC丄平面BCC 1B 1；又因为BC 1?平面平面BCC 1B1,所以BC 1丄AC ；因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B1是正方形，所以BC 1丄平面B1AC ；又因为AB 1?平面B1AC , 所以BC 1±AB 1.点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目.17.（14分）（2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为11, 12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为1,如图所示，M, N为C的两个端点，测得点M到11, 12的距离分别为5千米和40千米，点N到11, 12的距离分别为20千米和2.5千米，以12, 11在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C符合函数尸」_,+b （其中a, b为常数）模型.（1）求a, b的值；（2）设公路1与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路1长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题；导数的综合应用.分析：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5, 40） ,（20, 2.5）,将其分别代入yf ,x2+b 建立方程组，即可求a, b的值；（2）① 求出切线1的方程，可得A, B的坐标，即可写出公路1长度的函数解析式f（t）,并写出其定义域；、 2 4X105②设g （t） --- ,利用导数，确定单调性，即可求出当｛为何值时，公路1 的长度最短，并求岀最短长度.(20, 2.5),解答：解：（1）由题意知，点M, N的坐标分别为（5,(b= 0 =40 25+将其解得（2）v ,10QQ 2 X (5Wx W20):•寸-200・・・切y- 1000t 2_设在点PSt 2 ' .・・2=3t 2 +4XlQt e[5,②设g （t)t 4 6・，(t)iq/2）t e （ 5,o ,g（(t) <0,t ）是减函,20)时, g f( t) >x 2 y 218. （16分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy^4,已知椭圆a 2+b 2=l （ a>b> 0）的离心率为 2 ,且右焦点F 到左准线1的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于 A, B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线1和AB 于点P,C,若PC=2琴鼻求直线 AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程. 专题:直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a, c 的方程，解得a, c,再由a, b, c 的关系,可得b,进而得到椭圆方程;（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和屮点坐标公式，即可得到所求直线的方程.1 0a= V2则b=l ,即有椭圆方程将AB 方程代入椭圆方程可得(CP=3,不合题意；(x - 1) , A (xi, yi) , B ( X2, y2), 2AB : y=k 22 2 -4k x+21) =0,2(k 2 L+2k 22 娠 tl+k 2) 1+2 k 2若k=0 ,则AB 的垂直平分线为 y 轴，与左从而IPCd |k|(1+丄(2k 2l+2P (- 2」共二解答：解：(l)由题意可得，e2且c+生3,解得c=l,c此时AB 的方程为 y=x - 1或y= - x+1.点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用， 属于中档题. 19. (16 分)(2015?江苏)已知函数 f ( x) -x'+ax'+b (a, beR). (1)试讨论f ( x)的单调性；(2)若b=c-a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f ( x)有三个不同的零点时，a 的取值 范围恰好是(- g, - 3) U (1上)U (J, +8)，求c 的值.>2 2考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理. 专题:综合题；导数的综合应用.2(3k 2+ l)右+/4^2 <l+k 2) |k| (l+2k 2)~lt2k 2由 IPCI=2IABI,可得,解得k= ± 1,则Xl+X),且X1X2=严丿IABI =分析: (1)求导f (x)的单2a). _3 ?2(2)由(1)知，函数f ( X)的两个极值为f ( 0) =b, f (-+b,则函a=0 时，f ' ( x) > 0,・・・ f(X)在a> 0 时, xe (- )U( 0,・・・函数f2a(X)在(-8,-,(0, +8)a< 0 时, xe ( - < 0, ・・・函数f(X)在(-8,0), 2*(2)由 (1)知，函数f ( x)的两个极值为 f ( 0)二b, f (-2a-詈)上单调递减; 4 3+b,则函f( X)有三2a f ( o) f(・爷)=b(寻「27 +b) < 0, T b=c - a, 4 3・•・a> 0时，设 g ( a) 一 a+c, •・・函数8,U (T +°・••在(- 8,- 3)上，g+ 8)上g (a) > 0均恒成f ( x)有三个不同的零点等价于 f ( 0) f ( - g?) =b (吕 J +b) < 0,进一步转化为3274 14 T4 3a> 0 时，—a ' - a+c> 0 或 a V 0 时，—a" - a+c< 0・设 g ( a )- a+c,利用条件即可求c 的值.解答：解：(1) V f ( x) =x ^+ax^+b ,f z(x) =3x +2ax,令 f' (x) =0 ,可得 x=0 或3< 0,立，• • C = 1 y,f‘( x)此时f ( x) =x、+ax +1 - a= ( x+l ) [x + ( a - 1) x+1 - a],•・・函数有三个零点，9x_+ (a - 1) x+1 - a=0有两个异于-1的不等实根，•••△=( a 一1) z - 4 ( 1 - a) > 0,且(一1) — ( a - 1) +1 - aHO,20. ( (1) 证(2015?辽苏)设 a , a , ",2 幻，2 ", 22 al 1 2 ,，d,使得a , a (3)是否存在 说明理由.解答： 解解得 aG (- 8, 一 3) U ( 1,虽)U +8),2综上C = 1・点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大.12 3 4a ・a 是各项为正数且公差为 d ( dHO)的等差数列.5依次构成等比数列； as 3, a/依次构成等比数列？并说明理由； nn+kn+2k n+3kai, d 及正整数n, k,使得ai , a2 , a3, a4依次构成等比数列？并考点:等比关系的确定；等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列.分析：(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明；7 3 4(2) 利用反证法，假设存在 an d 使得ai, a22, a3', af 依次构成等比数列，推岀矛 盾，否定假设，得到结论；(3) 利用反证法，假设存在 ai, d 及正整数n, k,使得ai a2n+k , a 3 n +2k, a 4n+3k 依 次构成等比数列,得到 ai n( al+2d ) n+2k 二(al+2d )2 n+k,且(al+d) n+k( al+3d )n+3k(ai+2d) 2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到g( i +3t ) In ( l+2t) +3In (l+2t) In ( 1+t) =4In (l+3t) In ( 1+t) ,( ** ),多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.n 監十1 . ——=2^n &a =2d, (n=l , 2, 3,)是同一个常数，/. 2 '】，2叫,2 %,2幻依次构成等比数列；(2) 令 al+d=a,则 al, a2, a3, a4 分别为 a - d, a, a+d, a+2d ( a> d, a> - 2d, d#0)假设存在ai i 22, a33, a4°依次构成等比数列，・d 便却a ・、43624则 a = ( a - d) ( a+d),且(a+d) =a ( a+2d),令 t=—，则 1= (1 - t ) ( 1+t ) 3，且(1+t) 6= ( l+2t) 4 ,(t< 1, tHO), 化简得 t ^+2t 2 - 2=0 ( * )，且 t^=t+l ,将 t^=t+l 代入(*)式，t ( t+I ) +2 ( t+l ) - 2=t^+3t=t4-14-3t=4t4-l =0 ,贝!J t= -显然匸-寺是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，7 34因此不存在ai, d,使得ai, a2 ,町',昭 依次构成等比数列. (3) 假设存在ai i n , a2n+K , a3n+2K , a4n+3K ^次构成等比数,d 及正整数n, k,使得a列，( ) ( ) rmi n / 小八 n+2K ( 小八 2 n+K 口 / 八 n+K z “、n+3K ( c i 、2 n+2K 则 ai ( ai+2d) = ( ai+2d) ,且(ai+d) ( ai+3d ) = ( ai+2d ) ,2 ' n+k ?2 ' n+2k ?d_ 1分别在两个等式的两边同除以=a 1 , ai ,并令吨;，(t> "3, tHO),则（l+2t ）n+2k=（ 1O (/ n-In ( (1+t 1+t ) ]=],+2t)In ( l++31n ( 1+t) , 则 g‘ z2[(l+3t) _ln ( (1+t) (l+2t) (l+3t)29 l+3t) - 3 ( l+2t) In ( l+2t)7 (1+t ) In ( 1+t ),则' (t 令 1号)-4)'> o,0) 1 (t), 2 2再将这两式相除，化简得,三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括 21・24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤【选修 4-1：几何证明选讲】21. （ 10分）（2015?江苏）如图，在AABC 中，AB=AC , △ ABC 的外接圆OO 的弦AE 交 BC 于点D.求证：△ ABD s △ AEB •考点：相似三角形的判定. 专题：推理和证明.分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似.解答：证明：・/AB=AC ,・\ ZABD= ZC,又 T Z C=Z E, A Z ABD= Z E,又 Z BAE 是公共 角，22. （ 10分）（2015?江苏）已知~ax1 y 三R,向量X 1特征值-2的-1y 0是矩阵的属于分析: 通过令矩解答： 解：由已知，可得【选修P +2 P sin ( 7T -4=0,求可知：△ ABD s △ AEB .点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力.考点:特征值与特征向量的计算.-1 1・・.矩阵A =L2 0一从而矩阵A 的特征多项式f （入）=（入+2） （ x - 1）, ・・・矩阵A 的另一个特征值为1.点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于屮档题.考点:简单曲线的极坐标方程. 专题：计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据X 二p cos H , y= PsinB,厂求岀圆的直用坐标方程，求出半径. 解答：2寸空-y2解：圆的极坐标方程为 P +2 P sin （ H -） - 4=0 ,可得 P - 2 P cos B +2 P sin B -4=0 ,2 2化为直角坐标方程为 x +y - 2x+2y - 4=0 , 化为标准方程换（x- 1） ?+（ y+i ）2=6, 圆的半径r=.点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x= P cos B , y= P sin 0 ,比较基础,［选修4・5：不等式选讲】24. ( 2015?江苏)解不等式 X +I2X +3I N2.考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式.【选修4-2：矩阵与变换】 -个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 矩阵和变换.I a 利用A = - 2--- *1 ---- -- a a分析：思路1 (公式法)：利用If ( X) I2g ( X) ? f ( X) 2g ( X)，或f (x) W - g ( x); 思路2 (零点分段法)：对x的值分“XV0”进行讨论求解.2 2解答：解法1： x+l2x+引22变形为I2x+引22 - X,得2X+3M2 - X,或2x+3 2 -( 2 -x) , BP-i ,或xW - 5,3即原不等式的解集为(xlX 2— 3,或XW - 5}・3解法2：令I2x+：3I=O,得只=一卫.2①当寸，原不等式化为x+ ( 2x+3) 22,即x>-l,2 3所以x± -丄；3②x< 一爭'原不等式化为X・(2x+3 ) 22,即xW・5,所以xW - 5.综上，原不等式的解集为{xlx事-丄，或xW - 5}.3点评：本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：If ( x) I2g (x) ? f (x) Mg ( x),或f ( x) W ・ g (x) ； If ( x) iWg (x) ?-g( x) Wf ( x) Wg ( x).可简记为：大于号取两边，小于号取中间.使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集.【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCD为直角梯形, ZABC=25.( 10分)(2015?江苏)如图，在四棱锥P - ABCD中，已知PA丄平面ABCD ,且四边形TT2[(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算. 专题:空间位置关系与距离；空间角.分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A - xyz . ( 1 ) 所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝3•・・PG1, - 2) ,PD= (0, 2,・ 2),x, y, z),cos < AD,・・・平设1+2 7 则COS入t [1, 3],2t 2<CQ,_______ 2 ______ F9_g (丄一知t /*9,icos<CQ ,.DP> I 的最人值为10勺F-10t+9因为 y=co对值，计算即可；(2)利用换元法可得COS 2<CQ, DP> 总，结合函数y=cosx 在(0,—)上的单调10 2性，计算即得结论.解答：解：以A 为坐标原点，以 AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A - xyz 如 图，由题可知 B ( 1, 0, 0) , C (1, 1, 0) , D ( 0, 2, 0) , P ( 0, 0, 2).(1 ) VAD 丄平面PAB ,・••石二(0, 2, 0),是平面PAB 的一个法向量，(0, - i, o),贝CQ=CB+BQ=( - 入，(0, - 2, 2),从而 cos<C0，DP> =兀)上是减函数，此时直线 CQ 与DP 所成角取得最小值. 又•・・B P £] 2 + 2? 並,・•・BQ# BP=由巨逻专得 广K +卩- 2z=01 n\ • PD 二 0] ^2y — 2z 二Q设平面PCD 的法向量为IT取 y== 1,得 IF ( 1 ‘ 1,1),(2)0,当且点：本 考求二面角的三角函数，考用空向量解决 的能力，注意解方法的累，属于中档.*26. ( 10 分)(2015?江)已知集合 X={1 , 2, 3), Yn={l , 2, 3,…，n) (n^N ), Sn={( a, b) 或整除a, aex, B ey n },令f( n)表示集合Sn 所含元素的个数.(1) 写出f(6)的；(2) 当26，写出f(n)的表达式，并用数学 法明.la 整除b考点：数学法.:合；点列、数列与数学法. 分析•( 1) f (6) =6+2+ +|=咼；(2)根据数学法的明步，分，即可明・ 角军答： 口 •解：(1) f(6) =6+2+3；(2)当 n>6 , f(n)=n+24-〔专申 f «=6t n+2f,n=6t+ln n _ 2n+2+ (刁—-—)« n-6t+2 z Jn+24-〔二^丄 晋)，n=6t43 n+2f (詈 4^二)• n=61+4 n+2f (”；1 l "；2) , n=6H5下面用数学法明：①"6, f( 6) =6+2++購成立;②假n=k( k>6),成立，那么n=k+l , Sk+i 在Sk 的基上新增加的元素在(1, k+1 (2, k+1 ),(3, k+1 )中生，分以下情形： 1)若 k+l=6t , k=6 (t1)+5 ,此有 f( k+l)=f (k) +3=( k+l)+2+― ),1 k+132)若 k+l=6t+l ,则 k=6t+l ,此时有 f ( k+1 ) =f ( k) +l=k+2+—2T1=(k+1)+2+(k+1) 2-1(k+1) -1"nr"1,结论成立;3)若 k+l=6t+2 ,则 k=6t+l ,此时有 (k+1=f(k) +2=k+2+ □ +k-l^3~+2= ( k+1 ) +2+k+1 (k+1 )-2 ~2,结论成立;4)若 k+l=6t+3 ,则 k=6t+2 ,此时有 (k+1 =f ( k)+2=k+2+g ¥2 3+2= ( k+1(k+1) "1 k+1 2 」3,结论成立;+2+5)若 k+l=6t+4 ,则 k=6t+3 ,此时有 (k+1 =f ( k)k - 1 k+2=k +2+— E+2= ( k+1+2+吐 1 (k+1)~2,结论成立;6)若 k+l=6t+5 ,则 k=6t+4 ,此时有 (k+1 =f ( k) +2= ( k+1+2+ (k+1〕- 1 (k+1) " 2" * 3n26的自然数n 均成立.2 | ' 综上所述，结论对满足,结论成立.点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.。
2015江苏高考数学卷word解析版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置.上. 1.已知集合A —1, 2 3? , B —2, 4, 5?，则集合AU B 中元素的个数为▲ .2.已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为▲ .23. 设复数z 满足z =3 4i (i 是虚数单位)，贝U z 的模为 ▲ .4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲.6. 已知向量 a=(2,1), a =(1,—2 )，若 ma + nb=(9,— 8 後 m n ^ R ),则m -n 的值为 ▲.7. 不等式2X " 4的解集为 _▲_.18. 已知 tan 〉= -2, tan，则 tan :的值为 ____ ▲ ___79. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为 2、高为8的圆柱各一个。
若将它 们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径 为 ▲10. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx - y - 2m-1 = 0(m • R)相切的所有 圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ .（第4题图）* 111.数列｛a n｝满足印=1，且a n十一a n= n+1 ( n^N ),则数列｛一｝的前10项和为▲.a n的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为▲.r o,ocx^i13.已知函数f(x)=|lnx|, g(x) =」2 ，则方程| f(x) + g(x) 1=1实根的个数为Jx _4|-2,XA1▲ .k兀k兀1214.设向量a k = (cos ,sin cos ' )(k =0,1,2,…,12)，则(a k a k d)的值为▲6 6 6 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. (本小题满分14分)在VABC 中，已知AB =2,AC =3,A =600(1) 求BC的长；(2) 求sin2C的值.16. (本小题满分14分)A U如图，在直三棱柱ABC-AB1G中，已知AC _ BC,BC =C G .设AB1的中点为D,B1C I BC^E.求证：(1)DE〃平面AA1CC1;(2) BG _ AB1.17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为4,12 ,山区边界曲线为C,计划修建的公路为I，如图所示，M , N为C的两个端点，测得点M到|仆l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l 1, l2的距离分别为20千米和2.5千米，以11, *所在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y二飞 J (其中a, b为常数)模型.x2 +b(1) 求a, b的值；(2) 设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路I 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域;19. (本小题满分16分)已知函数 f (x) =x 3 亠ax 2 亠b(a,b ：= R )； (1)试讨论f (x)的单调性；⑵若b =c-a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x)有三个不同零点时，a 的取值范围恰好 是(_：-3) U 1,2U 3，求 c 的值. 20. (本小题满分16分)设a !, a 2,a 3, a 4是各项为正数且公差为 d (d = 0)的等差数列. (1)证明：2ai , 2a2,2a3,2a4依次成等比数列；234⑵是否存在q,d ，使得a“a 2 , a 3 , a °依次成等比数列，并说明理由；②当t 为何值时，公路I 的长度最18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系 2 X xOy 中，已知椭圆~2 + a2b 2= l(a > b >0)的离心率左准线I 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线交椭圆于 A , B 两点，线段AB 的垂直平分线分 别交直线I 和AB 于点P , C ,若PC=2AB ，求直线AB 的方程.O I 2en -^,右焦点F 到(3)是否存在ai,d及正整数n,k，使得ai：a2n k, a3n 3k,a4n 5k依次成等比数列，并说明理由.附加题21. (选择题)本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、 I 选修4-1 :几何证明选讲丨(本小题满分10分)如图，在.ABC 中，AB 二AC , AABC 的外接圆圆0的弦AE 交BC 于点D .求证：.ABD ： . ：AEB .B 、 1-选修4-2 :矩阵与变换 1 (本小题满分10分)C 「1 1 X 11已知x,y^R ，向量a = I 是矩阵A= |的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵 A 以及X［y 0 一它的另一个特征值.C 、 ［选修4-4:坐标系与参数方程］ 已知圆C 的极坐标方程为^2- ^.2?sin( )-4=0，求圆C 的半径.4D 、 ［选修4-5:不等式选讲］ 解不等式x - |2x 3^3 .22.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知PA_平面ABCD ，且四边形 ABCD 为 直角梯形，ABC =/BAD = —, PA =AD =2,AB =BC =1.2(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；⑵点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的 长.23.已知集合 X 二｛1,2,3｝, Y n 二｛1,2,3,L_|n ｝(n N *)，设S n 二｛(a,b)|a 整除b 或除a,a ，X,b ，£｝，令f(n)表示集合S n 所含元素个数E 第21A 图pBC(1)写出f(6)的值；(2)当n -6时，写出f (n)的表达式，并用数学归纳法证明.1、5 ;2、6 ;3、 .. 5 ;4、7;5、5/6;6、-3;7、(-1,2)&已Dtan a = -2, tan(a + 0) = £,贝'Jtan P 的值为 __________ 3_屮f9现有橡皮泥制作的底面半径为匚高为斗的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个*若将它们重新制作成总体积与高均保持不变'但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则 新的底面半径为 _____ 石 _____ …’(1015江苏离考第卬理)在平面自角坐标条©中.以点山0)为岡心且与頁线曲工-，- 2曲一 1 =O(m e R)相切的所有■圆中.半栓最大的@1的标准方程为 ______ .M ＞直= 定点(2,-1),根据垂线段最短知当(2,-1)为切点时.圆半控最大，此时半径为/\所以所求的圜的方桎为Gr-l)2+/=2.(20出年高考江苏春第11働数列彻」満足。
江苏省2015届高三下学期高考南通密数学试题 含解析
一、填空题:本大题共14个小题，每小题5分,共70分。
1。
设,a b R ∈,231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ．【答案】6 【解析】试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点:复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立,因此max(sin )1a θ≥=考点：集合包含关系,不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ),所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有 株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部第3题图周长不小于100cm的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m=，(1,2)b m=-，且a b ≠,若()a b a-⊥，则实数m=．【答案】1【解析】试题分析:2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m-⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或，又a b ≠，所以2, 1.m m≠=考点：向量垂直，向量数量积5。
如图所示的流程图的运行结果是．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a==，第二次循环:20,34S a==<，结束循环,输出20.S=考点：循环结构流程图6。
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD a=，则三棱锥D ABC-的体积为．【答案】3【解析】试题分析：取AC中点M，则DM BM==，222+DM BM BD=，即DM BM⊥，因第5题图为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABCDM S a ∆⋅=⨯ 考点：三棱锥体积7。
2015年高考数学江苏卷含答案解析
．
������ ← 1
������ ← 1
While ������ < 8
������ ← ������ + 2
������ ← ������ + 3
End While
Print ������
（第 4 题）
5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只球，1 只红球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这
半径最大的圆的标准方程为
．
答案：(������ − 1)2 + ������2 = 2． 建议解法：直线 ������������ − ������ − 2������ − 1 = 0 经过定点 (2, −1)． 当圆与直线相切于点 (2, −1) 时，圆的半径最大，此时半径 ������ 满足 ������2 = (1 − 2)2 + (0 + 1)2 = 2．
11.
设数列 {������������} 满足 ������1
= 1，且 ������������+1 − ������������
=
������
+
1（������
∈
������∗），则数列
{
1 ������������
}
前
10
项的和为
．
答案：2101 ．
建议解法：首先
������������+1
．
答案：√5． 建议解法：因为 |������|2 = |������2| = √32 + 42 = 5，所以 |������| = √5．
S 数学 I 试卷 第 1 页（共 11 页）
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 ������ 为
江苏省大联考2015届高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=．5．若tanθ=1，则cos2θ=．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是．13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．2015年江苏省大联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5=6．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，∴a5=6．故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n=2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，即有8q﹣8﹣2q2=0，解得q=2，则a n=2×2n﹣1=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5．若tanθ=1，则cos2θ=0．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13=．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，∴==q3=，解得q=，∴a10+a13=（a6+a9）q4==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，=4．【考点】基本不等式．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b ≥2=8，当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，所以（）•=0，所以，所以cos ＜＞====，所以＜＞=．故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．9．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y 的最小值与最大值的和为 30 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出可行域，如图所示：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．故答案为：30．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1=2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2=+8q2≥2=32，当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，此时a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．=n，以上式子累加，结合等差数列的求【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1和公式可得答案．=n，等【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．=n是解决问题的关键，属基础题．【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣113．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{x n}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{x n}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜﹣2．∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}（2）不等式f（x）＞0的解集为R，∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是（﹣2，2）【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n 项和．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．∴由题意得，解得a1=1，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，∴=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，由，即可解得函数图象的对称轴方程．②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．【解答】解：①函数f（x）=•===，由，解得，即（k∈Z）．∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．②由余弦定理可得：=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．∴．∴f（B）=+1∈[2，3]．【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，则目标函数为z=6x+8y．作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数；当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在上为单调增函数；当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在上为单调减函数．…综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，，函数f（x）的单调增区间为．…【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意，得；解得a1=d=1，b1=q=2；故a n=n，b n=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；当S n=+（2+22+…+22012）时，S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；当S n=+（2+22+…+22013）时，S n﹣22014=﹣2+＞0；可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。
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2015年江苏数学高考试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
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an max 1, a1 .
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DE =2BC ， F 是 AE 的中点.
（1）求证： BF //面ACD ； （2）求证： 面ADE 面ACD .
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17.（本小题满分 14 分） 如图，某城市有一个边长为 4 百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群. 建 立坐标系 （单位： 百米） ， 则雕塑群的左上方边缘曲线 AB 是抛物线 y 4 x(1 x 3, y 0)
A．选修 4—1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如 图 ， ABC 中 ， BC 12 ， 以 BC 为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB、AC 于 点 E、F ， 若
AC 3 AE ，求 EF 的值．
B．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 设矩阵 A
1 2 ，求矩阵 A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量. 2 1
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C．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，求以点 A(1, 0) 为圆心，且过点 B (2,
3
) 的圆的极坐标方程.
D．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知 x, y , z R ,且 x 3 y 2 z 3 ,求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.
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23. (本小题满分 10 分). 已知各项均为正数的数列 an 满足: an1
an 1 (n N ) . 2 2
（1）若 ( a1 1)( a2 2) 0 ,求 a1 的范围； （ 2 ） 设 max a, b 表 示 a、b 两 数 中 较 大 的 数 . 试 证 明 ： 对 任 意 的 n N ， 都 有
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18.(本小题满分 16 分)
如图， 已知椭圆
x2 y 2 1 直线 l 是右准线且准线方程为 x 4 . 2 1(a b 0) 的离心率为 ， 2 a b 2
A、B 分别是其左右顶点， P 是椭圆上异于左右顶点的任意一点. 直线 PA、PB 与椭圆的
3 , a 2 ，且 4
ABC 的面积为 2 3 ，求 c 的值.
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16.(本小题满分 14 分) 如图，四棱锥 A BCDE 中， AB、BC、BE 两两垂直且 AB BC BE ， DE //BC ，
13. 在等 比数列 an 中， 1 a1 为 ．
x 1
2 a2 2 ， S n 是其 前 n 项和 ，则 S10 的取 值范围
14. 已知函数 f ( x) ae
1( x R ) ，若方程 f ( x) | x a | 0 有且仅有两个不相等的实
．Байду номын сангаас
根，则实数 a 的取值范围为
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【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷 卡 指定区域 ．． ． ．．．． 内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．
22. (本小题满分 10 分) 某公司现生产一批产品，次品率为 5% ，现对 100 个样品进行检验，随机抽取 2 个样品，其 中随机变量 X 表示 2 个样品中次品的个数. （1）求至少有一个样品都是次品的概率； （2）求随机变量 X 的概率分布和数学期望.
AD CE 1 = ，且 DE BC 8 ，则 BC = _______. AB AC 3
12. 设 f ( x) a sin 2 x b cos 2 x( a, b R ) ，若 f ( x) 的 最大值为 围为 ．
5 ，则 a b 的取值范
20.（本小题满分 16 分） 已知各项均不为零的数列 an 满足 a1 a ( a 0) ，当 n 2 时， an , 0, S n S n 1 成等差数列， 其中 S n 为数列 an 前 n 项和. （1）用 a 表示 a2 , a3 ； （2）求数列 an 的通项公式（用 a 表示）； （3） 求出 k 及对应的 a 的 an 中是否存在连续的三项 ak 1 , ak , ak 1 为等差数列？若存在， 值；若不存在，请说明理由.
（1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 的单调减区间； （2）若函数 f ( x) 在区间 [0,3] 上的最大值为 3 ，求实数 a 的取值集合； （3）试讨论函数 y f '( x) 的图像与函数 y
1 (a 1) 2 的图像的公切线条数. x
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2 2 2
，则不等式 f (2 x x ) 5 的解集为
2
.
10. 已知圆 M : ( x m) ( y m) 9 上有且仅有两个点到点 A(1, 2) 的距离为 2 ，则实数
m 的取值范围为________________.
11. 在等腰三角形 ABC 中， AB AC ， D、E 分别为 AB、AC 上的动点，若
二、解答题：（本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤．）
15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) sin x sin( x
3
).
（1）求 f ( x) 的最小正周期； （2）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 f (C )
4
，则所得直线的斜率为
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8. 若直线 y x n 与函数 g x ln x m 的图像相切，则实数 m n = 9. 已知 f ( x)
.
x 2 3 x 1, x 0 x x 2, x 0
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1.已知集合 A= a, b, c, d , e , B = b, e, f ，则 A B 的子集个数为___________. 2. 若复数 z 满足 z (1 i ) 3 4i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点处于第 _______象限. 3. 通锡苏学大教育提倡绿色出行、运动快乐，决定举行环金鸡湖 骑行大赛.现计划从所有教职员工中选拔 100 人参赛， 已知通锡苏学 大教育现有老年教职员工 200 人，中年教职员工 500 人，青年教职 员工 300 人.若采用分层抽样的办法,则应抽取的青年教职员工参 赛人数为___________. 4. 在 A、B、C、D、E 五个不同城市中，经气象台测定，明日有 两个城市 下雨，则 A、B 两市中至 少有一个城市 下雨的概率为 ___________. 5. 右图是一个算法流程图，则输出的 m 值为_________. 6. 将直线 y 2 x 绕原点逆时针旋转 _____. 7. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为 R ，高均为 3R ，则圆锥和圆柱 的表面积之比是_______.
右准线分别交于 E、F 两点，连接 AF 与椭圆交于点 M . （1）求椭圆的标准方程； （2）证明： E、B、M 三点共线.
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19.（本小题满分 16 分） 设函数 f ( x)
1 3 x (1 a) x 2 4ax a ，其中 a 为常数. 3
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通锡苏学大教育 2015 届高考数学密卷 数学附加题
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小 题 ， 并在相应 ．．．．．．． ． ． ．．．． 的答题 区域内 作答 ．若多做，则按作答的前两小题评分. ．．． ．．． ．． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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的一段. 为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路 EF （宽度不计），要求直路 EF 与曲线
AB 相切（记切点为 M ），并且将广场分割成两部分，其中直路 EF 左上部分建设为主题
陈列区. 记 M 点到 OC 的距离为 m （百米），主题陈列区的面积为 S （万平方米）. （1）当 M 为 EF 中点时，求 S 的值； （2）求 S 的取值范围.
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注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 7 页，均为非选择题（第 1 题-第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题， 必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答， 在其他位置作答 一律无效。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。