函数的极限与连续

第一章 函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念.§1-1函数一、函数的概念定义1.1 设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称y 是x 的函数，D 称为定义域.当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值y 0， 称为函数y=f(x)在x =x 0时的函数值，记作f(x 0)，即 y 0=f(x 0). 当自变量x 取遍D 中的数，所有对应的函数值y 构成的集合称为函数的值域，记作M ，即{}D x x f y y M ∈==),(例1 已知1)(2--=x x x f ，求)0(f ，)1(f ，)(x f - 解 1100)0(2-=--=f 1111)1(2-=--=f11)()()(22-+=----=-x x x x x f例2 求下列函数的定义域.（1）142-=x y (2))1ln(62++-+=x x x y 解（1）1,012±≠≠-x x ，所以定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞∈ x（2）⎩⎨⎧〉+≥-+01062x x x ⎩⎨⎧-〉≤≤-⇒132x x ，所以定义域为(]3,1-∈x 由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.例如：x x x f 22cos sin )(+= 与1)(=x ϕ,因为1cos sin 22=+x x ,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为R ，所以它们是相同的函数.又如11)(2--=x x x f 与1)(+=x x ϕ，虽然112--x x 1+=x ，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质 1、 单调性设函数)(x f y =在（b a ,）内有定义，若对（b a ,）内的任意两点21,x x ，当21x x 〈时，有)()(21x f x f 〈，则称)(x f y =在（b a ,）内单调增加；若当21x x 〈时，有)()(21x f x f 〉，则称)(x f 在（b a ,）内单调减少，区间（b a ,）称为单调区间.2、 奇偶性设函数)(x f y =在D 上有定义，若对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称)(x f y = 为偶函数；若有)()(x f x f -=-，则称)(x f y =为奇函数.在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.3、 有界性若存在一个正数M ，使得对任意的),(b a x ∈，恒有M x f ≤)(，则称函数y=f(x)在（b a ,）内有界.如y=sinx 与y=cosx 都在（+∞∞-,）内有界. 4、 周期性设函数)(x f y =在D 上有定义，若存在一个正实数T ，对于任意的D x ∈，恒有)()(x f T x f =+，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期. 如x y sin =的周期是2π，x y tan =的周期是π，)sin(ϕ+=wx A y 的周期是wπ2. 函数c y =,（c 为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作)(1y fx -=显然，)(1y fx -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，所以)(x f y =的反函数可表示为)(1x fy -=例如x y =的反函数是2x y =)0(>x ，其定义域就是x y =的值域[)+∞,0，值域是x y =的定义域[)+∞,0，如图1-1（a ）所示.在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称.如图1-1（b ）所示.图1—1四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数. （1）常数函数c y =（c 为常数），其图形为一条平行或重合于x 轴的直线. （2）幂函数αx y =（α为实数）,其在第一象限内的图形如图1-2所示.（a ）（b ）图1-2（3）指数函数xa y =（1,0≠〉a a ），定义域为R ，值域为),0(+∞，图形如图1-3)(a 所示. 图1-3（4）对数函数)1,0(log ≠〉=a a x y a ，定义域),0(+∞，值域为R ，图形如图1-3（b ）所示. （5）三角函数x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =. 其中正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =的定义域都为R ，值域都为[]1,1-，正切函数x y tan =的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2,ππ且，值域为R ，这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4（6）反三角函数x y arcsin =，x y arccos =，x y arctan =，x arc y cot =，其中反正弦函数x y arcsin =与反余弦函数x y arccos =的定义域都为[]1,1-，值域分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ，和[]π,0反正切函数y=arcanx 的定义域R ，值域为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，这三个函数的图形如图1-5所示.0>α0<α（a ） （b ）ππ（a ）（b ）定义1.3 设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ϕ=的值域为ϕM ,若φϕ≠f D M ，则将[])(x f y ϕ=称为)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量，x 为自变量.如函数1,ln 2+==x u u y ，因为12+=x u 的值域[)+∞,1包含在u y ln =的定义域（0，+∞）内，所以)1ln(2+=x y 是u y ln =与12+=x u 复合而成的复合函数.注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如u y arcsin =与22x u +=就不能复合. 因为22x u +=的值域为[)+∞,2，而u y arcsin =的定义域为[]1,1-，所以对于任意的x 所对应的u ，都使u y arcsin =无意义；（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合. 例4 指出下列函数的复合过程（1）312+=x y ；（2）2tan ln x y =.解 （1）312+=x y 是由3u y =与 12+=x u 复合而成的；（2）2tan ln xy =是有νtan ,ln ==u u y , 2x =ν复合而成的.例5 已知f （x ）的定义域为[]1,1-，求f （lnx ）的定义域.解 由1ln 1≤≤-x 得e x e≤≤1所以)(ln x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1.3、初等函数定义1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函例6 已知1100112)(>≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x f x ，求)2(-f ，)0(f ，)21(f ，)2(f ，并作出函数图形解 412)2(2==--=x x f ； 12)0(0===x xf ；21)1()21(21=-==x x f ； 11)2(2===x f 图形如图1-6所示 五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.例7 如图1-7，从边长为a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x ，周长为P ，面积为A ，试分别将P 和A 表示为x 的函数.解 设矩形的另一条边长为060tan 2⋅-xa =2)(3x a - 该矩形周长P=a x x x a 3)32(2)(3+-=+-， ),0(a x ∈矩形面积223232)(3x ax x x a A -=⋅-=， ),0(a x ∈. 例8 电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G 与月用电量W 之间的函数关系.解 当300≤≤w 时，G=05W当6030≤<W 时,G=36.0)30(6.0305.0-=-⨯+⨯w w当60>w 时,G=158.0)60(8.0306.0305.0-=-⨯+⨯+⨯W W所示⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤≤==60158.0603036.03005.0)(w w w w w w w f G习题1-11、 求下列函数的定义域（1）221xx y -=（2）232+-=x x y （3）)1ln(2x y -= （4）x y 2arcsin =2、已知⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉+=03012)(2x x x x x x f ，求)1(-f ，)0(f ，)1(f 的值，并作出函数的图形. 3、求下列函数的反函数（1）13+=x y （2）x y ln 1-= （3）11+-=x x y 4、判断下列函数的奇偶性（1）x x y sin 2= （2）x x y cos sin +=（3）x x y cos 22+= （4）11+-=-x x e e y .5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程（1）12+=x y（2）xe y sin = （3）)1(cos 2-=x y （4）)1sin(lg +=x y6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长x厘米，截面面积为A 平方厘米，试将A 表示成x 的函数，并指出其定义域.§1-2极限的概念一、数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数（1）1，21，31，41……，n 1,…… （2）21，32，43，54……，1+n n ,……我们称它们为数列，分别记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n .现在来考察n 无限增大时，这两个数列的变化趋势. 为清楚起见，我们把这两个数列的前n 项：1x ，2x ……n x 分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示）.由图n n 且nx n 1=无限接近于0；由图1-9可以看出，当n 无限增大时，表示1+=n nx n 的点逐渐密集在点当1=x 的左侧，且1+=n nx n 无限接近于1.上述两个数列具有相同的变化特征，即当n 无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列，我们给出定义.定义1.5如果当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一个确定的常数A ，则把常数A 称为数列{}n x 的极限（也称数列{}n x 收敛于A ）记作A x n n =∞→lim 或当∞→n 时，A x n →因此，上述数列（1）有极限为0，记作01lim=∞→n x ；数列（2）有极限为1，记作11lim =+∞→n n x . 例1 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.（1）121-=n n x （2）n n x n 1+= （3）nn x )3(1-= （4）4=n x 解 （1）121-=n n x 的项依次为1，21，41，81……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0， 所以 121lim -∞→n x =0；（2）n n x n 1+=的项依次为2，23，34，45……，当n 无限增大时，n x 无限接近于1，所以nn x 1lim +=∞→=1； （3）nn x )3(1-=的项依次为31-，91，271-，811，……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0，所以n x )3(1lim -=∞→=0； （4）4=n x 为常数数列，无论n 取怎样的正整数，n x 始终为4，所以44lim =∞→n .一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即c c n =∞→lim （c 为常数）需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列nn x 2=，当n 无限增大时，n x 也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限. 又如数列nn x )1(-=，当n 无限增大时，nx 在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限.对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散. 二、函数的极限对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍. 1、当∞→x 时，函数)(x f y =的极限当自变量x 的绝对值无限增大时，记作∞→x .定义1.6 设函数)(x f y =在a x >时有定义（a 为某个正实数），如果当自变量x 的绝对值无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当∞→x 时，函数)(x f y =的极限，记作()A x f x =∞→lim （或当∞→x 时，A x f →)(）.需要指出的是，∞→x 表示x 既取正值而无限增大（记作+∞→x ），同时又取负值而其绝对值无限增大（记作-∞→x ）显然，函数)(x f 在∞→x 时的极限与在+∞→x ，-∞→x 时的极限存在以下关系：定理1.1 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim .例2 讨论下列函数当∞→x 时的极限.（1）xy 1=； （2）xy 2= ； （3）x y arctan =. 解 （1）由反比例函数的图形及性质可知，当x 无限增大时，x 1无限接近于0，所以xx 1lim ∞→=0；（2）由指数函数的图形及性质可知，+∞=+∞→x x 2lim ，02lim =-∞→x x ，所以xx 2lim ∞→不存在.（3）由反正切函数的图形及性质可知，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x arctan lim ∞→不存在.2、 当0x x →时，函数)(x f y =的极限当自变量x 无限接近于某一定值0x 时，记作0x x →.定义1.7 设0>δ，我们把集合{x │δ<-0x x }称为点0x 的δ邻域，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径. 称集合{x │0<δ<-0x x }为0x 的去心邻域.如图1-10（a ）、（b ）所示. 显然，0x 的δ邻域即为开区间δδ+-00,(x x )，记为N(δ,0x );0x 的去心δ邻域即为00,(x x δ-)δ+00,(x x ),记为N(δ,0Λx ).定义1.8 设函数)(x f y =在0x 的某去心邻域N （δ,0x ）内有定义，如果当x 无限趋近于0x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数)(x f 的极限，记作()A x fx x =→0lim 或当0x x →，)(x f →A如函数xy 2=，从图1-11可看出，当x 从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线xy 2=上的点M 与M ＇都无限接近于点N(1,2)，即函数xy 2=的值无限接近于常数2，所以22lim 1=x.需要指出的是：(1)由于现在考察的是当0x x →时函数)(x f 的变化趋势，所以定义中并不要求)(x f 在点0x 处有定义；(2) 0x x →表示自变量x 从0x 的左、右两旁同时无限趋近于0x .例3 考察当1-→x 时，函数112+-=x x y 的变化趋势，并求1-→x 时的极限.解 从函数)1(1112-≠-=+-=x x x x y 的图形（图1-12）可知，当x 从左、右两旁同时无限 趋近于-1时，函数)1(1112-≠-=+-=x x x x y 的值无限趋近于常数2-，所以 ().21lim 11lim 121-=-=+--→-→x x x x x 定义1.9 设函数)(x f y =在（00,x x δ-）（或（δ+00,x x ））内有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）近旁无限接近于0x ，记作-→0x x （+→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)0(0，（A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(0）.极限与左、右极限之间有以下结论：定理1.2 A x f x x =→)(lim 0的充要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0.例4 讨论下列函数当0→x 时的极限.（1）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01001)sgn()(x x x x x f ； （2）⎩⎨⎧<-≥+=0101)(x x x x x f .解 （1）因为11lim )sgn(lim 0==++→→x x x ，1)1(lim )sgn(lim 0-=-=--→→x x x ，所以根据定理１.2，)sgn(lim 0x x →不存在. )sgn(x 称为符号函数，见图1-13)(a .（2）因为1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=-=--→→x x f x x ，所以根据定理 1.2，(lim 0→x f x习题1-21、观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。