【备战高考】2013届高考数学总复习小题训练8 理

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2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在题后的括号内。

）1. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 2x - 3 > 5B. 3x + 1 < 8C. 4x - 6 ≤ 2D. 5x + 3 ≥ 10答案：D2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且f(2) = 5，f(3) = 11，则a的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-3，求x的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 圆的一般方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中心坐标为(a, b)，半径为r。

如果一个圆的方程是x^2 + y^2 = 9，那么它的圆心坐标和半径分别是：A. (0, 0), 3B. (0, 0), √3C. (3, 0), √3D. (3, 0), 3答案：A5. 在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(4,5)之间的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C6. 已知函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|，求g(x)的最小值。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 一个圆与直线y = x相切，圆的方程是(x - 2)^2 + (y - 2)^2 =4，求圆的切线方程。

A. y = x - 2B. y = x + 2C. y = -x + 2D. y = -x - 2答案：A8. 已知等比数列的前三项分别是2，6，18，求该等比数列的公比。

A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B9. 在复数z = 3 + 4i中，其模长|z|等于多少？A. 5B. √5C. √21D. √25答案：C10. 已知一个等差数列的前五项和为50，且第五项是14，求该等差数列的首项。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数三角恒等变换)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）一、选择题：1．(2013福建文) 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B2．(2013广东文) 已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.3、(2013湖北文、理) 将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π【解析与答案】解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 B【相关知识点】三角函数图象及其变换4. (2013江西文) sincos 23αα==若（）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=5. (2013江西文) 如图。

2013高考数学试卷及答案

2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$，则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案： C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$，则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案： B. [-1, 5]3.如图所示，在ΔABC 中，$AD \\perp BC$，则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案： A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3，$a_2=\\frac{7}{4}$，a n+2=2a n+1+a n，则a10=答案： $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$，则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案： $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$，a1=2，$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$，求a n 的通项公式。

解答：首先我们观察数列的前几项，可以发现：a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$，$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$，我们来观察数列 $\\{b_n\\}$： $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列，公差为$\\frac{3}{2}$。

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=x^2-4x+c，则f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点，则c的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_3=4，则S_5的值为：A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A3. 设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A4. 若直线y=2x+3与曲线y=x^3-x^2+1相切，则切点的横坐标为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A5. 已知复数z满足|z-1|=1，|z+1|=2，则|z|的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f'(x)=0，则x的值为：A. 1B. -1C. 2D. -2答案：A7. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，若a·b=5，则a与b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C8. 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，若椭圆C与直线y=x+1相交于A、B两点，且|AB|=2√2，则a^2+b^2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B二、填空题（每题5分，共20分）9. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，若f'(x)=0，则方程x^3-6x^2+9x+1=0的根为________。

答案：0，310. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_3=26，则公比q为________。

答案：311. 设函数f(x)=3x^2-6x+5，若f(x)=0，则x的值为________。

答案：1，5/312. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, 1)，若a·b=-11，则向量a与b的夹角为________。

【备战高考】2013届高考数学总复习小题训练6 理

【备战高考】2013届高考理科数学总复习小题训练6一．选择题 (每小题５分，共40分）1.集A ＝{－2,0,1}，集B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( ) A.3 B.2 C.1 D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( )A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x2 图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( ) A.15 B.20 C.5 D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( ) A.命题“p ∧q ”是真命题 B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( ) A.13 B.－13 C.23 D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于( )f(x+2)(x<2)，A.2 5B.4 5C.3 5D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：（每小题5分，共35分）9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 .10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果a MA＋b MB＋33c MC＝0，则内角A的大小为；若a＝3，则△ABC的面积为.15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}(n∈N，n≥3)，定义a i＋a j(1≤i<j≤n，i，j∈N)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A＝{2,4,6,8}，则L(A)＝；若数列{a n}是等差数列，设集合A＝{a1，a2，a3，…，a m}(其中m∈N*，m为常数)，则L(A)关于m的表达式为.一、选择题（每小题5分，共50分）序号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题：（每小题5分，共25分）9、__________ 10、__________11、__________ 12、__________13、__________ 14、__________15、___________三、解答题16. (本小题满分12分)盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.（六）一、选择题（每小题5分，共50分）序号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D C B B C D二、填空题：（每小题5分，共25分）9、________)0()(21≥=x x x f _ 10、_____1___11、_]57,28(__ 12、______1-____13、_____]4,0[___ 14、___439,6π______15、_5,__32-m ________三、解答题17、（1）649（2）103。

2013高考数学押题卷：高三理科数学高考押题卷（带答案）

2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）（30道选择题+20道⾮选择题）⼀．选择题（30道）1.设集合，，若，则的值为（）A．0 B．1 C． D．2. 已知是实数集，集合，，则 ( )A. B.C. D.3.已知i为虚数单位，则复数等于（）A．-1-i B．-1+i C．1+i D．1—i4.复数在复平⾯上对应的点不可能位于A．第⼀象限 B．第⼆象限 C．第三象限 D．第四象限5. “ ”是“⽅程表⽰焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分⽽不必要条件 B．必要⽽不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.若命题“ R，使得 ”为假命题，则实数m的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）7.⼀个算法的程序框图如右，则其输出结果是（）A.0B.C. D.8.下⾯的程序框图中，若输出的值为，则图中应填上的条件为（）A． B． C． D．9.右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10.已知则的值（）A．随着k的增⼤⽽增⼤B．有时随着k的增⼤⽽增⼤,有时随着k的增⼤⽽减⼩C．随着k的增⼤⽽减⼩D．是⼀个与k⽆关的常数11.关于函数的四个结论:P1:值为 ;P2:最⼩正周期为 ;P3:单调递增区间为 Z;P4:图象的对称中⼼为 Z.其中正确的有（）A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个12. 是两个向量，，，且，则与的夹⾓为（）（A）（B）（C）（D）13.已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c•a=c•b=1,,则对任意正实数t, 的最⼩值是（）A． B． C． D．14.⼀个⼏何体的三视图如右图所⽰，则它的体积为（）A． B．15．正⽅形的边长为 ,中⼼为 ,球与正⽅形所在平⾯相切于点,过点的球的直径的另⼀端点为 ,线段与球的球⾯的交点为 ,且恰为线段的中点,则球的体积为（）A． B． C． D．16.不等式组表⽰⾯积为1的直⾓三⾓形区域，则的值为（）Ａ. B. C. D.17.设函数， . 若当时，不等式恒成⽴，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.18、⼀个盒⼦⾥有3个分别标有号码为1，2，3的⼩球，每次取出⼀个，记下它的标号后再放回盒⼦中，共取3次，则取得⼩球标号值是3的取法有（）A.12种B. 15种C. 17种D.19种19、⼆项式的展开式中常数项是（）A．28 B．-7 C．7 D．-2820、⾼三毕业时，甲，⼄，丙等五位同学站成⼀排合影留念，已知甲，⼄相邻，则甲丙相邻的概率为（） A. B. C. D.⼀、某苗圃基地为了解基地内甲、⼄两块地种植的同⼀种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗测量它们的⾼度，⽤茎叶图表⽰上述两组数据，对两块地抽取树苗的⾼度的平均数和中位数进⾏⽐较，下⾯结论正确的是（）A． B．C． D．22、公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝（）A．20 B．21 C．22 D．2323、已知数列为等⽐数列，，，则的值为（）A． B． C． D．24. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是（）A． B． C． D．25．圆－2x＋my－2＝0关于抛物线＝4y的准线对称，则m的值为（）A.1B. 2C. 3D. 426．已知抛物线的焦点到准线的距离为 , 且上的两点关于直线对称, 并且 , 那么 =（）A． B． C．2 D．327．如果函数图像上任意⼀点的坐标都满⾜⽅程，那么正确的选项是（）(A) 是区间（0，）上的减函数，且(B) 是区间（1，）上的增函数，且(C) 是区间（1，）上的减函数，且(D) 是区间（1，）上的减函数，且28．定义在R上的奇函数，当 ≥0时，则关于的函数（0＜＜1）的所有零点之和为（）（A）1- （B）（C）（D）29．的展开式中, 的系数等于40,则等于（）A． B． C．1 D．30．已知函数 ,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最⼩值为（）A． B． C． D．⼆．填空题（8道）31.已知A ,B(0,1)),坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则 = .32.在的展开式中，含项的系数是________.（⽤数字作答）33.若实数、满⾜，且的最⼩值为，则实数的值为__34.已知四⾯体的外接球的球⼼在上,且平⾯ , , 若四⾯体的体积为 ,则该球的体积为_____________35.已知是曲线与围成的区域，若向区域上随机投⼀点，则点落⼊区域的概率为．36.公⽐为4的等⽐数列中,若是数列的前项积,则有也成等⽐数列,且公⽐为；类⽐上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有⼀相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.37.在中,⾓所对的边分别为 ,且 ,当取值时,⾓的值为_______________38.已知抛物线的准线为 ,过点且斜率为的直线与相交于点 ,与的⼀个交点为 ,若 ,则等于____________三．解答题（12道）39、中，，，分别是⾓的对边，向量， , ．（1）求⾓的⼤⼩；（2）若，，求的值．40、已知等差数列的⾸项，公差．且分别是等⽐数列的．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设数列对任意⾃然数均有 … 成⽴，求 … 的值.41、⼀次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所⽰：学⽣（1）请在直⾓坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归⽅程；（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选⼈参加⼀项活动，以表⽰选中的同学的物理成绩⾼于分的⼈数，求随机变量的分布列及数学期望的值．42、⼗⼀黄⾦周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意　单位：名男⼥总计满意 50 30 80不满意 10 20 30总计 60 50 110(1)从这50名⼥游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取⼀个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的⼥游客各有多少名？(2)从(1)中的5名⼥游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的⼥游客各⼀名的概率；(3)根据以上列联表，问有多⼤把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关附：P( )0.050 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87943、如图在四棱锥中,底⾯是边长为的正⽅形,侧⾯底⾯，且 ,设、分别为、的中点．(Ⅰ) 求证： //平⾯；(Ⅱ) 求证：⾯平⾯；(Ⅲ) 求⼆⾯⾓的正切值．44、已知椭圆 : 的焦距为 ,离⼼率为 ,其右焦点为 ,过点作直线交椭圆于另⼀点 .(Ⅰ)若 ,求外接圆的⽅程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上⼀点，且满⾜（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.45. 已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对⾓线的交点恰好落在y轴上.(1) 求动点D的轨迹五的⽅程.(2) 若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；②当M的横坐标为，纵坐标⼤于O, =60°时，求四边形MPNQ的⾯积46. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成⽴，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，①试⽐较g（a）与 g（1）的⼤⼩；②求证：对于任意⼤于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．47. 设函数，．(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ）如果存在，使得成⽴，求满⾜上述条件的整数；（Ⅲ）如果对任意的，都有成⽴，求实数的取值范围．48.选修4-1:⼏何证明选讲.如图，过圆E外⼀点A作⼀条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,⼰知圆E的半径为2， =30.(1)求AF的长.(2)求证：AD=3ED.49. 在直⾓坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 ,已知过点的直线的参数⽅程为：，直线与曲线分别交于两点.（1）写出曲线和直线的普通⽅程；（2）若成等⽐数列,求的值．50. 选修4-5：不等式选讲设（1）当，求的取值范围；（2）若对任意x∈R，恒成⽴，求实数的最⼩值．2013年⾼考数学(理)押题精粹（课标版）【参考答案与解析】⼆．选择题（30道）1.【答案】A2.【答案】D【点评】:集合问题是⾼考必考内容之⼀，题⽬相对简单.集合的表⽰法有列举法、描述法、图⽰法三种，⾼考中与集合的运算相结合，不外乎上述⼏种题型。

2013年高考数学试题及答案

高考试题回顾1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为（）(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞- 2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为（(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的（） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（） (A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（） (A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是（） (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8. 设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（） (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 1519. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是（） (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有（） (A) [－x ] ＝－[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ](D) [x －y ]≤[x ]－[y ]11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 .14. 观察下列等式: 211= 22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .xC. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠的角平分线, 证明直线l过定点.PBQ23. (本小题满分13分)已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.。

【备战高考】2013高考最后十几天各科怎么复习比较好？

【备战高考】2013高考最后十几天各科怎么复习比较好？现在距离高考还有十几天，考生该如何把握各科的学习要点？考试时又该掌握哪些技巧？昨日记者采访了石家庄一中的几位老师，请他们为考生最后的复习支招。

语文：零散时间弄弄默写出镜老师：卢冀川在考前最后这段时间，建议考生要做高考题，规范思维方式。

建议分专题做，每个专题认真做几道。

要认真分析题干的问法，找到重点词语，认真分析答案分了几部分，它们对应题干的哪部分，对应阅读材料的哪部分，想想你哪部分没有想到，该怎么办。

分析后，再做一两道高考题巩固即可。

在这时的复习中，要注意高考考察可能性比较大的重点和平常模拟练习没有练到的盲点。

例如：阅读题(论述类文本和实用类文本)首先要有整体阅读意识和概括意识，要看上下文答题；诗歌中思乡怀人(羁旅行役)诗、赠友送别诗、咏史讽谏诗、悼亡诗可重点关注；默写重在把字写对；主观表达题(含作文)得分的关键在于审题。

利用最后的时间，考生可以利用零散时间进行成语、默写的积累。

对于病句，还是要熟悉病句常见的设错点。

另外，作文论据不是刚发生的都是新鲜的，只有别人知道不多的材料才是新颖的论据。

建议认真吃透几个真实的、差异较大的、不广为人知的故事(特别是细节)，考试时必定能用好一两个，为你的作文增分。

考试技巧：语文是高考第一科，适当紧张是正常的；在等着发卷的时候，可以通过深呼吸调整自己情绪。

如果在文言文、诗歌方面有读不懂的句子和词汇(这种情况在近几年高考题都出现过，要有心理准备)，我们一定要沉住气。

它有可能不是考查点，与做题无关，只是专门吓唬人的。

若是考查点，不行就先放过去，做别的题，待都做完了再回来凝心静气地看它的上下文，应该能猜个差不多；实在不会也没关系，你不会别人也不一定会，这时候是看大家谁在都会的地方少丢分。

此外，考生写字要清晰、不连笔、大小尽可能一致，想好了再写，打好底稿，尽量不涂改。

不要答出红框范围，更不要答错位置。

数学：总结题型的变化规律出镜老师：李清华这十几天的时间内，一定要做到回归课本，查漏补缺，不能有知识点的遗漏，把课本中讲到、考纲要求但平时练得比较少的知识点熟练起来。

2013年高考数学分类试题汇编：立体几何(理科(高考必看典藏版))

12012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为（）A．BCD2 ．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18 3 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直4 ．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a 的棱与长,则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5 ．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ,则A 、P 两点间的球面距离为（） A ．arccos4R B ．4R πC ．arccos3R D ．3R π6 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 7 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则2（） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8 ．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）A．BCD ．359 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为10．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是11．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A．d ≈ B．d C．d ≈D(一)必考题(11—14题) 12．（2012年高考（湖北理）何体的体积为 A 图1 B C D侧视图正视图俯视图3A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π13．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π14．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（） A ．球 B ．三棱柱 C ．正方形 D ．圆柱 15．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为（）A ．2 BC．D ．116．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A．28+ B．30+C．56+D．60+17．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件二、填空题 18．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为______3m .419．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3.20．（2012年高考（四川理））如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.21．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题附答案解析

数学《集合与常用逻辑用语》复习知识点一、选择题1．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ，且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+，当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小，所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加；设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，1228tp -=-，此时124128t E ξ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，1228tp -=+，此时124128t E ξ⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.2．记全集{1,2,3,4,5,6,7,8},U =集合{1,2,3,5},{2,4,6},A=B =则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{4,6,7,8}B ．{2}C ．{7,8}D ．{1,2,3,4,5,6}【答案】C 【解析】【分析】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,由此求得正确结论. 【详解】根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ⋃,{}1,2,3,4,5,6A B =U ,故(){}7,8U C A B ⋃=，故选C.【点睛】本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题.3．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2xf x '=-，令()0f x '=，解得ln 2x =，因为()'fx 为R 上的增函数,所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.4．下列命题中是假命题的是 A ．对任意x ∈R ，30x > B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x > C ．存在0x ∈R ，使20log 0x = D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案. 【详解】因为函数30xy =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为000πsin cos 2sin 24x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题.故选D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．5．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为N M .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．给出下列命题，则假命题的个数是（）①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程2230x x m +-=无实根，显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.7．“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（）A ．“6m =”B ．“67m <<”C ．“57m <<”D ．“57m <<”且“6m ≠”【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．【详解】因为方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：57m <<且6m ≠，所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”，Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，所以“57m <<”是方程“22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件．所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”．故选：C ．【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.8．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件. 【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.9．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-，由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由211m -≠-得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.10．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r成立，反之当a b ⊥r r时，此时a 与l 不一定是垂直的，所以a l ⊥是a b ⊥r r的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.11．已知集合{}2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==⎨⎩，则A B =I （） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】∵集合{}2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|B x y ⎧==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2A B ⋂= 故选A.12．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a bb ab a a b>⇔>，显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论13．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．14．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题因而()p q ∧⌝为真命题所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．15．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】当0a <时，方程210ax +=，即21x a=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a=-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选C.16．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．17．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.18．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，由“1a <-”，可得4πθ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π” 不能得到“1a <-”，即可得解. 【详解】解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则tan 1a θ=->，即4πθ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，若“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，不妨令34πθ=，则3tan 14a π=-=，则不能得到“1a <-”，即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞ 【答案】B【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07 数系的扩充与复数的引入)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1．(2013安徽文)设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（）（A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【答案】D 【解析】i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a =3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.2．(2013安徽理)设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z*i+2=2 z ，则z =（）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A3．(2013北京理)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．4．(2013北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 i(2－i)＝2i ＋1对应点(1,2)在第一象限．5．(2013福建文) 复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．6．(2013福建理) 已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．7．(2013广东文) 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .8．(2013广东理) 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．9、(2013湖北理) 在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。

2013年高考数学全国卷1(理科)

2013年高考数学全国卷1(理科)绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i+-=3455i +，故z 的虚部为45，故选D.∴b a=12±，∴C 的渐近线方程为12y x=±，故选C .5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t=-[3,4]∈，∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm3B 、866π3cm3C 、1372π3cm3D 、2048π3cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A. 7、设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，1m S -＝－2，mS ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知mS =1()2m m a a +=0，∴1a =－ma =－（mS -1m S -）=－2，1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C. 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A .9、设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a=2m mC ，b =121m m C ++，∴132m mC =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++，解得m =6，故选B.10、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

2013高考数学试题及答案

2013高考数学试题及答案2013年高考数学试题及答案【试题一】题目：已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 $，求$ f(x) $的导数$ f'(x) $。

解答：首先，我们需要对函数$ f(x) $求导。

根据导数的基本运算法则，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 1) \]分别对每一项求导，得到：\[ f'(x) = 6x^2 - 6x \]【试题二】题目：解方程$ 2x^2 - 5x + 3 = 0 $。

解答：这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式来解它：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中$ a = 2 $，$ b = -5 $，$ c = 3 $。

代入求根公式，得到：\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} \]\[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \]所以，方程的解为：\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]【试题三】题目：已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足$ a^2 + b^2 = c^2 $，求证三角形ABC是一个直角三角形。

解答：根据勾股定理，如果三角形的三边长满足$ a^2 + b^2 = c^2 $，则该三角形是一个直角三角形。

已知条件正是勾股定理的表达式，因此我们可以得出结论：三角形ABC是一个直角三角形。

【试题四】题目：已知$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} $，$ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} $，求$ \sin\alpha $和$ \cos\alpha $的值。

2013年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin CC.19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x yb(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k ＝－.∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则==22AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ²CH ＝OC ²CC 1，即222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k(+)，x 1x 2＝4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①② ∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)²(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D.解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ²sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3.令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =-时，函数值为9-；当3t =时，函数值为9.∴g (t )max ＝9，即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)． 15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R . ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sinC ＝1+22=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝EG ＝12PB ＝1，故AG ＝3.在△AFG 中，FG ＝12CD =AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝2222FG AF AG FG AF +-=⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB|＝2，则A(0,0)，D (0，0)，C(0)，P (0,0． PC ＝(，PD＝(0，． AP ＝，0，AD ＝，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1²PC＝(x ，y ，z)²(，＝0，n 1²PD＝(x ，y ，z)²(0，＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2²AP ＝(m ，p ，q，0＝0，n 2²AD＝(m ，p ，q0)＝0，可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故n 2＝(1,1，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||=·n n n n .由于〈n 1，n 2〉等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C的大小为πarccos 3-20．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1²A 2.P (A )＝P (A 1²A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P (X ＝0)＝P (B 1²B 2²A 3)＝P (B 1)P (B 2)²P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (1B ²B 3)＝P (1B )P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1151848--=，EX ＝0²P (X ＝0)＋1²P (X ＝1)＋2²P (X ＝2)＝98.21．(1)解：由题设知c a＝3，即222a b a +＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x =由题设知，=a 2＝1. 所以a ＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1²x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝－(3x 1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1²x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|²|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|²|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013 全国大纲卷理科数学第11页。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解8---函数的概念及其表示

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第8讲函数的概念及其表示考向预测核心素养以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．函数的有关概念2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．二、教材衍化1．(人A必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是( )A．y＝(x＋1)2 B.y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1 D.y＝x2＋1答案：B2．(人A必修第一册P73习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]3．(人A必修第一册P72习题3.1 T1(4))函数f(x)＝4－xx－1的定义域为________．答案：{}x|x≤4且x≠1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．( ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏1．(多选)(函数的概念理解易错)下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选BC.A 选项中的值域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项B ，C 正确．2．(易忽视两个函数相等的条件)在函数中，f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝3x 3，g (x )＝(x )2解析：选B.对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，即f (x )与g (x )是同一个函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数；对于D ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数．故选B.3．(忽略抽象函数定义域致误)已知函数f (x ＋1)的定义域为[1，3]，则f (2x )的定义域为( )A ．[1，2] B.[1，3] C.[2，4] D.[2，6]解析：选 A.因为函数f (x ＋1)的定义域为[1，3]，所以函数f (x )的定义域为[2，4]．要求f (2x )的定义域，只需2≤2x ≤4，解得1≤x ≤2.考点一函数的定义域(多维探究)复习指导：学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．角度1 求函数的定义域(1)(链接常用结论1)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] C ．[－1，3]D.[－1，0)∪(0，3](2)(2022·重庆市高三摸底)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为( )A ．(－2，3] B.[－2，3] C.(0，3]D.(0，3)【解析】(1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． (2)函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 需满足⎩⎨⎧x ＋2>0，3－x ≥0，解得－2<x ≤3.【答案】 (1)B (2)A求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体解析式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[提醒]定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度2 已知函数的定义域求参数(2022·广州白云中学高一期中)已知y ＝1ax 2＋（a －1）x ＋14的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，3＋52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞ 【解析】由题意可知，ax 2＋(a －1)x ＋14>0的解集为R ，①当a ＝0时，易知－x ＋14>0，即x <14，这与ax 2＋(a －1)x ＋14>0的解集为R 矛盾；②当a ≠0时，则由题意得⎩⎨⎧a >0，Δ＝（a －1）2－a <0，解得3－52<a <3＋52，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 【答案】 C已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．|跟踪训练|1．(2022·河北顺平月考)函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C ．(－∞，2]D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析：选D.由题意得⎩⎨⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0.解得x ≤1且x ≠－12，故所求定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B.－1 C ．1D.2解析：选D.因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2022·宁夏银川一中第一次月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是________．解析：由题意可得出－2≤2x －1≤3，解得－12≤x ≤2，因此，函数y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2考点二函数的解析式(自主练透)复习指导：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．1．已知函数f (x )满足f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________．解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.答案：12x 2－32x ＋23．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)4．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，则f (x )＝________．解析：已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，①以1x代替①中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x －1，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0)．答案：2x －1x －13(x ≠0)求函数解析式的四种方法考点三分段函数(多维探究)复习指导：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．角度1 求分段函数的函数值(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－6，则实数a ＝________，f (2)＝________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3，f （x ＋1），x <3，则f (2＋log 32)的值为________．【解析】 (1)由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23＋1＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6，所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.(2)因为2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，所以f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，所以f (3＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log312＝127×12＝154，所以f (2＋log 32)＝154.【答案】 (1)－5 －6 (2)154关于分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度2 分段函数与方程、不等式问题(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2 B.4 C.6D.8(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(0，＋∞) C ．(－1，0)D.(－∞，0)【解析】 (1)因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x 为增函数，当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6.(2)因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．【答案】 (1)C (2)D解有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．|跟踪训练|1．(2022·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥2，log 2x ，0<x <2，若f (m )＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝________．解析：当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍去)；当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍去)．所以m ＝2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.答案：－12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，a ≠0，当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点四函数的新定义问题(综合研析)复习指导：能从函数的新定义中得到函数的概念或性质，求解有关问题．(多选)(2022·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．下列函数是一阶整点函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x B.g (x )＝x 3 C ．h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xD.φ(x )＝ln x【解析】对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数．【答案】 AD(1)函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2)解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养．|跟踪训练|若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.以下三个函数中是“优美函数”的为________．(填序号) ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x .解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[A 基础达标]1．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析：选C.由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．2．(2022·安徽合肥模拟)若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3x B.g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D.g (x )＝－3x 2－2x解析：选B.设g (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.3．(2022·哈尔滨九中高一第一次验收)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2]，则函数y＝f(x)的定义域是( )A．[1，2] B.[1，4]C.[1，2]D.[2，4]解析：选B.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2]，则1≤x≤2，解得1≤x≤4，故函数y＝f(x)的定义域是[1，4]．4．(多选)(2022·山东济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是( ) A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln xB．f(x)＝x，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x，g(x)＝3x3D．f(x)＝x，g(x)＝log a a x(a>0且a≠1)解析：选CD.对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于C，g(x)＝3x3＝x(x∈R)，两函数的定义域和对应关系相同，是相等函数；对于D，g(x)＝log a a x＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是相等函数．5.(2022·日照高三第一次适应性联考)老舍在《济南的冬天》中写到“济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地．”济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，下列图象能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )解析：选D.由题意C (t )，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足．6．(2022·山西省高三八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，则不等式f (6－x 2)>f (5x )的解集是( )A ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(6，＋∞) C ．(－1，6)D.(－6，1)解析：选D.因为y ＝－x 2＋x ，在 (－∞，0]上单调递增，y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，又因为f (0)＝0 ，所以f (x )在R 上单调递增，又不等式f (6－x 2)>f (5x )，所以6－x 2>5x ，解得－6<x <1.7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，则f (x )＝________．解析：在f (x )＝3x ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)．答案：－38x －18(x >0)8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．解析：因为f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，所以f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－39．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________．解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得，f (1)＝2. 答案：210．(2022·海南调研改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤－1，x ＋1，x >－1.则f [f (－2)]的值为________；不等式f (x )≥2的解集为________．解析：由题意可得f (－2)＝22＝4，则f [f (－2)]＝f (4)＝4＋1＝5. 由不等式f (x )≥2，可得⎩⎨⎧x ≤－1，2－x ≥2①或⎩⎨⎧x >－1，x ＋1≥2，②解①得x ≤－1，解②得x ≥1，故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：5 (－∞，－1]∪[1，＋∞)[B 综合应用]11．(2022·浙江杭州学军中学期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝3，则f (－3)＝( )A ．3 B.8 C.9D.24解析：选A.由题意，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，所以f (0)＝0；令x ＝y ＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝8；令x ＝2，y ＝1，得f (3)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝15；令x ＝3，y ＝－3，得f (0)＝f (3)＋f (－3)＋2×3×(－3)，即0＝15＋f (－3)－18，所以f (－3)＝3.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C.由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，即⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.13．(2022·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥1，－1，x <1，若f (5a －2)>f (2a 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得当x <1时，f (x )＝－1；当x ≥1时，f (x )单调递增．所以f (x )≥－1.对于f (5a －2)>f (2a 2)，若5a －2≤1，即a ≤35时，2a 2<1，可得f (5a －2)＝f (2a 2)＝－1，不成立，则5a －2>1，即a >35，且由5a －2>2a 2，解得12<a <2，所以35<a <2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，214．设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1； ③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的为________．(填序号)解析：由题意，只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件． ①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意； ②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意； ③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。

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