平行线间的距离公式
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》261PPT课件
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d Ax0 By0 C
A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0
的距离是
d
C1 - C2 A2 B2ຫໍສະໝຸດ 两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
y
l1
l1 :Ax+By+C1=0
l2
l2 :Ax+By+C2= 0
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
l1 :2x+3y+6=0 l2 :4x+6y+18=0
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与
l2
Q
o
x
l2: Ax+By+C2=0的距离是
x y6 2 0
练习：两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是_2___.
题型一：公式应用
例1 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 和
与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0， 求直线l1 与l2 间的距离。
解析几何中的基本公式
高三数学解题公式、结论大全（解析几何）1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB 。
y //AB 轴，则=AB 。
2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++，则：2221BA C C d +-=注意：x ，y 对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ ，则P 到l 的距离为：22BA CBy Ax d +++=4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>∆若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x ， 则：2122))(1(x x k AB -+=5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。
P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--=λ2121或6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 21121tan k k k k +-=α若l 1与l 2的夹角为θ，则=θtan 21211k k k k +-，]2,0(π∈θ注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2π。
初中数学-新材料阅读题
新版材料阅读题一、填空题1．两条平行线间的距离公式一般地；两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0和l 2:Ax +By +C 2=0间的距离公式d =12√A 2+B 2如：求：两条平行线x +3y −4=0和2x +6y −9=0的距离．解：将两方程中x,y 的系数化成对应相等的形式，得2x +6y −8=0和2x +6y −9=0 因此，d =√22+62=√1020两条平行线l 1:3x +4y =10和l 2:6x +8y −10=0的距离是____________．二、解答题2．已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”．（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （﹣12，√32），M （0，-1）中，⊙O 的“关联点”为______；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为√5，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线y ＝﹣43x+4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围．3．阅读下列材料，并完成填空．你能比较20132014和20142013的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化，比较n n+1和(n+1)n（n≥1，且n为整数）的大小．然后从分析n=1，n=2，n=3⋯的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论．（1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上" > "" =“或”<"）（1）1221；（2）2332；（3）3443；（4）4554；（5）5665；（6）6776；（7）7887；（2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出n n+1和(n+1)n的大小关系；（3）根据以上结论，可以得出20132014和20142013的大小关系．4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）5．阅读理解题在平面直角坐标系xOy 中，点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0（A 2+B 2≠0）的距离公式为：d=00√A 2+B 2，例如，求点P （1，3）到直线4x+3y ﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y ﹣3=0知：A=4，B=3，C=﹣3 所以P （1，3）到直线4x+3y ﹣3=0的距离为：d=√42+32=2根据以上材料，解决下列问题：（1）求点P 1（0，0）到直线3x ﹣4y ﹣5=0的距离． （2）若点P 2（1，0）到直线x+y+C=0的距离为，求实数C 的值．6．若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根，则有x 1+x 2=−ba ，x 1⋅x 2=ca ，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x 2−x −1=0的两根，记S 1=α+β，S 2=α2+β2，…，S n =αn +βn ，(1)S 1=________；S 2=________；S 3=________；S 4=________；（直接写出结果） (2)当n 为不小于3的整数时，由(1)猜想S n ，S n−1，S n−2有何关系？ (3)利用(2)中猜想求(1+√52)7+(1−√52)7的值．。
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
两条平行线间的距离公式
l2 o Qx
d
|
A
0
B
(
C1 B
)
C2
|
| C2
C1 |
A2 B2
A2 B2
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应用新知
y
l1:Ax+By+C1=0
d
l2:Ax+By+C2=0
o
x
注意：
两条直
两条平行直线间的距离： 线中的
d | C2 C1 | A2 B2
A、B要 统一。
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归结公式
求下列两条平行直线间的距离：
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知识复习
两条平行直线间的距离：
提问：l1与l2平行吗？ 为什么？
l1的斜率为k1
2 7
l2的斜率为k2
2 7
yl1:2x-7y+8=0
P M
Q
N
o
x
l2: 2x-7y-4=0
两平行线间的
距离处处相等
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探究新知
两条平行直线间的距离：
1、在l2上任取一 点，例如M(2,0)
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
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作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
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yl1:2x-7y+8=0
2、M到l1的距离 等于l1与l2的距离
M
o
x
l2: 2x-7y-4=0
平行直线间的距离转化为点到直线的距离
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平行线的距离公式
平行线的距离公式
平面上平行线间的距离公式为：d=|C1-C2|/√（A²+B²）。
设两条直线方程为Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0则其距离公式
d=|C1-C2|/√（A²+B²）。
几何中，在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫做平行线。
平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。
基本定义：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如若a∥b，b∥c，则a∥c。
平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。
高一数学必修二两条平行线间的距离公式
择恰当的点，最好选 择坐标为整数的点。
l1: 2x-7y-8=0
3、利用点到直线的距离公式求解。
应用新知
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
点到直线的距离
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习
d |12 (5) 5 7 3 | 22
12、. 求求点点BA((-d-52，，d73|))3到到|2直直(线2线2121322(2)x2x1+1+)24554y21y+0+|333==7005的3的51|3距距离离9..
22 (7)2
53
所以平行线l1与l2的距离为
12 53 53
应用新知
例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试
判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距
离。
y
分析：
l2:6x-21y-1=0
Байду номын сангаас
1、判断两线平行应 分别求出它们的斜率。 2、在一条直线上选 o
d
x
A
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
直角坐标系的8大公式
直角坐标系的8大公式直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
在直角坐标系中，我们通过坐标对点进行唯一标识和定位。
本文将介绍直角坐标系中的8大公式，这些公式在解决几何和代数问题时非常有用。
一、坐标距离公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的距离。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么点A和点B之间的距离可以由以下公式求得：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这个公式被称为坐标距离公式，可以通过计算两点之间的直线距离来确定它们之间的距离。
二、中点公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们的中点坐标。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点的中点坐标可以由以下公式求得：M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)这个公式被称为中点公式，可以通过计算两点坐标的平均值来确定它们的中点坐标。
三、斜率公式在直角坐标系中，我们可以通过两点的坐标计算它们之间的斜率。
假设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，那么这两点之间的斜率可以由以下公式求得：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)这个公式被称为斜率公式，可以用于计算两点之间直线的斜率。
斜率表示直线的倾斜程度。
四、线性方程公式在直角坐标系中，我们可以通过直线的斜率和一点的坐标来确定直线的方程。
假设直线的斜率为m，一点的坐标为(x₁, y₁)，那么直线的方程可以由以下公式给出：y - y₁ = m(x - x₁)这个公式被称为线性方程公式，可以用于描述直线在直角坐标系中的方程。
五、平行线公式在直角坐标系中，我们可以通过两条平行线的斜率来确定它们之间的关系。
假设平行线L₁的斜率为m₁，平行线L₂的斜率为m₂，那么这两条平行线之间的关系可以由以下公式给出：m₁ = m₂这个公式表示两条平行线的斜率相等。
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的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
设P ′(a，b)
b 0 ( 5) 1
则 a4 4
5a 4b 21 5 4 21
解之
a b
6 8
52 42
52 42
所有对称点为P ′(–6，–8）．
还其他 思路吗？
求点A(1，1)关于直线l：x＋y–3＝0的对称点A ′的坐 标．
由| 20 m | 3 解得 m 5或m 35.
32 42
故直线方程为3x–4y–5＝0或3x–4y–35=0.
求与平行线2x＋3y–3＝0和2x＋3y–9＝0平行且等距离 的直线方程．
求点P(4，0)关于直线l：5x＋4y＋21＝0的对称点P ′的
坐标．
解：因为点P和P ′关于直线l 对称，
O
x 任意两条平行直线可写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q.
则点P到直线l2的距离为:
PQ
Ax0 By0 C2 A2 B2
点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
点到直线距离公式：
d Ax0 By0 C A2 B2
用该公式时应先将直线方程化为一般式.
两平行直线间的距离公式：
d C2 C1 A2 B2
用该公式时应先将两平行线的x，y的系数整理 为对应相等的形式。
今天你学了哪些知识？ 哪些你认为值得注意？