2018-2019学年高一数学必修一课件 第一章 第9课时 分段函数与映射第1层级 知识记忆与理解
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高中数学必修一全册PPT课件
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
思考：1、比较这三个集合：
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
6 、A 设 { | x x 2 集 4 x 0B 合 } { | , x x 2 2 ( 1 a ) a 2 - x 1 0 a , R} 若 B A ，a 的 求 . 值 实数
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2021
8
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
33函数零点的判定零点存在性定理函数零点的判定零点存在性定理如果函数如果函数yfx在区间在区间ab上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线并且有断的一条曲线并且有那么函那么函数数yfx在区间在区间内有零点内有零点即存在即存在cab使得使得这个这个也就是也就是f
高中数学课件
人教版必修一精品ppt
2021
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
思考：1、比较这三个集合：
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
6 、A 设 { | x x 2 集 4 x 0B 合 } { | , x x 2 2 ( 1 a ) a 2 - x 1 0 a , R} 若 B A ，a 的 求 . 值 实数
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2021
8
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
33函数零点的判定零点存在性定理函数零点的判定零点存在性定理如果函数如果函数yfx在区间在区间ab上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线并且有断的一条曲线并且有那么函那么函数数yfx在区间在区间内有零点内有零点即存在即存在cab使得使得这个这个也就是也就是f
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(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
高一数学(人教A版)必修1课件：1-2-2-2分段函数与映射
次数 1 2 3 4 5 分数 85 88 93 86 95
新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让 6 位观众每人从 他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌 号数是这样规定的，A 为 1，J 为 11，Q 为 12，K 为 13，其余 的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进 行计算，将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5，再减去 25，把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
[分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映 射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的 对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映 射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中 无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射； 对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
思路方法技巧
1 分段函数及其应用
学法指导：分段函数的应用 设分段函数f(x)＝ff12xx， ，xx∈ ∈II12， . (1)已知x0，求f(x0)； ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让 6 位观众每人从 他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌 号数是这样规定的，A 为 1，J 为 11，Q 为 12，K 为 13，其余 的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进 行计算，将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5，再减去 25，把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
[分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映 射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的 对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映 射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中 无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射； 对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
思路方法技巧
1 分段函数及其应用
学法指导：分段函数的应用 设分段函数f(x)＝ff12xx， ，xx∈ ∈II12， . (1)已知x0，求f(x0)； ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
高一必修一映射的概念课件(ppt)
f:M→N.是一一映射,是函数
(3)X=R,Y={非负实数},f:y=x4.
f:X→Y.非一一映射,是函数
例3. 点(x，y)在映射f下的象是(x－2y，3x＋2y)， (1) 、求点(5,3)在映射f下的像； (2)、求点(6,2)在映射f下的原象.
解 1、 ： 5231,35232,1
点 (2,3)在映 f下射 的像 1,2.1是
不是 (6)
复习 映射的概念
一般地，设A、B是两个非空集合，如果按
某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合
B的一个映射（mapping）
我们把A中的元素x称为原像，B中的对应 元素y称为x的像
以下两个映射有什么共同的特点?
B的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． （2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． （3）映射与函数都是特殊的对应
这种“特殊对应”有何特点：
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
下面对应是否为函数？
Ａ={高一（1）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
A
张三 李四
每位同学与学 B 号数对应
１
２
…… ……
王五
30
Ａ＝｛中国，日本，韩国 ｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔 ｝， f:相应国家的首都．
(3)X=R,Y={非负实数},f:y=x4.
f:X→Y.非一一映射,是函数
例3. 点(x，y)在映射f下的象是(x－2y，3x＋2y)， (1) 、求点(5,3)在映射f下的像； (2)、求点(6,2)在映射f下的原象.
解 1、 ： 5231,35232,1
点 (2,3)在映 f下射 的像 1,2.1是
不是 (6)
复习 映射的概念
一般地，设A、B是两个非空集合，如果按
某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之 对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合
B的一个映射（mapping）
我们把A中的元素x称为原像，B中的对应 元素y称为x的像
以下两个映射有什么共同的特点?
B的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． （2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． （3）映射与函数都是特殊的对应
这种“特殊对应”有何特点：
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
下面对应是否为函数？
Ａ={高一（1）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
A
张三 李四
每位同学与学 B 号数对应
１
２
…… ……
王五
30
Ａ＝｛中国，日本，韩国 ｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔 ｝， f:相应国家的首都．
2018-2019学年高一数学人教A版必修1课件：第1章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合,叫作A与B的并集. 或 (2)符号表示:A与B的并集记作 ,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. (3)图示,用Venn图表示A∪B,如图所示.
A∪B
探究1:A∪B就是由集合A和集合B的所有元素组成吗? 答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共元素只能出现一次.
)
解析:(1)因为M={x|-3<x<2}且N={x|1≤x≤3}.
所以M∩N={x|1≤x<2}.故选A.
(2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B等于( (A){1} (C){0,1,2,3} (B){1,2} (D){-1,0,1,2,3}
)
解析:(2)B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},
B
D
C
5.(集合间的关系及运算)若A⊆B则A∩B=
,A∪B=
.
答案:A B
课堂探究·素养提升
题型一
集合的并集、交集的简单运算
)
【例1】 (1)(2016· 全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( (A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}
1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、交集
目标导航
课标要求
1.理解两个集合的并集和交集的定义,明确数学中的“或”“且 ”的含义. 2.能借助于“Venn”图或数轴求两个集合的交集和并集. 3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题. 通过本节内容的学习,使学生体会直观图对理解抽象概念的作用, 提高学生的数学抽象和运算能力.
A∪B
探究1:A∪B就是由集合A和集合B的所有元素组成吗? 答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共元素只能出现一次.
)
解析:(1)因为M={x|-3<x<2}且N={x|1≤x≤3}.
所以M∩N={x|1≤x<2}.故选A.
(2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B等于( (A){1} (C){0,1,2,3} (B){1,2} (D){-1,0,1,2,3}
)
解析:(2)B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},
B
D
C
5.(集合间的关系及运算)若A⊆B则A∩B=
,A∪B=
.
答案:A B
课堂探究·素养提升
题型一
集合的并集、交集的简单运算
)
【例1】 (1)(2016· 全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( (A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}
1.1.3 集合的基本运算 第一课时 并集、交集
目标导航
课标要求
1.理解两个集合的并集和交集的定义,明确数学中的“或”“且 ”的含义. 2.能借助于“Venn”图或数轴求两个集合的交集和并集. 3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题. 通过本节内容的学习,使学生体会直观图对理解抽象概念的作用, 提高学生的数学抽象和运算能力.
人教A版数学必修一1.2.2.2分段函数及映射
思考
你能说出函数与映射之间的异同吗?
(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数 的推广；
(2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射， A和B不一定是数集。
回顾本节课你有什么收获 解析式
图像
分段函数的概念
映射的 概念
核心概念
分段函数 的函数值
昨天是已经走过的，明天是即将走过的， 惟有今天正在走过……
1.已知
f
(x)
x
f
3 [ f (x
4)]
(x 9) (x 9)
求的f 值15.,f 7
解： f 15 12,f 7 6
v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30
是时间t的函数,它的图象如右图，
用解析式表示出这个函数. 10
t+10,(0≤t<5)
例2画出函数图像y.
x 1, 2
x 2
y
y x2 4x 4
x
O
2
y x 1
2
3.求分段函数的解析式 例3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
x+2,(x≤－1)；
例1已知函数f(x)=
x2,(－1＜x＜2)；
2x,(x≥2).
((f21))3若求 f的6f,(f值x3)12;=,3f,14求12,fx,的f5值5.3
解：（1）
高一必修一数学课件PPT
03
角度与弧度的互化
掌握角度与弧度之间的转换方法，进行实例计算。
三角函数定义及性质
三角函数定义
学习正弦、余弦、正切等三角函数的 定义，掌握各象限内三角函数的取值 。
单位圆与三角函数线
三角函数的性质
探讨三角函数的奇偶性、周期性等基 本性质，进行应用分析。
利用单位圆理解三角函数的几何意义 ，绘制三角函数线。
高一必修一数学课件
目录
• 函数与导数 • 三角函数与解三角形 • 数列与数学归纳法 • 平面向量与空间向量初步认识 • 立体几何初步认识 • 不等式与线性规划问题求解策略
01 函数与导数
函数概念及性质
函数定义
明确函数的概念，理解函数的三 要素，掌握函数的表示方法。
函数的性质
理解函数的单调性、奇偶性、周 期性等基本性质，并能进行简单 应用。
展示线性规划问题的求解过程和应用价值。
1.谢谢聆 听
两角和与差公式
01
02
03
两角和公式
学习正弦、余弦、正切的 两角和公式，理解公式的 推导过程。
两角差公式
掌握正弦、余弦、正切的 两角差公式，进行实例计 算。
二倍角公式
推导正弦、余弦、正切的 二倍角公式，解决相关问 题。
解直角三角形和应用举例
解直角三角形
运用三角函数知识解决直角三角形中的边长和角度问题。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列前n项和公式
Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列及其前n项和公式推导
等比数列定义
01
从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种
人教版高中数学必修1《分段函数》PPT课件
()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(02]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．
高一数学 人教A版必修1 1-2 函数的表示法、分段函数与映射 课件
随堂达标自测
1．y 与 x 成反比，且当 x＝2 时，y＝1，则 y 关于 x 的
函数关系式为( )
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
解析 设 y＝kx(k≠0)，则 1＝2k，∴k＝2，∴y＝2x.
2．已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋11，，xx∈∈[－0，1，1]0，]， 则函数 f(x) 的图象是( )
c＝1，
意得a＋b＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1，
Байду номын сангаас
解得b＝0， c＝1，
故 f(x)＝x2＋1.
探究3 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 例 3 (1)已知函数 f(x＋1)＝x2－2x，求 f(x)的解析式； (2)已知函数 y＝f(x)满足 f(x)＋2f1x＝x，求函数 y＝f(x) 的解析式．
解析 当 x＝－1 时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D 错； 当 x＝0 时，y＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当 x＝1 时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选 A.
3．某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数 y(元)表示 为茶杯个数 x(个)的函数，则 y 与 x 的函数关系式为 ____y_＝__2_._5_x_，__x_∈__N_*_____．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程 或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
【跟踪训练 2】 (1)已知函数 f(x)＝x2，g(x)为一次函数， 且一次项系数大于零，若 f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求 g(x)的 表达式；
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × ) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × ) (3) 函 数 的 图 象 一 定 是 定 义 区 间 上 一 条 连 续 不 断 的 曲 线．( × )
2018-2019学年高一数学人教A版必修一教学课件：1.2.2 第2课时 分段函数、映射
• 1．求分Leabharlann 函数函数值的方法 • (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． • (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值 为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外 依次求值．
• • • • •
2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
映射的判断
判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射： (1)A＝N*，B＝N*，对应关系 f：x→|x－3|； (2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系 f： 作圆的内接矩形； (3)A＝{高一(1)班的男生}， B＝{男生的身高}， 对应关系 f： 每个男生对应自己的身高； 1 (4)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，对应关系 f：x→y＝ 2 x.
• 设M＝{1,2,3}，N＝{e，g，h}，从M到N的四 种对应方式如图，其中是从M到N的映射的是 ( )
• 解析：选项A中，集合M有剩余元素2，不具 备任意性；选项B中，集合M的元素2在集合 N中有两个元素e，h与之对应，不具备唯一 性；选项D中，集合M的元素3在集合N中有 两个元素g，h与之对应，不具备唯一性． • 答案：C
(2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2. 1 当 f(x)＝ x＝2 时，x＝4，符合 x≥2. 2 综上，x 的值是 2或 4.
• 【互动探究】 本例已知条件不变，若f(x)＝ －2，求x的值．
解：当 x＋2＝－2 时，x＝－4，符合 x＜0.当 x2＝－2 时， 1 无解．当 x＝－2 时，x＝－4，不符合 x≥2. 2 综上，x 的值是－4.
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数及映射
5．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，＞02≤. x≤2， (1)求 f(2)，f[f(2)]的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
解 (1)∵0≤x≤2 时，f(x)＝x2－4， ∴f(2)＝22－4＝0， f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当 0≤x0≤2 时， 由 x02－4＝8， 得 x0＝±2 3(舍去)； 当 x0＞2 时，由 2x0＝8，得 x0＝4. ∴x0＝4.
课堂小结 1．对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集， 也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字 描述的方法来表达．
2．理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的 并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区 间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段， 就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其 是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来， 从而得到整个函数的图象．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当 x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2. [防范措施] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处 理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解 决分段函数问题的基本原则． (2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的 对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．不能准确 理解分段函数的概念是导致出错的主要原因．
________；
x＋1，x≥0，
(2)已知函数 f(x)＝|x1|，x＜0，
若 f(x)＝2，则 x＝________.
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《分段函数及映射》教学PPT课件
变式训练1 已知映射f：A→B，其中A＝{－3，－2，－
1，1,2,3,4}，对应关系f：x→y＝|x|，(x∈A)，则B中元素的个数
为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析 B＝{1,2,3,4}．
答案 A
二 分段函数求值
【例2】
已知函数f(x)＝xx2＋＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
第一章 集合与函数概念
1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.通过具体实例，了解分段函数的意义，并会简单应用． 2．了解映射的概念及表示方法，并知道映射与函数的区 别和联系.
课前热身 1.设A，B是________集合，如果按照某一确定的对应关系 f，使集合A的每一个元素在集合B中都有________与之对应， 那么就说对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 2．在定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同 的对应法则，这样的函数称为________． 3．分段函数的定义域是各段定义域的________，其值域 是各段值域的________.
规律技巧 (1)求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入 该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次 求值，直到求出值为止． (2)求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应 求出自变量的值，切记代入检验．
(4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有元素与之 对应．
(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的元素 与之对应，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是 “一对多”．
第9课时：分段函数与映射【课件】(1)(1)(1)
重难点
重点：分段函数的概念及解析式、映射的概念. 难点：分段函数的图象性质及其应用.
创设情境
已知某地出租车收费方法如下:起步价6元,可行3 km(含 3 km),3 km后到10 km(含10km)每走1 km加价0.5元,10 km 后每走1 km加价0.8元.若某人坐出租车走了12 km,则他应付 费多少？
x 0.
0
B.0
x为有理数; x为无理数.
则f
(
g
(π))
______
C. 1
Dπ.
(2)
设函数f
(
x)
x2
2
2x
x 2;若f x 2.
(x0 )
8, 则x0
______
练习1、若f
(x)
x
x
2
x 0;若f (a) 4,则实数a _______ x 0.
A.3
B.6
C.8
D.9
(3) 若A {a1, a2 , a3}, B {b1, b2}, 则从A到B可以建立多少个映射
小结
1.分段函数求值,一定要先找所给值的范围,再代 入相应的解析式求值.
2.对含绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝 对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段 函数再求解.
3.映射是一种特殊的对应,它具有： (1)方向性(2)唯一性
分段函数
一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的 解析式不同,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,其 定义域是各段自变量取值集合的并集,其值域是各段函数值集 合的并集.
探究一、分段函数的求值问题
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第 9 课时 分段函数与映射
序 号
知识目标
学法建议
能力素养
1
通过具体实例了解分段函 数的概念和意义,会求分段 函数的值,绘制分段函数的 图象和求分段函数的值域
结合实例了解分 段函数的概念,合 作探究分段函数 的解析式和图象
结合实例体会分段 函数的概念,注意 分段函数的写法
了解映射的概念及表示方 小组探究映射与 了解映射的概念,
6
3
h,平路的行驶时间为1 h,从 A 地到 B 地总共所用的时间为 1 h.
2
当 0≤t≤1时,S(t)=30t;当1<t≤1时,S(t)=12t+3;当1<t≤1 时,
6
6
2
2
30������(0 ≤ ������ ≤ 1 ),
6
S(t)=20t-1.所以 S(t)=
12������
+
3(
1 6
说明:①函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的
条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以 建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射;
②这两个集合有先后顺序,即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截 然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.
议一议:映射的定义中“都有唯一”是什么意思?(抢答)
【解析】“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个,二是只有一
个,也就是说有且只有一个的意思.
预学 4:映射与函数的关系 (1)联系:映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基
础上引申、拓展而来的,函数是一种特殊的映射. (2)区别:函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射;对于映射而
<
t
≤
1 2
),图象如图.
20������-1(
1 2
<
t
≤
1),
预学 2:什么是分段函数 分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区
间的解析式不同,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,其定
义域是各段自变量取值集合的并集,其值域是各段函数值集合的并
集.
预学 3:映射
设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与 之对应,那么就称对应关系 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“f:A→B”.
【答案】D
2.下表表示函数 y=f(x),则 f(11)=( ).
x
0<x<5
5≤
x<10
10≤ 15≤x x<15 ≤20
y2 3 4 5
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】∵10≤x<15 时,y=4,∴y=f(11)=4.
【答案】C
3.设函数
f(x)=
������2 + 2,x ≤ 2������,������ > 2,
������
(2)y=������ 3 +x;
|������|
(3)y=2x2-4x-3(0≤x≤3).
【解析】(1)y=|������|=
������
1-1(���(���������><00),).图象如图①所示.
(2)y=������ 3 +x=
|������|
������2 -������
+ 1(x 2-1(x
> <
00)).,图象如图②所示.
(3)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x≤3),图象如图③所示.
2 法,并知道映射与函数的区 函数的关系并进 知道映射与函数概
别和联系
行交流
念的区别与联系
重点:分段函数的图象性质及其应用和映射的概念. 难点:分段函数的图象性质及其应用.
预学 1:分问题情境
写出 S=S(t)的函数关系式,并画出图象.
【解析】该同学下坡路的行驶时间为1 h,上坡路的行驶时间为1
言,A 和 B 不一定是数集.
议一议:映射是函数吗?函数是映射吗?(抢答)
【解析】映射不一定是函数,函数一定是映射.
1.下列对应不是映射的是( ).
【解析】结合映射的定义可知 A、B、C 均满足 M 中任意一个数 x,在 N 中有唯一确定的 y 与之对应,而 D 中元素 1 在 N 中有 a,b 两个 元素与之对应,故不是映射.
2,则
f(-4)=
x0=
.
,又知 f(x0)=8,则
【解析】由于-4<2,所以 f(-4)=(-4)2+2=18. 若 f(x0)=8,则������02+2=8(x0≤2)或 2x0=8(x0>2), 分别解得 x0=- 6或 x0=4.
【答案】18 - 6或 4
4.画出下列函数的图象.
(1)y=|������|;
序 号
知识目标
学法建议
能力素养
1
通过具体实例了解分段函 数的概念和意义,会求分段 函数的值,绘制分段函数的 图象和求分段函数的值域
结合实例了解分 段函数的概念,合 作探究分段函数 的解析式和图象
结合实例体会分段 函数的概念,注意 分段函数的写法
了解映射的概念及表示方 小组探究映射与 了解映射的概念,
6
3
h,平路的行驶时间为1 h,从 A 地到 B 地总共所用的时间为 1 h.
2
当 0≤t≤1时,S(t)=30t;当1<t≤1时,S(t)=12t+3;当1<t≤1 时,
6
6
2
2
30������(0 ≤ ������ ≤ 1 ),
6
S(t)=20t-1.所以 S(t)=
12������
+
3(
1 6
说明:①函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的
条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以 建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射;
②这两个集合有先后顺序,即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截 然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.
议一议:映射的定义中“都有唯一”是什么意思?(抢答)
【解析】“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个,二是只有一
个,也就是说有且只有一个的意思.
预学 4:映射与函数的关系 (1)联系:映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基
础上引申、拓展而来的,函数是一种特殊的映射. (2)区别:函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射;对于映射而
<
t
≤
1 2
),图象如图.
20������-1(
1 2
<
t
≤
1),
预学 2:什么是分段函数 分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区
间的解析式不同,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,其定
义域是各段自变量取值集合的并集,其值域是各段函数值集合的并
集.
预学 3:映射
设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与 之对应,那么就称对应关系 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“f:A→B”.
【答案】D
2.下表表示函数 y=f(x),则 f(11)=( ).
x
0<x<5
5≤
x<10
10≤ 15≤x x<15 ≤20
y2 3 4 5
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】∵10≤x<15 时,y=4,∴y=f(11)=4.
【答案】C
3.设函数
f(x)=
������2 + 2,x ≤ 2������,������ > 2,
������
(2)y=������ 3 +x;
|������|
(3)y=2x2-4x-3(0≤x≤3).
【解析】(1)y=|������|=
������
1-1(���(���������><00),).图象如图①所示.
(2)y=������ 3 +x=
|������|
������2 -������
+ 1(x 2-1(x
> <
00)).,图象如图②所示.
(3)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x≤3),图象如图③所示.
2 法,并知道映射与函数的区 函数的关系并进 知道映射与函数概
别和联系
行交流
念的区别与联系
重点:分段函数的图象性质及其应用和映射的概念. 难点:分段函数的图象性质及其应用.
预学 1:分问题情境
写出 S=S(t)的函数关系式,并画出图象.
【解析】该同学下坡路的行驶时间为1 h,上坡路的行驶时间为1
言,A 和 B 不一定是数集.
议一议:映射是函数吗?函数是映射吗?(抢答)
【解析】映射不一定是函数,函数一定是映射.
1.下列对应不是映射的是( ).
【解析】结合映射的定义可知 A、B、C 均满足 M 中任意一个数 x,在 N 中有唯一确定的 y 与之对应,而 D 中元素 1 在 N 中有 a,b 两个 元素与之对应,故不是映射.
2,则
f(-4)=
x0=
.
,又知 f(x0)=8,则
【解析】由于-4<2,所以 f(-4)=(-4)2+2=18. 若 f(x0)=8,则������02+2=8(x0≤2)或 2x0=8(x0>2), 分别解得 x0=- 6或 x0=4.
【答案】18 - 6或 4
4.画出下列函数的图象.
(1)y=|������|;