走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题十二

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·海南省文昌市检测)设函数y ＝x －2的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．NC ．[1，＋∞)D ．M[答案] D[解析] 由题意知，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝M ，故选D.(理)(2014·泉州实验中学期中)设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0}，N ＝{x |log 12x <0}，则M ∩N 等于( )A ．(－1,1)B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(－1,0) [答案] B[解析] 由题意知M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{x |1<x <3}．2．(2014·泸州市一诊)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x >1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 [答案] B[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，∴B 为假命题．3．(文)(2014·哈六中期中)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a5＋a11＝12，则S11的值为()A．66 B．44C．36 D．33[答案] B[解析]∵a2＋a5＋a11＝3a1＋15d＝12，∴a6＝a1＋5d＝4，∴S11＝11a6＝44.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋2n(n≥2)，则a7＝() A．53 B．54C．55 D．109[答案] C[解析]∵a1＝1，a n＝a n－1＋2n，∴a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×2＋1＝55.4．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)如图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是()A．4＋4 3 B．12C．4 3 D．8[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为3，∴表面积S ＝22＋4×(12×2×2)＝12，故选B.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．4 D ．2[答案] A[解析] 由正视图和俯视图可知，其侧视图矩形的长和宽分别为3和2，∴其面积为S ＝2 3.5．(文)(2014·绵阳市南山中学检测)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于1的概率为( )A.49B.13C.12D.25 [答案] A[解析] 在矩形内取一点Q ，由点Q 分别向AD 、AB 作垂线，垂足依次为E 、F ，由S △ABQ ＝S △ADQ ＝1知，QF ＝1，QE ＝23，设直线EQ 、FQ 分别交BC 、CD 于M 、N ，则当点P 落在矩形QMCN 内时，满足要求，∴所求概率P ＝S 矩形QMCN S 矩形ABCD ＝(3－1)×(2－23)3×2＝49.(理)(2014·山西省太原五中月考)若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45[答案] A[解析] ∵只有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(x )10－r ·(2x 2)r ＝2r ·C r 10·x 10－5r2，令10－5r 2＝0得，r ＝2，∴常数项为T 3＝22·C 210＝180.6．(2014·河南淇县一中模拟)下图是一个算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法1：k ＝1时，k 2－5k ＋4＝0，不满足条件；k ＝2时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝3时，k 2－5k ＋4＝－2不满足条件；k ＝4时，k 2－5k ＋4＝0不满足条件；k ＝5时，k 2－5k ＋4＝0>0满足条件，此时输出k 的值为5.解法2：由k 2－5k ＋4>0得k <1或k >4，∵初值k ＝1，由“k ＝k ＋1”知步长为1，∴k ∈N ，∴满足k 2－5k ＋4>0的最小k 值为5，故当k ＝5时，满足程序条件，输出k 的值．7．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①f (x ＋1)是偶函数；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1≤x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，则f (2011)，f (2012)，f (2013)的大小关系为( )A ．f (2011)>f (2012)>f (2013)B ．f (2012)>f (2011)>f (2013)C ．f (2013)>f (2011)>f (2012)D ．f (2013)>f (2012)>f (2011) [答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2011)＝f (3)，f (2013)＝f (1)，∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2012)＝f (0)＝f (2)，∵1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1,3]上单调递减，∴f (1)>f (2)>f (3)，∴f (2013)>f (2012)>f (2011)，故选D.8．(2014·海南省文昌市检测)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为( )A ．a <－3或1<a <32B ．1<a <32C ．a >1或a <－3D ．－3<a <1或a >32[答案] A[解析] 由条件知点A 在圆外，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 2－2a 2＋a 2＋2a －3>0，4a 2－4(a 2＋2a －3)>0， ∴⎩⎨⎧a <－3或a >1，a <32，∴a <－3或1<a <32，故选A.9．(文)(2014·北京东城区联考)要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π4单位B ．向右平移π4单位 C ．向右平移π8单位 D ．向左平移π8单位 [答案] C[解析] ∵y ＝sin(2x －π4)＝sin[2(x －π8)]，∴将y ＝sin2x 的图象右移π8个单位即可得到y ＝sin(2x －π4)的图象．(理)(2014·开滦二中期中)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 [答案] C[解析] ∵f (x )＝a ·b ＝cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin2x ，y ＝cos 2x －sin 2x＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin2(x ＋π4)，∴要得到函数y ＝cos 2x －sin 2x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度．10．(文)(2014·河北冀州中学期中)在平面直角坐标系中，A (3，1)，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则|OA →＋OB →|的最大值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由条件知|OA→|＝2，|OB →|＝1， ∵|OA →＋OB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝5＋2OA →·OB →，∴要使|OA →＋OB →|最大，应使OA →·OB→取最大值， 又|OA →|，|OB →|为定值，∴当OA →与OB →同向时，|OA →＋OB →|取到最大值，此时OA →·OB →＝2，∴|OA →＋OB →|max＝3，故选B. (理)(2014·华师一附中月考)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝sin x (0<x <π)，h (x )＝ln x (x >0)，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] B[解析] g ′(x )＝cos x ，h ′(x )＝1x ，φ′(x )＝3x 2， 由sin x ＝cos x,0<x <π得x ＝π4，∴a ＝π4； 由x 3＝3x 2，x ≠0得x ＝3，∴c ＝3.由ln x＝1x及x>0得x>1,0<1x<1，∴1<x<e，即1<b<e，∵π4<1<b<e<3，∴a<b<c.11．(2014·山西曲沃中学期中)双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为()A. 2 B．1＋ 2C．1＋ 3 D．2＋ 3[答案] B[解析]y2＝4x的焦点F2(1,0)，∵|AF2|＝|F1F2|＝2，∴由抛物线的定义知A点的横坐标为1，即AF2⊥x轴，从而|AF1|＝22，∴2a＝|AF1|－|AF2|＝22－2，∴a＝2－1，∴e＝ca＝12－1＝2＋1，故选B.12．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数f(x)＝x－sin x(x∈R)的部分图象可能是()[答案] A[解析] 首先f (x )为奇函数，排除D ；其次由f ′(x )＝1－cos x ≥0知f (x )为增函数，排除C ；又在(0，π)上y ＝cos x 单调递减，从而f ′(x )＝1－cos x 单调递增，即在(0，π)上f (x )的切线斜率逐渐增大，曲线向下凸，排除B ，选A. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)函数y ＝3x cos3x 9x －1的图象大致为( )[答案] D[解析] 对于f (x )＝3x cos3x9x －1，有f (－x )＝3－x cos (－3x )9－x －1＝3x cos3x 1－9x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ；当x 略大于0时，y >0，排除B ；由3x cos3x9x－1＝0得3x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝π6＋k π3，∴f (x )的零点等间隔出现，排除C ，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·抚顺二中期中)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α－π4)＝________.[答案] －7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan α·tan π4＝－34－11＋(－34)×1＝－7. (理)(2014·黄冈中学、荆州中学联考)在△ABC 中，b cos C ＋c cos Ba ＝________.[答案] 1[解析] 由正弦定理知，b cos C ＋c cos B a ＝sin B cos C ＋sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )sin A ＝sin (π－A )sin A ＝1.14．(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y 2x －y ≤1，则3x ＋2y 的最大值是________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移l 0得直线l ：3x ＋2y ＝u ，当l 经过点A (1,1)时，u 取最大值，u max ＝3×1＋2×1＝5.(理)(2014·山东省博兴二中质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －1≥03x －y －3≤0，则2x －y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x －y ＝0，平移l 0得直线l ：2x －y ＝t ，当平移到l 经过点A (1,0)时，t 取最大值，t max ＝2.[点评] 当直线l ：2x －y ＝t 的纵截距最小时，t 取最大值，故t 最大时，直线l 应过A (1,0)点，而不是B (0,1)点．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，且满足f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，则x 2014＝________.[答案] 4009[解析] ∵{x n }是公差为2的等差数列，∴x 8<x 9<x 10<x 11，∵奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，∴f (x 8)<f (x 9)<f (x 10)<f (x 11)，又∵x 8＋x 11＝x 9＋x 10，f (x 8)＋f (x 9)＋f (x 10)＋f (x 11)＝0，∴x 8<x 9<0且x 11>x 10>0，∴x 10＝－x 9，x 11＝－x 8，∴x 9＝－1，x 2014＝x 9＋2·(2014－9)＝4009. (理)(2014·吉林市摸底)边长是22的正△ABC 内接于体积是43π的球O ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为________．[答案] 433[解析] 因为球O 的体积为43π，即4π3r 3＝43π，所以r ＝3，设正△ABC 的中心为D ，连接OD ，AD ，OA ，则OD ⊥平面ABC ，且OA ＝3，AD ＝263，所以OD ＝(3)2－(263)2＝33， 所以球面上的点到平面ABC 的最大距离为33＋r ＝433.16．(2014·开滦二中期中)给出下列四个命题：①函数f (x )＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点；②若f ′(x 0)＝0，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极值；③若m ≥－1，则函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．其中正确的是________．[答案] ①③④[解析] ①∵f (1)·f (e)＝－1·(e －1)<0，又f (x )在(1，e)上的图象连续不断，∴f (x )在(1，e)上存在零点，故①正确；②f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要条件，但不是充分条件，②为假命题；③要使函数y ＝log 12(x 2－2x －m )的值域为R ，应使x 2－2x ＋m 取遍所有正数，∴Δ＝4＋4m ≥0，∴m ≥－1，故③正确；④a ＝1时，f (x )＝1－e x 1＋e x ，f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ＝e x －1e x ＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；f (x )＝a －e x 1＋a e x 为奇函数时，f (－x )＝－f (x )恒成立，∴a －e －x1＋a e －x ＝－a －e x 1＋a e x ，即a e x －1e x ＋a ＝e x －a 1＋a e x ，∴e 2x －a 2＝a 2e 2x －1，∴(a 2－1)(e 2x ＋1)＝0，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1，∴④正确，故填①③④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且m ＝(sin A ＋sin B ＋sin C ，sin C )，n ＝(sin B ，sin B ＋sin C －sin A )，若m ∥n .(1)求A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值及此时B 的值．[解析] (1)因为m ∥n ，所以(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝sin B sin C ，根据正弦定理得，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)由正弦定理及a ＝3得，S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝3(cos B cos C ＋sin B sin C ) ＝3cos(B －C )，所以当B ＝C 时，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取最大值 3.(理)(2014·西安市长安中学期中)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin φ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x＋(b ·c )sin x 的图象过点(π6，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )，b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )，∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)，即f (x )＝cos(2x －φ)，∴f (π6)＝cos(π3－φ)＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos(2x －π3)，于是g (x )＝cos[2(12x )－π3]，即g (x )＝cos(x －π3)．当x ∈[0，π2]时，－π3≤x －π3≤π6，所以12≤cos(x －π3)≤1，即当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)等差数列{a n }中，a 3＝3，前7项和S 7＝28.(1)求数列{a n }的公差d ；(2)等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 4，求数列{b n }的前n 项和T n (n ∈N *)．[解析] (1)S 7＝(a 1＋a 7)×72＝7a 4＝28， ∴a 4＝4，又∵a 3＝3，∴d ＝a 4－a 3＝1.(2)由(1)知数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴b 1＝2，b 2＝4，∴数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2， ∴T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. (理)(2014·开滦二中期中)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn ，(c 是不为0的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －c n ·c n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ，则(2＋c )2＝2(2＋3c )，∴c ＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2n ，n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2×1＋2×2＋…＋2×(n －1)＝n 2－n ＋2，n ＝1时，a 1＝2也适合上式，因此a n ＝n 2－n ＋2.(2)b n ＝a n －2n ·2n ＝n －12n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝02＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ， 12T n ＝022＋123＋224＋…＋n －22n ＋n －12n ＋1，用错位相减法可求得T n ＝1－n ＋12n .19．(本小题满分12分)(文)(2014·泗阳县模拟)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝BB 1＝1，AB 1＝ 3.(1)求证：平面AB1C⊥平面B1CB；(2)求三棱锥A1－AB1C的体积．[解析](1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，BB1⊥AC，又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝3，∴AB＝2，则由AC2＋BC2＝AB2可知，AC⊥BC，∴AC⊥平面B1CB，∴平面AB1C⊥平面B1CB.(2)∵BC⊥AC，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1A1，∴B到平面ACC1A1的距离d＝1，∵BB1∥平面ACC1A1，∴B1到平面A1AC的距离为1，∴三棱锥A1－AB1C的体积＝13×(12×1×1)×1＝1 6.(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于点N.现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．(1)求证：BD⊥平面BCEF；(2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；(3)求三棱锥N－ABF的体积．[解析](1)由条件知EF⊥DN，EF⊥BN，∴EF⊥平面BDN，∴平面BDN⊥平面BCEF，∵BN＝平面BDN∩平面BCEF，∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，∴D在平面BCEF上的射影即为点B，故BD⊥平面BCEF.(2)法一．如图，建立空间直角坐标系，∵在原平面图形中AB＝6，∠DAB＝60°，∴BD＝33，∵EF∥AD，AF＝2FB，∴DN＝2BN，∴BN＝3，DN＝23，∴折后立体图形中BD＝3，BC＝3，∴N (0，3，0)，D (0,0,3)，C (3,0,0)，NF →＝13CB →＝(－1,0,0)，∴BF→＝BN →＋NF →＝(－1，3，0)，DN →＝(0，3，－3)， ∴cos 〈BF →，DN →〉＝BF →·DN →|BF →|·|DN →|＝34， ∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34.法二：在线段BC 上取点M ，使BM ＝NF ，则MN ∥BF ， ∴∠DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角．又MN ＝BF ＝2，DM ＝BD 2＋BM 2＝10，DN ＝2 3.∴cos ∠DNM ＝DN 2＋MN 2－DM 22DN ·MN ＝34， ∴折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为34.(3)∵AD ∥EF ，∴A 到平面BNF 的距离等于D 到平面BNF 的距离，∴V N －ABF ＝V A －BNF ＝V D －BNF ＝13S △BNF ·BD ＝32， 即所求三棱锥的体积为32.20．(本小题满分12分)(文)(2014·屯溪一中期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a 、b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(1)＝2a ，∴3＋2a ＋b ＝2a ，∵f ′(2)＝－b ，∴12＋4a ＋b ＝－b ，∴a ＝－32，b ＝－3，∴f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3， ∴f (1)＝－52，f ′(1)＝－3，∴切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)∵g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，∴g ′(x )＝(6x －3)e －x ＋(3x 2－3x －3)·(－e －x )，∴g ′(x )＝－3x (x －3)e －x ，∴当0<x <3时，g ′(x )>0，当x >3时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以g 极小(x )＝g (0)＝－3，g 极大(x )＝g (3)＝15e －3.(理)(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x 10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1，则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)． (2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)， 则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ， 令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数，∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元． 21．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)某数学老师对本校2014届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如下：得到频率分布表如下：率(分数在[90,150]范围内为及格)；(2)从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a ＝220＝0.1，b ＝3从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有13人， 所以估计全校数学成绩的及格率为1320＝65%.(2)设A 表示事件“大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，平均得分大于等于130”，由茎叶图可知大于等于110分有5人，记这5人分别为a，b，c，d，e，则选取学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，基本事件数为10，事件“2名学生的平均得分大于等于130”，也就是“这两个学生的分数之和大于等于260”，所有可能结果为：(118,142)，(128,136)，(128,142)，(136,142)，共4种情况，基本事件数为4，所以P(A)＝410＝2 5.(理)(2014·山西省太原五中月考)某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150]内为及格)；(2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．[解析] (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a ＝220＝0.1，b ＝3；分数在[70,90)范围内的人数为20×0.25＝5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%＝65%.(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P (X ＝1)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×35＋3×35＋4×35＝7.22．(本小题满分14分)(文)(2014·天津市六校联考)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA→⊥OB →，求k 的值． [解析] (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得，(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，∴k ＝±12.(理)(2014·江西白鹭洲中学期中)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，离心率为32.(1)求椭圆方程；(2)设过椭圆顶点B (0，b )，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，求k 2的值．[解析] (1)由已知2c ＝23，c a ＝32. 解得a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得过B 点的直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， ∴x D ＝－8k1＋4k 2，y D ＝1－4k 21＋4k 2，依题意k ≠0，k ≠±12.∵|BD |，|BE |，|DE |成等比数列，∴|BE |2＝|BD ||DE |， ∴b －y D＝|BE ||DE |＝|BD ||BE |＝b －y Db ， ∵b ＝1，∴y 2D －y D －1＝0，解得y D ＝1－52，∴1－4k 21＋4k 2＝1－52，解得k 2＝2＋54， ∴当|BD |，|BE |，|DE |成等比数列时，k 2＝2＋54.。