高中数学培优大全习题之导数
高二数学导数相关练习题
高二数学导数相关练习题1. 设函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，求f'(x)。
解：对于多项式函数f(x)，求导数的方法是对每一项分别求导，然后将各项的导数相加。
f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' + (-12x)' + (1)'首先，求导数x^n的规律为：(x^n)' = nx^(n-1)。
根据此规律，我们可以得到：(2x^3)' = 2 * 3x^(3-1) = 6x^2(3x^2)' = 3 * 2x^(2-1) = 6x(-12x)' = -12(1)' = 0（常数项的导数为0）将上述结果相加后，得到f'(x)的表达式为：f'(x) = 6x^2 + 6x - 122. 已知函数y = e^(2x)，求y'(x)。
解：对于指数函数y = e^x，求导数的方法是用自然对数e为底，对指数求导。
y'(x) = (e^(2x))'根据链式法则，对于复合函数e^(2x)，求导数的方法是先对指数求导，再将指数的导数与e的导数相乘。
因此，(e^(2x))' = 2e^(2x)将上述结果代入原式，得到y'(x)的表达式为：y'(x) = 2e^(2x)3. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)。
解：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，求导数的方法是使用倒数法则。
根据倒数法则，ln(x)' = 1/x。
在此题中，需要使用链式法则对复合函数x^2 + 1求导。
因此，f'(x) = (ln(x^2 + 1))'根据链式法则，(ln(x^2 + 1))' = (1/(x^2 + 1)) * (x^2 + 1)'求导得到：(x^2 + 1)' = 2x将上述结果代入原式，得到f'(x)的表达式为：f'(x) = (2x)/(x^2 + 1)4. 已知函数y = sin(x)，求y'(x)。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高中数学导数习题及答案
高中数学导数习题及答案高中数学导数习题及答案导数是高中数学中的一个重要概念，它是微积分的基础。
导数的概念和应用在各个领域都有广泛的应用，例如物理学、经济学和工程学等。
在高中数学中，导数通常在函数的研究和应用中被引入。
本文将介绍一些高中数学中常见的导数习题，并给出详细的解答。
1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1的导数f'(x)。
解答：对于多项式函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，我们可以使用幂函数的导数规则来求导。
根据导数的定义，我们可以逐项对函数的各项进行求导。
首先，对于2x^3，使用幂函数的导数规则，指数下降1，系数乘以指数，得到6x^2。
然后，对于-3x^2，同样使用幂函数的导数规则，指数下降1，系数乘以指数，得到-6x。
接下来，对于4x，指数下降1，系数乘以指数，得到4。
最后，对于常数项-1，求导后得到0。
因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数f'(x)。
解答：对于函数f(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的导数规则来求导。
根据导数的定义，我们可以逐项对函数的各项进行求导。
首先，对于sin(x)，根据三角函数的导数规则，sin(x)的导数为cos(x)。
然后，对于cos(x)，根据三角函数的导数规则，cos(x)的导数为-sin(x)。
因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数f(x) = e^x的导数f'(x)。
解答：对于函数f(x) = e^x，我们可以使用指数函数的导数规则来求导。
根据导数的定义，指数函数e^x的导数为e^x。
因此，函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) =e^x。
高二数学培优讲义导数的概念与运算
第十讲 导数的概念与运算教学目标：1、了解导数概念的实际背景．2、理解导数的几何意义．3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.一、知识回顾 课前热身知识点1、导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．知识点2、几种常见函数的导数①(C )′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n )′＝ nx n －1 ；(n ∈Q)③(sin x )′＝ cos_x ； ④(cos x )′＝ －sin_x ；⑤ (e x )′＝ e x ； ⑥(a x )′＝ a x ln_a ；⑦(ln x )′＝ 1x .⑧(log a x )′＝ 1x ln a知识点3、导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识点4、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、例题辨析 推陈出新例1、 求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4”如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ∴y ′＝－12cos x ． 变式练习1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x . 解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′ ＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sinx ，∴y ′＝－sin x －cos x .例2、 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成， ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4. (2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u 12-＝－123－x＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.变式练习2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝lnx 2＋1；(3)y ＝1(1－3x )4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5.(4)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x ()1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2. 三、归纳总结 方法在握归纳1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．四、拓展延伸 能力升华例1、 (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43. ①求曲线在点P (2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)，∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0.若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.变式练习3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝⎛⎭⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝xx 0＋1＋x 0＋2x 0＋1 .所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2. S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·(x 0＋2)＝(x 0＋2)22 x 0＋1，∴S △AOB ＝⎝⎛⎭⎫－23＋222－23＋1＝839.例2、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞ D.(]－∞，－1 [解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A归纳:导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．变式练习4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________. 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ，∴f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)， 由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π2练习1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 选B 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是________． 解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1，∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2f ′⎝⎛⎭⎫23×23－1， 解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫233－⎝⎛⎭⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0. 答案：27x ＋27y ＋4＝0 五、课后作业 巩固提高1．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程是________．答案：x ＋πy －π＝02．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 3．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 4．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 5．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.6．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.7．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．8．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－49．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝010．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)11．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0，∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． 又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.12．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4.所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0. (2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.13．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k－1的坐标是(x k－1,0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n)．(2)∵x1＝0，x k－x k－1＝－1，∴x k＝－(k－1)，∴|P k Q k|＝e x k＝e－(k－1)，于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝1－e－n1－e－1＝e－e1－ne－1，即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝e－e1－ne－1.。
高三数学 导数培优专题(含解析)
培优导数专题1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=.cos 2sin xx+（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xe ax x xf a -=≥函数（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.3、已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1(4=nn a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。
5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(nk f nk ++++∑=π都成立；6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*+∈+>⋅N n en F F F nn Λ1解： （I ）.)cos 2(1cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(22x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分分是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.))(342,322()(,))(322,322()(.0)(,21cos ,)(342322;0)(,21cos ,)(322322ΛΛZ Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k ππππππππππππππππ（II ）令则),()(x f ax x g -=.31)31cos 21(3)cos 2(3cos 22)cos 2(1cos 2)(222-+-+=+++-=++-='a x x x a x x a x g故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,31ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥即时所以当又时[)[).2021)2(,0.3sin cos 2sin )(,)3arccos ,0(,.3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.3cos )(,3sin )(,310ππ⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<<a f a ax xx x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞……12分2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(22xx x e a x a x e a x e ax x x f --+=-+-='令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0.解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数.而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x>0；当x =0时，f (x )=0.所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥43；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43；即a 的取值范围是),43[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; ∴函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-∴函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 。
新人教版高中数学选择性必修第二册培优班精讲《导数的运算》练习含答案解析
5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。
高考数学重难点培优讲义之导数小题典型题型(含答案解析)
导数小题【题型1 函数切线问题】 (4)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (5)【题型4 导数中函数的最值问题】 (6)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (7)【题型6 利用导数解不等式】 (9)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (10)【题型8 任意存在性问题】 (10)【题型9 函数零点嵌套问题】 (11)【题型10 双变量问题】 (13)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．e x+y+1=0B．e x−y+1=0C．e x+y−1=0D．e x−y−1=0【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=ln x相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)=e x(x+a)x在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0,+∞)B．(−∞,−4]C．(−∞,−4]∪[0,+∞)D．[−4,0]【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为（）A．1B．3C．1或3D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A ．π2+1，−π2+1 B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）A ．ω的取值范围是[125,2910)B ．f (x )在(0,π10)单调递增C ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，y =−52x +4π5是f (x )的切线【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2)B ．[−32,2]C ．(−43,2)D ．(−43,1]【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（）A．1B．−4C．−3D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+x3+(a−3)x+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．(−∞,1−e)【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x e x，若存在t>0，使得f(x1)= g(x2)=t成立，则x1−2x2的最小值为（）A．2−ln4B．2+ln4C．e−ln2D．e+ln2【题型5 函数零点（方程根）个数问题】，若函数g(x)=【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数f(x)={x3+2x2+x,x≥0−2x,x<0f(x)−|kx2−4x|,(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（）A．(−∞,−1)∪(2√5,+∞)B．(−∞,−√5)∪(0,2)C．(−∞,0)∪(0,2+2√2)D．(−∞,0)∪(2+2√5,+∞)【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数f(x)={e x,x≥0−3x,x<0，若函数g(x)=f(−x)−f(x)，则函数g(x)的零点个数为（）A．1B．3C．4D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数f(x)={x e x,x<0−x2+2x,x≥0，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f(x)+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．(−∞,−1e )B．(−1e,0)C．[−1e,1]D．(−e,2)【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数f(x)=(x2−2x)e x，若方程f(x)=a有3个不同的实根x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则ax2−2的取值范围为（）A．[−1e ,0)B．[−2e,0)C．(−√2e−√2,0)D．(−√2e−√2,√2e√2)【题型6 利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足f ′(x )−f (x )x−1>0，且f (1)=1，则不等式f (e x )−(x +1)e x >0的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(−∞,1)【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 3+2x 2+3．若f(−9)≥f (a 2−2a +1)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[−2√3,4]B ．[−4,2]C ．[−2,4]D ．[−4,2√3]【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f ′(x )是函数f(x)(x ∈R )的导函数，f (3)=e 3，且f ′(x )−f (x )>0恒成立，则不等式f (x )−e x >0的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(−∞,3)D ．(3,+∞)【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知f (x )=lnx −ax 3，g (x )=x e x −lnx −x −34，若不等式f (x )g (x )>0的解集中只含有两个正整数，则a 的取值范围为（ ）A ．[ln327,ln28) B ．(ln327,ln28) C ．[ln232,ln327) D ．(ln232,ln327)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+e x−e−x−2x+3，若f(a e x)+f(lna−lnx)>6对于x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知f(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=e x，若关于x的不等式2f(x)−ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立，则实数a的最大值是．【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，若xf′(x)−f(x)=xe x ，f(1)=−1e，且x≥1时，f(x e x)≤f(x+lnx−a)恒成立，则a的取值范围是.【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+ax−2，其中a∈R，若对于任意的x1,x2∈[2,+∞)，且x1<x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)<a(x1−x2)成立，则实数a的取值范围是．【题型8 任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈[−1,2]，使不等式x0+(e2−1)lna≥2ae x0+e2x0−2成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[12e ,e 2]B ．[1e2,e 2]C ．[1e2,e 4]D ．[1e,e 4]【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=13x 3，g(x)=e x −12x 2−x ，∃x 1，x 2∈[1,2]使|g (x 1)−g (x 2)|>k |f (x 1)−f (x 2)|（k 为常数）成立，则常数k 的取值范围为（ ）A ．(−∞,e −2]B ．(−∞,e −2)C ．(−∞,e 2−34] D ．(−∞,e 2−34)【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数f (x )=x 2e x,x >0.若存在实数a ∈[0,1]，使得f (2−1m )≤a 3−12a 2−2a +e −1成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．(12,1] B ．[12,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数f (x )=x e x +2a ，g (x )=eln x x，对任意x 1∈[1,2]，∃x 2∈[1,3]，都有不等式f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[−e 2,+∞)B ．[1−e 2,+∞)C ．[−e2,+∞)D ．[12−e 2,+∞)【题型9 函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数f (x )=(ln x )2−a2x ln x +aex 2有三个零点x 1、x 2、x 3且x 1<x 2<x 3，则2lnx 1x 1+lnx 2x 2+lnx 3x 3的取值范围是（ ）A．(−1e2−e ,0)B．(−1e2,0)C．(−12e,0)D．(−2e,0)【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=a x−x2的零点，x1< x2<x3，若x1+x3=2x2，则（）A．x3x2<2ln a B．x3x2=2ln aC．x3x2>2ln a D．x3x2与2ln a大小关系不确定【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f(x)=e x−1x +xe x−1+x+a，若f(x)=0有3个不同的解x1，x2，x3且x1<x2<x3，则2e x1x1+e x2x2+e x3x3的取值范围是（）A．(e,+∞)B．[2e,+∞)C．(−8e,+∞)D．(e,2e)【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数f(x)=(e x−ax)(x−alnx)有且只有三个不同零点x1,x2,x3，若x1<x2<x3，则下列x1,x2,x3的关系式中，正确的是（）A．x1+x3=2x2B．x1+x2=√ax3C．x1x3=√a2x22D．x1x3=x22【题型10 双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数f(x)=(x−2)e x，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，x1⋅x2> 0，则（）A．x1>12B．x2<32C．x1x2>1D．x1+x2<2【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数x,y满足4lnx+2ln(2y)≥x2+8y−4，则（）A．xy=√24B．x+y=√2C．x+2y=1+√2D．x2y=1【变式10-2】（2023下·河南信阳高二淮滨高中校考阶段练习）设函数f(x)=e x(x−ae x)(其中e为自然对数的底数)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则下列说法中正确的是(）A．0<a<13B．0<x2<1C．−12<f(0)<0D．f(x1)+f(x2)>0【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，blna=alnb，有如下四个结论：①b<e；②b>e；③∃a,b满足a⋅b<e2；④a⋅b>e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y =e x x+1在点(1,e2)处的切线方程为（ ）A ．y =e4xB ．y =e2xC ．y =e 4x +e4D ．y =e 2x +3e42．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x )=a e x −lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为（ ）． A ．e 2 B ．eC ．e −1D ．e −23．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−2) B ．(−∞,−3) C ．(−4,−1) D ．(−3,0)4．（2022·全国·统考高考真题）当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ）A ．−1B ．−12C ．12D ．15．（2022·全国·统考高考真题）已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18,814]B．[274,814]C．[274,643]D．[18,27]7．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A．e b<a B．e a<bC．0<a<e b D．0<b<e a8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）．A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点9．（2023·全国·统考高考真题）若函数f(x)=alnx+bx +cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则（）．A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac<010．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．（2023·全国·统考高考真题）设a∈(0,1)，若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.12．（2022·全国·统考高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是．导数小题【题型1 函数切线问题】 (3)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (6)【题型4 导数中函数的最值问题】 (9)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (12)【题型6 利用导数解不等式】 (16)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (19)【题型8 任意存在性问题】 (22)【题型9 函数零点嵌套问题】 (25)【题型10 双变量问题】 (30)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】设切点为(x0,(1−x0)e x0)，由已知得y′=−xe x，则切线斜率k=−x0e x0，切线方程为y−(1−x0)e x0=−x0e x0(x−x0)．∵直线过点A(a,0)，∴−(1−x0)e x0=−x0e x0(a−x0)，化简得x02−(a+1)x0+1=0．∵切线有2条，∴Δ=(a+1)2−4>0，则a的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：D.【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．ex+y+1=0B．ex−y+1=0C．ex+y−1=0D．ex−y−1=0【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【解答过程】由f(x)=1e x −1，得f′(x)=−1e x，所以f′(−1)=−e，又f(−1)=e−1，故曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线的方程为y−(e−1)=−e(x+1)，即ex+y+1=0.故选：A.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【解题思路】利用导数的几何意义计算即可.【解答过程】设切点为(x0,lnx0)，则由题意可知f′(x)=1x ⇒f′(x0)=1x0=k，所以{1x0=kkx0=lnx0⇒{x0=ek=1e.故选：C.【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【解答过程】由f(x)=12x2+alnx⇒f′(x)=x+ax(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，且f′(x1)⋅f′(x2)=−1若a≥0，则f′(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以a<0，此时易知y=f′(x)单调递增，要满足题意则需{f′(1)=1+a<0 f′(2)=2+a2>0f′(1)f′(2)=(1+a)(2+a2)<−1⇒a∈(−3,−2).故选：D.【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【解题思路】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A选项：当x∈(0,+∞)时，y=1x2的导函数为y′=−2x3<0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当x∈(0,+∞)时，y=e−2x的导函数为y=−2e−2x<0，所以y=e−2x在x∈(0,+∞)时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当x∈(0,+∞)时，y=−x2+1的导函数为y′=−2x<0，所以y=−x2+1在x∈(0,+∞)时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当x∈(0,+∞)时，y=lg|x|=lgx的导函数为y′=1x⋅ln10>0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递增，又函数y=lg|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)=lg|x|=lg|−x|=f(−x)，故D选项符合题意.故选：D.【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【解题思路】结合导数，将f(x)在R上单调递增转化为f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，再参变分离，转化为a≤2xe x−2x恒成立，即求出2xe x−2x的最小值即可得.【解答过程】由题意可得f′(x)=2xe x−2x−a，因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，即a≤2xe x−2x恒成立，设g(x)=2xe x−2x，则g′(x)=(2x+2)e x−2，令ℎ(x)=(2x+2)e x−2，则ℎ′(x)=(2x+4)e x，当x<−2时，ℎ′(x)<0，x>−2时,ℎ′(x)>0,故ℎ(x)在(−∞,−2)为减函数，在(−2,+∞)上为增函数，故ℎ(x)min=ℎ(−2)<0，但ℎ(0)=0，x→−∞时，ℎ(x)→−2，故当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(0)=0，即a≤0.故选：A.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【解题思路】设函数f (x )=xlnx ，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合lnx ≤x −1，比较x ，z 的大小.【解答过程】设f (x )=xlnx （x >0），则f ′(x )=lnx +1>0 ⇒ x >1e，所以函数f (x )在(1e,+∞)上为增函数.又1e <45<56所以f (45)<f (56)即2425ln 45<ln 56 ⇒ x >y ； 设g (x )=lnx −x +1，则g ′(x )=1x −1=1−x x>0 ⇒ 0<x <1，故g (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.所以g (x )≤g (1)=0，故lnx −x +1≤0 ⇒ lnx ≤x −1（当x =1时取“=”） 所以ln 56≤56−1=−16，即x <z .故选：A.【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,+∞)B ．(−∞,−4]C ．(−∞,−4]∪[0,+∞)D ．[−4,0]【解题思路】由导函数f ′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立可得． 【解答过程】f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2，因为函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，所以当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2≥0恒成立，即当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，因为对称轴为x =−a2，当a >0时，x =−a 2<0，g (0)=−a <0，所以当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0不恒成立，不符题意；当a ≤0时，x =−a2≥0，当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，则Δ=a 2+4a ≤0，解得−4≤a ≤0． 故选：D ．【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．−1或3【解题思路】由f (x )在x =1处有极小值可知，f ′(1)=0解出a 的值，并根据单调性验证. 【解答过程】因为f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1，所以f ′(x )=3x 2−4ax +a 2，因为函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值， 所以f ′(1)=3−4a +a 2=0，解得a =1或a =3， 当a =1时，f ′(x )=3x 2−4x +1=(3x −1)(x −1)， 当f ′(x )>0时，x <13或x >1，当f ′(x )<0时，13<x <1， f (x )在x =1处取到极小值，符合题意；当a =3时，f ′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)， 当f ′(x )>0时，x <1或x >3，当f ′(x )<0时，1<x <3， f (x )在x =1处取到极大值，不符合题意； 综上：a 的值为1. 故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x −tanx −π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（ ）A ．π2+1，−π2+1B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【解题思路】求出f ′(x )，由f ′(x)<0、f ′(x)>0可得答案． 【解答过程】由题意，得f ′(x)=2−(sinx cosx)′=2−1cos 2x =2cos 2x−1cos 2x，当x ∈(−π2,−π4)∪(π4,π2)时，2cos 2x −1<0，f ′(x)<0； 当x ∈(−π4,π4)时，2cos 2x −1>0，f ′(x)>0．所以f(x)在(−π2,−π4)上单调递减，在(−π4,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减． 当x =−π4时，f(x)取得极小值，为f (−π4)=−3π2+1；当x =π4时，f(x)取得极大值，为f (π4)=−π2−1． 故选：D ．【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【解题思路】根据题目条件求出x1∈(14,12)，x2=12e<14，即可判断．【解答过程】f(x)=e x+x22−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x+x−1x 在(0,+∞)上单调递增，且f(12)=e12−32>0，f(14)=e14−154<0，所以∃x1∈(14,12)，e x1+x1−1x1=0，所以当0<x<x1时f′(x)<0，当x>x1时f′(x)>0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，则f(x)在x=x1处取得极小值且x1∈(14,12 )．ℎ(x)=lnx2x 的定义域为(0,+∞)，由ℎ′(x)=2−2lnx4x2=1−lnx2x2，当x∈(0,e)时，ℎ′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)=lnx2x 在x=e处取得极大值，也是最大值，ℎ(x)max=ℎ(e)=lne2e=12e，即x2=12e <14．所以x1>x2．故选：A.【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）A．ω的取值范围是[125,29 10)B．f(x)在(0,π10)单调递增C．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，y=−52x+4π5是f(x)的切线【解题思路】选项A，利用函数有5个零点，根据整体思想，可得答案；选项B，根据正弦函数的单调性，利用整体思想，结合选项A，求其最值，可得答案；选项C，根据正弦函数零点的计算公式，建立方程，可得答案；选项D，先求直线与三角函数的公共点，根据导数的几何意义，可得答案.【解答过程】∵f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，在[0,2π]有且仅有5个零点，∴0≤x≤2π，π5≤ωx+π5≤2πω+π5，则5π≤2πω+π5<6π，125≤ω<2910，A正确；当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5，当ω=2910时，ωπ10+π5=29π100+20π100=49π100<π2，B 正确；若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，ω3π25+π5=π2，ω=52，C 错误；由C 得f (x )=sin (52x +π5)，直线y =−52x +4π5过定点M (8π25,0)，点M 在f (x )上，f ′(x )=52cos (52x +π5)=−52，f ′(8π25)=−52， 所以直线y =−52x +4π5是f (x )的切线，D 正确.故选：C.【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2) B ．[−32,2] C ．(−43,2)D ．(−43,1]【解题思路】求出f ′(x)=2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，得出g(x)=0有一正根一负根，因此题意说明正根在区间(1,2)内，从而由{g(1)<0g(2)>0得参数范围．【解答过程】f ′(x)=2x +(a −1)−3x =2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，因为Δ=(a −1)2+24>0，因此g(x)=0有两个不同实根， 又g(0)=−3<0，因此g(x)=0两根一正一负， 由题意正根在(1,2)内，所以{g(1)=2+(a −1)−3<0g(2)=8+2(a −1)−3>0 ，解得−32<a <2，故选：A ．【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）A ．1B ．−4C ．−3D ．5【解题思路】分类参数可得a =2x +1x 2(x >0)，构造函数ℎ(x )=2x +1x 2(x >0)，利用导数求出函数ℎ(x )的单调区间及极值，作出其大致函数图象，结合函数图象求出a ，再利用导数求出函数f (x )在[−1,1]上的最值即可.【解答过程】函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，即方程f(x)=2x3−ax2+1=0在(0,+∞)内有且仅有一个实根，分离参数可得a=2x+1x2(x>0)，令ℎ(x)=2x+1x2(x>0)，则函数y=ℎ(x),y=a只有一个交点，ℎ′(x)=2−2x3=2(x3−1)x3，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，当x>1时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=3，又当x→0时，ℎ(x)→+∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，如图，作出函数ℎ(x)=2x+1x2(x>0)的大致图像，由图可知a=3，所以f(x)=2x3−3x2+1，则f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，当−1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，又f(−1)=−4,f(0)=1,f(1)=0，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为1，最小值为−4，所有f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值之和为1−4=−3.故选：C.【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x +x 3+(a −3)x +1在区间(0，1)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-e ，2)B ．(-e ，1-e )C ．(1，2)D ．(−∞,1−e)【解题思路】f ′(x )在(0,1)上递增，根据f (x )在(0,1)上有最小值，可知f (x )有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得a 的取值范围.【解答过程】∵f ′(x )=e x +3x 2+(a −3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需 {f ′(0)<0f ′(1)>0 ⇒{a −2<0e +a >0⇒−e <a <2， 这时存在x 0∈(0,1)，使得f(x)在区间(0,x 0)上单调递减，在区间[x 0,1)上单调递增，即函数f(x)在区间(0,1)上有极小值也即是最小值． 所以a 的取值范围是(−e,2). 故选：A.【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=xe x ，若存在t >0，使得f (x 1)=g (x 2)=t 成立，则x 1−2x 2的最小值为（ ）A ．2−ln4B ．2+ln4C ．e −ln2D ．e +ln2【解题思路】由题设知f(x 1)=f(e x 2)=t ，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y =t >0、f(x)的交点个数得x 1=e x 2，进而将目标式化为x 1−2x 2=x 1−2lnx 1且x 1>1，构造函数研究最小值即可.【解答过程】由题设x 1lnx 1=x 2e x 2=e x 2lne x 2=t ，即f(x 1)=f(e x 2)=t ，由f ′(x)=1+lnx ，则(0,1e )上f ′(x)<0，f(x)递减；(1e ,+∞)上f ′(x)>0，f(x)递增； f(x)≥f(1e )=−1e ，且f(1)=0，f(x)图象如下：由图知：t ∈(0,+∞)时，x 1=e x 2，即x 2=lnx 1且x 1>1，所以x 1−2x 2=x 1−2lnx 1， 令ℎ(x)=x −2lnx 且x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−2x =x−2x，。
高二导数基本练习题及答案
高二导数基本练习题及答案1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5的导数f'(x)。
解析：对于多项式函数，直接应用幂函数的求导法则即可。
根据幂函数的求导法则，指数减1并乘以原指数的系数。
因此，对于f(x) = 2x^3 -3x^2 + 4x - 5，其导数为f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 求函数g(x) = 3sin(2x)的导数g'(x)。
解析：对于三角函数的求导，需要运用复合函数的求导法则。
根据复合函数求导法则，首先对外层函数求导，然后乘以内层函数的导数。
对于g(x) = 3sin(2x)，外层函数为sin(2x)，内层函数为2x。
因此，g'(x) = 3 * cos(2x) * 2 = 6cos(2x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数h'(x)。
解析：对于对数函数的求导，需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数h(x) = ln(x^2 + 1)，其中外层函数为ln(u)，内层函数为u = x^2 + 1。
因此，h'(x) = 1/(x^2 + 1) * 2x = 2x/(x^2 + 1)。
4. 求函数y(x) = e^(3x+2)的导数y'(x)。
解析：对于指数函数的求导，也需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数y(x) = e^(3x+2)，其中外层函数为e^u，内层函数为u = 3x + 2。
因此，y'(x) = e^(3x+2) * 3 = 3e^(3x+2)。
5. 求函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)的导数z'(x)。
解析：对于根号函数的求导，同样需要运用链式法则。
根据链式法则，对于复合函数z(x) = sqrt(x^3 + 2x)，其中外层函数为sqrt(u)，内层函数为u = x^3 + 2x。
因此，z'(x) = (1/2)(x^3 + 2x)^(-1/2) * (3x^2 + 2) = (3x^2 + 2)/(2sqrt(x^3 + 2x))。
高中数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案
高中数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111lnln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为334C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P点坐标为：1212(,)2x x x x +， 直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x=-⇒=，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin6022︒==，故本选项说法正确；C：阿基米德三角形PAB为直角三角形，当PA PB⊥时，所以1212121222121122122114PA PBx x x xx xk k x xx x x x x x++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB的方程为：14y kx=+所以P点坐标为：1(,)24k-，点P到直线AB的距离为：=||AB===，因为12121,4x x k x x+==-，所以21AB k=+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k⨯+=≥，当且仅当0k=时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D：因为1212,x x k x x m+==-，所以1||AB x x===-，点P到直线AB的距离为：212==所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x xS x x-=⋅-=，故本选项说法不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解． 设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值， 又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、，()2ln xg x x -'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12e B ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点D．(2)f f f <<【答案】ABD【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =所以当x =2f e=，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
高中数学培优大全习题之导数
1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x∆≠时，商00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆称作函数()yf x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x∆→时，00()()f x x f x lx+∆-→∆”，或记作“000()()limx f x x f x lx∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或“0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．A B 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线A B 绕点A 转动，它的最终位置为直线A D ，这条直线A D 叫做此曲线过点A 的切线，即知识内容板块一.导数的概念 与几何意义x 0xyxOD CB A000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线A D 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)︒︒， B ．(060)︒︒， C ．(6090)︒︒， D ．(60180)︒︒，【例2】在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．21ππn n nn --⎛⎫⎪⎝⎭，【例3】对于任意π02ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有（ ）A ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ<< B ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ>>C ．sin (co s )co s co s(sin )ϕϕϕ<<D ．sin (sin )co s co s(sin )ϕϕϕ<<【例4】若0()lim1x f x x→=，则0(2)limx f x x→=________．【例5】若1(1)lim11x f x x →-=-，则1(22)lim1x f x x →-=-_______．【例6】设()f x 在0x 可导，则()()003limx fx x fx x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x ' B ．()0f x ' C ．()03f x ' D ．()04f x '【例7】若000(2)()lim13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【例8】设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()limx f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）．A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()ab f x '- D ．()f x '【例9】设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．【例11】 已知函数2()8f x x x=+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 ．【例12】 已知1()f x x=，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-∆的值是（ ）典例分析A ．14-B ．2C ．14D ．2-【例13】 若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．【例14】 已知函数()f x 在0xx =处可导，则22000[()][()]limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x ' B ．0()f x C ．20[()]f x ' D ．002()()f x f x '【例15】 计算32lim43n n n →∞-=+________．【例16】 222lim23n n n n →∞+=-_______．【例17】 将直线2:0l n x y n +-=、3:0l x n y n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则limn n S →∞=．【例18】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ）A ．53B ．32C ．2D ．不存在【例19】 如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3rC ．24πrD ．26πr【例20】 22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭______．【例21】 若lim1n →∞=，则常数a=_______．【例22】πlimx →=_____．【例23】 2123limn nn→∞++++=_________【例24】 012lim (2)x xx x →⎛⎫-=⎪+⎝⎭________．【例25】 211lim34x x x x →-=+-__________．【例26】 2241lim 42x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭（ ） A ．1-B ．14-C ．14D ．1【例27】1lim1x x →=- ．【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a n x=+++，其中12n a a a n +∈∈R N ，，，，，已知对一切x ∈R，有()sin f x x≤和0sin lim1x x x→=，求证：1221n a a n a +++≤．【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，则((0))f f =；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（）B.A.【例32】 函数2()21f x x =+在闭区间[11]x +∆，内的平均变化率为（ ）A ．12x +∆B ．2x +∆C ．32x+∆ D ．42x +∆【例33】 求函数y =在0x 到0x x+∆之间的平均变化率．【例34】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【例35】 求函数2()f x x x=-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．【例36】 求函数3()2f x x x=-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【例37】 已知某物体的运动方程是3199s t t=+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【例38】 已知某物体的运动方程是22232t s tt-=+，则3t =时的瞬时速度是_______．【例39】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t=时的速度v=____，加速度a=．【例40】 物体运动方程为4134s t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164st t t=-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【例42】 如果某物体做运动方程为22(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）A ．0.88-m/sB ．0.88m/sC ． 4.8-m/sD ．4.8m/s【例43】 求y =xx =处的导数．题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线1y x x=+上一点522A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，用斜率定义求：⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【例45】 已知曲线1y x=上一点(12)A ，，用斜率定义求：⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【例47】 求函数()a f x a x x=+(0)a ≠的图象上过点A2(1)a a+，的切线方程．【例48】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（）A ．1yx =- B ．2yx =- C ．yx=D ．1yx =+【例49】 求曲线1y x =在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．【例50】 函数1y x=-在点122⎛⎫-⎪⎝⎭，处的切线方程为（ ）A ．4yx= B ．44yx =- C ．4(1)yx =+ D ．24yx =+【例51】 已知曲线214y x=的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______．【例52】 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【例53】 过点(11)，作曲线3yx=的切线，则切线方程为__________．【例54】 曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．【例55】 若曲线21y x =-与31yx=-在0xx =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）A6B．6-C ．23D ．23或0【例56】 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10a x y ++=垂直，则a=（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-【例57】 设曲线2y a x =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a=（ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【例58】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线48yx =+平行，则l 的方程为______________．【例59】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y--= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【例60】 设P为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______．【例61】 设P为曲线C ：223yx x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例62】 曲线21x y x =-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --=B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=【例63】 设函数2()()f x g x x=+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21yx =+，则曲线()yf x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y fx =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．【例65】 函数sin y x=的图象上一点π32⎛⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A ．1B 2C 2D ．12【例66】 曲线ln (21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A B ． C ． D ．0【例67】 在平面直角坐标系xo y中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．【例68】 抛物线2y x b x c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0b x yc ++=间的距离为________．【例69】 若0y =是曲线3yx b x c=++的一条切线，则32()()32bc +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2kka a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a+，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．【例71】 已知点P在曲线4e 1xy=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【例72】 曲线2x y x =+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21yx =+B ．21yx =- C ．23y x =-- D ．22yx =--【例73】 若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e )f 处的切线方程是 ．【例75】 设曲线()1*n y xn +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则12nxx x ⋅等于（ ） A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例78】 在平面直角坐标系xO y中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x=和21594ya x x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564- D ．74-或7【例80】 已知函数21()()5g x f x x=+的图象在P 点处的切线方程为8yx =-+，又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．【例81】 设曲线1co s sin x y x+=在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线10x a y -+=平行，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【例82】 已知函数()lo g a f x x=和()2lo g (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x=处的切线互相平行，则t =_______．【例83】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____． ⑵曲线32242yx xx =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【例84】 已知曲线31433y x =+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．【例85】 已知曲线s：33yx x=-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．【例86】 曲线1y x=和2yx=在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．【例87】 曲线12e xy =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e2B ．24eC ．22eD ．2e【例88】 曲线3y x=在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线xa=所围成的三角形的面积为16，则a =．【例89】 曲线313y x x=+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．23【例90】 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．【例91】 若曲线3()ln f x a x x=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．【例92】 曲线cos y x =在点π42P ⎛ ⎝⎭处的切线方程是 ．【例93】 函数co s 2y x=在点π04⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是（ ）A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y--= D ．42π0x y +-=【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x fx xx =--+-，则曲线()yfx =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．yx= C ．32yx =-D ．23y x =-+【例95】 已知曲线C：4323294yx x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．【例96】 已知抛物线2y a x b x c=++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b、c 的值．【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线yx=的切线，求此二切线之间的距离．【例98】 已知曲线32()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．【例99】 已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限， ⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【例100】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．【例101】 已知函数xxea ex f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y=的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ）A ．ln 2B ．2ln -C ．22ln D ．22ln -【例102】 已知函数32()c f x x b x x d=+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))Mf --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()yf x =的解析式．【例103】 已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(10)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，⑴求直线2l 的方程；⑵求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．【例104】 设函数()b f x a x x=-，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线yx=所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【例105】 设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【例106】 已知抛物线1C ：22y x x=+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【例107】 设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x a x =+与2()g x b xc=+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．【例108】 已知曲线1C ：2y x=与2C ：2(2)yx =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．【例109】 已知函数3()f x x x=-．⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ⑵求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程．⑶设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．⑷求过任一点()N a b ，能作的曲线3()f x x x=-的切线的条数．【例110】 如图，在平面直角坐标系xO y中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B，两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段A B 和直线:l y c =-交于点P Q ，，⑴若2O A O B ⋅=，求c 的值；⑵若P 为线段A B 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线； ⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．【例111】 证明如下命题：命题：设(0)C c ，是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x p y p =>交于A B，两点，则过A B ，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦A B 中点的横坐标．【例112】 设Q为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线22x p y =(0)p >的两条切线，切点分别为A B ，，求证：直线A B 必过定点(0)C c ，，且线段A B 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．【例113】 已知函数()2ln f x x x=-．⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间； ⑵已知曲线()yfx =在点()()00x fx ，处的切线是2ykx =-，求k 的值．【例114】 求曲线12y x =+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．1知识内容板块二.导数的运算注：ln lo g e aa=a e e π 2.7182818284e =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()C f x C f x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则： 设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦．特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【例115】 下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(lo g )ln 2x x '=C ．3(3)3lo g ex x'=D ．2(c o s )2s in x x x x'=-【例116】 2()3f x x x =++，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例117】 2()f x x x=+，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例118】 2()3f x x =+，则(1)f '=（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1【例119】 2()3f x x x =-+，则(1)f '=（ ）典例分析A ．5B ．4C ．1D ．0【例120】 函数31y x x=-的导数y '=（ ）A ．2213xx-B ．1332x- C ．2213x x+D ．221x x+【例121】 求函数2s in y x x=的导数．【例122】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【例123】 设函数32()2f x x a x x'=++，(1)9f '=，则a=_______．【例124】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)xx -+- B ．22(1)x- C ．2(1)x - D ．1x -【例125】 已知函数2()f x a x c=+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ）A ．1BC ．1-D ．0【例126】 函数3(21)y x =+在0x=处的导数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【例127】 已知函数2()(1sin )f x x x =+，求π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值．【例128】 函数2c o s y x x=的导数为（ ）A ．22c o s sin y x x x x '=- B ．22c o s sin y x x x x '=+C ．2c o s 2sin y x x x x'=- D ．2c o s sin y x x x x'=-【例129】 函数221x y x=-的导数是（ ）A ．222(1)1x x+-B ．22131x x+- C ．2222(1)4(1)x x x --- D ．2222(1)(1)x x +-【例130】 函数1co s x y x=-的导数是（ ）A ．1co s sin 1co s x x xx--- B ．21c o s sin (1c o s )x x xx --- C ．21c o s sin (1c o s )x x x -+- D ．21c o s sin (1c o s )x x xx -+-【例131】 函数()ln 2x f x x=的导函数()f x '是（ ）A ．21ln 2xx-B ．21ln 2xx+ C ．212ln 22xx- D ．212ln 22xx+【例132】 求下列函数的导数：(1)(2)(3)y x x x =+++．【例133】 求函数()()()y x a x b x c =---的导数．【例134】 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f c b f b a f a ．【例135】 函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例136】 若2()(2)f x x a =+，且(2)20f '=，则a=______．【例137】 若()exf x x =，则()0f '=________．【例138】 函数32()3f x a x x =++，若(1)8f '=，则实数a =_________．【例139】 设()ln f x x x=，若0()2f x '=，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2【例140】 已知函数()πc o s sin 4f x f x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．【例141】 已知()s in f x x=，则(1)f '=（ ）A ．1co s 13+ B ．1sin 1co s 13+ C ．1sin 1co s 13- D ．sin 1cos1+【例142】 32()32f x a x x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310【例143】 若30(),()3f x x f x '==，则0x 的值为________．【例144】 求下列函数的导数：2(21)(31)y x x =-+【例145】 求下列函数的导数：1ln 1ln x y x-=+．【例146】 求下列函数的导数：tan x．【例147】 求下列函数的导数：sin co s co s sin x x x y x x x-=+．【例148】 求函数1()sin co s f x x x=+的导函数()f x '．【例149】 求下列函数的导数：2(251)xy x x e=-+；【例150】 求下列函数的导数：()xxf x =+．【例151】 求下列函数的导数：37314y x x=-+【例152】 求下列函数的导数：()f x x=．【例153】 求下列函数的导数：y x =．【例154】 求下列函数的导数：y =+．【例155】 求函数y =的导数．【例156】 求下列函数的导数：2121xxy -=+．【例157】 求下列函数的导数：2s in12c o s 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【例158】 求下列函数的导数：2211x x y x x -+=++【例159】 求下列函数的导数：32xxxy e e=-+【例160】 求下列函数的导数：ln tan y x x x x =+．【例161】 函数s in x y x=的导数为_________【例162】 函数2(1s in )y x =-的导数是________．【例163】 设y =y '=________．【例164】 设3()f x x=，()f a b x -的导数是 ．【例165】 求下列函数的导数：y =【例166】 求下列函数的导数：2πs in 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．【例167】 求下列函数的导数：y =【例168】 求下列函数的导数：x y =【例169】 求下列函数的导数：2ln 1x y x =+【例170】 求下列函数的导数：2s in (c o s )y x =【例171】 ()(2)sin (2)f x a x a x =--（a 为参数），求()f x '；【例172】 ()(2)sin (2)g a a x a x =--（x 为参数），求()g a '．【例173】 函数4226()5f x a a x x=+-的导数为（ ）A ．326410a a x x+- B ．3254106a a x x+- C ．25106a x x -D ．以上都不对【例174】 求xy x=的导数．【例175】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【例176】 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a xa =---，则()0f '=（ ）A ．62B ．92C ．122D ．152【例177】 ln y x=的导数是______．【例178】 求2πs in 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的导数．【例179】求()ln )f x x =的导数；【例180】已知函数()f x =(1)2f '=，则a 的值为_______．【例181】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【例182】 已知函数xey x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【例183】 设()ln xf x a e b x=⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值．【例184】 有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()c o s s inh x x x=-，则π112h ⎛⎫'=⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=； ④若三次函数32()f x a x b x c x d =+++，则“0ab c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 ．1．利用导数判断函数的单调性的方法：知识内容板块三.导数的应用如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．题型一：原函数与导函数的图象【例1】 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ）O yxB ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【例2】 函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个baOyx【例3】 ()f x xb xc =++()f x '的图象不过第几象限?典例分析【例4】 若函数2()f x xb x c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）D.C.B.A.ss【例6】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()yf x =的图象可能是（ ）A.【例7】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例8】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【例9】()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）D.C.B.A.y【例10】 如果函数()yfx =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）D【例11】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【例12】如图所示是函数()y f x=的导函数()y f x'=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）)为增函数B．在区间(03)，内()y f x=为减函数C．在区间(4)+∞，内()y f x=为增函数D．当2x=时()y f x=有极小值【例13】如果函数()y f x=的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间3,2--⎪⎝⎭内单调递增；②函数()yf x =在区间1,32⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x=-时，函数()yf x =有极大值；则上述判断中正确的是___________．【例14】 函数321()f x x x =-+的图象大致是（ ）DCBA【例15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =+B ．()2ln f x x x =-C ．()ln f x x x=+ D ．()ln f x x x=-【例16】 函数2()(2)exf x xx =-的图象大致是 （ ）DCBA【例17】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()yS t '=的图像大致为（ ）【例18】 函数22xyx=-的图像大致是（ ）【例19】 已知函数()f x 的导函数()fx '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例20】 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞【例21】 己知函数()32f x a x b x c =++，其导数()f x '的图象如图所示， 则函数()f x 的极小值是（ ） A ．a b c ++ B ．84a b c++ C ．32a b+D ．c题型二：函数的单调性【例22】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0)+∞，B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【例23】 下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ）A ．21x y =-+B ．1xy x=- C ．2(1)y x =-- D ．12lo g (1)y x =-【例24】 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．【例25】 三次函数3()1y f x a x ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．0a ≤D ．0a <【例26】 函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．【例27】 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为（ ）A ．(2)+∞，B ．(2)-∞，C ．(0)-∞，D ．(02)，【例28】 函数co s sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．π3π22⎛⎫⎪⎝⎭， B ．(π2π)， C ．3π5π22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．(2π3π)，【例29】 若y ax=与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y a x b x=+的单调性描述正确的是（ ）A ．在()-∞+∞，上是增函数B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【例30】 函数()()()321483f x a x a xb x b=+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在⎡-⎣上为增函数B ．在⎡-⎣上为减函数C ．在)⎡+∞⎣上为增函数，在(-∞-，上为减函数D ．在(-∞-，上为增函数，在)⎡+∞⎣上为减函数【例31】 若32()(0)f x a x b x c x d a =+++>在R 上是增函数，则（ ）A ．240b a c -≥B ．240b a c -≤ C ．230b ac -≥ D ．230b a c -≤【例32】 若21()ln (2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞， C ．(1]-∞-， D ．(1)-∞-，【例33】 函数()21xf x x =-（ ）A ．在()02，上单调递减B ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递增C ．在()02，上单调递增D ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递减【例34】 若函数()221x f x x=-+，则()f x （ ）A ．在()-∞+∞，单调增加B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【例35】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ．【例36】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【例37】 已知321(2)33yx b x b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤【例38】 若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞【例39】 已知()23k k h x x x=-+，()()ln g x h x x=+，且()g x 在(1,)+∞上是增函数，则此时实数k 的取值范围是______．【例40】 若函数32()1f x x a x=-+在(02)，内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例41】 若函数32()1f x x a x =-+的单调递区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例42】 已知函数232()43f x x a x x=+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【例43】 若函数232()43f x x a x x=+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【例44】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0,)+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,1)-∞- D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【例45】 对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【例46】 已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．()()()312f f f -<-< B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-【例47】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()a f a b f b ≤B ．()()b f b a f a ≤C ．()()a f b b f a ≤D ．()()b f a a f b ≤【例48】 设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f xg x fx g x ''+<，则当ax b<<时，有（ ）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b fb g x >D ．()()()()f x g x fa g a >【例49】 函数()()ln 1f x x a x =+-在()12，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【例50】 已知函数()321f x x a x x =-+--在()-∞+∞，上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(()3-∞-+∞，，B ．⎡⎣C ．(()3-∞-+∞，，D ．(【例51】 若函数32()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,]3-∞。
导数的练习题及答案
导数的练习题及答案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
掌握导数的概念对于解决各种数学和物理问题至关重要。
在这篇文章中，我们将给出一些关于导数的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和应用导数。
练习题一：求函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数。
解答一：根据导数的定义，我们知道导数可以通过函数的极限来求解。
在这个例子中，我们可以使用直接求导的方法来计算导数。
首先，我们对每一项使用求导法则。
对于 $2x^3$，它的导数是$6x^2$；对于 $-5x^2$，它的导数是 $-10x$；对于 $3x$，它的导数是$3$；对于常数项 $-1$，它的导数是 $0$。
然后，将这些导数相加，得到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。
所以，$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$。
接下来，我们求函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数。
将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 28$。
所以，函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数为 $f'(2) = 28$。
练习题二：求函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数。
解答二：这个问题涉及到两个函数的乘积，所以我们需要使用乘积规则来求解。
首先，我们将函数 $y = e^x \sin(x)$ 分解为两个函数的乘积：$y =u(x) v(x)$，其中 $u(x) = e^x$，$v(x) = \sin(x)$。
然后，我们求出每个函数的导数。
对于 $u(x) = e^x$，它的导数仍然是 $e^x$；对于 $v(x) = \sin(x)$，它的导数是 $\cos(x)$。
根据乘积规则，函数 $y$ 的导数为 $y' = u'v + uv'$。
高二函数导数练习题及答案
高二函数导数练习题及答案在高二数学学习中，函数导数是非常重要的概念之一。
掌握了函数导数的计算方法和应用，将有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一些关于高二函数导数的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
练习题一：计算下列函数的导数：1. f(x) = 3x^2 - 2x + 12. g(x) = 4sin(2x)3. h(x) = e^x + ln(x)4. i(x) = (x^2 + 1)^3练习题二：已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x) = 2x - 3，求函数 f(x)。
练习题三：求函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数。
练习题四：已知函数 f(x) 在区间 (-∞, 0) 上递增，在区间(0, +∞) 上递减，并且f(1) = 2，f(-1) = -2，求函数 f(x) 的解析式。
练习题五：画出函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 的导函数的图像，并说明该函数的单调区间和极值点。
练习题六：已知函数 f(x) 的导数为 f'(x) = cos(x)，且 f(0) = 2，求函数 f(x)。
答案参考：练习题一：1. f'(x) = 6x - 22. g'(x) = 8cos(2x)3. h'(x) = e^x + 1/x4. i'(x) = 6(x^2 + 1)^2 * 2x练习题二：函数 f(x) = x^2 - 3x + C （C为任意常数）练习题三：f'(2) = 12练习题四：f(x) = { -2x + 4, x ≤ -1{ x^2 + 1, -1 < x < 1{ 2x - 2, x ≥ 1练习题五：导函数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12，单调递增区间为 (-∞, -1) 和(2, +∞)，单调递减区间为 (-1, 2)，极小值点为 (-1, -16)。
高中求导简单练习题及讲解
高中求导简单练习题及讲解练习题1：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：首先，我们需要知道基本的求导法则。
对于多项式函数，每一项的导数可以通过求导法则分别求得，然后将它们相加。
对于 \( f(x) = 3x^2 \)，导数是 \( 6x \)。
对于 \( f(x) = 2x \)，导数是 \( 2 \)。
对于常数项 \( -5 \)，导数是 \( 0 \)。
将这些导数相加，我们得到 \( f'(x) = 6x + 2 \)。
练习题2：求函数 \( g(x) = \sin(x) \) 的导数。
解答：对于三角函数，我们使用基本的三角函数导数公式。
对于 \( \sin(x) \)，导数是 \( \cos(x) \)。
因此，\( g'(x) = \cos(x) \)。
练习题3：求函数 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：这里我们使用链式法则和幂法则。
首先，设 \( u = x^3 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
\( u \) 的导数是 \( u' = 3x^2 \)。
接下来，我们对 \( u^4 \) 求导，使用幂法则，得到 \( h'(x) = 4u^3 \cdot u' \)。
将 \( u \) 和 \( u' \) 的表达式代入，我们得到 \( h'(x) =4(x^3 - 1)^3 \cdot 3x^2 \)。
练习题4：求函数 \( k(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的导数。
解答：对于复合函数的导数，我们使用商法则。
设 \( u = x^2 + 1 \)，那么 \( k(x) = \frac{1}{u} \)。
\( u \) 的导数是 \( u' = 2x \)。
使用商法则，我们得到 \( k'(x) = -\frac{u'}{u^2} \)。
关于高二数学导数的练习题
关于高二数学导数的练习题尊敬的读者：在这篇文章中，我们将为您提供一些关于高二数学导数的练习题。
这些练习题旨在帮助您巩固导数的概念和应用。
希望您通过解答这些题目，加深对导数的理解，并在实际问题中灵活运用。
让我们开始吧！练习题一：求函数f(x)=3x²+2x+1的导数。
解答一：函数f(x)=3x²+2x+1的导数可以通过求出每一项的导数再相加得到。
f'(x)=d(3x²)/dx + d(2x)/dx + d(1)/dx=6x + 2 + 0=6x + 2练习题二：求函数g(x) = √(4x³+x²-2)的导数。
解答二：函数g(x) = √(4x³+x²-2)的导数可以通过链式法则进行求解。
首先，我们需要定义一个辅助函数y(u) = √u，其导数为y'(u) =1/(2√u)。
将f(x) = 4x³+x²-2代入辅助函数得到y(f(x)) = √(4x³+x²-2)。
然后，我们对辅助函数的复合函数求导。
y'(f(x)) = 1/(2√(4x³+x²-2))。
最后，我们使用链式法则得到g'(x) = f'(x) * y'(f(x))。
g'(x) = (12x²+2x)* (1/(2√(4x³+x²-2)))。
练习题三：求函数h(x) = e^x * ln(x)的导数。
解答三：函数h(x) = e^x * ln(x)的导数可以通过乘积法则和对数函数求导法则进行求解。
首先，我们使用乘积法则将h(x)展开。
h'(x) = (e^x * d(ln(x))/dx) + (ln(x) * d(e^x)/dx)。
然后，我们需要求出各个项的导数。
d(ln(x))/dx = 1/x，因为ln(x)的导数为1/x。
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+ D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+， 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+ ()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2xx aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min1g t g ===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()222cos 222cos tx x x xf x x x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．9．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11 y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题. 10．函数()lnf x x x=、()()f xg xx'=，下列命题中正确的是（）.A．不等式()0g x>的解集为1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．函数()f x在()0,e上单调递增，在(,)e+∞上单调递减C．若函数()()2F x f x ax=-有两个极值点，则()0,1a∈D．若120x x>>时，总有()()()2212122mx x f x f x->-恒成立，则m1≥【答案】AD【分析】对A，根据()lnf x x x=，得到()()ln1f x xg xx x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高考数学二轮复习数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
高考数学二轮复习数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数， 而4()sin cos f x x x x '=+()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．3．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点 C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．所以()f x 在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x 在)+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x +=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x=当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()22max e eg x g e ==-=． 故2ek <，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)xf e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．5．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.6．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.7．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ）A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+=B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0xC ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xxx x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()xx F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ）A ．10m e <<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e > 【答案】C【分析】由()0f x =得出ln x m x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误.【详解】令()0f x =，可得ln x m x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln x g x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确； 当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<；函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>.由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-.所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确.故选：C.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
导数概念及其几何意义培优习题
导数概念及其几何意义培优习题1．函数()2f x x =在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．32．在曲线2y x =的图象上取一点()1,1及附近一点()1,1x y +∆+∆，则yx∆∆为（ ） A ．12x x∆++∆ B ．12x x∆--∆ C ．2x ∆+ D ．12x x+∆-∆3．已知函数()2ln 38f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．204．若f ′(x 0)＝－3，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－125．已知函数f （x ）在x 0处的导数为1，则000(2x)()lim x f x f x x∆→+∆-∆等于 （ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣16．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-7．已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()22limx f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<9．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h （t ）＝10﹣4.9t 2+8t （距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.5秒时的瞬时速度为（ ） A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒10．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+11．一质点按规律32s t =运动，则其在时间段[]1,2内的平均速度为（ ）/m s ，在1t =时的瞬时速度为（ ）/m s .A ．12，3B ．10，5C ．14，6D ．16，612．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：30()6002tM t -=g ，则铯137含量M 在30t ＝时的瞬间变化率为（ ） A ．102ln ﹣（太贝克/年） B ．3002ln （太贝克/年） C ．3002ln ﹣（太贝克/年） D ．300（太贝克/年）14．水波的半径以0.5m/s 的速度向外扩张，当半径为2.5m 时，圆面积的膨胀率是____________.15．若()23f '=，则()()222limx f x f x∆→+∆-=∆________.16．质点M 按规律2()(21)s t t =+ 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在2t = 时的瞬时速度为______（单位：/m s ）17．如图，函数()f x 的图象是折线段()f x ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）18． 已知函数()2f x ax c ＝＋，且f ′(1)＝2，则a 的值为________.参考答案1．B 2．C 因为2y x =，所以()2112x y x x x+∆-∆==∆+∆∆．故选C. 3．D2'()8f x x =+，'(1)10f =，00(12)(1)(12)(1)lim 2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆2'(1)20f =4．Df ′(x 0)＝()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆＝－3，()()0003limh f x h f x h h→+--＝()()()()000003limh f x h f x f x f x h h→+-+--＝()()()()000003lim 33h f x h f x f x h f x hh →⎡⎤+---+⋅⎢⎥-⎣⎦＝()()()()000003lim3lim3h h f x h f x f x h f x hh→→+---+⋅-＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 5．A000000(2)()(2)()lim2lim2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆02'()212f x ==⨯=， 6．C 由0()()lim2x f x f xππ∆→+∆-=∆，即()'2f π=因为()sin f x a x =-，所以'()cos f x a x =-则()'cos 2f a ππ=-=，所以2a = 7．C 解：Q 直线l 经过()1,0-，()0,1两点，∴:1l y x =+.直线与曲线()y f x =切于点()2,3A ，可得曲线在2x =处的导数为：()21f ¢=，所以()()()22l 2im1x f xf x f ∆→+∆-∆=='.8．B 由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-Q ，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.9．C Q 函数关系式是2()10 4.98h t t t =-+()9.88h t t ∴'=-+，∴在0.5=t 秒的瞬时速度为9.80.58 3.1-⨯+=10．C 令得，故4423()725ln(1)425ln 52ts v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C 11．C 根据题意，一质点按规律32s t =运动，则其在时间段[]1,2内的平均速度为33222114/21s m s t ∆⨯-⨯==∆-，其导数2()6s t t '=，则(1)6s '=，则在1t =时的瞬时速度为6/m s 12．B单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长 速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量 的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 故函数的图象应一直下凹的. 13．A 解：依题意，30()6002tM t -=g30301()60022202230t tM t ln ln --∴'=-⨯⨯=-⨯，所以铯137含量M 在30t =时的瞬间变化率为：1(30)2022102M ln ln -'=-⨯=-（太贝克/年）， 14．2.5π解：设水波向外扩张的时间为t ，此时面积为S ，则有()220.50.25S t t ππ==，则'0.5S t π=，当半径为2.5m 时，5t =.所以5' 2.5t S π==，15．6.()()()()()00222222lim2lim 2262x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.16．202()(21)s t t =+Q ，()2(21)284s t t t '∴=+⋅=+，则质点在2t =时的瞬时速度为(2)82420(/)s m s '=⨯+=.17．2 -2 f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知0(1)(1)lim x f x fx∆→+∆-=∆－2.18．122(1)(1)(1)12y f x f a x c a ca a x x x x∆+-++-⨯-===+V VV V V V当Δx→0时，yx∆V→2a，∴2a＝2，a＝1.。
导数培优练习题
2016-2017学年度???学校10月月考卷1．设函数ln ,x f x x ax g x e ax ,其中a 为实数. （1）若f x 在1,上是单调减函数, 且g x 在1,上有最小值, 求a 的取值范围；（2）若g x 在1,上是单调增函数, 试求f x 的零点个数, 并证明你的结论. 2．已知函数222220,6x f x e x x a a g x x x c c R .（1）若曲线y f x 在点0,0f 处的切线方程为42y x ,求a 的值；（2）求函数f x 的单调区间；（3）当1a时, 对122,2,2,2x x ,使得12f x g x 成立, 则实数c 的取值范围．3．设函数21ln 12fx x ax x ．（1）当2a时，求函数f x 的极值点；（2）当0a时，证明：x xe f x 在0,上恒成立．4．已知函数2()1(0)1mxf x m x ，2()(axg x x e a R ）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0m 时，若对任意12,[02]x x ，，12()()f x g x 恒成立，求a 的取值范围．5．设函数222ln R f xx ax x bx a b ，，．（Ⅰ）当10ab ，时，求曲线y f x 在点11f ，处的切线方程；（Ⅱ）当2b时，若对任意[1)x ，，不等式223f x x a 恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知函数()x af x lnx x ，其中a 为常数．（1）若曲数()yf x 在点(1,(1))f 处的切线与直线1y x 垂直，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为13，求a 的值．7．已知函数2ln ,f xax bx x a b R .（1）当1,3a b 时,求函数f x 在1,22上的最大值和最小值；（2）设0a ,且对于任意的0,1x f x f ,试比较ln a 与2b 的大小.8．已知函数),(22)(R a R x ax e x f x .（1）当1a时，求曲线)(x f y 在1x 处的切线方程；（2）当0x时，若不等式0)(x f 恒成立，求实数a 的取值范围.9．已知函数3().f x x x （1）求曲线()y f x 在点(1,0)M 处的切线方程；（2）如果过点(1,)b 可作曲线()yf x 的三条切线, 求实数b 的取值范围.10．已知函数ln 0f x kx x k 有极小值1e ．（1）求实数k 的值；（2）设函数12x g x x e ．证明：当0x 时，x e f x g x ．11．已知函数))(ln )(ln ()(2R a x x x ax x f .（1）当6a 时，求曲线)(x f y 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若0)(x f 恒成立，求实数a 的取值范围.12．已知函数f （x ）=alnx ﹣x+3（y=kx+2k ），曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=x+b （b ∈R ）（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）的极值．13．（2014?抚州一模）已知函数，m ∈R ．（1）当m=1时，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（2）若f （x ）在区间（﹣2，3）上是减函数，求m 的取值范围．14．已知函数()ln af x x x ，()()6lng x f x ax x ，其中a R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx ，当2a 时，若1(0,1)x ，2[1,2]x ，总有12()()g x h x 成立，求实数m 的取值范围.15．已知函数3()3f x x x .求函数()f x 在3[3,]2上的最大值和最小值.16．设函数21ln 2fx x x ．（1）讨论函数f x 的单调性；（2）若12g xf x ax 在区间1,上没有零点，求实数a 的取值范围．17．已知函数),(31)(23R b a bx ax x x f ．若)(x f y 图象上的点)311,1(处的切线斜率为－4，求)(x f y的极大值。
导数高中练习题
导数高中练习题1. 已知函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$，求函数在$x = 2$处的导数值和函数的切线方程。
解答：首先，我们先求函数在$x = 2$处的导数值。
导数的定义是函数在某一点的斜率，可以通过求函数的导数来得到。
对于给定的函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$，我们可以使用求导法则来求导。
首先，对于多项式函数来说，导数的法则是将指数乘以系数，并降低指数值。
因此，对于$3x^2$项，导数为$6x$；对于$-2x$项，导数为$-2$；对于常数项$1$，导数为$0$。
因此，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数值为：$f'(2) = 6(2) - 2 = 10$接下来，我们来求函数$f(x)$在$x = 2$处的切线方程。
切线方程的一般形式为$y = mx + c$，其中$m$是斜率，$c$是截距。
而斜率$m$即为导数$f'(x)$在$x = 2$处的值，即$10$。
代入$x = 2$和$f(2)$的值可以求出截距$c$。
因为切线过点$(2, f(2))$，即$(2, 11)$，代入求得斜率$m = 10$，我们可以得到切线方程为：$y = 10x - 9$2. 已知函数$g(x) = \sqrt{x+1}$，求函数的导数并判断函数是否在$x = -1$处可导。
解答：函数$g(x) = \sqrt{x+1}$是一个平方根函数，我们可以通过求导来得到其导数。
在求导之前，我们需要注意到该函数的定义域为$x \geq -1$，即$x$的取值范围不包括$-1$。
因为平方根函数的导数存在于其定义域内。
对于平方根函数$\sqrt{x}$来说，其导数可以通过链式法则进行求导。
设$h(x) = \sqrt{x}$，$f(x) = x + 1$，则$g(x) = h(f(x))$。
根据链式法则，我们有$g'(x) = h'(f(x)) \cdot f'(x)$。
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1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x∆≠时，商00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆称作函数()yf x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x∆→时，00()()f x x f x lx+∆-→∆”，或记作“000()()limx f x x f x lx∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或“0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．A B 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线A B 绕点A 转动，它的最终位置为直线A D ，这条直线A D 叫做此曲线过点A 的切线，即知识内容板块一.导数的概念 与几何意义x 0xyxOD CB A000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线A D 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)︒︒， B ．(060)︒︒， C ．(6090)︒︒， D ．(60180)︒︒，【例2】在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．21ππn n nn --⎛⎫⎪⎝⎭，【例3】对于任意π02ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有（ ）A ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ<< B ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ>>C ．sin (co s )co s co s(sin )ϕϕϕ<<D ．sin (sin )co s co s(sin )ϕϕϕ<<【例4】若0()lim1x f x x→=，则0(2)limx f x x→=________．【例5】若1(1)lim11x f x x →-=-，则1(22)lim1x f x x →-=-_______．【例6】设()f x 在0x 可导，则()()003limx fx x fx x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x ' B ．()0f x ' C ．()03f x ' D ．()04f x '【例7】若000(2)()lim13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【例8】设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()limx f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）．A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()ab f x '- D ．()f x '【例9】设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．【例11】 已知函数2()8f x x x=+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 ．【例12】 已知1()f x x=，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-∆的值是（ ）典例分析A ．14-B ．2C ．14D ．2-【例13】 若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．【例14】 已知函数()f x 在0xx =处可导，则22000[()][()]limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x ' B ．0()f x C ．20[()]f x ' D ．002()()f x f x '【例15】 计算32lim43n n n →∞-=+________．【例16】 222lim23n n n n →∞+=-_______．【例17】 将直线2:0l n x y n +-=、3:0l x n y n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则limn n S →∞=．【例18】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ）A ．53B ．32C ．2D ．不存在【例19】 如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3rC ．24πrD ．26πr【例20】 22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭______．【例21】 若lim1n →∞=，则常数a=_______．【例22】πlimx →=_____．【例23】 2123limn nn→∞++++=_________【例24】 012lim (2)x xx x →⎛⎫-=⎪+⎝⎭________．【例25】 211lim34x x x x →-=+-__________．【例26】 2241lim 42x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭（ ） A ．1-B ．14-C ．14D ．1【例27】1lim1x x →=- ．【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a n x=+++，其中12n a a a n +∈∈R N ，，，，，已知对一切x ∈R，有()sin f x x≤和0sin lim1x x x→=，求证：1221n a a n a +++≤．【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，则((0))f f =；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（）B.A.【例32】 函数2()21f x x =+在闭区间[11]x +∆，内的平均变化率为（ ）A ．12x +∆B ．2x +∆C ．32x+∆ D ．42x +∆【例33】 求函数y =在0x 到0x x+∆之间的平均变化率．【例34】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【例35】 求函数2()f x x x=-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．【例36】 求函数3()2f x x x=-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【例37】 已知某物体的运动方程是3199s t t=+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【例38】 已知某物体的运动方程是22232t s tt-=+，则3t =时的瞬时速度是_______．【例39】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t=时的速度v=____，加速度a=．【例40】 物体运动方程为4134s t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164st t t=-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【例42】 如果某物体做运动方程为22(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）A ．0.88-m/sB ．0.88m/sC ． 4.8-m/sD ．4.8m/s【例43】 求y =xx =处的导数．题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线1y x x=+上一点522A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，用斜率定义求：⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【例45】 已知曲线1y x=上一点(12)A ，，用斜率定义求：⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【例47】 求函数()a f x a x x=+(0)a ≠的图象上过点A2(1)a a+，的切线方程．【例48】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（）A ．1yx =- B ．2yx =- C ．yx=D ．1yx =+【例49】 求曲线1y x =在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．【例50】 函数1y x=-在点122⎛⎫-⎪⎝⎭，处的切线方程为（ ）A ．4yx= B ．44yx =- C ．4(1)yx =+ D ．24yx =+【例51】 已知曲线214y x=的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______．【例52】 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【例53】 过点(11)，作曲线3yx=的切线，则切线方程为__________．【例54】 曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．【例55】 若曲线21y x =-与31yx=-在0xx =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）A6B．6-C ．23D ．23或0【例56】 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10a x y ++=垂直，则a=（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-【例57】 设曲线2y a x =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a=（ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【例58】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线48yx =+平行，则l 的方程为______________．【例59】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y--= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【例60】 设P为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______．【例61】 设P为曲线C ：223yx x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例62】 曲线21x y x =-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --=B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=【例63】 设函数2()()f x g x x=+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21yx =+，则曲线()yf x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y fx =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．【例65】 函数sin y x=的图象上一点π32⎛⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A ．1B 2C 2D ．12【例66】 曲线ln (21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A B ． C ． D ．0【例67】 在平面直角坐标系xo y中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．【例68】 抛物线2y x b x c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0b x yc ++=间的距离为________．【例69】 若0y =是曲线3yx b x c=++的一条切线，则32()()32bc +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2kka a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a+，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．【例71】 已知点P在曲线4e 1xy=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【例72】 曲线2x y x =+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21yx =+B ．21yx =- C ．23y x =-- D ．22yx =--【例73】 若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e )f 处的切线方程是 ．【例75】 设曲线()1*n y xn +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则12nxx x ⋅等于（ ） A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例78】 在平面直角坐标系xO y中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x=和21594ya x x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564- D ．74-或7【例80】 已知函数21()()5g x f x x=+的图象在P 点处的切线方程为8yx =-+，又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．【例81】 设曲线1co s sin x y x+=在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线10x a y -+=平行，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【例82】 已知函数()lo g a f x x=和()2lo g (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x=处的切线互相平行，则t =_______．【例83】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____． ⑵曲线32242yx xx =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【例84】 已知曲线31433y x =+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．【例85】 已知曲线s：33yx x=-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．【例86】 曲线1y x=和2yx=在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．【例87】 曲线12e xy =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e2B ．24eC ．22eD ．2e【例88】 曲线3y x=在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线xa=所围成的三角形的面积为16，则a =．【例89】 曲线313y x x=+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．23【例90】 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．【例91】 若曲线3()ln f x a x x=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．【例92】 曲线cos y x =在点π42P ⎛ ⎝⎭处的切线方程是 ．【例93】 函数co s 2y x=在点π04⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是（ ）A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y--= D ．42π0x y +-=【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x fx xx =--+-，则曲线()yfx =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．yx= C ．32yx =-D ．23y x =-+【例95】 已知曲线C：4323294yx x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．【例96】 已知抛物线2y a x b x c=++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b、c 的值．【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线yx=的切线，求此二切线之间的距离．【例98】 已知曲线32()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．【例99】 已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限， ⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【例100】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．【例101】 已知函数xxea ex f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y=的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ）A ．ln 2B ．2ln -C ．22ln D ．22ln -【例102】 已知函数32()c f x x b x x d=+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))Mf --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()yf x =的解析式．【例103】 已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(10)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，⑴求直线2l 的方程；⑵求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．【例104】 设函数()b f x a x x=-，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线yx=所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【例105】 设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【例106】 已知抛物线1C ：22y x x=+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【例107】 设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x a x =+与2()g x b xc=+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．【例108】 已知曲线1C ：2y x=与2C ：2(2)yx =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．【例109】 已知函数3()f x x x=-．⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ⑵求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程．⑶设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．⑷求过任一点()N a b ，能作的曲线3()f x x x=-的切线的条数．【例110】 如图，在平面直角坐标系xO y中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B，两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段A B 和直线:l y c =-交于点P Q ，，⑴若2O A O B ⋅=，求c 的值；⑵若P 为线段A B 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线； ⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．【例111】 证明如下命题：命题：设(0)C c ，是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x p y p =>交于A B，两点，则过A B ，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦A B 中点的横坐标．【例112】 设Q为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线22x p y =(0)p >的两条切线，切点分别为A B ，，求证：直线A B 必过定点(0)C c ，，且线段A B 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．【例113】 已知函数()2ln f x x x=-．⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间； ⑵已知曲线()yfx =在点()()00x fx ，处的切线是2ykx =-，求k 的值．【例114】 求曲线12y x =+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．1知识内容板块二.导数的运算注：ln lo g e aa=a e e π 2.7182818284e =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()C f x C f x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则： 设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦．特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【例115】 下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(lo g )ln 2x x '=C ．3(3)3lo g ex x'=D ．2(c o s )2s in x x x x'=-【例116】 2()3f x x x =++，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例117】 2()f x x x=+，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例118】 2()3f x x =+，则(1)f '=（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1【例119】 2()3f x x x =-+，则(1)f '=（ ）典例分析A ．5B ．4C ．1D ．0【例120】 函数31y x x=-的导数y '=（ ）A ．2213xx-B ．1332x- C ．2213x x+D ．221x x+【例121】 求函数2s in y x x=的导数．【例122】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【例123】 设函数32()2f x x a x x'=++，(1)9f '=，则a=_______．【例124】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)xx -+- B ．22(1)x- C ．2(1)x - D ．1x -【例125】 已知函数2()f x a x c=+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ）A ．1BC ．1-D ．0【例126】 函数3(21)y x =+在0x=处的导数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【例127】 已知函数2()(1sin )f x x x =+，求π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值．【例128】 函数2c o s y x x=的导数为（ ）A ．22c o s sin y x x x x '=- B ．22c o s sin y x x x x '=+C ．2c o s 2sin y x x x x'=- D ．2c o s sin y x x x x'=-【例129】 函数221x y x=-的导数是（ ）A ．222(1)1x x+-B ．22131x x+- C ．2222(1)4(1)x x x --- D ．2222(1)(1)x x +-【例130】 函数1co s x y x=-的导数是（ ）A ．1co s sin 1co s x x xx--- B ．21c o s sin (1c o s )x x xx --- C ．21c o s sin (1c o s )x x x -+- D ．21c o s sin (1c o s )x x xx -+-【例131】 函数()ln 2x f x x=的导函数()f x '是（ ）A ．21ln 2xx-B ．21ln 2xx+ C ．212ln 22xx- D ．212ln 22xx+【例132】 求下列函数的导数：(1)(2)(3)y x x x =+++．【例133】 求函数()()()y x a x b x c =---的导数．【例134】 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f c b f b a f a ．【例135】 函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例136】 若2()(2)f x x a =+，且(2)20f '=，则a=______．【例137】 若()exf x x =，则()0f '=________．【例138】 函数32()3f x a x x =++，若(1)8f '=，则实数a =_________．【例139】 设()ln f x x x=，若0()2f x '=，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2【例140】 已知函数()πc o s sin 4f x f x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．【例141】 已知()s in f x x=，则(1)f '=（ ）A ．1co s 13+ B ．1sin 1co s 13+ C ．1sin 1co s 13- D ．sin 1cos1+【例142】 32()32f x a x x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310【例143】 若30(),()3f x x f x '==，则0x 的值为________．【例144】 求下列函数的导数：2(21)(31)y x x =-+【例145】 求下列函数的导数：1ln 1ln x y x-=+．【例146】 求下列函数的导数：tan x．【例147】 求下列函数的导数：sin co s co s sin x x x y x x x-=+．【例148】 求函数1()sin co s f x x x=+的导函数()f x '．【例149】 求下列函数的导数：2(251)xy x x e=-+；【例150】 求下列函数的导数：()xxf x =+．【例151】 求下列函数的导数：37314y x x=-+【例152】 求下列函数的导数：()f x x=．【例153】 求下列函数的导数：y x =．【例154】 求下列函数的导数：y =+．【例155】 求函数y =的导数．【例156】 求下列函数的导数：2121xxy -=+．【例157】 求下列函数的导数：2s in12c o s 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【例158】 求下列函数的导数：2211x x y x x -+=++【例159】 求下列函数的导数：32xxxy e e=-+【例160】 求下列函数的导数：ln tan y x x x x =+．【例161】 函数s in x y x=的导数为_________【例162】 函数2(1s in )y x =-的导数是________．【例163】 设y =y '=________．【例164】 设3()f x x=，()f a b x -的导数是 ．【例165】 求下列函数的导数：y =【例166】 求下列函数的导数：2πs in 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．【例167】 求下列函数的导数：y =【例168】 求下列函数的导数：x y =【例169】 求下列函数的导数：2ln 1x y x =+【例170】 求下列函数的导数：2s in (c o s )y x =【例171】 ()(2)sin (2)f x a x a x =--（a 为参数），求()f x '；【例172】 ()(2)sin (2)g a a x a x =--（x 为参数），求()g a '．【例173】 函数4226()5f x a a x x=+-的导数为（ ）A ．326410a a x x+- B ．3254106a a x x+- C ．25106a x x -D ．以上都不对【例174】 求xy x=的导数．【例175】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【例176】 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a xa =---，则()0f '=（ ）A ．62B ．92C ．122D ．152【例177】 ln y x=的导数是______．【例178】 求2πs in 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的导数．【例179】求()ln )f x x =的导数；【例180】已知函数()f x =(1)2f '=，则a 的值为_______．【例181】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【例182】 已知函数xey x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【例183】 设()ln xf x a e b x=⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值．【例184】 有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()c o s s inh x x x=-，则π112h ⎛⎫'=⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=； ④若三次函数32()f x a x b x c x d =+++，则“0ab c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 ．1．利用导数判断函数的单调性的方法：知识内容板块三.导数的应用如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．题型一：原函数与导函数的图象【例1】 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ）O yxB ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【例2】 函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个baOyx【例3】 ()f x xb xc =++()f x '的图象不过第几象限?典例分析【例4】 若函数2()f x xb x c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）D.C.B.A.ss【例6】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()yf x =的图象可能是（ ）A.【例7】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例8】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【例9】()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）D.C.B.A.y【例10】 如果函数()yfx =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）D【例11】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【例12】如图所示是函数()y f x=的导函数()y f x'=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）)为增函数B．在区间(03)，内()y f x=为减函数C．在区间(4)+∞，内()y f x=为增函数D．当2x=时()y f x=有极小值【例13】如果函数()y f x=的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间3,2--⎪⎝⎭内单调递增；②函数()yf x =在区间1,32⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x=-时，函数()yf x =有极大值；则上述判断中正确的是___________．【例14】 函数321()f x x x =-+的图象大致是（ ）DCBA【例15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =+B ．()2ln f x x x =-C ．()ln f x x x=+ D ．()ln f x x x=-【例16】 函数2()(2)exf x xx =-的图象大致是 （ ）DCBA【例17】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()yS t '=的图像大致为（ ）【例18】 函数22xyx=-的图像大致是（ ）【例19】 已知函数()f x 的导函数()fx '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例20】 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞【例21】 己知函数()32f x a x b x c =++，其导数()f x '的图象如图所示， 则函数()f x 的极小值是（ ） A ．a b c ++ B ．84a b c++ C ．32a b+D ．c题型二：函数的单调性【例22】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0)+∞，B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【例23】 下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ）A ．21x y =-+B ．1xy x=- C ．2(1)y x =-- D ．12lo g (1)y x =-【例24】 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．【例25】 三次函数3()1y f x a x ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．0a ≤D ．0a <【例26】 函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．【例27】 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为（ ）A ．(2)+∞，B ．(2)-∞，C ．(0)-∞，D ．(02)，【例28】 函数co s sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．π3π22⎛⎫⎪⎝⎭， B ．(π2π)， C ．3π5π22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．(2π3π)，【例29】 若y ax=与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y a x b x=+的单调性描述正确的是（ ）A ．在()-∞+∞，上是增函数B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【例30】 函数()()()321483f x a x a xb x b=+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在⎡-⎣上为增函数B ．在⎡-⎣上为减函数C ．在)⎡+∞⎣上为增函数，在(-∞-，上为减函数D ．在(-∞-，上为增函数，在)⎡+∞⎣上为减函数【例31】 若32()(0)f x a x b x c x d a =+++>在R 上是增函数，则（ ）A ．240b a c -≥B ．240b a c -≤ C ．230b ac -≥ D ．230b a c -≤【例32】 若21()ln (2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞， C ．(1]-∞-， D ．(1)-∞-，【例33】 函数()21xf x x =-（ ）A ．在()02，上单调递减B ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递增C ．在()02，上单调递增D ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递减【例34】 若函数()221x f x x=-+，则()f x （ ）A ．在()-∞+∞，单调增加B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【例35】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ．【例36】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【例37】 已知321(2)33yx b x b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤【例38】 若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞【例39】 已知()23k k h x x x=-+，()()ln g x h x x=+，且()g x 在(1,)+∞上是增函数，则此时实数k 的取值范围是______．【例40】 若函数32()1f x x a x=-+在(02)，内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例41】 若函数32()1f x x a x =-+的单调递区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例42】 已知函数232()43f x x a x x=+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【例43】 若函数232()43f x x a x x=+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【例44】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0,)+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,1)-∞- D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【例45】 对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【例46】 已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．()()()312f f f -<-< B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-【例47】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()a f a b f b ≤B ．()()b f b a f a ≤C ．()()a f b b f a ≤D ．()()b f a a f b ≤【例48】 设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f xg x fx g x ''+<，则当ax b<<时，有（ ）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b fb g x >D ．()()()()f x g x fa g a >【例49】 函数()()ln 1f x x a x =+-在()12，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【例50】 已知函数()321f x x a x x =-+--在()-∞+∞，上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(()3-∞-+∞，，B ．⎡⎣C ．(()3-∞-+∞，，D ．(【例51】 若函数32()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,]3-∞。