2009年全国中考数学压轴题精选精析(天津)_5
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(五)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（五）49.（09年某某某某）24．已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值X 围．（09年某某某某24题解析）（1）如图，在坐标系中标出O∵∠AO C≠90°， ∴∠ABC =90°， 故BC ⊥OC ， BC ⊥AB ，∴B （72，1）．（1分，）即s =72，t =1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y =x 2+mx －m 与 y =1（线段AB ）相交，得，12y =x mx m,y =.+-⎧⎨⎩ （3分）∴1＝x 2+mx －m ，由 (x －1)(x +1+m )=0，得121,1x x m ==--． ∵1x =1<32，不合题意，舍去． （4分）∴抛物线y =x 2+mx -m 与AB 边只能相交于（2x ，1）， ∴32≤－m －1≤72，∴9252m --≤≤ ． ①（5分）又∵顶点P (2424,m m m +--)是直角梯形OABC 的内部和其边上的一个动点，∴7022m ≤-≤，即70m -≤≤ ． ② （6分）∵2224(2)4(1)44211m m m m ++-+-=-=-+≤，（或者抛物线y =x 2+mx －m 顶点的纵坐标最大值是1） ∴点P 一定在线段AB 的下方． （7分） 又∵点P 在x 轴的上方， ∴2440m m +-≥，(4)0,m m +≤∴0,0,4040m m m m ≤≥+≥+≤⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者 ． （*8分）4(9)0. m ∴-≤≤分③（9分）又∵点P 在直线y =23x 的下方，∴242()432m m m +-≤⨯-，（10分）即(38)0.m m +≥0,0,380380.m m m m ≤≥+≤+≥⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者 （*8分处评分后，此处不重复评分） 80.3m m ∴≤-≥(11分)，或④由①②③④ ，得4-≤83m ≤-．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理． 50.（09年某某某某）（本题答案暂缺）26．（本题满分10分）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）某某数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．51.（09年某某某某）26．如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）（09年某某某某26题解析）解：（1）CD =BE ．理由如下: 1分 ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ，y OxC NBPM A图9 图10 图11∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ACD 3分∴CD=BE ··································································· 4分 （2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ······················ 5分 ∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴BM =1122BE CD CN == ∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌△A ． ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．6分∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．7分 设AD=a ，则AB=2a ． ∵AD=AE=DE ，AB=AC ，∴CE=DE ．∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ，∠ADE=60o ， ∴∠EDC =∠ECD =30o ， ∴∠ADC =90o ．8分 ∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ， ∴CD．∵N 为DC 中点，∴DN =，∴AN =．9分 ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下： ························································· 5分∵△ABE ≌△ACD ，M 、N 分别是BE 、的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌△A ，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o∴△AMN 是等边三角形 ·············································································· 7分图11CNDABME设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a 易证BE ⊥AC ，∴BE =a a a AE AB 3)2(2222=-=-，∴EM =∴a a a AE EM AM 27)23(2222=+=+= ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分52.（09年某某某某）27． 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．（09年某某某某27题解析）（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12y x 2分同样可得，反比例函数解析式为2y x3分 （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2Q m m ，， 4分 于是211112224OBQ S OB BQ m m m △， 而1(1)(2)12OAP S △，所以有，2114m ，解得2m =±6分所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，7分 （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．8分因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，， 由勾股定理可得222242()4OQ n nn n，所以当22()0nn即20nn时，2OQ 有最小值4，又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．9分由勾股定理得OP OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OP OQ ． ···················································· 10分53.（09年某某某某）26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．（09年某某某某26题解析）（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：54.（09年某某某某）26． （本题满分10分）图12（1）图12（2）图12（3）24))4<≤a如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．（09年某某某某26题解析）解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则222212151016913AB BG GA =+=+-==（）（1分）过Q 作，于H OA QH ⊥则2222212102)144(103)QP QH PH t t t =+=+--=+-（ （2分）要使四边形P ABQ 是等腰梯形，则AB QP =， 即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（3分） （2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(二)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）13.（09年某某某某）25．（本题满分10分）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点104M ⎛⎫⎪⎝⎭，，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)n n A x A x A x A x ++，，，，，，，，（n 为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值；（2分） （2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．（4分）（09年某某某某25题解析）解：（1）∵104M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在13y x b =+上，∴11043b =⨯+，∴14b =．2分 （2）由（1）得：1134y x =+，∵11(1)B y ，在l 上， （第25题图）∴当1x =时，111713412y =⨯+=，∴17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，． ·············································· 3 分 解法一：∴设抛物线表达式为：27(1)(0)12y a x a =-+≠，4分 又∵1x d =， ∴1(0)A d ，，∴270(1)12a d =-+，∴2712(1)a d =--，5 分 ∴经过点112A B A 、、的抛物线的解析式为：2277(1)12(1)12y x d =--+-．6 分解法二：∵1x d =，∴1(0)A d ，，2(20)A d -，， ∴设()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，4 分把17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入：7(1)(12)12a d d =--+，得2712(1)a d =--，5 分 ∴抛物线的解析式为27()(2)12(1)y x d x d d =---+-．6 分（3）存在美丽抛物线．7 分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵01d <<，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．∵当1x =时，1117113412y =⨯+=<， 当2x =时，21111213412y =⨯+=<，当3x =时，3111311344y =⨯+=>，∴美丽抛物线的顶点只有12B B 、． ···································································· 8分 ①若1B 为顶点，由17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，，则7511212d =-=； ·············································· 9分 ②若2B 为顶点，由211212B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． ··········································· 10分 14.（09年某某某某）23．本题满分 11 分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图 12，已知直线L 过点(01)A ，和(10)B ，，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L 于点Q ，交x 轴于点M ． （1）直接写出直线L 的解析式；（2）设OP t =，OPQ △的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；并求出当02t <<时，S 的最大值；（3）直线1L 过点A 且与x 轴平行，问在1L 上是否存在点C ， 使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．（09年某某某某23题解析）（1）1y x =- ·························································· 2分 （2）∵OP t =，∴Q 点的横坐标为12t ， ①当1012t <<，即02t <<时，112QM t =-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ················································································ 3分L 1图12②当2t ≥时，111122QM t t =-=-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ∴1110222111 2.22t t t S t t t ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，≥ ··········································································· 4分当1012t <<，即02t <<时，211111(1)2244S t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，∴当1t =时，S 有最大值14． ·········································································· 6分 （3）由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ····································· 7 分 下证90PQC ∠=°．连CB ，则四边形OACB 是正方形． 法一：（i ）当点P 在线段OB 上，Q 在线段AB 上 （Q 与B C 、不重合）时，如图–1．由对称性，得BCQ QOP QPO QOP ∠=∠∠=∠，， ∴180QPB QCB QPB QPO ∠+∠=∠+∠=°，∴360()90PQC QPB QCB PBC ∠=-∠+∠+∠=°°． ········································ 8分 （ii ）当点P 在线段OB 的延长线上，Q 在线段AB 上时，如图–2，如图–3 ∵12QPB QCB ∠=∠∠=∠，， ∴90PQC PBC ∠=∠=°．9分 （iii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． 综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11 分 L 123题图-1法二：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴， 则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．7 分 延长MQ 与1L 交于点N ．（i ）如图–4，当点Q 在线段AB 上（Q 与A B 、不重合）时， ∵四边形OACB 是正方形，∴四边形OMNA 和四边形MNCB 都是矩形，AQN △和QBM △都是等腰直角三角形． ∴90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ====∠=∠=，，°． 又∵OM MP =，∴MP QN =，∴QNC QMP △≌△， ∴MPQ NQC ∠=∠， 又∵90MQP MPQ ∠+∠=°， ∴90MQP NQC ∠+∠=°．∴90CQP ∠=°． ·························································································· 8分 （ii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． ················································ 9分 （iii ）Q 在线段AB 的延长线上时，如图–5， ∵BCQ MPQ ∠=∠，∠1=∠2 ∴90CQP CBM ∠=∠=°23题图-2L 123题图-1综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形．11分法三：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴， 则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．9分连PC ，∵|1|PB t =-，12OM t =，12t MQ =-，∴22222(1)122PC PB BC t t t =+=-+=-+，2222222211222t t t OQ OP CQ OM MQ t ⎛⎫⎛⎫===+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴222PC OP QC =+，∴90CQP ∠=°． ························································ 10分 ∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11分 15.（09年某某某某）28．如图9，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？23题图-4L 123题图-5BCN MA图9（09年某某某某28题解析）解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴= ······················································ 3分 （2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ············································ 4分②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<< ···························································· 6分MNCBEFAA 1综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 ···································································· 8分16.（09年某某某某）24．（本题满分12分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． （09年某某某某24题解析）解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 3分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 5分N DACBM第24题图NDACBM答案24题图22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 7分 （3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 9分 由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 12分（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09年某某某某）23．（本题10分）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。
[学子教育]2009年全国中考数学压轴题9(修订版)
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年全国中考数学分类试题综合题压轴题汇编教师答案版.(黑龙江齐齐哈尔)．（本小题满分分）如图，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．（温馨提示：在图中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．）问题一：如图，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论．问题二：如图，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．．（）等腰三角形 ····························································································分（）判断出直角三角形 ······················································································分证明：如图连结，取的中点，连结， ······································分是的中点，，，．同理，，．，． ··································································································分，，是等边三角形． ·················································································分，，即是直角三角形．分.(黑龙江齐齐哈尔)．（本小题满分分）图图图直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒个单位长度，点沿路线→→运动．（）直接写出两点的坐标；（）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．．（）（，）（，） ····························· 分 （）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位秒） ····· 分当在线段上运动（或）时，··········································································································· 分 当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得， ······························· 分········································································ 分（自变量取值范围写对给分，否则不给分．） （）······························································································· 分······················································ 分注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．.(吉林省) ．如图所示，菱形的边长为厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分．．．．的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：（）点、从出发到相遇所用时间是 秒； （）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；（）求与之间的函数关系式．． 解：（）． ··························································································· （分） （）． ····································································································· （分） （）①当时，． ································ （分）②当时，························································································ （分）③当时，设与交于点．(解法一) 过作则为等边三角形．（第题）．．·······································································（分）（解法二）如右图，过点作于点，，于点过点作交延长线于点．又又·········································································（分）.(辽宁锦州)八、(本题分).如图，抛物线与轴交于()，()两点，且＞，与轴交于点()，其中是方程的两个根.()求这条抛物线的解析式；()点是线段上的动点，过点作∥，交于点，连接，当△的面积最大时，求点的坐标；()探究：若点是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点，使△成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由..(辽宁锦州)七、(本题分).如图，直角梯形和正方形的边、在同一条直线上，∥，⊥于点，，，，直角梯形的面积与正方形的面积相等，将直角梯形沿向右平行移动，当点与点重合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为.()求正方形的边长；()设直角梯形的顶点向右移动的距离为，求与的函数关系式；()当直角梯形向右移动时，它与正方形的重叠部分面积能否等于直角梯形面积的一半？若能，请求出此时运动的距离的值；若不能，请说明理由.七、.解：(). ……分设正方形边长为，∴.∴, (不合题意,舍去).∴正方形的边长为.……分()①当≤＜时，重叠部分为△. ……分过作⊥于，可得△∽△，∴.∴………分∴.∴. ……分②当≤≤时，重叠部分为直角梯形. ……分.∴. ……分()存在. ……分∵梯形，当≤＜时，，∴ (取正值)＞. ∴此时值不存在. ……分当≤≤时，，∴. ∴.综上所述，当时，重叠部分面积等于直角梯形的一半. ……分八、.解：() ∵ ，∴()() .∴.∴() (). ……分又∵抛物线经过点、、,设抛物线解析式为(≠)，∴∴……分∴所求抛物线的解析式为. ……分()设点坐标为(),过点作⊥轴于点.∵点坐标为(，)，点坐标()，∴， .∵∥，∴△∽△.∴.∴.∴△△△.∴.∴. ……分又∵≤≤，∴当时，△有最大值.此时点的坐标为(，). ……分()存在点，其坐标为(，)，，，，.……分.(内蒙包头)．（本小题满分分）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （）如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？（）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？．（分）解：（）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴． ···············································································（分）②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米秒．·····································································（分）（）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇． ············································（分）.(内蒙包头)．（本小题满分分）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（）求二次函数的解析式；（）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（）在（）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．．（分）解：（）根据题意，得解得．． ····························· （分）（）当时， 得或，∵，当时，得，∴， ∵点在第四象限，∴． ························································· （分）当时，得，∴，∵点在第四象限，∴． ························································· （分）（）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为， 当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），∴，∴． ··············································································（分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），，∴，∴．················································································（分）注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．.(四川眉山)六、(本大题分)．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为(，)。
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(九)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（九）97.（2009年某某乌鲁木齐）23．如图9，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．（2009年某某乌鲁木齐23题解析）解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，∴POC POD △≌△，∴PC PD =． ······························································ 3分 （2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥， ∵PBF △是等腰直角三角形，∴112PM BF ==， ∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，，C 图9∴有933420a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为22y x x =-． ···································································· 7分 （3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点． 连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，，设CE 所在直线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得32k b =-⎧⎨=⎩．∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，．PED △的周长即是CE DE +=（4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫⎪⎝⎭，或(22)，． ···························· 14分 98.（2009年某某）23．（本小题14分）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问：（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由．注：第（3）问请用备用图解答．（2009年某某23题解析）解：（1）连结BO 与AC 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP过矩形OABC 的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形OABC 的面积．…………2分由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+． ············································ 5分 （2）存在点M 使得DOM △与ABC △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为DOM ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有OM BC OD AB =或OM ABOD BC=． 当OM BC OD AB =时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件． 当OM AB OD BC =时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件． 由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件． 综上所述，满足使DOM △与ABC △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、备用图315 (0)4M-，．································································································9分（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为52画圆，过点D分别作P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为5画圆，过点D分别作P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝∴△DPE≌△DPF．∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×1522DE PE DE PE DE⨯⋅=⋅=．∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．∵222DE DP PE=-，2221111DE DP PE=-，∴222211DE DE DP DP-=-．∵1DP DP>，∴221DE DE->．∴1DE DE>．由1P点的任意性知：DE是D点与切点所连线段长的最小值．……12分在△ADP与△AOC中，∠DP A＝∠AOC，∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．∴DP CODA CA=，即485DP=．∴325DP=．∴DE=∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ． ·························································· 14分（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）99（2009年某某某某）24. （本小题满分12分）已知平行于x轴的直线)0(≠=aay与函数xy=和函数xy1=的图象分别交于点A 和点B，又有定点P（2，0）.（1）若0>a，且tan∠POB=91，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线xy=上的抛物线中，已知线段AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式； （3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离 .（2009年某某某某24题解析）（1）设第一象限内的点B （m,n ），则tan ∠POB 91==m n ，得m=9n ，又点B 在函数x y 1=的图象上，得m n 1=，所以m =3（－3舍去），点B 为)31,3(，而AB ∥x 轴，所以点A （31，31），所以38313=-=AB ；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A （a , a ），B （a 1，a ），则AB =a1－ a =38, 所以03832=-+a a ，解得313=-=a a 或 .当a = －3时，点A （―3，―3），B （―31，―3），因为顶点在y = x 上，所以顶点为（－35，－35），所以可设二次函数为35)35(2-+=x k y ，点A 代入，解得k= －43,所以所求函数解析式为35)35(432-+-=x y .同理，当a = 31时，所求函数解析式为35)35(432+--=x y ；（3）设A （a , a ），B （a 1，a ），由条件可知抛物线的对称轴为aa x 212+= .设所求二次函数解析式为：)2)1()(2(59++--=aa x x y .点A （a , a ）代入，解得31=a ，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或136100.（2009年某某某某）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.（2009年某某某某24题解析） （1）()411133M a N a a ⎛⎫--⎪⎝⎭，，，.……………4分（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++， 10a ∴=（不合题意，舍去），294a =-.……………2分第（2）题备用图（第24题）334N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，点D 到y 轴的距离为94. 1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………2分 （3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式， 得：27168393a a a a -=-+ 10a ∴=（不舍题意，舍去），238a =-，12P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭7，8.……………2分当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，OA OC OP ON ∴==，．P ∴与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a =++， 10a ∴=（不合题意，舍去），2158a =-，5528P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．101.（2009年某某某某）24．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值X 围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？（2009年某某某某24题解析）（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3． ∴⎩⎨⎧>-+->+x x x x 3131，解得21<<x ． 4分（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． ∴35=x 或34=x ． ······················································································· 9分 （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ， 设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①若点D 在线段AB 上， 则x h x h =--+-222)3(1．∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． ························· 11分 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值2②若点D 在线段MA 上， 则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）， AB NM（第24题-1）DB A D MN（第24题-2）易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22． ·························································· 14分 102.（2009年某某某某）24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是▲、面积是▲、高BE 的长是▲；(2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点QQ 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值； ②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得 △APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值. （2009年某某某某24题解析）解：（1）5 ,24,524…………………………………3分 （2）①由题意，得AP =t ，AQ =10-2t.…………………………………………1分如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得 △AQG ∽△ABE ,∴BAQABE QG =, ∴QG =2548548t-,…………………………1分 ∴t t QG AP S 5242524212+-=⋅=(25≤t ≤5). ……1分∵6)25(25242+--=t S (25≤t ≤5). ∴当t =25时，S 最大值为6.…………………1分 OxyABC D E②要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4.………………1分 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q 在CB 上时,∵PQ ≥BE >P A ，∴只存在点Q 1,使Q 1A =Q 1P .如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点 F ,则AM =122AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得 4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴23=FM , ∴103311=-=FM MQ F Q . ………………1分 ∴CQ 1=QF 34=225.则11CQ APt k t =⋅⨯,∴11110CQ k AP ==.……………………………1分 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3, 分别使A P = AQ 2,P A =PQ 3.①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6. 则21BQ CB AP t k t +=⋅⨯,∴232CB BQ k AP +==.……1分②若P A =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，由△ANP ∽△AEB ,得ABAP AE AN =. ∵AE =5722=-BE AB ,∴AN ＝2825.∴AQ 3=2AN=5625,∴BC+BQ 3=10-251942556=则31BQ CB APt k t +=⋅⨯.∴50973=+=AP BQ CB k . ………………………1分综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097. 103.（2009年某某某某）26．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ． （1）四边形的形状是，当α=90°时，BPPQ的值是． （2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求BPPQ的值; ②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积． （3）在四边形OA B C 旋转过程中,当00180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；基不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）矩形（长方形）； ······································ 1分47BP BQ =． ···································································································· 3分 （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△．CP OC A B OA ∴='''，即668CP =， 92CP ∴=，72BP BC CP =-=． ···································································· 4分同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． ··································································· 5分 722BP BQ ∴=． ······························································································· 6分 ②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． ·········································································· 7分 OP B P '∴=．设B P x '=，在Rt OCP △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． ············································· 8分 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△． ··········································································· 9分 （3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． ················································· 10分点P的坐标是19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ················································· 12分 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，12POQ S PQ OC =△，12POQ S OP QH =△， PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =， 2BQ x ∴=，① 如图1，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，解得11x =，21x =．9PC BC BP ∴=+=19P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭．②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． PC BC BP ∴=-257844=-=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．综上可知，存在点19P ⎛⎫--⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =． 104.（2009年某某某某）24. （本题14分）如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某24题解析）解：(1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12a =．……1分将点B (2，n )的坐标代入212y x =，求得点B 的坐标为(2，2)， ……1分则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分 直线AP 的解析式是5433y x =-+．……1分 令y =0，得45x =．即所求点Q 的坐标是(45，0)．……1分(2)①解法1：CQ =︱-2-45︱=145， ……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时，A ′C +CB ′最短， ……2分此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分解法2：设将抛物线212y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)．直线A ′′B ′的解析式为554333y x m =+-．……1分要使A ′C +CB ′最短，点C 应在直线A ′′B ′上， ……1分 将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145m =．……1分故将抛物线212y x =向左平移145个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2114()25y x =+．……1分② 左右平移抛物线212y x =，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使(第24题(1))(第24题(2)①)四边形A ′B ′CD 的周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；……1分第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．……1分第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为A ′(-4-b ，8)和B ′(2-b ，2)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)，要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短． ……1分 点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)， 直线A ′′B ′′的解析式为55222y x b =++． ……1分要使A ′D +DB ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165b =． 故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2116()25y x =+． ……1分105.（2009年某某嵊州）14．△ABC 与△C B A '''是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M 、N 分别是直角边AC 、BC 的中点。
2009年中考精品：数学压轴题汇编(含解题过程)第一部分
冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程) 第一部分（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为()6,0A-，()6,0B，()0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y kx b=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b=+与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯=．∴(01)E ，． ····························································································· （1分）设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．26题图y xDBCA EO将点E 的坐标代入，得1c =．将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，······················································································ （2分） 解这个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ··················································· （3分） （2）2EF GO =成立． ············································································ （4分） 点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65， ∴点M 的纵坐标为125． ··········································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． ∴DM 的解析式为132y x =-+． ······························································ （6分）∴(03)F ，，2EF =． ·············································································· （7分） 过点D 作DK OC ⊥于点K ， 则DA DK =．90ADK FDG ∠=∠=°， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠=°， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．1GO ∴=． ···························································································· （8分） 2EF GO ∴=． （3）点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①若PG PC =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+， 解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．x∴(22)Q ，． ···························································································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=， 解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73． ∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ························································································ （10分）③若PC GC =，则222(3)22t -+=，解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则QH GH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．解得12725h h ==-，（舍去）．12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． ····································· （12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？x（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)0)y a x a=-+≠经过点(20)A -，，093a a ∴=+=-·············································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：2333y x x =-++ ··········································· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N ，则DN = 3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° ············································ 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ·········································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求AH 55(s)OP DH t ∴=== ················································································ 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则PE =······························································· 8分116(62)222BCPQS t∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t⎫-+⎪⎝⎭···················································································9分当32t=时，BCPQS························································· 10分∴此时33393324444OQ OP OE QE PE==∴=-==，=，PQ∴=== ·············································· 11分（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t（1）当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．26．解：（1）1，85；（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ = CP= t，∴3AP t=-．由△AQF∽△ABC，4BC=，得45QF t=．∴45QF t=．∴14(3)25S t t=-⋅，即22655S t t=-+．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．PP图4P图3F图5由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx8=16a +4b得0=64a +8b解 得a =-12,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．26．（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．········································································ （2分）由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ······························· （3分） ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．·················································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． ·········································································· （5分） 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ·········································································· （6分） ∴8448OE EF =-==，． ································································ （7分）（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．（图3）（图1）（图2）即241644333S t t =-++．·························································· （10分） （2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）29．问题解决解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N ABCD EFM图（1）A BCDEFMN N 图（1-1）A BC EF M由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ····························································· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =．····················································································· 7分 方法二：同方法一，54BN =． ································································ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==． 同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．N 图（1-2）A B C DE FM G第23题图（1） ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 ∴15AM BN = ··················································································· 7分 类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ································································· 10分 联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分． 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．）第23题图（2）【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大． 【解】23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ···················· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC ····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D E BF C图1 图2 A D EBF C PNM 图3 A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 （2009年广东广州）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(四)
2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（四）(2009某某省某某市)26（本小题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
26、（本小题满分10分）证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1分∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分∴AD=BE……………………………………………………3分（2）∵E是AB中点，∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。
……………………7分（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分理由如下： 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD∴△DBC 是等腰三角形。
……………………………10分（2009年威海市）25．（12分）一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．25．（本小题满分12分）解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，)（第25题图1）（第25题图2）∴四边形BDOF 为矩形．AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ·· 1分1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOCBDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形，∴AEDKCFBK S S =矩形矩形． ······················· 2分②由（1）知AEDKCFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =． ∴AK BKCK DK=． ······························ 4分 90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．··························· 5分 ∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 6分AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．∴AN CD =． ······························ 7分同理BM CD =．AN BM ∴=． ······························ 8分（2）AN 与BM 仍然相等． ························ 9分AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形， BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，∴AEDKBKCF S S =矩形矩形． ······ 10分∴AK DK BK CK =． ∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠，∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥． ······························ 11分AC y ∥轴，∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．∴AN BM =． ······························ 12分（2009年某某市）26．(本题满分14分)如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P AC N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并（第26题图）图2说明理由；（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．26．（本题满分14分）解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a-=+-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2分解得12.a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． ·· 3分（2）存在．在223y x x =--中，令0x =，得3y =-． 令0y =，得2230x x --=，1213x x ∴=-=，．(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．又2(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ···················· 5分 容易求得直线CM 的表达式是3y x =--． 在3y x =--中，令0y =，得3x =-．(30)N ∴-，，2AN ∴=． ························· 6分在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．2CP AN CP ∴=∴=，．AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，． ········· 8分 （3）AEF △是等腰直角三角形．理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．M（第26题图）∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，，(30)B ，．OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ······················ 9分又点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ··············10分 由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ··········· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ········· 12分 （4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． ······· 14分（2009年某某省日照）24． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）24．（本题满分10分）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G为DF 的中点，∴ CG= FD ．………………1分 同理，在Rt △DEF中， EG= FD ． ………………2分FBDC第24题图①BDCE第24题图②BC第24题图③∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE ．∴ ．…………………………………………………6分∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ， ∴ EG= MC ．∴ ．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．24．（本小题满分12分） 解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、，抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ·························· 2分点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ··················· 4分（2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ····· 6分连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··················· 8分 （3）点P 在抛物线上． ·························· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，∴直线DC 为：1y x =-+． ························ 10分过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，，·························· 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ··················· 12分说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．。
天津中考数学压轴题解析
2008年—2013年天津中考压轴题解析1.(2013·天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0，t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l 于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x，y2)．(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的2. (2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (－1，y C )在该抛物线上．(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P的坐标；②求AB Cy y y -的值；(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10. ①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (－2，6). ②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7.∴155107A B C y y y ==--.(Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012bx a=--＜. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1.连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ， 则BD =y B －y C ，CD =1.过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )， 交x 轴于点F (x 2，0).则∠F AA 1=∠CBD .∴Rt △AF A 1∽Rt △BCD .∴11AA FA BD CD = ，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴AG EG BD CD =，即A EB Cy y y y --=1–x 1. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上， ∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a －b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ，∴2111()()1()a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0，解得x 1=－2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.解法2：20222222()0,20,2.040.(2)40,0,(2)(2)(2)222.444(2)0,42.(1,)(0,)(1,),,,A B C A B C A B m b a b a m y b ac a m ac a a m a m a m c m m m a a aa m a c m A y B y C y y ax bx c y abc y c y a b c y y >>>=+-∴+->++-∴=-+=+-∴-=++∴=++==-+∴Ⅱ解：设由于令当≥恒成立时，应有≤≤≥≥≥点、、在抛物线上,.()22221.22,222 11 3.C A B C A B C AB Ca b c a b cy c a b c b ab a m y a a mc a m a c a cy y a m a a m a mc m y a c a m y y a m a m y y y ++++==---+-=++++++++===+-+-++++∴=++=-++∴-代入，得≥≥的最小值为3.解法3：A (1,a +b +c )、B (0,c )、C (–1,a –b +c )由B (0,c )、C (–1,a –b +c )得直线BC 为y =(b –a )x +c ∵AE ∥BC ∴设直线AE 为y =(b –a )x +m将A (1,a +b +c )代入上式，得m =2a +c . ∴直线AE 为y =(b –a )x +2a +c由()2–2y b a x a c y ax bx c⎧=++⎪⎨=++⎪⎩得x 2+x –2=0. 解得E 点横坐标为x 1=–2(x 1=1舍去)∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.3. (2011·天津)已知抛物线1C ：21112y x x =-+．点F (1，1)． (Ⅰ) 求抛物线1C 的顶点坐标；(Ⅱ) ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+= ②抛物线1C 上任意一点P (P P x y ，))(01P x <<)．连接PF ．并延长交抛物线1C 于点Q (Q Q x y ，)， 试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线1C 作适当的平移．得抛物线2C ：221()2y x h =-，若2x m <≤时．2y x ≤恒成立，求m 的最大值．解 (I)∵2211111(1)222y x x x =-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为(112， )．(II)①根据题意，可得点A (0，1)， ∵F (1，1)．∴AB ∥x 轴．得AF =BF =1，112AF BF+= ②112PF QF+=成立． 理由如下：如图，过点P (P P x y ，)作PM ⊥AB 于点M ，则FM =1P x -，PM =1P y -(01P x <<) ∴Rt △PMF 中，由勾股定理，得22222(1)(1)P P PF FM PM x y =+=-+-又点P (P P x y ，)在抛物线1C 上， 得211(1)22P P y x =-+，即2(1)21P P x y -=- ∴22221(1)P P P PF y y y =-+-= 即P PF y =．过点Q (Q Q x y ，)作QN ⊥A B ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．图文∠PMF =∠QNF =90°，∠MFP =∠NFQ ，∴△PMF ∽△QNF 有PF PMQF QN=这里11P PM y PF =-=-，11Q QN y QF =-=- ∴11PF PFQF QF -=- 即112PF QF+= (Ⅲ) 令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，x 0′，且0x < x 0′， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线2C 向右不断平移，0x ，x 0′ 的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，．2y x ≤恒成立时，m 的最大值在x 0′ 处取得.可得当02x =时．所对应的x 0′ 即为m 的最大值． 于是，将02x =带入21()2x h x -=， 有21(2)22h -=解得4h =或0h =(舍) ∴221(4)2y x =-此时，23y y =，得21(4)2x x -=解得02x =，x 0′=8 ∴m 的最大值为8.4. (2010·天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E . (Ⅰ)若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.解：(Ⅰ)当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为(1，4)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 (Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++(0c >)．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =21x = ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB == 设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+=由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CODF OB=． ∴=54c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．设直线BC 的解析式为y mx n =+，则x5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(Ⅲ)根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，(0h >，0k >)则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x轴的交点为0()A h，0()B h0h >>) 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，∴ S △BCF = 2S △AOC .得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D . 则122DF AB BF h =+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CODF OB=． ∴2=2220h k -+=．结合题意，解得h =① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ② ∴1=． 有1k =，12h =．∴ 抛物线的解析式为234y x x =-++． ．．．．．．．．．．10分5. (2009·天津)已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx+c ，α，β为方程y 1–y 2=0的两个根，点M (t ,T )在函数y 2的图象上． (Ⅰ)若α=13，β=12，求函数y 2的解析式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ,B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值； (Ⅲ)若0＜α＜β＜1，当01t <<时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由.解:(Ⅰ)212120y x y x bx c y y ==++-=，，，()210x b x c ∴+-+=.将1132αβ==，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得1166b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166x x =-+．另解第(Ⅰ)问：比较系数法∵α＝13，β＝12是方程的两个根，∴11()()032x x --=，即251066x x -+=． …… ①∵120y y -=， ∴2(1)0x b x c +-+=． …… ②方程①，②相同，比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++另解第(Ⅰ)问：韦达定理法 ∵α+β=56αβ=16∴α、β是一元二次方程251066x x -+=的两个根又α、β是一元二次方程2(1)0x b x c +-+=的两个根∴比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++(Ⅱ)由已知，得AB =6，设△ABM的高为h ，311212ABM S AB h ∴===△·1144=根据题意，t T -=，∴t T -=1144由21166T t t =++，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512t t ==；当251166144t t -+=时，解得34t t ==∴t 的值为512另解第(Ⅱ)问：方法1：过点M 作x 轴的垂线，与y x =交于点N ，111()(||)223ABM S T t ∆=--，21166T t t =++，解得 1512t =，2t =3t =．方法2：当t α<<β时，S △ABM ＝S △ABC －S △ADM －S 梯形MDCB ，即311111*********()()()()[()()]()122232323323232t T T t =-------+--，解得 1512t =． 同理，当0t <<α时， 3111111111111()()()()[()()]()1222223323223t Tt T T T =-------+--，解得2t =． 当1t β<<时，即311111111111111()()()()[()()]()122332232323232t T T t =-------+--，解得3t =．方法3：∵11(,)33A ，11(,)22B ， ∴||AB =．设在△ABM 中以AB 为底的高为h ，则h y x =向上或向下平移1144个单位，得31144y x =-，41144y x =+．解3y 与2y 的交点，得1512t =，解4y 与2y的交点，得2t =，3t =．注：第二问的每一种解法都充分利用了数形结合数学思想，特别是利用直线y =x 的本质特征，使T 、t 转化为统一级别的量再运算. (Ⅲ)由已知，得222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，.()()T t t b ααα∴-=-++， ()()T t t b βββ-=-++，()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.01αβ<<<，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=.有1010b b αββα+=->+=->，. 又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；当t αβ<≤时，T αβ<≤； 当1t β<<时，T αβ<<.第(Ⅲ)问：图象分析法 ①当对称轴在y 轴左侧时，在0＜x ＜1，y 随x 的增大而增大， ②当对称轴在y 轴右侧时，∵α，β是方程2(1)0x b x c +-+=的两个根， ∴1,.b c α+β=-⎧⎨αβ=⎩∴1b =-α-β． ∵0＜α＜1，0＜β＜1， ∴c ＜α．对于函数22y x bx c =++，对称轴为122b x α+β-=-=∵α＞β－1， ∴2α＞α＋β－1． ∴12α+β-＜α，即对称轴在α左侧．(如下图)当α＜t ≤β时，α＜T ≤β； 当β＜t ＜1时，α＜β＜T ．6. (2008·天津)已知抛物线c bx ax y ++=232，(Ⅰ)若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； (Ⅱ)若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； (Ⅲ)若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．解(Ⅰ)当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (Ⅱ)当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31．①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤．第(Ⅱ)问解法二(图象法)或103c ∆=⇒=； 或 01010x y x y ∆>⎧⎪=-≤⇒⎨⎪=>⎩时时51c -<-≤综上，31=c 或51c -<-≤． (Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ． ∴0>>c a ．∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． 又该抛物线的对称轴abx 3-=，由0=++c b a ，0>c ，,c a b o ∴-=+<b a ∴<- 又02>+b a ， 得a b a -<<-2，∴32331<-<a b ． 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象， 可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． 说明：适时画出图象草图更能说明问题，体现数形结合.。
2009年部分省市中考压轴题精选(含详细解答过程)
全国各省市中考专题压轴题及分析1．（2009江苏盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC = 90º，① 当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．② 当点D 在线段BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC =24，BC = 3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．解：（1）① CF 与BD 位置关系是 垂 直 、数量关系是 相 等 ； ② 当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，∠DAF=90º． ∵ ∠BAC=90º， ∴ ∠DAF=∠BAC ， ∴ ∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴ △DAB ≌△FAC ， ∴ CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵ ∠BAC=90º， AB=AC ， ∴ ∠ABC=45º，图甲图乙 C 第1题图 图丙D E∴ ∠ACF=45º，∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（2）画图正确当∠BCA = 45º时，CF ⊥BD （如图丁）． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ， ∴ AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴ ∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即 CF ⊥BD ．（3）当具备∠BCA = 45º时，过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵ DE 与CF 交于点P 时， ∴ 此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4． 设CD = x ，∴ DQ = 4-x ，容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+．∵0＜x ≤3 ∴当x =2时，CP 有最大值1．GABCDE FPQ AB CD EF2．（2009浙江湖州） 已知：在矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数xky =（k ＞0）的图象与AC 边交于点E 。
2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用
2009年全国中考数学压轴题精选精析（六）61.（09年某某）28．如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．（09年某某28题解析）解：（1）6．···························································· （1分） （2）8． ································································································· （3分） （3）①当03x <≤时，2111sin 6022222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，（第28题）Q 1ABCDQ 2P 3 Q 3 E P 2 P 1 O1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-． ··································································· （10分） （解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3OC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- ······································································ （10分） 62.（2009年某某）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值X 围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．（2009年某某28题解析）解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················· （2分） （2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时， 有3532t -≤，即43t ≥． 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=． 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值X 围为41633t ≤≤． ······················ （5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=． 解得1242033t t ==，． ······························· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ····················· （9分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=． 解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ················································ （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ············· （12分）63.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ．………… 1分 同理，在Rt △DEF 中， EG =12FD ． ………………2分 ∴CG =EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴△DAG ≌△DCG ．∴AG =CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴△DMG ≌△FNG ．FBDC第23题图①BDC第23题图②BC第23题图③BDCN图 ②（一）∴MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵AM =EN ， MG =NG ， ∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分 证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分B D C图③BD C图 ②（二）64.（2009年某某）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（2009年某某25题解析）（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC····································· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题） 图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=． 在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =． 类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分 当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 65.（2009年某某某某）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值X 围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '是否在该抛物线上．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）设(1)(3)y a x x =+-， ························ 1分把(03)C ，代入，得1a =-， ············································································· 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++． ·························································· 4分顶点D 的坐标为(14)，． ··················································································· 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，······························································································· 6分解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ···································································· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，················································ 8分 ∴23(13)s x x x =-+<< ················································································ 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······················································ 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ····················································· 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· 5分 ∴四边形PEOF 是矩形．作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M ． 设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 解得158m =． ∵CM P H P M P E '''=， ∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =． ∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△． ∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，． ∴352PC k ==，310k =． 由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，． ∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ································································································66.（2009年某某某某）26．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；（2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值X 围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？（第26题图）iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）(02)(40)A B ，，， ································· （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ···························································· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △． 则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ··········································· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO .OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ······································ （5分） 当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ····························································································· （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············································· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=-∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ················································· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =抛物线开口向下∴当43x =时，S 有最大值为43·································································· （9分） 综合①②当43x =时，S 有最大值为43 ····················································· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···················································· （14分）附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△ 12EO AO AO BO ∴== 21AO EO =∴= ∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ②当ADE △以点E 为直角顶点时同样有AOE BOA △∽△12OE OA AO BO == 1(10)EO E ∴=∴，∴点C 的坐标502⎛⎫⎪⎝⎭， 综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分． 67.（2009年某某某某）26．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩ ···································· 1分 解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ········································ 3分 ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ······· 4分顶点坐标是（2，4） ······················································································· 5分（2）(43)D ， ································································································· 6分设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠（第26题图）第26题图3直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ ······························································································ 7分 121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ····································································································· 8分 112y x ∴=+ ································································································· 9分 （3）存在． ································································································ 10分 1(2220)Q -， ····························································································· 11分 2(222)Q --，0 ························································································ 12分 3(6260)Q -， ····························································································· 13分 4(6260)Q +，····························································································· 14分 68.（2009年某某某某）26.如图14，抛物线与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.69.（2009年某某某某）26．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．。
2009年中考数学压轴题精选精析
2009年中考数学压轴题精选精析2022年全国中考数学压轴题精选精析（四）11.（09年广东佛山）25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义――定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．已知：四边形ABCD中，AB DC，且ACB DBC．（1）借助网格画出四边形ABCD所有可能的形状；（2）简要说明在什么情况下四边形ABCD具有所画的形状．（09年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图①“矩形”、图②“等腰梯形”、图③的“四边形ABCD1”．注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．注2：如果在类似图③或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）．(2) （i）若BAC是直角（图②），则四边形为等腰梯形；6分（ii）若BAC是锐角（图③），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件但不是梯形的四边形ABCD1；8分其中，若BAC是直角（图①），则四边形为矩形．9分（iii）若BAC是钝角（图④），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件但不是梯形的四边形ABCD1；11分注：可用AC与BD或者BAC与CDB是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分．12.（09年广东广州）25．（本小题满分14分）如图13，二次函数y x px q（p 0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点25C(0，1)，△ABC的面积为．4（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．0)，B(x2，0)，其中x1 x2．（09年广东广州25题解析）解：（1）设点A(x1，∵抛物线y x px q过点C(0，1)，∴ 1 0 P 0 q．∴q 1．∴y x px 1．∵抛物线y x px q与x轴交于A、B两点，2222∴x1，x2是方程x px 1 0的两个实根．求p的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：x1 x2 p，x1x2 1．25，41515∴OC AB ，即1 (x2 x1) ．24245∴x2 x1 ．225∴(x2 x1)2 ．4∵△ABC的面积为∵(x2 x1) (x2 x1) 4x1x2，∴(x2 x1) 4x1x2 ∴( p) 4 解得p22225．425．43．2∵p 0，∴p3．22∴所求二次函数的关系式为y x 3x 1．2方法2：由求根公式得x1，x2 ．AB x2 x15，41515∴OC AB ，即1 (x2 x1) ．__∴ 1 ．24252∴p 4 ．43解得p ．∵△ABC的面积为∵p 0，∴p3．23x 1．231（2）令x2 x 1 0，解得x1 ，x2 2．22∴所求二次函数的关系式为y x2 ∴A ，0 ，B(2，0)．125 1 2222在Rt△AOC中，AC AO OC 1 ，4 2在Rt△BOC中，BC BO OC 2 1 5，∵AB 222222221 5，2 2∴AC BC525 5 AB2．44∴ ACB 90°．∴△ABC是直角三角形．∴Rt△ABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点．∴Rt△ABC 的外接圆的半径rAB5．24∵垂线与△ABC的外接圆有公共点，∴55≤m≤．442（3）假设在二次函数y x3x 1的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形．22①若AD∥BC，设点D的坐标为x0，x03x0 1 ，x0 0，2过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示．求点D的坐标给出以下两种方法：方法1：在Rt△AED中，32x0 x0 1DE，tan DAE AE 1x02OC1在Rt△BOC中，tan CBO ，OB2∵ DAE CBO，∴tan DAE tan CBO．32x0 x0 11∴ ．1 2x0224x0 8x0 5 0．解得x0或x0 ．22∵x0 0，∴x025 53 ，此时点D的坐标为．2 2222而AD AE ED453BC2，因此当AD∥BC时在抛物线y x2 x 1上存在42 点D ，使得四边形DACB是直角梯形．方法2：在Rt△AED与Rt△BOC中，DAE CBO，∴Rt△AED∽Rt△BOC．∴53 22DEOC．AEOB32x0 x0 11∴ ．1 2x0以下同方法1．②若AC∥BD，设点D的坐标为x0，x023x0 1 ，x0 0，2过D作DF⊥x轴，垂足为F，如图2所示．32x0 x0 1DE 在Rt△DFB中，tan DBF ，FB2 x0 在Rt△COA中，tan CAO ∵ DBF CAO，∴tan DBF tan CAO．OC12，OA1232x0 x0 1∴ 2．2 x022x0 x0 10 0．解得x05或x0 2．2∵x0 0，∴x05 5 ，此时D点的坐标为，9 ．222此时BD AC，因此当AC∥BD时，在抛物线y x 得四边形DACB是直角梯形．综上所述，在抛物线y x23 59 ，使x 1上存在点D ，2 23x 1上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点253 59 ．D的坐标为或，22213.（09年广东茂名）25．（本题满分10分）已知：如图，直线l：y1 1经过点M 0 ，一组抛物线的顶点x b，43B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，，Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，，0)A2(x2，，0)A3(x3，，0) ，An 1(xn 1，0)（n为正整数）（0 d 1）．，设x1 d（1）求b的值；（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（2分）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，（0 d 1）请你求出相应的d的值．（4分）（09年广东茂名25题解析）解：（1）∵M 0 在y1 4111x b上，∴ 0 b，∴3431．2分411，y1)在l上，（2）由（1）得：y x ，∵B1(1 34b∴当x 1时，y1117 73 分1 ，∴B1 1 ．3412 122解法一：∴设抛物线表达式为：y a(x 1)74分(a 0)，1277，∴a ， 5 分212(d 1)12772． 6 分(x 1) 212(d 1)120)，∴0 a(d 1)2 又∵x1 d，∴A1(d，∴经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：y0)，A2(2 d，0)，解法二：∵x1 d，∴A1(d，∴设y a(x d) 4 分(x 2 d)(a 0)，把B1 1 代入：71277， 5 分a(1 d) (1 2 d)，得a 212(d 1)1276 分(x d) (x 2 d)．12(d 1)2∴抛物线的解析式为y（3）存在美丽抛物线．7 分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0 d 1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．1171 1，__-__当x 2时，y2 2 1，3412∵当x 1时，y1当x 3时，y31113 1 1，344∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．8分①若B1为顶点，由B1 1 ，则d 1712759分；121211 11 1 ，12 12②若B2为顶点，由B2 2 ，则d 1 2 综上所述，d的值为1112511或时，存在美丽抛物线．10分121214.（09年广东梅州）23．本题满分11 分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图12，已知直线L过点A(01)，和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0 t 2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．L1（09年广东梅州23题解析）（1）y 1 x 2分（2）∵OP t，∴Q点的横坐标为①当01t，211t 1，即0 t 2时，QM 1 t，221 13分t 1 t ．2 2∴S△OPQ②当t≥2时，QM 111t t 1，22∴S△OPQ1 1t t 1 ．2 21 10 t 2，2t 1 2t ，∴S 4分1t 1t 1 ，t≥2.2 2当01 1 111t 1，即0 t 2时，S t 1 t (t 1)2 ，2 2 442∴当t 1时，S有最大值1．6分4（3）由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，7 分，．O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11)下证PQC 90°．连CB，则四边形OACB是正方形．法一：（i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图C1．由对称性，得BCQ QOP，QPO QOP，∴ QPB QCB QPB QPO 180°，∴ PQC 360° ( QPB QCB PBC) 90°．8分（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图C2，如图C3 ∵ QPB QCB，1 2，∴ PQC PBC 90°．9分L1（iii）当点Q与点B重合时，显然PQC 90°．综合（i）（ii）（iii），PQC 90°．∴在L1上存在点C(11) 11 分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．23题图-3法二：由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，7 分，．O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11)延长MQ与L1交于点N．（i）如图C4，当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时，∵四边形OACB是正方形，∴四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，△AQN和△QBM都是等腰直角三角形．∴NC MB MQ，NQ AN OM，QNC QMB 90°．又∵OM MP，∴MP QN，∴△QNC≌△QMP，∴ MPQ NQC，又∵ MQP MPQ 90°，∴ MQP NQC 90°．∴ CQP 90°．8分（ii）当点Q与点B重合时，显然PQC 90°．9分（iii）Q在线段AB的延长线上时，如图C5，L1∵ BCQ MPQ，∠1=∠2 ∴ CQP CBM 90°综合（i）（ii）（iii），PQC 90°．∴在L1上存在点C(11) 11分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．L123题图-5法三：由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11) 9分，．连PC，∵PB |1 t|，OM2222t1t，MQ ，222∴PC PB BC (1 t) 1 t 2t 2，2t t t__OQ OP CQ OM MQ 1 t 1．2 2 222∴PC OP QC，∴ CQP 90°．10分∴在L1上存在点C(11) 11分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．15.（09年广东清远）28．如图9，已知一个三角形纸片ABC，BC 边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN 中，设MN的长为x，MN上的高为h．A （1）请你用含x的代数式表示h．（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM 重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？222NC（09年广东清远28题解析）解：（1）MN∥BC △AMN∽△ABChx 683x 3分h 4（2）△AMN≌△A1MN△A1MN的边MN上的高为h，①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，1133y S△A1MN=MN 4分h __ x2（0 x≤4）2248②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4 x 8)，设△A1EF的边EF上的高为h1，则h1 2h 6A3x 6 2△A1EF∽△A1MNBNEF∥MN△A1MN∽△ABC △A1EF∽△ABC A1FCS△A1EFS△ABCh 1 621S△ABC 6 8 24 S△A1EF23 x 6 3224 x 1x26222 4y S△A1MN S△A1EF所以y32 329x x 12x 24 x2 12x 24 88 26分(4 x 8)92x 12x 248综上所述：当0 x≤4时，y 当4 x 8时，y 取x32x，取x 4，y最大6 892x 12x 24，816，y最大8 3 8 6168分当x 时，y最大，y最大8316.（09年广东汕头）24．（本题满分12分）正方形ABCD 边长为4，M、NA 分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC 上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；B（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x 的值．M第24题图（09年广东汕头24题解析）解：（1）在正方形ABCD中，，AB B CC4 ，D B 9°0CAM MN，A D AMN 90°，CMN AMB 90°．在Rt△ABM中，MAB AMB 90°，CMN MAB，3分R t△ABM∽Rt△MCN．N （2）Rt△ABM∽Rt△MCN，DN CABBM4x，，MCCN4 xCNBx2 4x，5分CN4 y S梯形ABCN1 x2 4x114 4 x2 2x 8 (x 2)2 10，2 422M答案24题图C当x 2时，y取最大值，最大值为10．7分（3）B AMN 90°，要使△ABM∽△AMN，必须有AMAB，9分MNBMAMAB，MNMCBM MC，12分当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x 2．由（1）知（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09年广东深圳）23．（本题10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图11）。
[天津]2009年中考数学压轴题精选精析
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2009年全国中考数学压轴题精选精析（二十三）95.（2009年天津）26．（本小题10分）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．（2009年天津26题解析）本小题满分10分.解（Ⅰ）212120y x y x bx c y y ==++-= ，，，()210x b x c ∴+-+=. ·············································································· 1分 将1132αβ==，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得1166b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166x x =-+． ······················································ 3分（Ⅱ）由已知，得6AB =，设ABM △的高为h ，31121212ABM S AB h h ∴===△·1144=.根据题意，t T -=， 由21166T t t =++，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512t t ==；当251166144t t -+=时，解得34551212t t +==.t ∴的值为555121212，，. ···································································· 6分 （Ⅲ）由已知，得222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，.()()T t t b ααα∴-=-++，()()T t t b βββ-=-++，()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.01αβ<<< ，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=. 有1010b b αββα+=->+=->，.又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；当t αβ<≤时，T αβ<≤；当1t β<<时，T αβ<<. ············································································ 10分。
2009年全国各地中考数学压轴题精选
2009年全国各地中考数学压轴题精选【湖北·武汉】25．（本题满分12分）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．【答案】25．解：（1） 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩， 解得13.a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++，即2230m m --=，1m ∴=-或3m =．点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =，45ECB DCB ∴∠=∠=°，E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．1OE ∴=，(01)E ∴，．即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ． 由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．45DCE CBO ∴∠=∠=°，DE CE ∴==． 4OB OC ==，BC ∴=2BE BC CE ∴=-= 3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，(543)P t t ∴-+，．P 点在抛物线上，∴23(54)3(54)4t t t =--++-++， 0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．45PBD QD DB ∠=∴= °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，．(40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，得1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【重庆·綦江】*26．（11分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】*26．解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，093a a ∴=+=-························· 1分 ∴二次函数的解析式为：2333y x x =-++ ············· 3分 （2）D为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N，则DN =3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° ·············· 4分OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴===·························· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =···················· 8分116(62)22BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··························· 9分 当32t =时，BCPQ S··················· 10分 ∴此时33393324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，2PQ ∴=== ··············· 11分【浙江·丽水】24. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、Oxy ABC DE(第24题)高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值； ②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得 △APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边 形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.【答案】24．（本题12分）解：（1）5 , 24,524.......................................3分 （2）①由题意，得AP =t ，AQ =10-2t. (1)分如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得△AQG ∽△ABE ,∴BAQABE QG =, ∴QG =2548548t-, …………………………1分 ∴t t QG AP S 5242524212+-=⋅=(25≤t ≤5).……1分∵6)25(25242+--=t S (25≤t ≤5).∴当t =25时，S 最大值为6.…………………1分② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4.………………1分 以下分两种情况讨论:第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE >PA ，∴只存在点Q 1,使Q 1A =Q 1P .如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点F ,则AM =122AP =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴23=FM , ∴103311=-=FM MQ F Q . ………………1分∴CQ 1=QF 34=225.则11CQ AP t k t =⋅⨯,∴11110CQ k AP == .……………………………1分 第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3,分别使A P = A Q 2,PA =PQ 3.①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6.则21BQ CB AP t k t +=⋅⨯,∴232CB BQ k AP +==.……1分②若PA =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，由△ANP ∽△AEB ,得ABAPAE AN =. ∵AE =5722=-BE AB , ∴AN ＝2825. ∴AQ 3=2AN=5625, ∴BC+BQ 3=10-251942556=则31BQ CB APt k t +=⋅⨯.∴50973=+=AP BQ CB k . ………………………1分综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097.【湖南·益阳】六、解答题：本题满分14分． 20.阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2xC O yABD11图12-1【答案】六、解答题：本题满分14分．20．解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ············· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ·············· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ························ 8分32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ················10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······· 12分 由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)415,23( ···················· 14分【遂宁市】25.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD ≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ， 此时点Q 的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC 点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．【江西】24．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ；①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.【答案】24．解：（1）A （-1，0），B （3，0），C （0，3）． ············ 2分（第24题）抛物线的对称轴是：x =1． ······················ 3分（2）①设直线BC 的函数关系式为：y=kx+b ．把B （3，0），C （0，3）分别代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k = -1，b =3． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当x =1时，y = -1+3=2，∴E （1，2）． 当x m =时，3y m =-+，∴P （m ，-m +3）． ························· 4分 在223y x x =-++中，当1x =时，4y =．∴()14D ，．当x m =时，223y m m =-++，∴()223F m m m -++，． ········ 5分∴线段DE =4-2=2，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ··· 6分∵PF DE ∥，∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形．由232m m -+=，解得：1221m m ==，（不合题意，舍去）．因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ··········· 7分②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()()3000B O ，，，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPF S S S =+△△． ······················· 8分即1111()2222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =+=+= ． ∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．········· 9分 说明：1．第（1）问，写对1个或2个点的坐标均给1分，写对3个点的坐标得2分；2．第（2）问，S 与m 的函数关系式未写出m 的取值范围不扣分．【江西】25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分∴112BG BE EG ====， 即点E 到BC ··········· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·························· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒= ．则35422NH MN MH =-=-=．A D E BFC图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D E BF C 图1图2 A D E BF C PNM图3A D EBFCPN M（第25题） 图1A D E BF CG图2A DEBF CPNMG H在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒= ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ······ 10分【济南】24．（本小题满分9分）已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．图3A D E BFCPNM图4A D EBFCP MN 图5A D E BF （P ） CMN GGRG（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】24.（本小题满分9分）解：（1）由题意得129302ba abc c ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪=-⎪⎩ ···················· 2分解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴此抛物线的解析式为224233y x x =+- ··············· 3分 （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .设直线AC 的表达式为y kx b =+则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，···························································· 4分解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--． ·················· 5分（第24题图）（第24题图）把1x =-代入得43y =- ∴P 点的坐标为413⎛⎫--⎪⎝⎭， ····················· 6分 （3）S 存在最大值························· 7分 理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△．∴OD OE OC OA =，即223m OE-=．∴333322OE m AE OE m =-==，，方法一：连结OPOED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形=()()13411332132223222m m m m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23342m m -+ ························· 8分 ∵304-<∴当1m =时，333424S =-+=最大 ················· 9分方法二：OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△=()1131341323212222232m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()22333314244m m m -+=--+ ················· 8分 ∵304-<∴当1m =时，34S =最大 ····················· 9分【衡阳】26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．【答案】解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：【鄂州】27．如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO (1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；四边形四边形CNMN CFGHS S m =，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c经图12（1）图12（2）图12（3）))4<≤a过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
2009年中考压轴题
2009中考压轴题精选（二）1. （重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2, OC=3 .过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE丄DC,交OA于点E .（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G .如果DF与（1 ）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为-，那么5EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由已知，得C(3,0) , D(2,2),: ADE =90°- CDB "BCD ,1 AE =AD L tan ADE =2 tan BCD =2 1.2E(0,1).设过点E、D、C的抛物线的解析式为y = ax2 bx c(a = 0).将点E的坐标代入，得c =1 .将c =1和点D、C的坐标分别代入，得4a 2b 1 二2,9a 3b 1 = 0.5…6 b』解这个方程组，得6GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为1,5 13 故抛物线的解析式为 y x 2 x 1 .6 6(2) EF =2G0成立.:点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 -, 5将点D 、M 的坐标分别代入，得2k 巾=2, ,1 k =6 u 12 解得 2k b| . 5 50=3. 1DM 的解析式为y x 3.2-F(0,3) , EF =2 .过点D 作DK 丄OC 于点K , 则 DA 二 DK . :ADK "FDG =90° FDA =/GDK . 又「FAD GKD =90° △ DAF DKG . KG 二 AF = 1 . .GO =1. EF =2GO .(3);点 P 在 AB 上, G(1,0) , C(3,0)，则设 P(1,2). PG 2=(t -1)2 22, PC 2=(3-t)2 22, GC =2 .①若 PG = PC ，则(t -1)2 22 二(3 —t)2 22, 解得t=2 . ■ P(2,2)，此时点Q 与点P 重合.Q(2,2).②若 PG 二 GC ，则(t -1)22 = 22 ,解得t =1 , ■ P(1,2)，此时GP 丄x 轴..点M 的纵坐标为12~5设DM 的解析式为y = kx b|(^"0)， x.点Q的纵坐标为--3.Q 1,7•I 3丿③若PC 二GC，则(3 -t)2 2^22,解得t=3, P(3,2)，此时PC二GC=2 , △ PCG是等腰直角三角形.过点Q作QH丄x轴于点H ,则QH =GH，设QH 二h ,.Q(h 1, h).5 2 13(h 1)2(h 1) 1 二h .6 6x 解得h , h2_ -2 (舍去).5Q12.综上所述，存在三个满足条件的点Q ,即Q(2,2)或Q1,3 或Q 12,5 .2. (长沙市)2如图，二次函数y二ax bx c ( a = 0 )的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C •连结AC、BC , A C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0八3),且当x = —4和x=2时二次函数的函数值y相等.(1) 求实数a, b , c的值；(2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结MN,将厶BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3) 在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B, N , Q为项点的三角形与△ ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.3.（北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，L ABC 三个机战的坐标分别为 A ：；：-6,0 ,— 1B 6,0，C 0,4.3，延长 AC 到点 D,使 CD=-线于点E.（1） 求D 点的坐标；（2） 作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y =kx ・b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四 边形，确定此直线的解析式； （3） 设G 为y 轴上一点，点P 从直线 kx b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴 上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。
2009年全国中考数学压轴题精选精析
2009年全国中考数学压轴题精选精析1.（2009年四川达州）23、（9分）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.（2009年四川达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-2 ……………………………………………………1分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x 轴交于B （-3，0）、A （1，0）设直线AC 为y=kx+b ，则有0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2∴直线AC 为y=-2x+2 ……………………………………………………3分（2）①设P 的横坐标为a(-2≤a ≤1)，则P （a,-2a+2），M （a,-2a2-4a+6）………………4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92∴当a=-12时，PM 的最大值为92 ……………………………………6分 ②M1（0，6）…………………………………………………………7分 M2-14，678 ……………………………………………………………9分2.（2009年四川成都）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且。
2009年天津市中考数学试卷(全解全析)
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1、（2009•天津）在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A、8，3B、8，6C、4，3D、4，6考点：等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：根据已知可证△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求△DEF的周长、面积．解答：解：因为在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∴AB DE=ACDF=2，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长为16÷2=8，面积为12÷4=3，故选A．点评：本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2、（2009•天津）为参加2009年“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众数、中位数依次是（）A、8.5，8.5B、8.5，9C、8.5，8.75D、8.64，9考点：众数；中位数。
分析：本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：8，8.5，8.5，9，9.2，数据8.5出现了二次最多为众数，8.5处在第3位为中位数．所以本题这组数据的中位数是8.5，众数是8.5．故选A．点评：本题比较容易，考查数据的分析，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，而中位数只有一个．2009年天津市中考数学试卷© 2011 菁优网3、（2009•天津）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B （1，1），将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（）A、（4，3）B、（3，4）C、（﹣1，﹣2）D、（﹣2，﹣1）考点：坐标与图形变化-平移。
09年中考数学压轴题分析及解题策略.ppt
（2）探究问题时遇到“拦路虎”，或走进了“死胡 同”你通常怎么办？
A:重新阅读原题，看看有没有漏用或用错的条件。 （28％）
B：解题路子或使用的方法可能“误入歧途” 尝试 换一种思路进行下去。（25％）
C：这可能是本题的难点，正常的思路一般难以奏 效，要“往外想”、“反着想”。 （17％）
D：实在想不出来，就先放下来，换个时间再看它。 （17％）
中考压轴题分析 及解题策略
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一、关于中考压轴题
1、形式：往往由两到三小题组成，第一小题为 基础题，第二小题为中上难度问题，第三小题 为试卷中最难的问题；
本质特征：在初中主干知识的交汇处命题，涉及 的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂， 思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法， 体现了较高的思维能力。[1]
（3）在教学中教师应多引导学生用式来表示 中间量，强化公式变形的训练，特别应加 强利用相似三角形来求出中间量，并建立 函数的相关习题的训练。
3、数学思想方法分析：
（1）方程的思想仍倍受青睐。（丽水、宁波、 义乌、台州、湖州）
（2）分类讨论已成为08中考压轴题的“压点” 所
在。 （衢州、温州、义乌、台州）
教学启示：
（1）压轴题中好多中间量的计算还是通过建 立方程来解决。在教学中应给学生建立起 这样一个观念：将题目中的所有条件集中 在一个图形中，通过勾股定理、相似三角 形、等积变形来建立方程，平时应加强这 方面的训练。
（2）分类讨论已成为新教材中中考压轴题的 压点所在。在教学中应向学生强调：必须 确定分类标准，要正确进行分类，要不重 复、不遗漏、分类之后还要注意能否继续 分类，同时要注意层次分明，不要越级讨 论。
（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t≥0)，直角梯形OABC被 直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于x的函数图象如图2所 示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为 4． ①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积； ②当2〈t〈4时，求S关于t的函数解析式；
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2009年全国中考数学压轴题精选精析（天津）
1.（2009年天津）26．（本小题10分）
已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1
132
αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为
112时，求t 的值；
（Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由． （2009年天津26题解析）本小题满分10分.
解（Ⅰ）212120y x y x bx c y y ==++-= ，，，
()210x b x c ∴+-+=. ·
············································································· 1分 将1132αβ==
，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，， 解得1166
b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166
x x =-+． ······················································ 3分
（Ⅱ）由已知，得6
AB =，设ABM △的高为h ，
31121212
ABM S AB h h ∴===△·1144=.
根据题意，t T -=
， 由21166T t t =+
+，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512
t t ==；
当2
51166144t t -+=时，解得34551212t t +==.
t ∴的值为555121212
，，. ···································································· 6分 （Ⅲ）由已知，得
222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，.
()()T t t b ααα∴-=-++，
()()T t t b βββ-=-++，
()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.
01αβ<<< ，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=. 有1010b b αββα+=->+=->，.
又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，
∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；
当t αβ<≤时，T αβ<≤；
当1t β<<时，T αβ<<. ············································································ 10分。