1.1.3解三角形的进一步讨论
【重磅】新课标高中数学必修5全套教案
课题:§1．1．1
正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB Ⅱ.讲授新课
[探索研究](图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函
数的定义，有
sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c ==,A
则sin sin sin a b c c A B C
解三角形教案
数学5 第一章解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
人教A版高一数学 必修5 第一章 解三角形 §1.1.3解三角形的进一步讨论
人教A版高一数学必修5 第一章解三角形§1.1.3解三角形的进一步讨论
一、三维目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；掌握三角形各种类型的判定方法；能够应用三角形面积定理。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：正、余弦定理在解三角形问题时，沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，使学生了解事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，培养学生从本质上寻求事物之间内在联系的能力。
二、教学重难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、学法指导：通过典型题型掌握用正弦定理,余弦定理及其变形解决问题的方法。
四、知识链接（回顾）
1.正弦定理：
2.余弦定理及其推论：
五、学习过程
题型一、判断三角形解的个数问题
在利用正弦定理解“已知两边及其中一边的对角”的三角形时，可能有两解、一解、或无解。
例1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+,从而=sin sin a C c A
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。 因为从=sin sin b A B a
计算B 时，只能取锐角的值，所以只有一解。 2．当A 为锐角时，
三角形解的个数的进一步讨论
龙源期刊网
三角形解的个数的进一步讨论
作者：刘振龙
来源：《新课程·教师》2016年第03期
在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。
方法二：画圆找交点
解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得
AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。
如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小
进行对比：若a
数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。
最新高中数学必修人教A版教案全套
高
一
数
学
教
案
(必修五)
重庆铁路中学陈昭旭
数学5 第一章解三角形
课题:§1．1．1
正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
sin a
A c
=，sin b B c =，又sin 1c
人教A版高中数学必修五教案 第1章 解三角形 4.示范教案(1.1.3 解三角形的进一步讨论)
1.1.3
解三角形的进一步讨论
从容说课
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下： 余弦定理
a 2=
b 2+
c 2
-2bcco s A
b 2=a 2+
c 2-2acco s B c 2=b 2+a 2-2
baco s C （1）已知三边
（2）已知两边及其夹角
（3）已知两角和一边 （4）已知两边及其中一边的对角
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．
教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求； 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教具准备 投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作1．1． 正弦定理:
新课标人教A版必修5教案(全)
数学必修5 第一章解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
必修5 第一章 解三角形教案建议
必修5 第一章 解三角形
——高考一题通对教案的建议
高考一题通是以“一题通”的方式对高中数学做更高层次的抽象概括，让学生进一步去
感悟自己对数学知识的积累程度、理解程度、应用程度等方面的能力是否有所提高，所以，
高考一题通更加注重平时的每一章节知识的教学效果，即没有较好的点滴积累过程，就不会
有较好的一题通的教学效果和教学作用，
高考一题通是通过对一道题的“变式探究”、“解法探究”以及推广问题的探究和通性通
法的应用，来揭示或反映历届高考试题以及今后试题中所要或必须涉及到的试题题型以及解
题方法和数学思想方法的应用程度，从而，达到提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，
让学生真正认知在数学中“合情推理，演绎推理”的思维方式是数学发展史中必需的思维方
式，也是解答高考试题的核心思维方式，同时认知通性通法是解答高考试题的的通用方法，
以及进一步让学生认识到掌握数学概念的重要性。
下面就解三角形的常规教案（后附）提出几点探讨性建议，仅供参考。
（一）课标要求方面
在原有的基础上应增加一条：“在两个学习目标下让学生适当练习和强化特殊到一般的相
关思维问题”如，教案中提到的下列问题：就是较好的教学方法。
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a
A c =，sin b
B c =，又sin 1c
C c ==, 则sin sin sin a b c
c A B C ===
高中数学人教版教案：必修5第一章《解三角形》全章教案
数学5 第一章解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计
解三角形的进一步讨论
——解三角形中的一类倍角问题
1．教学内容解析
“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．
2．教学目标设置
教学目标：
(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；
(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、
2A B ，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；
(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：
(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；
(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc 、
2A B ，探究其数学本质．
3．学生学情分析
学生通过必修5的学习，已了解正弦和余弦定理的内容，但如何合理选择、灵活运用定理解决解三角形综合问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，还需通过复习指导有待进一步提高．
4．教学策略分析
(1)问题引入，激发求知欲望
(2)广泛联想，挖掘数形背景
(3)分析例题，落实核心知识
(4)重视应用，培养实践能力
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形
第1课时
课题: §1．1．1
正弦定理
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的
定
义
，
有
sin a
A c
=，
sin b
B c
=，又sin 1c C c
==
,
A
则sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c 从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
解三角形教案
高一数学必修5第一章解三角形教学设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约4课时） 1.2应用举例（约4课时）
（三）课时具体安排如下：
课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课
●教学目标：
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A B =sin c
C =
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
必修五第一章教案
§1．1．1正弦定理
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a
A c
=，
sin b B c =又sin 1c
C c
==, A 则
sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c
从而在直角三角形ABC 中，
解三角形讲义
[探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a sin A c =，sin b B c =，又sin 1c C c
==, 则a b c c sin A sinB sinC === ，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C
== 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =, 则sin sin a
b
A B =， 同理可得sin sin c
b
C B =， 从而sin sin a b
A B =sin c
C =
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考
虑用向量来研究这个问题．
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， 由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ ()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C 同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C ，从而 a b c sin A sinB sinC
解三角形教案
第一章 解三角形
课题: §1．1．1正弦定理(第1课时)
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b
B c
=，又sin 1c
C c ==, A
则
sin sin sin a
新课标高中数学必修5教案
课题: §1．1．1
正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定
义
，
有
sin a
A =，
sin b
B =，又s i n 1
c
C ==
, A
则sin sin sin a
b
c
c A
B
C
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求这个三角形的面积。
12
从而
sin
A
a b sin
B
c
sinC
a sin A
2
[随堂练习 3]
（1）在 ABC 中，若a 55 ，b 16，且此三角形的面积 S 220 3 ，求角 C
（2）在 ABC
中，其三边分别为
a、b、c，且三角形的面积 S
a2
b2 4
c2
，求角
C
（答案：（1） 600 或1200 ；（2） 450 ）
中，若 a
1，c
1 2
， C
400 ，则符合题意的
b
的值有_____个。
（3）在 ABC 中， a xcm ，b 2cm ， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2 x 2 2 ）
例 2．在 ABC 中，已知a 7 ，b 5 ，c 3 ，判断 ABC 的类型。
[随堂练习 2]
（1）在 ABC 中，已知sinA:sinB :sinC 1:2:3 ，判断 ABC 的类型。 （2）已知 ABC 满足条件acosA bcosB ，判断 ABC 的类型。 （答案：（1） ABC是钝角三角形 ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）
例 3．在 ABC 中， A 600 ，b 1，面积为
3 2
，求
sin A
a b c sin B sinC
的值
分析：可利用三角形面积定理 S
1 2
ab
sinC
1 ac sin B 2
1 2
bc
sin
A
以及正弦定理
a
b
sinA sinB
c sinC
a b c sin A sin B sinC
解：由 S
1 2
bc
sin
A
3 2
得c
2
，
则 a2 b2 c2 2bc cosA =3，即a 3 ，
（由学生阅读课本第 9 页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例 1．在 ABC 中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况
分析：先由 sin B
b sinA a
可进一步求出
分析：由余弦定理可知 a2 b 2 c2 A是直角 ABC是直角三角形 a2 b 2 c2 A是钝角 ABC是钝角三角形 a2 b 2 c2 A是锐角ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角ABC是锐角三角形 ）
解： 72 52 32 ，即 a2 b2 c2 ，
∴ ABC是钝角三角形 。
[课堂小结] （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。
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（五）评价设计（课时作业）
（1）在 ABC 中，已知b 4 ，c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情况。
（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。
1．1．3 解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无 解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理， 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数 的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事 物之间的内在联系。 （二）教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
B；
则C 1800 (A B )
从而c
a
sinC A
1．当 A 为钝角或直角时，必须a b 才能有且只有一解；否则无解。
2．当 A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若a bsinA ，则有两解；
（2）若a bsinA ，则只有一解；
Baidu Nhomakorabea
（3）若a bsinA ，则无解。
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 （三）学法与教学用具 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 （四）教学设想 [创设情景]
思考：在 ABC 中，已知a 22cm ，b 25cm ， A 1330 ，解三角形。
（以上解答过程详见课本第 9 10 页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且
bsinA a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习 1]
（1）在 ABC 中，已知a 80 ，b 100 ， A 450 ，试判断此三角形的解的情况。
10
（2）在 ABC