高考数学一轮复习 第一节 不等式和绝对值不等式课件 理 新人教A版选修45(广东专用)

若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(1 ＋|a|)． 【证明】 |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||(x－a)＋(2a－1)|， ∵|x－a|<1. ∴|x－a||(x－a)＋(2a－1)|<|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(1＋|a|)． 若不等式|f(x)－f(a)|<2(1＋|a|)成立．
综合 ①②③ 知，原不等式的解集为{x|x≥1}．
【答案】 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
4．(2012·广州调研)不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________．
【解析】 ||xx＋＋21||≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|且 x＋2≠0， ∴x≤－23且 x≠－2.
【答案】 {x|x≤－32且 x≠－2}
绝对值不等式性质的应用
(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1， 则|x－2y＋1|的最大值为________． 【思路点拨】 思路一 将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－ 2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二 由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的范围，然后运用不 等式的性质和绝对值的意义求解．
含绝对值不等式的解法
(1)(2011·江苏高考)解不等式：x＋|2x－1|＜3. (2)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【思路点拨】 (1)将不等式x＋|2x－1|＜3化成|2x－1|＜3－x的 形式，然后用公式求解． (2)去|x＋3|与|x－2|的绝对值，按零点分区间讨论．
第一节 不等式和绝对值不等式
1．平均值不等式
定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥___2_a_b__，当且仅
当___a_＝__b_＝___c___时，等号成立． 定理 2：(基本不等式)如果 a，b>0，那么a＋2 b≥___a_b__，当且仅 当___a_＝__b___时，等号成立．即两个正数的算术平均不小于(即大
【尝试解答】 (1)由 x＋|2x－1|＜3，得|2x－1|＜3－x. ∴原不等式化为22xx－ －11≥ ＜03， －x 或21－x－21x＜ ＜03－x ， 解得12≤x＜34或－2＜x＜21. 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜43}． (2)①当 x≥2 时，原不等式化为 x＋3－(x－2)≥3，此时恒成立，∴x≥2. ②当 x≤－3 时，原不等式化为－x－3－(2－x)≥3，无解． ③当－3＜x＜2 时，原不等式化为 x＋3－(2－x)≥3， 解之得 x≥1，因此 1≤x＜2.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
1．|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 【提示】 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2．|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？ 【提示】 |x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和 (差)．
于或等于)它们的几何平均． 定理 3：如果 a，b，c 大于 0，那么a＋3b＋c≥__3__a_b_c_，当且仅 当__a_＝__b_＝__c___时，等号成立．
2．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤____|a_|＋__|b_|_，当且仅 当__a_b_≥__0___时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|_a_－__c_|≤_|_a_－__b_|＋__|_b_－__c_| _，当且
仅当___(a_－___b_)(_b_－__c_)≥__0____时，等号成立．
3．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 |x|<a |x|>a
a>0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a}
a＝0
a&≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
【尝试解答】 法一 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2| ≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5， 当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5. 法二 ∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2. 又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3， 从而－6≤－2y≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， ∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5. 【答案】 5,
2．(2012·韶关质检)不等式|x－2|＞x－2的解集是( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
【解析】 |x－2|＞x－2同解于x－2＜0，∴x＜2.
【答案】 A
3．(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实 数解，则实数a的取值范围是________． 【解析】 因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3， 因此要使原不等式存在实数解，只需|a|≥3， ∴a≥3或a≤－3.
1．(教材改编题)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是( )
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；
④|a＋b|>|a|－|b|.
A．①和②
B．①和③
C．①和④
D．②和④
【解析】 ∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①④正确，②③错误．
【答案】 C
1．(1)法一的关键是把|x－2y＋1|变形为|(x－1)－2(y－2)－2|， 进而利用绝对值不等式性质；(2)法二把求|x－2y＋1|的最大值 问题，转化为求x－2y＋1的取值范围问题．
2．(1)利用绝对值不等式性质定理求最值时，要指明取到等号 的条件．(2)注意绝对值不等式性质在不等式证明中的放缩应 用．