压杆稳定
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理想压杆： 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿 轴线作用。
三、临界压力
临界状态 稳 定 平 衡
对应的
过 渡
压力
临界压力：Pcr
不 稳 定 平 衡
临界压力：压杆在直线形态下由稳定平衡转化为不稳定平衡 时所受轴向载荷的极限值。
四、压杆失稳危害性
临界应力往往低于材料的屈服极限； 破坏往往是不可恢复的。
Pcr 2 EI 2 Ei 2 cr 2 2 A l A l
——截面的惯性半径 ——压杆的柔度（长细比） 影响压杆承载能力的综合指标。
记
I i A l i
2
则得欧拉公式另一形式
E cr 2
2
二 、三类不同的压杆 柔度
l
i
根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类。
1、细长杆——发生弹性失稳
E cr 2 ≤p
2
E p
2
2E p p
铸铁：p = 80
P
2 EI min Pcr L 2
Q 235 钢：E=206GPa；p=200MPa；p = 101； 铝合金：p = 62.8
P
P
分析：越小，临界力越大 越大，临界力越小
解：
= l / i ,
i
I d 4 / 64 d 2 A d / 4 4
1 5 20 a ia d d 4
l
0.5 9 18 b ib d d 4
l
a > b
∴
Pcr(a) < Pcr (b)
I min
d 4
40 4
10 12 1.26 10 7 m 4
Pcr 4 1022000 cr 813MPa > p 2 A 40
§10.4 临界应力与柔度 三类不同的压杆
一、临界应力与柔度 欧拉公式的一般形式 临界应力
2 EI Pcr 2 l
解： =2
L
z
I min I z 3.89 10 8 m 4
(45× 45×6) 等边角钢
2 EI Pcr ( l )2
2 3.89 10 8 200 10 9
(2 0.5)
2
76 .8kN
例 求下列细长压杆的临界力，L=0.5m。 解： =0.7
P C A YA 2 M
NCD
Psin300
x
P l1 2
E N E M
max N M N M
A
Wz
A、Wz查表
21.65 10 3 15.63 10 3 4 21.5 10 102 10 6
163 106 Pa 163 MPa ≥ [=160MPa
y P
x
P
iz
h
2 3 P P 60 17.32 mm x 2 3 z l 1 2300 z 132.8 iz 17.32 设杆在xz面内失稳 b 40 iy 11.55 mm =0.5 l=2.3m 2 3 2 3 z> y， l 0.5 2300 y 99.6 说明杆在xy面内失稳 i 11.55
P 2 k EI
微分方程的通解
边界条件
M
d2y k 2 y ( x) 0 dx 2
y(x) =A sin k x + B cos k x y ( 0 ) = 0 ，y ( l ) = 0
y P
y(x) =A sin k x + B cos k x
y(0)=0 y (l)=0
0 sin kl
即
P A
显然
st
cr nst
百度文库
例 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情况如图所示， 其中a为正视图，b为俯视图，在A、B两处用螺栓夹紧。已知 l=2.3m ， b=40mm ， h=60mm ， E=205GPa ， P=100kN ， nst=2.5，试校核此杆的稳定性。
163 160 0.01875 ≤5% 160
所以，此杆满足强度要求。
4、CD杆分析
Q235钢，l2=0.55m，E=206GPa， nst=2.0，d=20mm。 C
N CD
d 杆两端铰支 =1 i 4 l 4 l 2 4 1 0.55 110 d 0.02 i ∴此杆为细长杆
1、杆的长度；2、截面尺寸；3材料性质； 4、约束情况。
二、通用公式
支承条件的影响表现为确定待定常数的边界条件不同， 不同的支承条件，其临界力公式各不相同。
EI Pcr 2 l
2
—长度系数（或约束系数）。 l—相当长度。
三、长度折减系数值
P
P
P
P
=1
=2
π EI P cr (2l ) 2
§10.1 压杆稳定的基本概念
一、稳定平衡与不稳定平衡
稳 定 平 衡
P
P
不 稳 定 平 衡
P 压力 P 较小
P
压力 P 较大
稳定平衡
不稳定平衡
二、失稳 失 稳： 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转 变，称为失稳或屈曲。 失稳特点： 失稳时轴向压力远远小于强度破坏时的压力。
<< P << S
§10.5 压杆稳定安全校核
一、稳定安全准则
理想压杆： 材料均匀；轴线笔直；荷载无偏心。 实际压杆： 材料缺陷；轴线初弯；荷载偏心。 为保证压杆的直线平衡位置是稳定的，并具有 一定的安全裕度，必须使压杆所承受的工作载荷满 足下述条件：
P P st
Pcr nst
cr P st A nst
2
=0.5
=0.7
π EI Pcr l2
2
π 2 EI π 2 EI P P cr cr 2 (0.5l ) (0.7l ) 2
例 求下列细长压杆的临界力，L=0.5m。
P
π 2 EI 分析： P cr 2 ( l )
=?
y
=2
I=?
查表P391
I min I z 3.89 10 8 m 4
P
bh3 I ? 12
P
2、不受局部削弱的影响 3、挠曲线形状
y ( x) A sin
x
l
半波正弦曲线
四、讨论
n EI Pcr 2 l
2 2
2、n = 2、3…. 是否存在 n 个半波正弦曲线
P
1、挠曲线形状
y ( x) A sin
x
l
半波正弦曲线
A ?
§10.3 支承对压杆临界力的影响 常见支承条件下压杆的临界力公式 一、临界力的影响因素
64 64 2 2 126 206 I min E 63.9kN Pcr 2 2 2 ( l ) Pcr 4 63900 cr 50.85MPa < p 2 A 40 2 I min E 2 126 206 Pcr 1022kN 2 2 ( l ) 0.5
Pcr 分析：nw nst P
失稳方式 xy面内失稳 =1
y P
x
P
弯曲变形的中性轴？ z P Iz bh3 h iz A 12bh 2 3 yz面内失稳 =0.5 弯曲变形的中性轴？ y
P x z
iy Iy hb 3 b A 12bh 2 3
解： 1、判断失稳方向 设杆在xy面内失稳 =1 l=2.3m
3、稳定校核
Pcr 275 nw 2.75 ≥ nst= 2.5 P 100
所以该杆满足稳定性要求。
例 图示结构，材料Q235钢，P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， E=206GPa， nst=2.0，[]=160MPa 求：校核此结 构是否安全。 A 分析：破坏方式 AB杆强度破坏 CD稳定性破坏 XA A YA l1 C NCD d=20mm D l1 C l2 l1 300 B P
突发性，易引起整体性破坏，危害严重
五、其他压杆问题
§10.2 压杆的临界载荷— 欧拉临界力
一、欧拉临界力
以两端铰支的等截面直杆为例，确定压杆临界载荷。 P P
y
P M
y P
由平衡方程
由挠曲线近 似微分方程
2
M ( x) Py( x)
d2y M ( x) 2 dx EI
2
y
P
d y P d y P y ( x) 0 y 2 dx EI dx 2 EI
1、理想压杆 2、 ≤ P 欧拉公式是在挠曲线近似微分方程的基础上推 导出来的。 EI y(x) ''= - M
材料服从虎克定律；应力超过材料的比例极限 后，欧拉公式不再成立。
线弹性范围内理想压杆 又称细长压杆
三、注意问题
1、 I = Imin
Pcr
2 EI
l2
hb 3 I ? 12
材料力学
中国石油大学（华东） 胡玉林
2013年8月9日
2013年8月9日
§10.1 压杆稳定的基本概念
§10.2 压杆的临界载荷— 欧拉临界力
§10.3 支承对压杆临界力的影响
常见支承条件下压杆的临界力公式
§10.4 临界应力与柔度 三类不同的压杆
§10.5 压杆稳定安全校核 §10.6 提高压杆稳定的措施
I min
y
z
10 50
b h3 50 10 3 Iy 10 12 12 12
4.17 10 9 m4
2 I min E 2 4.17 200 Pcr 67.14 kN 2 2 ( l ) (0.7 0.5)
例 两端铰支杆，压杆直径的d=40mm，E=206GPa， P=200MPa， S = 235MPa，L=2m。 求压杆的临界力，若L=0.5m，压杆临界力。 P 解： 两端铰支，=1
y
2、计算临界力 Q235钢，P=101， s=61.6 ∴ z 132.8> P ，为细长杆
2 E 2 205 109 114.7 106 Pa 114.7MPa cr 2 132.82
Pcr cr A 114.7 40 60 275 103 N 275kN
No.14
N CD
l1 300 B P D C
N CD
解：1、外力分析
∑MA=0 ∑X=0 ∑Y=0 P· sin300 · 1 － NCD · =0 2l l1 XA+P cos 300 = 0 YA+NCD－P sin300 = NCD =P =25 kN
XA=－P cos300 0
P P YA P 2 2
2、中长杆—发生弹塑性失稳（屈曲）
(s < p) 直线型经验公式 cr＝ a - b ；a , b 查表
a S S b
Q 235 钢：a=203MPa；b=1.12MPa s＝235MPa； s = 61.6 3、粗短杆— 不发生失稳（屈曲），而发生屈服
(< s)
cr＝ s (b)
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0 1 =0 cos kl
sin kl = 0
两端铰支等截面直杆临界载荷：
n 2 2 EI Pcr 2 l
kl n
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1
最小临界载荷
Pcr
EI
2
l
2
—欧拉公式
二、公式的应用条件
二、安全系数校核法
cr Pcr nW P
nw：稳定安全系数，对于不同类型的压杆， 分别采用不同的计算公式。 压杆安全工作的条件为：
nW nst
nst——规定稳定安全系数
三、折减系数校核法 由
cr P st A nst
改写
st
cr
nst
N CD
XA A l1 l1 C NCD 300 B P D C
YA
N CD
2、内力分析
AB梁 N=P cos300 = 21.65 kN
XA
A C B
Pcos300
l1
l1
B
M max
P 25 l1 1.25 2 2 15.63kN m
危险截面 C 截面
3、应力分析 拉弯组合 危险点 E点
三、临界应力总图
直线型经验公式
细长杆：(p)
发生弹性屈曲 中长杆：(s < p)
发生弹塑性屈曲
粗短杆：(< s) 不发生屈曲，而发生屈服
粗短杆 中长杆
细长杆
a S S b
2E p p
例 a，b两杆直径均为d，材料都是Q235钢，二者长度和约 束均不同；分析哪一根压杆的临界力比较大？
三、临界压力
临界状态 稳 定 平 衡
对应的
过 渡
压力
临界压力：Pcr
不 稳 定 平 衡
临界压力：压杆在直线形态下由稳定平衡转化为不稳定平衡 时所受轴向载荷的极限值。
四、压杆失稳危害性
临界应力往往低于材料的屈服极限； 破坏往往是不可恢复的。
Pcr 2 EI 2 Ei 2 cr 2 2 A l A l
——截面的惯性半径 ——压杆的柔度（长细比） 影响压杆承载能力的综合指标。
记
I i A l i
2
则得欧拉公式另一形式
E cr 2
2
二 、三类不同的压杆 柔度
l
i
根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类。
1、细长杆——发生弹性失稳
E cr 2 ≤p
2
E p
2
2E p p
铸铁：p = 80
P
2 EI min Pcr L 2
Q 235 钢：E=206GPa；p=200MPa；p = 101； 铝合金：p = 62.8
P
P
分析：越小，临界力越大 越大，临界力越小
解：
= l / i ,
i
I d 4 / 64 d 2 A d / 4 4
1 5 20 a ia d d 4
l
0.5 9 18 b ib d d 4
l
a > b
∴
Pcr(a) < Pcr (b)
I min
d 4
40 4
10 12 1.26 10 7 m 4
Pcr 4 1022000 cr 813MPa > p 2 A 40
§10.4 临界应力与柔度 三类不同的压杆
一、临界应力与柔度 欧拉公式的一般形式 临界应力
2 EI Pcr 2 l
解： =2
L
z
I min I z 3.89 10 8 m 4
(45× 45×6) 等边角钢
2 EI Pcr ( l )2
2 3.89 10 8 200 10 9
(2 0.5)
2
76 .8kN
例 求下列细长压杆的临界力，L=0.5m。 解： =0.7
P C A YA 2 M
NCD
Psin300
x
P l1 2
E N E M
max N M N M
A
Wz
A、Wz查表
21.65 10 3 15.63 10 3 4 21.5 10 102 10 6
163 106 Pa 163 MPa ≥ [=160MPa
y P
x
P
iz
h
2 3 P P 60 17.32 mm x 2 3 z l 1 2300 z 132.8 iz 17.32 设杆在xz面内失稳 b 40 iy 11.55 mm =0.5 l=2.3m 2 3 2 3 z> y， l 0.5 2300 y 99.6 说明杆在xy面内失稳 i 11.55
P 2 k EI
微分方程的通解
边界条件
M
d2y k 2 y ( x) 0 dx 2
y(x) =A sin k x + B cos k x y ( 0 ) = 0 ，y ( l ) = 0
y P
y(x) =A sin k x + B cos k x
y(0)=0 y (l)=0
0 sin kl
即
P A
显然
st
cr nst
百度文库
例 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情况如图所示， 其中a为正视图，b为俯视图，在A、B两处用螺栓夹紧。已知 l=2.3m ， b=40mm ， h=60mm ， E=205GPa ， P=100kN ， nst=2.5，试校核此杆的稳定性。
163 160 0.01875 ≤5% 160
所以，此杆满足强度要求。
4、CD杆分析
Q235钢，l2=0.55m，E=206GPa， nst=2.0，d=20mm。 C
N CD
d 杆两端铰支 =1 i 4 l 4 l 2 4 1 0.55 110 d 0.02 i ∴此杆为细长杆
1、杆的长度；2、截面尺寸；3材料性质； 4、约束情况。
二、通用公式
支承条件的影响表现为确定待定常数的边界条件不同， 不同的支承条件，其临界力公式各不相同。
EI Pcr 2 l
2
—长度系数（或约束系数）。 l—相当长度。
三、长度折减系数值
P
P
P
P
=1
=2
π EI P cr (2l ) 2
§10.1 压杆稳定的基本概念
一、稳定平衡与不稳定平衡
稳 定 平 衡
P
P
不 稳 定 平 衡
P 压力 P 较小
P
压力 P 较大
稳定平衡
不稳定平衡
二、失稳 失 稳： 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转 变，称为失稳或屈曲。 失稳特点： 失稳时轴向压力远远小于强度破坏时的压力。
<< P << S
§10.5 压杆稳定安全校核
一、稳定安全准则
理想压杆： 材料均匀；轴线笔直；荷载无偏心。 实际压杆： 材料缺陷；轴线初弯；荷载偏心。 为保证压杆的直线平衡位置是稳定的，并具有 一定的安全裕度，必须使压杆所承受的工作载荷满 足下述条件：
P P st
Pcr nst
cr P st A nst
2
=0.5
=0.7
π EI Pcr l2
2
π 2 EI π 2 EI P P cr cr 2 (0.5l ) (0.7l ) 2
例 求下列细长压杆的临界力，L=0.5m。
P
π 2 EI 分析： P cr 2 ( l )
=?
y
=2
I=?
查表P391
I min I z 3.89 10 8 m 4
P
bh3 I ? 12
P
2、不受局部削弱的影响 3、挠曲线形状
y ( x) A sin
x
l
半波正弦曲线
四、讨论
n EI Pcr 2 l
2 2
2、n = 2、3…. 是否存在 n 个半波正弦曲线
P
1、挠曲线形状
y ( x) A sin
x
l
半波正弦曲线
A ?
§10.3 支承对压杆临界力的影响 常见支承条件下压杆的临界力公式 一、临界力的影响因素
64 64 2 2 126 206 I min E 63.9kN Pcr 2 2 2 ( l ) Pcr 4 63900 cr 50.85MPa < p 2 A 40 2 I min E 2 126 206 Pcr 1022kN 2 2 ( l ) 0.5
Pcr 分析：nw nst P
失稳方式 xy面内失稳 =1
y P
x
P
弯曲变形的中性轴？ z P Iz bh3 h iz A 12bh 2 3 yz面内失稳 =0.5 弯曲变形的中性轴？ y
P x z
iy Iy hb 3 b A 12bh 2 3
解： 1、判断失稳方向 设杆在xy面内失稳 =1 l=2.3m
3、稳定校核
Pcr 275 nw 2.75 ≥ nst= 2.5 P 100
所以该杆满足稳定性要求。
例 图示结构，材料Q235钢，P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， E=206GPa， nst=2.0，[]=160MPa 求：校核此结 构是否安全。 A 分析：破坏方式 AB杆强度破坏 CD稳定性破坏 XA A YA l1 C NCD d=20mm D l1 C l2 l1 300 B P
突发性，易引起整体性破坏，危害严重
五、其他压杆问题
§10.2 压杆的临界载荷— 欧拉临界力
一、欧拉临界力
以两端铰支的等截面直杆为例，确定压杆临界载荷。 P P
y
P M
y P
由平衡方程
由挠曲线近 似微分方程
2
M ( x) Py( x)
d2y M ( x) 2 dx EI
2
y
P
d y P d y P y ( x) 0 y 2 dx EI dx 2 EI
1、理想压杆 2、 ≤ P 欧拉公式是在挠曲线近似微分方程的基础上推 导出来的。 EI y(x) ''= - M
材料服从虎克定律；应力超过材料的比例极限 后，欧拉公式不再成立。
线弹性范围内理想压杆 又称细长压杆
三、注意问题
1、 I = Imin
Pcr
2 EI
l2
hb 3 I ? 12
材料力学
中国石油大学（华东） 胡玉林
2013年8月9日
2013年8月9日
§10.1 压杆稳定的基本概念
§10.2 压杆的临界载荷— 欧拉临界力
§10.3 支承对压杆临界力的影响
常见支承条件下压杆的临界力公式
§10.4 临界应力与柔度 三类不同的压杆
§10.5 压杆稳定安全校核 §10.6 提高压杆稳定的措施
I min
y
z
10 50
b h3 50 10 3 Iy 10 12 12 12
4.17 10 9 m4
2 I min E 2 4.17 200 Pcr 67.14 kN 2 2 ( l ) (0.7 0.5)
例 两端铰支杆，压杆直径的d=40mm，E=206GPa， P=200MPa， S = 235MPa，L=2m。 求压杆的临界力，若L=0.5m，压杆临界力。 P 解： 两端铰支，=1
y
2、计算临界力 Q235钢，P=101， s=61.6 ∴ z 132.8> P ，为细长杆
2 E 2 205 109 114.7 106 Pa 114.7MPa cr 2 132.82
Pcr cr A 114.7 40 60 275 103 N 275kN
No.14
N CD
l1 300 B P D C
N CD
解：1、外力分析
∑MA=0 ∑X=0 ∑Y=0 P· sin300 · 1 － NCD · =0 2l l1 XA+P cos 300 = 0 YA+NCD－P sin300 = NCD =P =25 kN
XA=－P cos300 0
P P YA P 2 2
2、中长杆—发生弹塑性失稳（屈曲）
(s < p) 直线型经验公式 cr＝ a - b ；a , b 查表
a S S b
Q 235 钢：a=203MPa；b=1.12MPa s＝235MPa； s = 61.6 3、粗短杆— 不发生失稳（屈曲），而发生屈服
(< s)
cr＝ s (b)
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0 1 =0 cos kl
sin kl = 0
两端铰支等截面直杆临界载荷：
n 2 2 EI Pcr 2 l
kl n
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取 n=1
最小临界载荷
Pcr
EI
2
l
2
—欧拉公式
二、公式的应用条件
二、安全系数校核法
cr Pcr nW P
nw：稳定安全系数，对于不同类型的压杆， 分别采用不同的计算公式。 压杆安全工作的条件为：
nW nst
nst——规定稳定安全系数
三、折减系数校核法 由
cr P st A nst
改写
st
cr
nst
N CD
XA A l1 l1 C NCD 300 B P D C
YA
N CD
2、内力分析
AB梁 N=P cos300 = 21.65 kN
XA
A C B
Pcos300
l1
l1
B
M max
P 25 l1 1.25 2 2 15.63kN m
危险截面 C 截面
3、应力分析 拉弯组合 危险点 E点
三、临界应力总图
直线型经验公式
细长杆：(p)
发生弹性屈曲 中长杆：(s < p)
发生弹塑性屈曲
粗短杆：(< s) 不发生屈曲，而发生屈服
粗短杆 中长杆
细长杆
a S S b
2E p p
例 a，b两杆直径均为d，材料都是Q235钢，二者长度和约 束均不同；分析哪一根压杆的临界力比较大？