指数函数与对数函数的图象交点问题
对指数函数、对数函数、幂函数交点问题的探究
维普资讯
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３ ・ Ｏ
中学教研 （ 学） 数
２０ ０ ８年第 １期
对 指 数 函 数 、 数 函 数 、 函 数 交 点 问 题 的 探 究 对 幂
●李 惟峰 （ 浙江杭州外国语学校 ３０２ ） １０３
在人 教版普通 高 中课 程标 准实验 教 科 书必 修第 １册
况 为
相 ， 相 于 ÷÷． 据 数 数 对 ｉ 切 且 切 点 （，） 根 指 函 和 数ｉ 并 再
数 图 ，知 当 ＜＜÷） ，线Ｙ ｏ ＝ｇ 的 像 易 ： ０ ｏ 《 时 曲 ＝ ｌ 和ｙ ｏ 有 只 个 点； 《 ＜ ＜ 时 曲 ｙ ｏ和Ｙ 且 有３ 交 当 ÷） ｏ １ ， 线 ＝ ＝
（ｏ ） ＝ ｘ ） Ｉ： ， １ ｇ Ｉ：
１ １
（当 ＜＜ ） ， 只 ３交 ； １ ０ （ 。有 有个 点 ） 。÷ 时 且 （当 ＝ ） ， 只 ｌ点 ２ 。（ 有 有 交 ； ） ÷时且
（当÷ ＜＜时有 只 ｌ点 ３ （ ）。ｌ ， 有 交 ． ） 且
下 面先 求曲线 Ｙ＝ｏ 和 Ｙ＝ｌ 相切时 。的值． ‘ ｏ ｇ
设切点 为 Ｐ（。ｙ ） 由对称性知 ， Ｐ在 直线 Ｙ＝ ｘ ，０ ， 点 上 ，
并且在点 Ｐ处 的斜 率为 一１则 ，
交点 ， 并且交点位 于（ ， ） 间． ｏ １之 证明 构造函数 ， ）＝ 一ｌｇ ， 知函数 ， ） （ ｏ 易 （ 在 ∈
果 又如何 呢？这个 问题 实 际上 是求对 数 函数 、 指数 函数 和 幂函数这 ３个 函数 图像 的交点 问题 ， 里主要 考察 这 ３个 这 函数在第 一象 限的交 点个数． 面分 ３种情况加 以讨论． 下
同底指数函数与对数函数图象交点个数
同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数)10(≠>=a a a y x 且与对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线x y =对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分1>a 和10<<a 两者情况进行讨论.1. 当1>a 时在几何画板中，画出x y 2=与x y 2log =图象，发现它们没有公共点（如图1）.当底数a )1(>a 逐渐变小时，)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象与x y =逐渐接近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在x y =上.图1 图2 图3 事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象交点情况即研究)1(>=a a y x 与x y =图象交点情况.下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程0=-⇒⎩⎨⎧==x a xy a y x x让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：()1ln 1ln 1ln 111=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧⇒==⎩⎨⎧⇒='=x x x a a x a a x a x x x x x ∴e e ea e a e x 1,,===即得 所以，当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象与x y =相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得：当e e a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点.2. 当10<<a 时 同样地，我们也在几何画板中画出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与x y 21log =图象，发现它们有一个交点（如图4）.当底数a )10(<<a 逐渐变小时，我们惊奇地发现)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象出现了3个交点（如图5）.图4 图5 由函数的单调性和连续性知，当10<<a 时，)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a 的值，类似的，我们得到以下结论： 当1<≤-a e a 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；当a ea -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点. 综上所述， 当ee a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=或1<≤-a ea 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点；当a e a -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点.微练习：1．下列命题① 若点）（n m ,在函数x a y =图象上，则点）（m n ,在函数x y a log =图象上② 当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =无公共点③ 若点）（n m ,既在函数x a y =图象上，也在函数x y a log =图象上，则n m =④ 当10<<a 时，函数x a y =的图象与直线x y =有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知1>a ,则方程|log |x a a x =实根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．1个或2个或3个3．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．2个或3个D ．2个或4个【答案】1.①由反函数图象对称性知正确；②当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =可能有0个或1个或2个交点，所以错误；③当10<<a 时，函数x a y =与函数x y a log =交点有3个时，其中2个不在x y =上，所以错误；④当10<<a 时，函数x a y =与直线只有一个交点，所以正确.故选C.2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数x a y =与函数x y a log =图象交点个数，而x y a log =是把x y a log =图象在x 轴下方部分作关于x 轴对称，又因为当1>a 时，函数xa y =与函数x y a log =图象交点可能有0个或1个或2个，所以|log |x a a x =实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.3.当10<<a 时，方程|log |||x a a x =在区间）（1,0内实根个数是1个或3个，在区间[)∞+，1内的实根个数为1个，所以10<<a 时，方程|log |||x a a x =实根个数为2个或4个，故选D.。
指数函数与对数函数关系的典型例题
经典例题透析类型一、求函数的反函数例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数.思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5，∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5)将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0)x x x x +≥⎧⎨-<⎩，求f -1(x). 思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x ≥0时，y=x+1≥1，∴y ∈[1，+∞)，∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1)；当x<0时，y=1-x 2<1，∴ y ∈(-∞，1)，反解 x 2=1-y ，，∴ f -1； ∴ 综上f -1(x)=1(1)(1)x x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩. 类型二、利用反函数概念解题例3.已知f(x)=112-+x x (x ≥3)， 求f -1(5). 思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f -1(5)=x 0， 则 f(x 0)=5，即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5， x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍)，∴ f -1(5)=3.举一反三：【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =，则g(10)=( ) A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-1(法一)依题意，函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1)，因此g(10)=-2.(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.例4.设点(4，1)既在f(x)=ax 2+b (a<0，x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程.解： ⎝⎛+⋅=+⋅=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)=ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.类型三、互为反函数图象间关系例6.将y=2x的图象先______，再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x ＋1)的图象( )A ．先向上平行移动一个单位B ．先向右平行移动一个单位C ．先向左平行移动一个单位D ．先向下平行移动一个单位解析：本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断．答案：D总结升华：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力．举一反三：【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)的图象( )A.关于直线y=x 对称B.关于直线y=x+1对称C.关于直线y=x-1对称D.关于直线y=-x 对称解：y=f(x+1)与y=f -1(x+1)图象是分别将y=f(x)， y=f -1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵ y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称，y=x 向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.【变式2】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x)，则函数y= f —1(1-x)的图象是( )【答案】由y=log 2x 得f —1(x)＝2x ，所以y=f —1(1-x)＝21-x， 选择C. 【变式3】（2011 四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()12xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的反函数的图象大致是（ ）解：当0x >时，函数()f x 单调递减，值域为()1,2，此时，其反函数单调递减且图象在1x =与2x =之间，故选A ．类型四、指数函数和对数函数的综合问题例7.已知函数)2(log )(221x x x f －＝．(1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数．解：复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减．(1)函数的定义域{x|x<0或x>2}，又t=x 2-2x=(x-1)2-1．∴x ∈(-∞，0)，t 是x 的减函数．而)0(log 21＞＝t t y 是减函数，∴函数f(x)在(-∞，0)为增函数．(2)函数f(x)的增区间为(-∞，0)， 令)2(log 221x x y －＝，则y x x )21(22＝－．∴0)21(22＝－－y x x ，1x ＝∵x<0，∴y x －＋－＝211．∴R)(211)(1∈x x f x －－＋－＝．总结升华：研究函数单调性首先要确定定义域；在函数的每个单调区间内存在反函数，因此要注意反函数存在的条件．。
互为反函数的指数与对数函数的交点问题浅探_张群先
了 0<a<1 和 a>1 两种情况下它们的单调性以及一些基本性质。但是通过几何画板的直观演示，可以发现，同一底数的指、对函数
它们有交点，可以不在直线 y=x 上。
【关键词】反函数；指数函数；对数函数；图像交点；解题技能
函数
图像的交点问题经常出现在一些题目中，
由于教材中并没有提到，在高中的日常教学中，老师往往会通
时，方程有且只有一解，即图像有一点交点；③当
时，方程有且只有一解，即图像有一个交点。
综上所述，得：当
时，方程
有且只有三解，即
图像有三个交点；当
有且只有一解，即图像有
一个交点；当
时，方程
有且只有一解，即图像有
一个交点；当
时，方程
有且只只有一解，即图像有一个交
点；当
通过使用几何画板作图我们可以
得到结论：①当 0<a<e-e 时，y=ax 与 y=
logax 的图象有三个交点；②当 e-e≤a ＜
1 时，y=ax 与 y=logax 的图象有一个交
点；③当
1<a<e
1 e
时，y=ax
与=logax
的图
象有两个交点；④当
a=e
1 e
时，y=ax
与
y=logax
的图象有一个交
2012 年第 12 期
互为反函数的指数与对数函数的交点问题浅探
张群先
(山西省高平市中等专业学校，山西 高平)
【摘 要】对于指数函数与对数函数的交点问题，我们都知道同一底数的指数与对数函数互为反函数，如果它们有交点，我们一
般认为它们应该在直线 y=x 上。这几乎是无可厚非的。对于指数函数
同底的指数函数与对数函数的交点问题
∙同底的指数函数与对数函数的交点问题∙需要具备的知识点指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential function) ，。
单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);对数函数单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);以上指数函数和对数函数的底数都用a表示。
求同底指数函数对数函数的交点方法：假设+渐近简要分析：首先看a>1还是0<a<1,高中范围内一般只考虑这两种情况.a>1交点数可能有三种情况，0个1个或2个.如下图0<a<1时图象有且仅有一个交点，我稍作说明。
Q:存在函数y=a^x与y=logax（a>1,a≠1）在x属于（0,+∞）,求其交点个数。
（a^x意思是a的x次方，logax指以a为底x 的对数）A:假设一个x，使得y=a^x与y=logax为可比较的数，可以设为a的平方或立方，（因为logaa^n=n，而a^n也是一个可以求的实数，所以可以进行比较。
如a=2，则可设x=1/2，2，4，8...）用所得的指数函数值减去对数函数值。
设指数函数值减去对数函数值为delta y，如果delta y等于或小于零时，函数有交点，如果delta y大于零则函数在x处无交点。
如何验证只有一个交点？首先找到一个x使得delta y为零，然后取x左右的横坐标值x1，x2，如果x1，x2使delta y都大于零，那么可以说指数函数与对数函数有且仅有一个交点。
（如果x1，x2对应的delta y一正一负，则函数图像有两个交点。
）如何验证有二个交点？（已证）如何计算两个交点的交点坐标？（如果出题的老师没有恶意的话，是可以用这种方法算出来的）首先找到一个横坐标值x使得delta y小于零，然后在x左侧或右侧找到一个x1使得delta y大于零，则交点横坐标点在（x，x1）或（x1，x）之间，可以继续假设，知道找到使delta y等于零的x值。
指数函数和对数函数的图像交点个数
摘 要 由零 点 定 理 判 定 函数 ｌ厂（ｚ）一 ａ 一 ｌｏｇ ， ７２（Ｏ＜ ｎ＜ １，ｚ＞ Ｏ）的 零 点 个 数 ，从 而 得 到 函 数 ｙ— ｎ 与 甬
‘ 数 — ｌｏｇ。ｚ 的 图像 的交 点 个 数 ，它 们 的 交 点 个 数 并 不 唯 一 ．
关 键 词 指数 函 数 ；对 数 函 数 ；零 点 定 理 ；交 点
续 ．又 因 为
ｌｉｍ ｇ（ｚ） ＝＝＝ｌｉｒａ （ｄ 一 ｚ） 一 １，
ｚ一 ０十
一 ０十
ｌｉｒ ａ ｇ（ ）一 ｌｉｍ （ｎ 一 － ｚ） 一 一 。。，
所 以 ，一定 存 在 — ａ，ｚ一 ，使得
ｇ（ａ）＞ ０， ｇ（ ）＜ ０，
由 零 点 定 理 可 知 Ⅲ ，函 数 ｇ（ｚ）在 开 区 间 （ａ，ｐ）内 至 少 有 一个 零点 ．综 上 ，函数 ｇ（ｚ）有且 只有 一 个零 点 ， 记 为 ｚ — ｚ０，则
厂（ ）一 ０， 厂（ ）＝＝＝０， 故 在 （Ｏ，＋ 。。）内 －厂（ｚ）有 且 只 有 三 个 零 点 （图 ２），即
一
ｚ 一
１
。
根据 微分 学相 关知 识可 知 ，当且 仅 当 ｚ一 时 ， ｌｒｌ
ｈ（ｚ）有极 大值 ，也 即最大 值
ａ ｏ — Ｚ ｎ ．
给 上 式 两 边 取 对 数 得
ｚ０ ＝ ｌｏｇ ‘ｚ ｏ，
故 点 （ 。，ｚ。）为 函数 ＝＝＝ａ 与 — ｌｏｇ ｚ 的 图像 的 一 个 交 点 （图 １）．
等式 仅在 ａ— ｅ 且 ｚ一 时 成立 ·又 因为
ｌｉｍｆ（ｘ）一 ｌｉｒａ （ｎ 一 １ｏ＆ｚ）一一 ∞ ，
一 ［）＋
一０
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数的交点问题问题：()log ,0,1xa y x y aa a ==>≠的图像在0x >上的交点个数。
解答：1.当1a >时，由二者图像的对称性知，二者图像的交点都在直线y x =上，故原问题等价于讨论()1xy aa =>与y x =在0x >上的交点的个数，等价于讨论()ln 1y x a a =>与ln y x =在0x >上的交点的个数。
令()ln ln f x x a x =-，则()1ln ,0f x a x x '=->。
当10ln x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,ln a ⎛⎤ ⎥⎝⎦严格递减；当1ln x a >时，()0f x '>，()f x 在1,ln a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格递增；因此()f x 在01ln x a =处取得最小值()01lnln f x a =+。
图1 1ea e >图2 1ea e =图3 11ea e <<当()01lnln 0f x a =+>，即当1e a e >时，()0f x >在0x >上恒成立，()f x 在0x >上没有零点（如图1）；当1e a e =时，()0f x ≥在0x >上恒成立，且()010ln f x x x e a=⇔===，此时()f x 在0x >上有且仅有一个零点0x e =（如图2）；当11ea e <<时，最小值()00f x <，又因为()0111ln 1ln e x a a a<<=<-，且 ()()()()111ln 0,ln 1ln ln 01ln 1f a f a a a a a ⎛⎫=>=+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭后式求导讨论即可验证（如下图），故()f x 在()01,x 和()01,1ln x a a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭上各有一个零点，又由()f x 在0x 两侧的严格单调性知这两个零点都是唯一的，故()f x 在0x >上有且仅有两个零点。
探究同底指数函数与对数函数交点个数
探究同底指数函数与对数函数交点个数每次教高一，我都将“同底的指数函数与对数函数的交点个数问题”作为学生的一个自主探究材料，并在课堂教学中让学生通过即兴说题，激发学生的理性思维。
本文摘录一次对这一课题的探究过程，供中学同仁教学参考。
一、提出课题在指数函数和对数函数的基础上学完反函数后，我特意安排了一节复习课，目的是加深学生对指数函数和对数函数的相关性质的认识，同时也向学生展示一个完整的数学探究案例。
一上课，我就特意营造气氛引导学生提出探究课题，先提问学生所学过的有哪些反函数，然后要求学生画出其图像。
不一会，台下叽叽喳喳起来，已有学生按捺不住向我举手提问，好戏开场了。
生A：老师！我们知道，互为反函数的两个函数其图像关于直线y=x对称，那教材上和您为什么都不把它们的图像画在同一坐标系中以更好地研究其相关性质呢？师：这个问题你提得很好，其他同学也应有类似疑问。
（教师板书：为什么不将指数函数y= 与对数函数y= (a>0，且a≠1)的图像画在同一坐标系中？？？）众生：是啊！为什么呢？师：这个问题的内涵很丰富，探究价值也很高，很值得我们一起来思考。
同学们！你们能告诉生A为什么吗？生B：可能是因为这两个函数图像的交点个数不定。
师：大家说是吗？生C：（微笑）应该是这个原因。
因为底数a是一个参数，同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数应与底数值有关。
师：英雄所见略同，我也持与你们相同的看法。
那大家能不能就生A的问题及其他同学的分析提出一个探究课题？生D：同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数与底数值的关系。
生E：生D的提法太抽象，目标也不明确。
我的题目是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
掌声猛然响起。
师：改得非常好，一个“求”字就让课题生动起来了。
这节课我们就来弄清楚这两个函数图像的交点个数。
（老师板书探究课题：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
）二、数学探究师：这节课我们的探究课题是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点
同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点作者：张松年来源：《新课程·中学》2012年第08期函数y=ax与y=logax（a>0，a≠1）的图象有几个交点？自《普通高中课程标准实验教科书·苏教版·数学必修1》提出这个问题以后，引起了中学数学教师的广泛关注。
2006年第2版《苏教版·数学必修1》第80页的例5和探究的内容是：例5：分别就a=2，a=■和a=■画出函数y=ax与y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数。
探究：当0教材提示利用Excel、图形计算器或其他画图软件（教学过程中一般用几何画板），在同一坐标系中分别就a=2，a=■和a=■时画出函数y=ax与y=logax的图象，通过观察，发现：在这三种情况下，两个函数图象的交点个数分别为0，2，1，从而方程ax=logax解的个数分别为0，2，1。
作为探究，用几何画板演示，可以发现：当0但问题是：这两个函数的图象到底有几个交点？会不会有4个公共点？交点个数变化时，底数a的临界值是什么？怎样找底数a的临界值呢？一、几个基本结论1.y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
如果函数y=logax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=ax的图象上。
同样，如果函数y=ax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=logax的图象上。
2.函数y=ax是凹函数，它的图象在其任意一条切线的上方。
证明如下：由y=ax，得y′=axlna，y″=ax（lna）2。
因为对任意的x∈R，都有ax>0，且（lna）2>0，所以y″>0，所以，函数y=ax是凹函数。
3.（1）当a>1时，函数y=logax是凸函数，它的图象在其任意一条切线的下方；（2）当0证明如下：由y=logax，得y′=■（x>0），y″=—■（x>0）。
因为对任意的x∈（0，+∞），都有x2>0，所以当a>1时，有lna>0，所以y″0，所以，函数y=logax是凹函数。
指数函数和对数函数图像与交点问题
关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、1a >时方程x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。
设曲线x log y a y a x ==与相切于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1，所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1===此时所以。
高中数学论 图形计算器 指数函数与对数函数交点个数的研究
辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能
力测试活动学生 指数函数与对数函数交点个数的研究
【研究目的】
通过图形计算器精准的图形和函数描画功能，利用代入各种不同的数据描画图像，研究对数函数和指数函数这一对反函数的交点个数。
在研究过程中，增强自己对函数的认识和理解，加深个人对数学的热爱，解决疑难问题。
【研究过程】
1. 上网搜索有关资料，发现有部分老师和同学研究函数x
a y =与x y a log =的交点个数时
出现了少许错误。
2. 代入不同的a 值（10≠>a a 且），用图形计算器描画函数x
a y =与x y a log =的图像，发现新的现象。
3. 通过计算和不断尝试解释各种情况。
4. 整理信息，得出结论。
具体实施步骤如下：
第一步：进入图形功能
1.按O 打开图形计算器。
看到如下画面：
2.通过按导航方向键，选择图形功能，按l 进入，得到画面如下：
、
第二步：输入函数，进行初步探究
1． 众所周知，函数x a y =与x y a log =是以1a =为分界线，那就以01a <<和1a >先
进行研究
先以5.0=a 画出两个函数的图像，再加入一条函数x Y =3为参照：
输入x Y x Y Y x
===35.021,log ,5.0
$0.5^fl $iwr0.5$fl $fl
然后画出图像，可见得有一个交点：
2.再代入2.1=a ，画图，出现两个交点:
第三步：深入探究，观察交点个数1.再次代入a值，出现以下情况：
无交点
三个交点。
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数的交点问题引文：讨论底a>1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。
一、实例分析（一）判断函数y=3x与函数y=log3x的交点个数对于函数y=3x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
对于函数y=log3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。
由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log3x和函数y=3x互为反函数，即关于直线y=x 对称。
从图像容易知道y=3x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3x与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3x与函数y=log3x的交点个数为0.此时留下思考问题：在a>1的情况下，y=a x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？（二）判断函数y=（1/3）x与函数y=log1/3x的交点个数对于函数y=(1/3)x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
对于函数y=log1/3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。
由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log1/3x和函数y=(1/3)x互为反函数，即关于直线y=x对称。
从图像容易知道y=(1/3)x和y=x有一个交点，所以根据对称性质，y=log1/3x与对称轴y=x同时交于此交点，即此时函数y=(1/3)x与函数y=log1/3x的交点个数为1.此时留下思考问题：（1）在0<a<1的情况下，y=a x和y=log a x在x趋近无穷远处或者在y趋近无穷远处，会不会相交？如果有，那就是3个交点。
（2）在0<a<1的情况下，本例出现的交点是1个，但不是切点，是否还存在只有1个交点且是切点的情况？二、结论归纳（一）函数y=a x与函数y=log a x(a>1)的交点个数对于函数y=a x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。
关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题
关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题作者：黄俊明作者单位：凯⾥学院数学与计算机科学系,贵州,凯⾥,556000刊名：凯⾥学院学报英⽂刊名：JOURNAL OF KAILI UNIVERSITY年，卷(期)：2007,25(6)被引⽤次数：1次参考⽂献(2条)1.蒋之卫函致y=ax与y=logax的图像何时有公共点[期刊论⽂]-中学数学⽉刊 2003(06)2.黄桂君争鸣问题34 2003(09)本⽂读者也读过(10条)1.钟⾦⼦正数与负数精讲精析[期刊论⽂]-中学⽣数理化（初中版七年级）2006(7)2.宗敏对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨[期刊论⽂]-考试周刊2010(3)3.⾼焕江.GAO Huan-jiang指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论⽂]-红河学院学报2010,08(2)4.陈根⼟.郭勇《集合、函数概念、基本初等函数》单元训练[期刊论⽂]-中学⽣数理化（⾼⼀版）2008(7)5.马合成.MA He-cheng第指数函数与指数函数之⽐较[期刊论⽂]-潍坊学院学报2005,5(2)6.徐加⽣解析与指数函数有关的最值问题[期刊论⽂]-⾼中数理化（⾼⼀）2007(11)7.杨⼤强中国商业银⾏的效率分析——基于⼴义超对数成本函数的范围经济检验[期刊论⽂]-⾦融发展研究2008(3)8.刘爱莲.朱思铭.LIU AILIAN.ZHU SIMING时标上矩阵指数函数的计算[期刊论⽂]-应⽤数学学报2008,31(6)9.林婉仪.陈之兵指数函数与⼀次函数的⼤⼩关系[期刊论⽂]-⾼等数学研究2006,9(5)10.刘洪.LIU Hong指数函数的特性及应⽤[期刊论⽂]-长沙民政职业技术学院学报2004,11(1)引证⽂献(1条)1.⾼焕江指数函数与对数函数图像的两类交点[期刊论⽂]-红河学院学报 2010(2)本⽂链接：/doc/6c13751031.html/Periodical_qdnmzsfgdzkxxxb200706003.aspx。
指数函数与对数函数的交点问题
指数函数与对数函数的交点
指数函数y=a x(a>0,a=1)与对数函数y=log a x(a>0,a=1)互为反函数，它们的交点问题一直让人困惑，是有一个交点，还是有两个交点，还是有更多的交点，一直是部分人争论的话题。
下面就此问题进行探究。
一个交点：一个交点的情况很普遍，可以随便找到一个实例比如a= 0.5，此时y=0.5x与y=log0.5x的交点是1个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）如图1：
图1:指数函数与对数函数有1个交点的情况
两个交点：两个交点的情况也比较好找，比如a=√
2，此时y=
(√
2)x与y=log√
2
x的交点是2个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）
如图2：
1
图2:指数函数与对数函数有2个交点的情况
三个交点：三个交点的情况比较少见，很难想到，此处给出一个实例，比如a=0.03，此时y=0.03x与y=log0.03x的交点是3个，其部分图像（仅
：
画出了交点附近的图像）如图3
2。
高考数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义
指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。
【智博教育原创专题】指数函数与对数函数图象交点个数探究
探究函数xy a =与log ay x =图象的交点个数问题 函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a 的取值．【探究】由log x a y a y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 得(0,0)x y y a x y a x⎧=⎪>>⎨=⎪⎩ ⑴当1a >时,①+②，得y x y a a x +=+,令(),0x f x a x x =+>,则()()f y f x =,即()()x f a f x =。
1()a f x >∴ ，为增函数, x a x ∴=. 两边取自然对数,得ln ln x a x =,即ln ln 0x a x -=。
令()ln ln 0g x x a x x =->，求导,得1()ln g x a x '=-，令()0g x '=,得1ln x a=。
当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：由上表可知,当ln x a =时,()=1ln 1ln(ln ),()ln g x a g x a -=+ 极小值只有一个极值, min ()1ln(ln )g x a ∴=+.⑴当1ln(ln )0a +>，即1e a e >时，方程()0g x =无解，此时函数x y a =与log a y x =的图象没有交点； ⑵当1ln(ln )0a +=，即1ea e =时，方程()0g x =有一解，此时函数x y a =与log a y x =的图象有一个交点；⑶当1ln(ln )0a +<，即11e a e <<时，由于()g x 在(0,)+∞内连续，且当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，(),g x →+∞∴方程()0g x =有两解，此时函数x y a =与log a y x =的图象有两个交点． ⑵当01a <<时由①、②，消去y ，得x a a x =③，由于0x a >，且01a <<，故01xa a <<,即01x <<。
指数函数与对数函数图像与交点问题
关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当 a>l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近 y 轴；同样地，当 0<a<l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近 x 轴．②底数对函数值的影响如图．③当 a>0 ，且 a≠l 时，函数与函数y=的图象关于y 轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当 a>l 时，底数越大，图象越靠近x 轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如x=l把第一象限分成两个区域，分别对应函数每，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1) 对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x 对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l 时，它们是增函数；当O<a<l 时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、a 1时方程 a x log a x 的解先求如图 3 所示曲线ya x与ylogax相切时a的值。
设曲线ya x与y log a x 相切于点 M （x, x0），由于曲线y a x在点 M 处的切线斜率为1，a x 0x 0 ,a x0x 0 ,(a x )' |x x0即所以1a x0ln a 1a x 0x 0 , 111则 a ln aln a所以 ln ax 011e,所以 ae e ,此时 x 0 eln a即。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。
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现代教育技术在新课程改革中的应用举例
对于指数函数与对数函数的交点问题，教材以及很多资料的观点是它们可能没有交点（如图一），可能有一个交点（如图二、三，图二应该
在P （1，1），Q （1，2），M （2，3）和N （21
，4
1）四点中，函数y=a x 的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点
A P
B Q
C M
D N 这一题答案是D 。
初思之，感觉应该是P ，细思之，则不可能，如果x=1，y=1，则此时底数a 必为1，故不可能是P 。
可以求得N （2
1，4
1）可能在指数函数y=a x 和它的反函数上，代入y=a x 可知a=
16
1。
下面就这一函数来研究一
下，对同一底数的指数函数与对数函数的交点问题作一详细论证。
指数函数y=(
16
1)x
与对数函数y=x 161log ，因为它们互为反函数，且两
个都是单调递减函数，所以它们显然有一个公共点在直线y=x 上（如图三所示），另外，A （2
1，4
1），B （4
1，2
1）也同时满足这函数y=(
16
1)x
，与函数y=x 161log ，这说明A ，B 必是指数函数y=(
16
1)x
与对数函数y=x 16
1log 的图象的交点。
这样看来，指数函数、对数函数是可以有三个交点的。
本例便可以说明。
但是，互为反函数的两个函数如何会出现三个公共点呢？它们是一种什么样的关系呢？这似乎又有点匪夷所思。
下面不妨利用几何画板，以同一底数的指、对函数图象为例，来看一下它们有三个交点的情况，以及它们的公共点是如何变化的。
在几何画板中，任取一线段AB ，度量出AB 的长度a ，就以a 为指
数函数与对数函数的底数，在几何画板中，将线段当a 由a ＞1逐渐缩小到a ＜1时，我们可以观察到指、对函数没有交点，一个交点，两个交点，再到一个交点的过程，如上面的图象所示非常显然。
让a 继续缩小，大约a=0.03时，“奇迹”出现了，指、对函数的图象居然很清楚地出现了三个交点，如图五所示。
这是我们始料不及的，很多资料上，甚至教材上都说过，指、对函数图象可以没有交点，可以有一个交点，可以有两个交点，但是，利用几何画板可以演示原先我们想象不到的结果，本结论就是一例。
几何画板是一个很优秀的数学教学软件，它的最大特点就是动态性，
能在运动状态下保持对象间不变的几何关系，这是传统教学所无法比拟的，尤其是图象，很多结论我们用传统教学所得不到的，利用它，可是轻而易举。
现代教育技术的确可以有效地弥补我们传统教学中的一些盲区。
实际上，对于很多函数，我们根本无法知道其图象，甚至无法知道它的大体形状，但是，利用几何画板，可以很准确地绘出它们的图象，
x
y
O
图五
有利于研究函数的一些性质。
开拓我们的视野，将我们现在的数学眼光引领到一个新的天地──实验法。
通过本例，进一步阐述了知识来源于实践这一道理，一些知识，让学生在实践中获得，我相信，比直接灌输给学生要强百倍，千倍。
更为重要的是，它突破了一种传统观念，其实，数学也可以象物理，化学一样用实验法，只不过是这种实验是在微机上。