【深圳大学2011年考研专业课真题】量子力学2011
中国科学技术大学量子力学考研真题2011年
专业课资料研发中心《跨考考研专业课通关宝典·历年真题》中国科学技术大学量子力学考研真题2011年共两页中国科学技术大学2011年硕士学位研究生入学考试试题——跨考教育量子力学所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效☐需要使用计算器☑不使用计算器1、（20分）电子在稀有气体中散射时，会发现有完全穿透的现象，它可以用下面的模型描写。
质量为μ的粒子在势阱()⎩⎨⎧-=a 0a 000＜＜＞，＜χχχχV V 中散射，完全穿透。
试求此时入射粒子的能量E。
2、（20分）一量子系统，其哈密顿量可写为++++=a ˆa ˆa ˆa ˆˆβαH其中βα，为数，而算符aˆ及其厄米共轭+a ˆ满足下面的对易关系[]1a ˆa ˆ=+，试求此系统的能量本征值。
3、（30分）质量为μ粒子在势()χV 中作一维运动，()χμV H +=2p ˆˆ2，定态波函数为...321n n n ˆn n，，，，，==E H （a）证明：m ˆn a m pˆn nm χ=，并求系数nm a ；（b）推导求和公式()m pˆm m ˆn 22222n m n μχ =∑-E E 。
4、（20分）现有一个电子限制在平面上一半径为R 的圆环上运动，θ为其角位置。
已知开始时刻该电子的的波函数为()θθψ2sin 0=，。
试求（a）粒子在任意t≥0时刻的波函数；（b）试求任意t≥0时刻的电子能量期望值。
5、（30分）已知氢原子初始时刻（t=0）处于由如下波函数描述的状态()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕθϕθχψ,,2011311021Y r R Y r R ， ,其中3121R R 、分别为归一化的径向波函数（量子数分别为n=2， =1和n=3， =1）。
试求t 时刻（a ）电子自旋朝上的概率；（b ）总角动量z 分量的期望值。
6、（30分）某双态体系的哈氏量可表示为H H H '+=0，而0H 的两个归一化本征态分别为a 、b 。
中科院量子力学真题
x <a 势场中运动 (V0 > 0 ) 。试求系统能级或能级方 x >a
-6-
putiansong 3@
试证明位力定理：
ψn
ˆ2 p 1 � � ψ n = ψ n r ⋅∇V (r ) ψ n 2m 2 ˆ2 1 p 4 ˆ ' = −λ p ˆx + mω 2 x 2 ，设受到微扰 H 的作 2m 2
-1-
putiansong 3@
（1）求其能级和本征函数；
⎧V1 , −α < ϕ < 0 ˆ ' = V (ϕ ) = ⎪ （2）加 H ⎨V2 , 0 < ϕ < α 微扰， ⎪ 0, 其他 ⎩
求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 ∇ 2 =
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 。 (r ) + 2 + r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎧ 0, 0 < x < a 中运动， t = 0 时刻处于基态， 此 ⎩∞, a < x, x < 0
ˆ = 五、一维谐振子系统哈密顿量为 H 0
用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。
ˆ n = （已知矩阵元 n ' x ℏ ( n + 1δ n ', n+1 + nδ n ', n−1 ) ） 2mω
� � 1⎛r � � r⎞ ˆ ˆ ˆ r = ⎜ ⋅ p + p ⋅ ⎟ ，则： 二、 (30') 在三维体系中粒子的径向动量算符 p 2⎝ r r⎠ ˆ r 是否为厄密算符，为什么？ （1） p ˆ r 的表示； （2）写出在球坐标系中 p ˆr ] = ? （3）求 [ r, p
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