2021年高三数学三校联考试题 文
2021年高三三校9月联考数学(文)试题 含答案
2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。
2021年高三第三次联考测试文数试题 含答案
2021年高三第三次联考测试文数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．2.已知，其中为虚数单位，则等于（）A． B．1 C．2 D．33.在等差数列中，已知，则的值为（）A.24B.18C.16D.124.设，则下列不等式成立的是（）A． B． C. D．5.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是（）A．0 B．1 C.3 D．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24B ．48 C.54 D ．72 8.在中，角的对边分别是，若，则角等于（ ） A ． B ． C.或 D ．或 9.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C. D ．10.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 11.函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.设满足约束条件，若目标函数，最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（ ） A ． B ． C. D ．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知直线与直线平行，则 ． 14.设为所在平面内一点，，若，则 ．15.已知，命题：对任意实数，不等式恒成立，若为真命题，则的取值范围是 ． 16.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++…的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）等差数列中，已知，且构成等比数列的前三项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期是.（1）求函数在区间的单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值.19.（本小题满分12分）如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.（1）求证：；（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆，与轴的正半轴交于点，右焦点，为坐标原点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）已知点，过点任意作直线与椭圆交于两点，设直线，的斜率为，若，试求椭圆的方程.21.（本小题满分12分）已知.（1）求函数的单调区间；（2）叵，满足的有四个，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围.理科数学参考答案一、选择题 1.答案：B 解析：，所以. 2.答案：B解析：由题意得，，即，所以，所以，故选B. 3.答案：D解析：∵，∴()216221629383222212a a a a a a a a a +=++=+=+=. 4.答案：D解析：由可设，代入选项验证可知成立. 5.答案：A解析：，即在区间上恒成立，则，而，故选A. 6.答案：D解析：，∴，∴，根据程度框图，. 7.答案：A解析：还原为如图所示的直观图，()111523453524322ABC ABC V AD S S =⨯--=⨯⨯⨯-⨯⨯=△△.8.答案：D解析：因为，所以由正弦定理可得：，因为，可得：，所以或. 9.答案：C解析：由题意，得或，解得或，即实数的取值范围为，故选C. 10.答案：C解析：由题意知，，∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 11.答案：A解析：当时，函数是，有且只有一个极大值点是，所以选A. 12.答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为.故答案为C.二、填空题 13.答案：4解析：由直线与直线平行，可得，∴. 14.答案：解析：∵，∴，即，∴，. 15.答案：解析：对任意，不等式恒成立， ∴，即，解得. 16.答案：解析：求导函数，可得，设过处的切线斜率为，则，所以切线方程为，令， 可得，∴，∴()1201620161201622016201520161220152016log log log log log 1x x x x x x +++===-…….三、解答题17.解：（1）设等差数列的公差为，则由已知得，即. 又，解得或（舍）， ，.……………………4分 又，∴，∴.……………………6分 （2），∴，.…………………………………………8分两式相减得021*********252222522n n n n T n -+⎡⎤=++++-+⎢⎥⋅⎣⎦…，.……………………12分18.解：（1）()24cos sin cos 2cos 116f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=⋅-=-+- ⎪⎝⎭，2cos 212sin 216x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，………………………………3分最小正周期是，所以，从而， 令，解得，所以函数的单调递增区间为和.……………………6分 （2）当时，，……………………8分 ，……………………………………10分所以在上的最大值和最小值分别为1、.………………12分 19.（1）证明：∵矩形所在的平面和平面互相垂直，且，∴，又，所以，又为圆的直径，得，，∴.……………………………………4分 （2）解：设的中点为，连接，则∴，又∵，∴， ∴为平行四边形，，又∵， ∴.…………………… 6分显然，四边形为等腰梯形，，因此为边长是1的正三角形. 三棱锥的体积111133O DAF D OAF OAF V V V DA S --===⨯⨯=⨯=△；………………………………9分 多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，计算得两底间的距离.所以11111332C BEF BEF V S CB -=⨯=⨯⨯=△1112133F ABCD ABCD V S EE -=⨯=⨯⨯矩形所以，∴.………………12分 20.解：（1）在直角三角形中， ∵，∴，即…………………………5分 （2）由（1）知，则椭圆方程可化为， 设直线，()()2222222226326126301x y ck x k x k c y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩， ∴，.…………………………7分 ∴()()()()()121212121212121212121224261222333339k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++， 即对于任意的恒成立， 则，进而求得，所以椭圆的方程是.……………………12分 21.解：（1），当时，，所以在上是增函数，………………2分 当时，，当时，；当时，；……………………4分 所以在和上是增函数；在上是减函数.………………………………5分 （2）由（1）知，当时，函数取得极大值，令， 则当时，方程有3解； 当或时，方程有1解；当时，方程有2解.………………7分因为的有四个，所以有四解，所以方程在上有一解，在上有一解.……………………9分 记，.…………………………12分 22.解：（1）将代入曲线的方程：，可得曲线的极坐标方程为，……………………2分 曲线的普通方程为，将代入，得到的极坐标方程为.……………………5分（2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为.……7分 射线与曲线的交点的极径满足，解得.……9分 所以.……………………10分23.解：（1）∵，∴，……………………3分 ∵的解集为，∴，∴.…………5分（2）∵，………………………………8分∵，使得成立，∴，即，解得，或，∴实数的取值范围是.……………………10分35912 8C48 豈•q21347 5363 卣g23495 5BC7 寇*26705 6851 桑38953 9829 頩21178 52BA 劺kP%。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2021年高三下学期联考数学文试题 含答案
东莞四中、济川中学、厚街中学xx届高三下学期三校联考2021年高三下学期联考数学文试题含答案说明：本试卷共三大题21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第I卷（选择题）（50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则M∩N=( )A.φB.C.D.2．复数等于( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i3．“”是函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”的( )A．充分不必要条件 B.充要条件C. 必要不充分条件 D．既不充分条件也不必要条件4．方程的一个根所在的区间是( )A.(0,1)B. (1,2)C.(2,3)D. (3,4)5．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是( )A.i<4B.i<5C.i≥5D.i<6 6．如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几何体的体积为( )A． B.3π C． D．7.将函数的图像向左平移个单位, 再向上平移个单位, 所得的图像的函数的解析式是( )A. B. C. D.8．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9.已知函数是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有(x＋2)＝(x)，且当x∈[0,2)时，＝log2(x＋1)，则(-xx)＋(xx)的值为（）A．-2 B．-1 C．2 D．110．已知命题，x2-a≥0，命题，x2+2ax+2-a=0.若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为( )A．a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C．a≥1 D．-2≤a≤1第II卷（非选择题）（100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题(11-13题)11. 已知平面向量，，且//，则＝ .12.已知函数的图像在点处的切线方程为，则．13.设变量、满足线性约束条件，则目标函数的最小值为（二）选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C为切点，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是_______ ____.15.（坐标系与参数方程选做题）设P（x,y）是曲线（θ为参数）上任意一点，则的取值范围是_____ ______.三．解答题：（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本题满分12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.(1)求B的大小；(2)如果b=，求△ABC的面积S△ABC．17.（本题满分14分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．18.(本题满分12分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求与；（2）记=,求数列的前项和.19．（本题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD=2，，求四棱锥F-ABCD的体积.20．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 上的动点P 引圆O ：x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，由点P 向圆O 所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由.21．（本题满分14分） 已知f(x)=xlnx ，.(1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t ，t+2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x ∈(0，+∞)，都有成立参考答案一.选择题 DCBCD DABDA二.填空题 11.(-4,-8) 12. 13.7 14． 15．16．(1)解：……4分∵0<2B<π，， ……6分(2)由∵b=，，由余弦定理，得： …8分解得 （舍去负根） …10分 ∴233233221sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ( 面积单位 )…12分17.解：(1)百米成绩在[16，17)内的频率为0.32×1=0.32. 0.32×1000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16，17)内的人数为320人。
东北三省三校2021年高三第二次联合模拟文科数学试题Word版含解析
东北三省三校2021年高三第二次联合模拟文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B ＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12 B．8+log25 C．5 D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1 C．2 D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2] D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当PA＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．东北三省三校2021年高三第二次联合模拟文科数学试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B ＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣9画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．画出的可行域如图：⇒B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移至B（6，6）时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12 B．8+log25 C．5 D．18本题先根据平行向量的坐标运算可得a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8•2﹣a2•a8＝0，即a2•a8＝16，根据等比中项的知识，可得a2•a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）•（a2a8）•（a3a7）•（a4a6）•a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1 C．2 D．3由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1．∴该几何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2] D．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||，而||没有最大值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中心对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x ＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平方可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最小正周期，所以C 错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos（）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的一条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，MO，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得方程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进一步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），⇒a﹣3⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．又∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700 ．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c} ．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB 的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p 即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d 的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当PA＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，∴BA⊥平面PAD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵PA＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
浙江三校2021高三数学上第一次联考试题
()()()()()()浙江2021届高三三校第一次联考数学试题卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k )=(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --= 球的表面积公式 台体的体积公式 S =4πR 2 V =13(S 1S 2) h 球的体积公式 其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V =43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合21{||21|6},0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则RAB = （ ）A .517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ B .517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C .1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D .1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知a R ∈，若112a ii +++（i 为虚数单位）是实数，则实数a 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．23 D ．253．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y =+的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ． 5D ．9 4. 设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 ( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件5．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图像如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图像可能是 ( )A B C D6.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a =对称，则该双曲线C 的离心率为 （ ）5.A .5B .2C .2D 7. 设函数()2cos f x x x =-,设{}n a 是公差为8π的等差数列, f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π,则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）.0A 21.16B π 21.8C π 213.16D π8. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o ，且()12c a tb t R =-+∈.则c c a+- 的最小值为 （ ） A ．13 B ．4 C ．23 D ．9349.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是31,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,则ξ的数学期望E ξ= （ ）131.81A 143.81B 433.243C 593.243D 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩.这里U C A 表示集合A 在全集U 中的补集.已知A U ⊆，B U ⊆，以下结论不正确．．．的是 （ ） A .若A B ⊆，则对于任意x ∈U ，都有()()A B f x f x ≤； B .对于任意x ∈U ，都有()()1U C A A f x f x =-； C .对于任意x ∈U ，都有()()()A BA B f x f x f x =⋅；D .对于任意x ∈U ，都有()()()AB A B f x f x f x =+．非选择题部分（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
2021-2022学年云南省三校联考高三(上)实用性数学试卷(文科)(三)(附详解)
2021-2022学年云南省三校联考高三（上）实用性数学试卷（文科）（三）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知cosα=−√55(0<α<π)，则tan(α+π4)=( )A. −13B. 13C. −3D. 32. 某学校要了解高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质是否有显著差异，计划从这三个年级中抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A. 按学号随机抽样B. 运动场上随机抽样C. 按性别分层抽样D. 按年级分层抽样3. 已知a ，b ，c ∈(1,e)且aln5=5lna ，bln4=4lnb ，cln3=3lnc ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. b <a <cD. c <a <b4. 已知抛物线y 2=2px(p >0)经过点M(1,4)，抛物线的焦点为F ，准线与x 轴的交点为N ，则△MNF 的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 325. 设a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b ，c >d ”是“a +c >b +d ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知iz =i −2，则|z|=( )A. 5B. √5C. 2D. √27. 在△ABC 中，BC 边上的点D 满足CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. 13a⃗ +23b ⃗ B. −12a⃗ +32b ⃗ C. 52a⃗ −32b ⃗ D. 32a⃗ −12b ⃗ 8. 已知A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={x|x 2−2x >0}，则(∁R B)∩A =( )A. [0,2]B. (0,2)C. (1,2]D. (1,2)9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsinA −√3acosB =0，a =√6,b =3，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. 5π1210. 已知函数y =f(x)的图象如图，则不等式1+e x 1−e x⋅f(x)≥0的解集为( )A. [−2,0)∪(0,1]B. (−∞,−2]∪[0,1]C. [−2,0)∪[1，+∞)D. (−∞,−2]∪[1,+∞)11.已知函数f(x)=2sin(ωx−π3)+cos(ωx+π6)(ω>0)的两个相邻的极值点为x1=−π12,x2=5π12，则函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为()A. √32B. 1C. √5D. 312.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，CB，CD的中点，P为线段AD1上的一个动点，平面α//平面EFG，则下列命题中错误的是()A. 不存在点P，使得CP⊥平面EFGB. 三棱锥P−EFG的体积为定值C. 平面α截该正方体所得截面面积的最大值为√32D. 平面α截该正方体所得截面只可能是三角形或六边形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共有ab个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为______．14. 已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C ：x 2+y 2−b 2=0，在第二象限的交点为M ，且|MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为______．15. 已知圆台的上底面半径是12，下底面半径是1，母线长为32，则该圆台内半径最大的球的半径是______．16. 函数f(x)=2lnx +12ax 2的图象在x =1处的切线倾斜角为150°，则实数a =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. COP15大会原定于2020年10月15−28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11−24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》、《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图1的频率分布直方图：(1)求x 的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数；(2)用分层抽样的方法从[20,40)，[80,100)这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图2所示的茎叶图：①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求m 的值；②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是[80,100)这组的概率．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，AA 1=2AB =2BC =2，点D 为A 1C 1的中点，点E 为AA 1的中点． (1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1； (2)求点D 到平面EB 1C 1的距离．19. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+8.曲线D 的参数方程为{x =cosθy =2+sin 2θ(θ为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程与曲线D 的普通方程；(2)若点P(2,0)，直线l 经过点P 与曲线C 交于A ，B 两点，求||PA|−|PB||的取值范围．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,−2)为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为−23．(1)求椭圆C的方程；(2)设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且PF1//QF2，求四边形F1PQF2面积的取值范围．21.已知函数f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在[0,1]上有两个零点，求a的取值范围．22.已知a，b∈(0,+∞)．(1)证明：a3+b3≥a2b+ab2；(2)求a2+b2+(1a +1b)2的最小值．23.设S n是数列{a n}的前n项和，a1=1且S n+S n+1=3a n+1−2．(1)求数列{a n}的通项公式；2，求{b n b n+1}的前n项和．(2)若b n=log an+1答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为cosα=−√55(0<α<π)，所以sinα=2√55，tanα=−2，则tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−13．故选：A．由已知结合同角基本关系即可直接求解．本题主要考查了同角基本关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：某学校要了解高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质是否有显著差异，计划从这三个年级中抽取部分学生进行调查，∵高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质差异明显，∴最合理的抽样方法是按年级分层抽样．故选：D．高一、高二和高三这三个年级学生的身体素质差异明显，最合理的抽样方法是按年级分层抽样．本题考查抽样方法的判断，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设函数f(x)=lnxx ，f′(x)=1−lnxx，当x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为a，b，c∈(1,e)且aln5=5lna，bln4=4lnb，cln3=3lnc，所以lnaa =ln55，lnbb=ln44，lncc=ln33，即f(a)=f(5)，f(b)=f(4)，f(c)=f(3)，由f(x)=lnxx在(e,+∞)单调递减，所以f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a)<f(b)<f(c)，又a，b，c∈(1,e)，f(x)=lnxx在(0,e)单调递增，所以a<b<c．故选：A．构造函数f(x)=lnxx，利用导数求出函数的单调性，结合已知，即可求解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造函数f(x)=lnxx是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由M(1,4)在抛物线上可得：42=2p×1，解得p=8，所以抛物线的方程为：y2=16x；可得焦点F(4,0)，准线方程为x=−4，由题意可得N(−4,0)，所以S△MNF=12|NF|⋅y M=12⋅8⋅4=16；故选：C．将点M的坐标代入抛物线的方程可得p的值，即求出抛物线的方程，进而可得焦点F的坐标及准线的方程，可得N的坐标，进而求出△MNF的面积．本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．“a >b ，c >d ”⇒“a +c >b +d ”，反之不成立，例如取c =5，d =1，a =2，b =3． 【解答】解：“a >b ，c >d ”⇒“a +c >b +d ”，反之不成立．例如取c =5，d =1，a =2，b =3，满足“a +c >b +d ”，但是a >b 不成立． ∴“a >b ，c >d ”是“a +c >b +d ”的充分不必要条件． 故选：A ．6.【答案】B【解析】解：∵iz =i −2， ∴z =i−2i=(i−2)i i 2=1+2i ，∴|z|=√12+22=√5． 故选：B ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +32b⃗ ， 故选：B ．根据平面向量的线性运算表示出答案即可． 本题主要考查了平面向量的线性运算，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵A ={x|y =log 2(x −1)}={x|x >1}， B ={x|x 2−2x >0}={x|x <0或x >2}，∴∁R B={x|0≤x≤2}，∴(∁R B)∩A={x|1<x≤2}=(1,2]．故选：C．求出集合A，B，进而求出∁R B，由此能求出(∁R B)∩A．本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：因为bsinA−√3acosB=0，所以由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，又sinA≠0，所以sinB=√3cosB，即tanB=√3，因为B∈(0,π)，所以B=π3，又a=√6,b=3，由正弦定理可得√6 sinA =√32，可得sinA=√22，因为a<b，A为锐角，可得A=π4，所以C=π−A−B=5π12．故选：D．由正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanB=√3，结合B∈(0,π)，可求B=π3，由正弦定理可得sinA的值，结合大边对大角可求A的值，根据三角形的内角和定理即可求解C的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，大边对大角，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵1+e x>0，∴不等式1+e x1−e ⋅f(x)≥0等价为{f(x)≥01−e x>0或{f(x)≤01−e x<0，得{x ≥1或−2≤x ≤0x <0或{x ≤−2或0≤x ≤1x >0， 即−2≤x <0或<x ≤1， 即不等式的解集为[−2,0)∪(0,1]， 故选：A ．根据不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件利用分类讨论思想进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．11.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2sin(ωx −π3)+cos(ωx +π6)=sinωx −√3cosωx +√32cosωx −12sinωx =12sinωx −√32cosωx =sin(ωx −π3)，由题意得T =2(5π12+π12)=π， 所以ω=2，f(x)=sin(2x −π3)， 由x ∈[0,π2]，得2x −π3∈[−π3,2π3]，所以−√32≤sin(2x −π3)≤1，即函数的最大值为1． 故选：B ．先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期性可求ω，然后结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了由正弦函数的部分性质求解函数解析式，还考查了和差角公式，辅助角公式的应用，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：在正方体中，AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 则AA 1⊥BD ，又AC ⊥BD ，AA 1∩AC =C ，AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C ， 又A 1C ⊂平面AA 1C 1C ，则BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，则BD⊥A1C，同理可得A1C⊥BC1，又FG//BD，EF//BC1，所以A1C⊥FG，A1C⊥FE，又FG∩FE=F，FG，FE⊂平面EFG，则A1C⊥平面EFG，由于A1C与AD1是异面直线，且P∈AD1，则P∉A1C，过一点有且仅有一条直线与一个平面垂直，故不存在点P，使得CP⊥平面EFG，故选项A正确；因为AD1//BC1//EF，AD1⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则AD1//平面GEF，点P到平面GEF的距离为定值，则三棱锥P−EFG的体积为定值，故选项B正确；当截面为正六边形时，其面积为(12×√22×√64)×6=3√34>√32，故选项C错误；当截面位于平面BDC1和和平面AB1D1之间时，截面为六边形，否则为三角形，故选项D正确．故选：C．利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合过一点有且仅有一条直线与一个平面垂直，即可判断选项A，利用AD1//平面GEF，即可判断选项B，当截面为正六边形时，求出截面面积，即可判断选项C，当截面位于平面BDC1和和平面AB1D1之间时，截面为六边形，否则为三角形，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体体积的计算知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.【答案】132【解析】解：设最底层长有c 个，宽有d 个， ∵最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层．∴最底层长有c =a +9=12个，宽有d =b +9=11个， ∴最底层的木桶个数为12×11=132个． 故答案为：132．设最底层长有c 个，宽有d 个，最底层长有c =a +9=12个，宽有d =b +9=11个，即可求出．本题考查木桶的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．14.【答案】√3【解析】解：如图，由题知：∣OM ∣=b ，∣OF 1∣=c ，∵{∣MF 2∣−∣MF 1∣=2a∣MF 2∣=3∣MF 1∣，∴∣MF 2∣=3a ，∣MF 1∣=a ，∴∣MF 1∣2+∣OM ∣2=∣OF 1∣2， ∴MF 1⊥OM ，cos∠MF 1O =∣MF 1∣∣OF 1∣=ac =a 2+4c 2−9a 22×2c×a，∴12a 2=4c 2，∴e 2=3，∴e =√3． 故答案为：√3．如图，由{∣MF 2∣−∣MF 1∣=2a∣MF 2∣=3∣MF 1∣，可得∣MF 2∣=3a ，∣MF 1∣=a ，进而∣MF 1∣2+∣OM ∣2=∣OF 1∣2，由cos∠MF 1O =∣MF 1∣∣OF 1∣=a c=a 2+4c 2−9a 22×2c×a，可求解．本题考查双曲线的离心率的求法，以及余弦定理的应用，属中档题．15.【答案】√22【解析】解：圆台的轴截面如图：上底面半径CD =12，下底面半径为：AB =1，母线为AD =32，该圆台内半径最大的球的半径为OE =12BC ，可得12√(32)2−(1−12)2=√22．故答案为：√22．画出圆台的轴截面的图形，利用已知条件，转化求解圆台内半径最大的球的半径． 本题考查圆台的内接球半径的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】−2−√33【解析】解：由f(x)=2lnx +12ax 2，得f′(x)=2x +ax ，∴f′(1)=2+a ， 由题意，可得2+a =tan150°=−√33，则a =−2−√33．故答案为：−2−√33．求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数值，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解a 的值．本题考查导数的几何意义及应用，考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)(0.002+0.004+x +0.02+0.008+0.002)×20=1，解得x =0.014，前三组频率之和：(0.002+0.004+0.014)×20=0.4， 设中位数为n ，则(n −60)×0.02=0.5−0.4， 解得n =65， ∴中位数为65；(2)①(22+39+80+81+80+m +93)÷6=67， 解得：m =7；②[20,40)组中所抽取2人编号为A 1，A 2，[80,100)组中所抽取4人标号为B 1，B 2，B 3，B 4， 则基本事件如下：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 1,B 4)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(A 2,B 4)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,B 4)，(B 2,B 3)，(B 2,B 4)，(B 3,B 4)，共15个． 所抽取2人都在[80,100)的基本事件有6个． 所以概率P =615=25．【解析】(1)利用概率和为1，求解x ，然后转化求解中位数． (2)①利用平均数求解m ．②[20,40)组中所抽取2人编号为A 1，A 2，[80,100)组中所抽取4人标号为B 1，B 2，B 3，B 4，求出基本事件数，所抽取2人都在[80,100)的基本事件有6个，然后求解概率． 本题考查频率分布直方图以及古典概型概率公式的应用，是基础题．18.【答案】(1)证明：∵∠ABC =90°，∴BC ⊥AB ，∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC ，BB 1∩AB =B ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1．∵BC//B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥BE ， ∵AA 1=2AB =2BC =2，点E 为AA 1的中点， 易得B 1E =BE =√2，∵B 1E 2+BE 2=2+2=4=BB 12，∴BE ⊥B 1E . 又B 1E ∩B 1C 1=B 1，∴BE ⊥平面EB 1C 1． (2)解：∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥B 1E ， ∴S ΔEB 1C 1=12×√2×1=√22， ∵ΔA 1B 1C 1为等腰直角三角形，点D 为A 1C 1的中点，∴DB 1⊥A 1C 1， 又∵平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，交线为A 1C 1，∴DB 1⊥平面ACC 1A 1，易知DB 1=√22，S ΔEDC 1=12×√22×1=√24，设点D 到平面EB 1C 1的距离为ℎ， ∵V D−EB 1C 1=V B 1−EDC 1， ∴13×√22×ℎ=13×√24×√22，∴ℎ=√24， ∴点D 到平面EB 1C 1的距离为√24．【解析】(1)证明BC ⊥AB ，BB 1⊥BC ，推出BC ⊥平面ABB 1A 1.然后证明B 1C 1⊥BE ，BE ⊥B 1E .推出BE ⊥平面EB 1C 1．(2)利用等体积法V D−EB 1C 1=V B 1−EDC 1，转化求解点D 到平面EB 1C 1的距离．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．19.【答案】解：(1)∵ρ2=2ρcosθ+8，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程x 2+y 2=2x +8， 整理得(x −1)2+y 2=9；∵{x =cosθy =2+sin 2θ(θ为参数)，转换为x 2+y =3，(−1≤x ≤1)； (2)设直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα，代入(x −1)2+y 2=9，得t 2+2cosαt −8=0， ∴t 1+t 2=−2cosα，故||PA|−|PB||=|t 1+t 2|=|2cosα|∈[0,2]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的值域的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题知：A(−a,0)，B(a,0)， ∵k MA ⋅k MB =2−a⋅2a=−4a 2=−23，∴a 2=6，点M(0,−2)为椭圆C 的下顶点，∴b 2=4， ∴椭圆C ：x 26+y 24=1．(2)如图，延长QF 2交椭圆于N 点，连接F 1N ，F 1Q ， ∵F 2(√2,0)，∴设直线QF 2：x =ty +√2,Q(x 1,y 1),N(x 2,y 2)． 由{x 26+y 24=1x =ty +√2，得(t 2+32)y 2+2√2ty −4=0， ∴y 1+y 2=−2√2t t 2+32，y 1y 2=−4t 2+32，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√6√t 2+1t 2+32=2√6√t 2+1t 2+1+12=2√6√t 2+1+12√t 2+1．∵√t 2+1≥1，∴|y 1−y 2|=2√6√t 2+112√t 2+1∈(0,4√63],根据对称性得：|PF 1|=|NF 2|，且PF 1//NF 2， ∴S ΔPQF 1=S ΔF 1F 2N ，∴S 四边形F 1PQF 2=S ΔF 1F 2Q +S ΔF 1F 2N =S ΔF 1QN =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|∈(0,8√33],∴四边形F 1PQF 2面积的取值范围为(0,8√33]．【解析】(1)求出A(−a,0)，B(a,0)，利用斜率乘积，求解a ，推出b ，得到椭圆方程． (2)延长QF 2交椭圆于N 点，连接F 1N ，F 1Q ，设直线QF 2：x =ty +√2,Q(x 1,y 1),N(x 2,y 2).联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式以及三角形的面积转化求解即可． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)定义域为R ，f′(x)=e x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0在R 上恒成立，∴f(x)在R 上单调递增； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =lna ，∴当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上知：当a ≤0时，f(x)在R 上单调递增；当a >0时，f(x)的增区间是(lna,+∞)，减区间是(−∞,lna)．(2)法1：由(1)知当a ≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当lna ≤0，即0<a ≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，不符合；当0<lna ≤1，即1<a ≤e 时，f(x)在[0,lna]上减，[lna,1]上增，且f(0)=0，f(1)=e −a −1，要使f(x)在[0,1]上有两个零点，只需{0<lna ≤1f(1)=e −a −1≥0，即{1<a ≤ea ≤e −1，即1<a ≤e −1，当lna >1，即a >e 时，f(x)在[0,1]上递减，不符合题意． 法2：f(x)=e x −ax −1，x ∈[0,1]， 当x =0时，f(0)=0； 当x ≠0时，a =e x −1x．设g(x)=e x −1x,g′(x)=e x (x−1)+1x 2，设ℎ(x)=e x (x −1)+1，ℎ′(x)=x ⋅e x >0， ∴ℎ(x)在(0,1]上单调递增，ℎ(x)>ℎ(0)=0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在(0,1]上单调递增．由洛必达法则知x →0limg(x)=1,g(x)≤g(1)=e −1， ∴g(x)∈(1,e −1]， 又当x =0时，f(0)=0， 已有一零点，故a ∈(1,e −1]．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与函数单调性关系对a 进行分类讨论即可求解； (2)根据(1)中函数f(x)的单调性分类讨论f(x)在[0,1]上的零点，求出a 的取值范围． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及由单调性及零点判定定理在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．22.【答案】证明：(1)a 3+b 3−a 2b −ab 2=a 2(a −b)+b 2(b −a)=(a −b)(a 2−b 2)=(a −b)2(a +b)≥0， 则a 3+b 3≥a 2b +ab 2；解：(2)a 2+b 2+(1a +1b )2≥2ab +(√ab )2， 当a =b 时，取“=”， 2ab +4ab≥2√8=4√2，当ab =√2时，取“=”，∴原式最小值为4√2，当a =b =√24时，取最小值．【解析】(1)利用做差法即可证明； (2)根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了不等式的证明和基本不等式的应用，属于基础题．23.【答案】解：(1)已知S n +S n+1=3a n+1−2①，则S n−1+S n =3a n −2(n ≥2)②，由①−②可得，a n +a n+1=3a n+1−3a n ， 则a n+1=2a n (n ≥2)，令n =1，则a 1+a 1+a 2=3a 2−2，即a 2=a 1+1，又a 1=1， 则a 2=2，所以a2a 1=2，故数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n =2n−1；(2)因为b n =log a n+12=log 2n 2=1n ， 则b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1， 令{b n b n+1}的前n 项和为T n ，所以T n =11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1．【解析】(1)利用已知的等式，结合数列的第n 项与数列前n 项和之间的关系，求出a n+1=2a n (n ≥2)，结合a2a 1=2，得到数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即可得到答案；(2)利用对数的运算性质求出b n ，利用裂项相消法求解即可．本题考查了等比数列定义以及通项公式的应用，数列的第n 项与数列前n 项和之间关系的应用，对数的运算性质以及裂项相消法求和的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．。
2021年高三三校第一次联考(数学文)
2021年高三三校第一次联考（数学文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = （ ）A ．[0，1]B ．C ．D ．2．复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若平面向量的夹角是180°，且等于 （ ） A ．（－3，6） B ．（3，－6） C ．（6，－3）D ．（－6，3） 4．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．（1，2）5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．已知x 、y 满足约束条件的取值范围为（ ） A ．[－2，－1] B ．[－2，1] C ．[－1，2] D ．[1，2]7．已知是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 （ ） A ． B ． C ． D ．8．动点在圆上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 俯视图 第4题图9．函数的图象如图所示， 则y 的表达式为 （ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可 以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10， …，则a 21的值为 （ ） A ．66 B ．220 C ．78 D ．286 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
高三数学三校试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学三校联考试题文第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，那么集合M N 中元素的个数为〔〕A ．4B ．3C ．2D ．1:p x ∀∈R ，()1220x -<p ⌝为〔〕A ．()12,20x x ∀∈-≥R B ．()12,20x x ∀∈->RC ．()1200,20x x ∃∈-≥R D ．()1200,20x x ∃∈->R 3．复数5i 2i 1z =-〔i 为虚数单位〕，那么复数z 在复平面内对应的点位于〔〕 A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4．双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0，那么双曲线C 的渐近线方程为〔〕 A ．4312x y ±=B．40x ±=C ．1690x y±=D ．430x y ±= 5．2017年8月1日8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中HY 旗局部的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒芝麻落在HY 旗内，据此可估计HY 旗的面积大约是〔〕 A ．2726mm 5πB ．2363mm 5πC ．2363mm 10πD ．2363mm 20π 6．以下函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是〔〕 A ．1y x =B ．2y x = C ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩D ．sin y x =7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，那么它的侧视图为〔〕A ．B ．C ．D ．8．设55log 4log 2a =-，2ln ln 33b =+，1lg5210c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕 A ．b c a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<9．执行如下列图的程序框图，那么输出的值是S 〔〕A ．1819B ．120C ．2021D ．192010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，那么以下关于函数()y g x =的说法错误的选项是〔〕A ．最小正周期为πB ．初相为3π C ．图象关于直线12x =π对称D ．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称 24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，那么直线AB 的斜率为〔〕 A ．43-B ．43C ．43±D ．169-12．如图，在ABC ∆中，1AB =，BC=，以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 长度的最大值为〔〕A ．1BC ．1第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13．向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ，(),1b k =，假设a b ∥，那么k =． 14．函数()32f x x x =-，假设曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，那么实数a 的值是．15．实数,x y 满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ那么()sin x y +的取值范围为〔用区间表示〕． M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥平面ABCD 且，2MA BC AB ===，那么该阳马的外接球与内切球的外表积之和为．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*n ∈N . 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.〔1〕证明：1AC ∥平面1B CD ；〔2〕求三棱锥11A CDB -的体积. 19．随着资本场的强势进入，互联网一共享单车“A 的使用情况，某调查机构借助网络进展了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进展抽样分析，得到下表〔单位：人〕：A 使用一共享单车情况与年龄有关？〔2〕现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.〔i 〕分别求这5人中经常使用、偶然或者不用一共享单车的人数；〔ii 〕从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用一共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 参考数据：20．椭圆2222:1x y C a b +=〔0a b >>〕过点()，离心率为2，直线:20l kx y -+=与椭圆C 交于,A B 两点.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-〔其中O 为坐标原点〕成立？假设存在，求出实数k 的值；假设不存在，请说明理由.21．函数()ex ax f x =的图象在0x =处的切线方程为y x =，其中e 是自然对数的底数. 〔1〕假设对任意的()0,2x ∈，都有()212f x k x x <+-成立，务实数k 的取值范围； 〔2〕假设函数()()()ln g x f x b b =-∈R 的两个零点为()1212,x x x x <，试判断122x x g +⎛⎫' ⎪⎝⎭的正负，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα〔α为参数〕.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. 〔1〕求曲线C 普通方程及直线l 的直角坐标方程；〔2〕求曲线C 上的点到直线l 的间隔的最大值.23．选修4-5：不等式选讲 函数()211f x x x =-++.〔1〕解不等式()3f x ≤； 〔2〕记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，假设t M ∈，试证明：223t t -≥.文数参考答案及评分细那么一、选择题1-5:BCADC6-10:CBBDD11、12：AD二、填空题13．114．2-15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：〔1〕设数列{}n a 的公比为q ， 那么251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=， ∴252,16a a ==或者2516,2a a ==〔舍〕. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q --==〔*n ∈N 〕.〔2〕由〔1〕得，12n nb n -=+. ∴12n n T b b b =+++2212nn n +=-+. 18．解：〔1〕连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形.∴点O 是1BC 的中点.∵点D 为AB 的中点，∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD .〔2〕∵AC BC =，AD BD =，∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中， 由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC .又平面11ABB A 平面ABC AB =，∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的间隔为CD ，且sin 4CD AC ==π ∴11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯ 43=. 19．解：〔1〕由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 因为2.198 2.072>， A 使用一共享单车情况与年龄有关.〔2〕〔i 〕依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用一共享单车的有6053100⨯=〔人〕，偶然或者不用一共享单车的有4052100⨯=〔人〕. 〔ii 〕设这5人中，经常使用一共享单车的3人分别为,,a b c ；偶然或者不用一共享单车的2人分别为,d e . 那么从5人中选出2人的所有可能结果为()()()(),,,,a b a c a d a e ，，，，()()()(),,,,,b c b d b e c d ，，，()(),,c e d e ，，一共10种. 其中没有1人经常使用一共享单车的可能结果为(),d e ，一共1种.应选出的2人中至少有1人经常使用一共享单车的概率1911010P=-=.20．解：〔1〕依题意，得22222211,,a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的HY 方程为22142x y +=. 〔2〕假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k x kx +++=，那么()226416120k k ∆=-+>，即2k >或者2k<-. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 那么122812kx x k +=-+，122412x x k =+. 由OA OB OA OB+=-， 得0OA OB⋅=. ∴12120x x y y +=， ∴()()1212220x x kx kx +++=， 即()()212121240k x xk x x ++++=， ∴()22224116401212k k k k +-+=++. 即2284012k k -=+，即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-成立. 21．解：〔1〕由题得，()()1e x a x f x -'=， ∵函数在0x=处的切线方程为y x =， ∴()011a f '==，∴1a =. 依题意，()21e 2x x f x k x x =<+-对任意的()0,2x ∈都成立， ∴220k x x +->，即22k x x >-对任意的()0,2x ∈都成立，从而0k ≥.又不等式整理可得，2e 2xk x x x<+-. 令()2e 2xh x x x x=+-， ∴()()()2e 1+21x x h x x x -'=-()2e 12x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴()()min 1e 1k h x h <==-.综上所述，实数k 的取值范围为[)0,e 1-.〔2〕结论是1202x x g +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 理由如下：由题意知，函数()ln gx x x b =--， ∴()111x g x x x-'=-=， 易得函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.∴只需证明1212x x +>即可. ∵12,x x 是函数()g x 的两个零点，∴1122ln ,ln ,x b x x b x +=⎧⎨+=⎩相减，得2211ln x x x x -=. 不妨令211x t x =>， 那么21x tx =，∴11ln tx x t -=， ∴11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-， 即证()1ln 201t t t t -=-⋅>+ϕ. ∵()()2141t t t '=-=+ϕ()()22101t t t ->+， ∴()t ϕ在区间()1,+∞上单调递增. ∴()()10t >=ϕϕ.综上所述，函数()gx 总满足1202x x g +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 22．解：〔1〕由曲线C 的参数方程2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα〔α为参数〕，得曲线C 的普通方程为2214x y +=.sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ， 得()sin cos 3+=ρθθ.即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=. 〔2〕设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，那么该点到直线l的间隔d ==〔其中tan 2=ϕ〕， 当()sin 1+=-αϕ时，max d ==.即曲线C 上的点到直线l的间隔的最大值为2. 23．解：〔1〕依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 那么不等式()3f x ≤即为1,33,x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或者11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或者1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.故原不等式的解集为{}11x x -≤≤. 由题得，()()121gx f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤ 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M=+∞. ∴()()2331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>， ∴()()310t t -+≥.∴223t t -≥.。
《精编》浙江省三校高三数学联考试题 文 新人教A版.doc
2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔文〕试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图，那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 (4) 假设直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，那么A. a 内的所有直线与l 异面B. a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与l 平行D. a 内的直线与l 都相交(5) 在圆06222=--+y x y x 内，过点E 〔0，1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A ．25B ．202C ．215D ．102〔6〕在以下区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为〔 ▲ 〕 A.〔14，12〕 B.〔-14，0〕 C.〔0，14 〕 D.〔12，34〕 〔7〕设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,那么( ▲ )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．假设△1MNF 为正三角形，那么该双曲线的离心率为(▲)A ．6B ．3C ．2D ．33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[2)+∞， B.[2)+∞， C.(0,2] D.[2,1][2,3]--二．填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分.(11) 右图是CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_______▲ _。
2021年高三下学期联考(三)试题 数学文 含答案
2021年高三下学期联考（三）试题数学文含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．42．已知复数在夏平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A．870 B．30C．6 D．36．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为8．已知点的最小值是A．-2 B．0 C．-1 D．19．定义行列式运算的图象向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为10．已知两点A（0，2）、B（2，0），若点C在函数的图像上，则使得的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．111．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是12．已知双曲线含的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列，归纳出这个数列的通项公式为。
2021年高三数学下学期第三次联考试题 文
2021年高三数学下学期第三次联考试题文（考试时间：120分钟总分：150分）：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i是虚数单位,复数等于( )A.1+2iB.2+4iC.-1-2iD.2-i2. 在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为…( )A.2B.6C.7D.83．的（）A．充分不必要条件。
B.必要不充分条件C．充分且必要条件 D 既不充分又不必要条件4．设命题p: 函数的最小正周期为；命题q: 函数的图像关于直线对称，则下列判断正确的是（） A. P为真 B. 为假C．为假 D. 为真5.若，则的定义域为（）A. B. C. D.6.已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是( )A. B. C. D.(3,6]7．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )8. 在20,ABC AB BC AB ABC∆⋅+=∆中，若则是 ( )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D. 等腰直角三角形9.已知椭圆的左、右焦点分别为、点P在椭圆上,若P、、是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为( )A. B.3 C. D.10．.甲、乙两人下棋,和棋的概率为乙获胜的概率为则下列说法正确的是( )A.甲获胜的概率是B.甲不输的概率是C.乙输了的概率是D.乙不输的概率是11．若的不等式的解集为,则实数的取值范围是( )A B C D12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A．B．C．D．1二. 填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 若集合A={x|},B={x|},则 ..14．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则的值是______15. 定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．16. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”。
2021年高三下学期第三次联考(数学文)
2021年高三下学期第三次联考（数学文）参考公式：锥体的体积：，其中S 是底面积，是锥体的高棱台的上、下底面面积为，高为，则体积若事件A 、B 互斥，则一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知集合===<==-B A x y x B x y y A x ，则}|{},0,2|{21( )A. B. C. D.2、已知( )A. 6B. 8C. 10D.3、已知命题p:，，且的取值范围是( )A. B. C. D.4、设，，则双曲线的离心率的概率是( )A. B. C. D.5、在下列四个命题中，其中为真命题的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若命题p:所有幂函数的图像不过第四象限，命题q:所有抛物线的离心率为1，则命题p 且q 为真C. 若命题p:，则D. 若，则6、执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是( )A. 64B. 132C. 640D. 13207、已知函数的图像的一条对称轴为，则的值为( )A. B. C. D.第6题 第8题8、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面所截得的几何体三视图如图所示，则该几何体体积为( )A. 8B.C.D.9、在算式“”中，都为正整数，且它们的倒数之和最小，则的值分别为( )A.6，6B. 10，5C. 14，4D.18，310、已知⊙O的半径为1，PA、PB为其两条切线，A、B为两切点，则( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、已知数列中，，则= ；12、当满足，则的取值范围是；13、定义在R上的函数的图像关于点对称，且，2)11)0(ff，则ff，；(f-++=)1(=)2(=(-)201114、已知函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8，则的单调递增区间是；15、若关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、（本小题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为，若,且.（1）求角C的大小；（2）求的面积.17、（本小题满分12分）某中学学业水平考试成绩分A、B、C、D四个等级，其中D为不合格，此校高三学生甲参加语文、数学、英语三科考试，合格率均为，且获得A、B、C、D四个等级的概率均分别为（1）求的值；（2）假设有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生甲不能拿到高中毕业证的概率.18、（本小题满分12分）如图，在底面为等腰梯形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，A B∥CD，AB=7CD=7，BC=AD=5，PA=8，E是PD上任意一点，且.（1）求为何值时，PB∥平面ACE；（2）在（1）的条件下，求三棱锥D-ACE的体积.19、（本小题满分12分）如图，为一个等腰三角形的空地，底边AB长为4（百米），腰长为3（百米），现决定在空地上修一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形周长相等，面积分别为，（1）若小路一端E为AC中点，求小路的长度；（2）求的最小值.20、（本小题满分13分）已知函数，数列满足，（1）讨论的单调性；（2）若，证明：数列是等差数列；（3）在（2）的条件下，证明：.21、（本小题满分14分）已知P、Q是抛物线C：上两动点，直线分别是抛物线C在点P、Q处的切线，且，. （1）求点M的纵坐标；（2）直线PQ是否经过一定点？试证之；（3）求△PQM的面积的最小值.江西省重点中学协作体2011届高三第三次联考数学试卷（文科）答案1~10 BCDAB DACBD11、2； 12、； 13、1； 14、； 15、16、（1）易得： ， ……….6分（2）62122)(2cos 22222=⇒=--+=-+=ab ab c ab b a ab c b a C …………12分17、（1）………..6分（2）P=1- ………..12分18、（1）连接BD 交AC 于F ，若PB ∥平面ACE ，则PB ∥EF,(2)19、(1)易知F 在BC 上，则AE+AF=3-AE+4-AF+3即AF=，，根据余弦定理，EF=（2）若E 、F 在两腰上，设CE=x ，CF=y ，25111)2(9191sin 21sin 2122221=-+≥-=-⋅⋅⋅⋅=-=∆y x xy C y x C CB CA S S S S S CAB 当且仅当时取“=”号若点E 、F 在一腰和底上，设E 在CA 上，F 在AB 上，设AE=x ，AF=y ，25231)2(121121sin 21sin 2122221=-+≥-=-⋅⋅⋅⋅=-=∆y x xy A y x A AB AC S S S S S CAB 当且仅当时取“=”号所以最小值为20、（1）当）递减，在（，则时，∞+-<≤1)(0)('0x f x f a ； 当0)('),,1(;0)('),1,1(0<+∞-∈>--∈>x f a x x f a x a 时，；递减）上，递增，在（）上，时，在（当)(1)(110x f a x f a a ∞+--->∴…..4分（2）易证11111121121111--=-⇒--=-⇒-=+++n n n n n n a a a a a a ……………..8分 （3）当）递减，）递增，在（在（时，∞+-=00,1)(1x f a ， ，1112n ln 11)111ln(+<+++<++∴n n n n ，即：由（2）得：22ln )12ln 34ln 23(ln )113121(21++=+++++-<++++-=++∴n n n n n n n a a a n ………….13分21、（1）设，又，则：),2()(2:)(2:21212222221111x x x x M x x x x y l x x x x y l ⋅+⇒⎪⎭⎪⎬⎫+-=+-= 又，则41y 41142121-=∴-=⋅⇒-=⋅M x x x x ， ……….4分 （2）41y ),(21121222121+⋅+=---=-x x x x x x x x x x y PQ ）（即： ………………8分（3），∴M 到PQ 的距离 又)1()()()()()(||2221221222122221221k x x x x k x x x x x x PQ +-=-+-=-+-=)0(41)1(41||21232=≥+=⋅=∴∆k k d PQ S PQM 此时 ………..14分。
湖北省、龙泉中学三校2021-2022届高三数学联考试题 文(含解析)
三校2020届高三数学联考试题 文（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上）1.已知a 为实数，若复数()29(3)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A. 3 B. 6iC. 3±D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】解：由已知29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得3a =，故6z i =，其虚部为6，故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.2.已知{}2|230,{|A x x x B x y =+-≤==，则A B =（ ）A. ⎡⎣B. 3,⎡-⎣C. ⎤⎦D. ⎡⎣【答案】B 【解析】 【分析】求出集合,A B 中元素的具体范围，然后求交集即可. 【详解】解：{}{}2|230|31A x x x x x =+-≤=-≤≤，{{||B x y x x x ===≤≥，{|3A B x x ∴=-≤≤，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键是要确定集合中的元素的范围，注意集合B 是求函数的定义域，不是值域，是基础题. 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e=的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.数列{}n a 满足()*211n n n n a a a a n N +++-=-∈,且810a=，则15S =（ ）A. 95B. 190C. 380D. 150【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得数列{}n a 是等差数列，利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求15S . 【详解】解：211n n n n a a a a +++-=-，即为122n n n a a a ++=+， 故数列{}n a 等差数列，11581515()152151015022a a a S +⨯∴===⨯=，故选：D.【点睛】本题考查等差数列的判断以及等差数列的前n 项和公式，灵活运用等差数列的性质是关键，是基础题.6.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7.已知函数2log ,1()1,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()2f x ≤的解集为（ ）A. (,2]-∞B. []1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦C .[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦D. (][],01,4-∞【答案】B 【解析】分类讨论，分段解不等式，然后求并集.【详解】解：当1x ≥时，222log log 4x ≤=，解得14x ≤≤； 当1x <时，121x≤-，解得12x ≤，综上所述不等式()2f x ≤的解集为[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦，故选：B.【点睛】本题考查分段函数不等式，注意每段中x 的范围，是基础题.8.已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=（ ）A. C. D. 3-【答案】B 【解析】【详解】依题意，得3234364a a a a ==-，所以34a =-.由2764a =,得78a =-，或78a =（由于7a 与3a 同号，故舍去）.所以463732a a a a ==.4632ππtan tan tan 11tan 3333a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.9.函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A. ()y f x =的最大值为1B. ()y f x =在,63ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增C. ()y f x =的图像关于直线712x π=对称 D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】先将()y f x =变形为sin()y A x B ωϕ=++的形式，然后根据三角函数的性质逐个判断选项的对错. 【详解】解：213111()sin 3sin cos sin 2cos 22sin(2)16222f x x x x x x x π=++=+-+=-+， 对A ：max ()112f x =+=，故A 错误； 对B ：令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，因为,63ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对C ：sin(277()1)262111f πππ⨯-+==，1不是()y f x =最值，故C 错误； 对D ：sin(277()1)262111f πππ⨯-+==，()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误， 故选：B.【点睛】本题考查函数sin()y A x B ωϕ=++的性质，是基础题. 10.下列判断正确的是（ ） A. “1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 B. 命题“若0,x ≠则0xy ≠”的逆否命题为真C. 命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x >”D. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧⌝”为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】对A 利用任意角的三角函数的概念进行判断；对B 直接就判断原命题的真假即可；对C 利用全称命题的否定是特称命题，按照书写规律来判断；对D 根据复合命题的真假规律来判断. 【详解】对A ：当6πα=时，1sin 2α=，但当1sin 2α=时，α不一定等于6π，则“1sin 2α=”是“6πα=”的必要不充分条件，故A 错；对B ：当0x ≠时，若0y =，则有0xy =，则命“题若0,x ≠则0xy ≠”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故B 错；对C ：命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”，故C 错； 对D ：若命题p 真命题，命题q 为假命题，则命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧⌝”为真命题，故D 正确. 故选: D.【点睛】本题考查充分性必要性的判断，互为逆否命题的真假判断，全称命题的否定以及复合命题的真假判断，是基础题.11.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足2(sin cos )40a B B -++=，2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A. B. 2C. 【答案】B【分析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有0∆=，此时可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入1sin 2ABC S ac B ∆=可求．【详解】解：把2(sin cos )40a B B -++=看成关于a 的二次方程，则()2228(sin cos )168sin cos 2sin cos 2B B B B B B ∆=+-=++-()8sin 21B =-，又sin 210B -≤，所以0∆≤， 又若使得方程有解，则只有0∆≥， 此时必有0∆=，sin 210,4B B π∴-=∴=，代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴= ，由余弦定理可得，244cos 422c cπ+-=⨯，解可得，c =11sin 22222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知12,e e 为单位向量且夹角为4π，设12232,3a e e b e =+=，则a 在b 方向上的投影为_____．【答案】22+ 【解析】可知12||||1e e ==，且124,e e π<>=，这样即可求出a b ⋅及||b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值.【详解】解：根据题意得，1212222(32)396966a e e e b e e e ⋅=+⋅=⋅+=+=； 又∵||3b =，∴a 在b 方向上的投影为32||cos ,||+22||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅<>=⋅==；故答案为：22+． 【点睛】本题考查向量的夹角，投影的概念，要求投影先求数量积和模，是基础题． 14.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 15.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (2)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】2nn a =【解析】 【分析】由对数的运算化简2log (2)1n S n +=+得到122n n S +=-，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a .【详解】解：因为2log (2)1n S n +=+，所以122n n S ++=得122n n S +=-，则当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，而12a =符合2nn a =， 则2nn a =. 故答案为：2nn a =.【点睛】本题主要考查数列通项n a 与前n 项和n S 的关系，解题时注意讨论1n =时是否满足，以及对数的运算．16.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】a e ≤ 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图像，观察当a 变化导致图像发生怎样的变化时，函数()f x 有最小值. 【详解】如图，1x >部分，是()xf x e a =-的图像，1x ≤部分，是32()3f x x x =-+的图像，，当图中点A 不在x 下方时，函数()f x 有最小值，即10e a -≥，得a e ≤. 下面说明32()3f x x x =-+，1x ≤的图像画法：2'()36f x x x =-+，令'()0f x =，得0x =或2x =，当(),0x ∈-∞，()f x 单调递减，当(]0,1x ∈，()f x 单调递增，又(0)0f =，根据单调性和极值，可画出()f x 在(],1-∞上的草图. 故答案为：a e ≤.【点睛】本题考查分段函数最小值的存在性问题，利用数形结合，观察图像可快速得出结果，是中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log n n nb a a =+，求{}n b 的前n 项和为n S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n S ++=--【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质和等差中项的性质即可求解数列{}n a 的通项公式； （2）根据21log n n n b a a =+，可得21log 2nn n b a n a=+=-，利用分组求和法可求出n S ． 【详解】（1）设公比为q ，由13223a a a +=得211123a a q a q +=，223q q ∴+=，解得1q =或2，又32a +是2a ，4a 的等差中项即()32422a a a +=+ 若1q =，则()11222a a +=，方程无解，舍去； 若2q，则()11124228a a a +=+，解得12a =112n n n a a q -∴==.（2）21log 2n n n nb a n a =+=-， 1122(1)(1)221222n n n n n n n S ++-++∴=-=--- 【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．18.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,ccos cos CA =。
2021年高三第三次联考数学(文)试题 含解析
n = n+1= m+1是a 输出ma n 否= = 1秘密★考试结束前 【考试时间：5月 15日15:00—17:00 】2021年高三第三次联考数学（文）试题 含解析命制：凯里一中高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题 60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合中最小元素为 ． ． ． ． 2．已知复数为纯虚数，则 ． ． ． ．3．在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了 3217名文科考生的数学成绩，用 表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息 处理，则输出的数据为这3217名考生的 ．平均分 ．“红分”人数．“红分”率 ．“红分”人数与非“红分”人数的比值 4．等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是 ． ． ． ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． ．． ．6．已知直线和的倾斜角依次为，则下列结论中正确的是．．．．7．已知，其中在第二象限，则．．．．8．已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．．．．9．正方体的棱长为，为正方形的中心，则四棱锥的外接球的表面积为．．．．10．已知：和点，、是圆上两个动点，则的最大值为．．．．11．记，其中为自然对数的底数，则这三个数的大小关系是．．．．12．过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，过线段的中点作轴的垂线，垂足为，则．．．．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．双曲线的离心率为．14．数列中，，，则．15．已知向量，且，则实数．16．函数的定义域，值域为，当时，实数的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知三角形中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）在数列，中，，，AB C数列的前项和为．证明：．18．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，．（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）设、、依次为线段、、内的点．证明：是锐角三角形．19．（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、从23、24随机选作一题，从22、23、24题随机选作一题，他们在考试中都按规定选作了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、恰有1人选做第23题的概率；（Ⅱ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率．20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小值．（Ⅱ）证明：对任意正整数，．21．（本小题满分12分）已知椭圆：左、右焦点为、，、、、是它的四个顶点(其相应位置如图所示)．且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且斜率为的直线与椭圆交于、两点， 为坐标原点，，求．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，圆、的半径分别为、，两圆外切于点， 它们的一条外公切线与这两圆分别切于、两点． （Ⅰ）当时，证明：； （Ⅱ）当，时，求．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即与只有一个交点）时，求．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲已知中，角、、所对的边长依次为、、． （Ⅰ）当时，证明：； （Ⅱ）证明：．俯视图n = n+1= m+1是结束输出a n 否= 1秘密★考试结束前 【考试时间：5月 15日15:00—17:00 】贵州省八校联盟xx 届高三第三次联考试卷理科数学命制：凯里一中高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题 60分）二.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合中最小元素为． ． ． ． 解：．，，依题意得答案选． 2．已知复数纯虚数，则． ． ． ． 解：．设，3．在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了3766名理科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3766名 考生的．平均分 ．“红分”人数．“红分”率 ．“红分”人数与非“红分”人数的比值 解：．依题意，输出的为红分人数，为红分率． 4．等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是 ． ． ． ． 解：．令得．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． ．． ．解：．由三视图易知该几何体是一个底半径为高为的圆柱挖去一个底面是边长为的正方形，高为的四棱锥得到的几何体，其体积为．故答案选． 6．已知直线和的倾斜角依次为，则下列结论中正确的是 ． ． ． ．1A解：．，为锐角，为钝角，由倾斜角的定义知答案选．7．已知，其中在第二象限，则．．．．解：．2137sin cos sin cos,(sin cos)284θθθθθθ+=⇒=--=，在第二象限，，故22sin cos sin cos sin cos(cos sin)16θθθθθθθθ-=-=-8．已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．．．．解：．如图，观察发现直线和在区间上的唯一交点为，则使条件成立的区域为图中阴影部分，由定积分和几何概型的知识得到答案．9．如图，直线与圆：交于、两点，并依次与轴的负半轴和轴的正半轴交于、两点，当时，．．．．解：．解：的中点为，依题意为线段的中点，则有，故原点到直线的距离，半径，则．10．记,，则这三个数的大小关系是．．．．解：．由比较法不难得出，构造函数，知此函数在区间上为减函数，从而得到即11．正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为．．．．解：．设多面体的外接球的半径为，依题意得，故其外接球的表面积为．故答案选12．过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，为轴上的动点，则的最小值为．．．．解：．设的中点为，由抛物线的性质知到轴的距离为，故，由余弦定理得：，22||16||8||cosPB PC PC BCP=+-∠⇒222||||322||321850PA PB PC +=+≥+=（当时等号成立）．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．双曲线的离心率为 ． 解：2．．14．数列中，，，则 ． 解：2．由已知条件得15．已知向量，且，则实数 ．解：．由222()()()()0k k k k k +⊥-⇒+-=-=a b a b a b a b a b16．已知，则 解：．对等式两边求导得98710982110982a x a x a x a x a =+++⋅⋅⋅++．继续对此等式两边求导，得 98710982109988721a x a x a x a =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．令得10982360109988721a a a a =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯）．三．解答题：本大题共6小题. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三角形中，角、、所对的边分别为、、，且． （Ⅰ）求角；（Ⅱ）在数列，中，，，数列的前项和为．证明：． 解：（Ⅰ）由及正弦定理得由勾股定理定理得． ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．故． ……12分18．（本小题满分12分）ACxx如图，已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，． （Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）设、、依次为线段、、内的点．证明：是锐角三角形．解：（Ⅰ）依题意得5AC AB BC ====，则中，边上的高12ABC h S AC h ∆==⇒=⋅=设点到平面的距离为，则由1133O ABC A OBC ABC OBC V V d S OA S --∆∆=⇒⨯=⨯即．即点到平面的距离为． (6)分（Ⅱ）设，则有 依题意得111111A B B C C A===22221111111111111cos 2A B AC B C B AC A B AC +-∠==⨯则有为锐角，同理可得、均为锐角． 故是锐角三角形．……12分解法二：依题意，建立如图所示坐标系． （Ⅰ）则，设平面的法向量为m ，则有 设点到平面的距离为． ……6分（Ⅱ）设1(,0,0),(0,,0),(0,0,)OA a OB b OC c ===，则有，则，又、、三点不共线为锐角， 同理可得、均为锐角．故是锐角三角形． ……12分19．（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、选做以上每道试题的可能性均为，只选做23、24题，且他选做这两道试题中每道试题的可能性均为．他们在考试中都按规定选做了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率；（Ⅱ）设考生、、在第22、23、24中所选择的不同试题个数为，求的分布列及． 解：（Ⅰ）设“考生、、最多有1人选做第23题”为事件，选做23题的人数为，则11221111111112()1(2)(3)133********p M p p C C ηη=-=-==-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=故考生、、中最多有1人选做第23题的概率为． ……6分 （Ⅱ）依题意得可取，，， ，，， 即的分布列为故． ……12分20．（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求的最大值．（Ⅱ）对于数列，其前项和为，如果存在实数，使对任意成立，则称数列是“收敛”的；否则称数列的“发散”的．当时，请判断数列是“收敛”的还是“发散”的？证明你的结论． 解：（Ⅰ）令，由，，故在区间上为减函数，在区间上为增函数．故，即当时，恒成立，故即当时，的最大值为1． ……6分（注：直接对求导，而未说明恒不为零的，扣1分）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知即（当时等号成立） 依次令得223344111ln ,1ln ,1ln ,,1ln 112233n n n n++->->->⋅⋅⋅->，即121314*********ln ,ln ,ln ,,ln ln ln ln 112233123123n n n n +>>>⋅⋅⋅>⇒+++⋅⋅⋅+>+++ 11112341ln ln(1)123123n n n n+⇒+++⋅⋅⋅+>⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+． 即． ……11分 对任意实数当时，，从而 故不存在实数，使对任意成立．依题意知数列是“发散”的． ……12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：左、右焦点为、，、、、是它的四个顶点(其相应位置如图所示)．且，． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且与两坐标轴均不平行的直线与椭圆交于、两点， 为坐标原点，，求的取值范围． 解：（Ⅰ）设，则由 ①由22212212122(,)(,)(,)(,)33333a cB F B F B A c b c b a b b -=+⇒-=--+-=- ② 由①、②两式得．故椭圆的方程为． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，的坐标为依题意，设的方程为由222222(1)(43)84120143y k x kx k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩设，则有……8分则2212(1)||43k MN k +==+，又点到直线的距离，即 ③又22211221212 (,)(,)(1)()OM ON x kx k x kx k k x x k x x k •=++=++++22422222(1)(412)8512434343k k k k k k k k +-+=-+=-+++，即④由③、④得212|tan 512k k θ=-=+由2211191200tan 0512121685k k θ>⇒<<<⇒-<<+． 故的取值范围是． ……12分 （注：本题有其它解法，请根据不同解法进行判分）请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆、的半径分别为、，两圆外切于点，它们的一条外公切线与这两圆分别切于、两点． （Ⅰ）当时，证明：； （Ⅱ）当，时，求．证明：（Ⅰ）连接、、，由两圆外切于点知经过点， 由分别与两圆分别切于、两点，知，，由弦切角定理知，又 ，结合知四边形是矩形，，即． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，且． ，过作的垂线，设垂足为，则有2222122OO DO -=-=． ……10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即与只有一个交点）时，求．解：（Ⅰ）由222222222(2sin cos )4cos 2sin 4142x y ρθθρθρθ+=⇒+=⇒+=． 即曲线的直角坐标方程为，它是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆．……5分（Ⅱ）将代入得 ① 依题意①式的判别式22222)8(2sin cos )0sin cos tan 1θθθθθθ-+=⇒=⇒=±而或． ……10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲已知中，角、、所对的边长依次为、、． （Ⅰ）当时，证明：； （Ⅱ）证明：． 证明：（Ⅰ）当时，43431434()()()()(5)222B AA B A B AB A B A B A Bπππππ+=++=++=++ ．当且仅当即当时等号成立． ……5分 （Ⅱ）在中，由均值定理得22()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=①（当时取等号）； 同理可得②（当时取等号）； ③（当时取等号）．由①、②、③得22()[()()()]abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-，又0,()()()0()()()abc a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b >+-+-+->⇒≥+-+-+- 当时等号成立． ……10分24202 5E8A 床'38128 94F0 铰 22416 5790垐?{20630 5096 傖X-38406 9606 阆cE25095 6207 戇。
广东省“三校联盟”2021届高三上学期第三次大联考数学试题
3 5 2 珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学高三第三次联考试题数 学本试卷共 4 页，共 22 题，满分 150 分．考试用时 120 分钟，不准用计算器．一、单项选择题：（每小题 5 分，共 40 分） 1．复数 z = 1 + 2i，则 z 的共轭复数 z 等于（ ）3 - 4iA ． -iB ． - 3i5C ． 4- i3D ． - 1 - 2i5 52．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若2sin A = 3sin B ，c = 且cos C = ，则a =23（ ）A ．B ． 32C ．2D ．33．设向量a = (1, x - 1) ， b = (x + 1, 3) ，则“ x = 2 ”是“ a / /b ”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知正项等比数列{a n }的首项a 1 = 1 ，前 n 项和为s n ，且S 1 ，S 2 ，S 3 - 2 成等差数列，则a 5 =（ ）A ． 18B ．8C ． 116D ．165．甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛，决出第 1 名至第 5 名（没有重名次）．已知甲、乙均未得到第 1 名，且乙不是最后一名，则 5 人的名次排列情况可能有（ ） A ．27 种B ．48 种C ．54 种D ．72 种6．若函数 f (x ) = ax 2+ x - lnx 存在增区间，则实数 a 的取值范围为（ ） A ． (- 1 , +∞)8 B ． (-∞, - 1) 8C ． (- 1 , +∞) 4D ． (-∞, - 1)47．已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC ，若 PA = 3 ， AB = 2 ， BC = ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．16πC ．12πD ．8π8 ． 已 知 函 数 f ( x ) = ln( x + x 2+ 1)满 足 对 于 任 意 x 1 ∈ 1[ , 2] 存 在 2 x 2 ∈ 1 [ , 2] 2， 使 得211 , ] f(x 2 + 2x + a ) ≤ f (ln x 2 ) 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）x 2A ． (-∞, - 5 - 2 ln 2] 4C ． [ln 2- 8, - 5- 2 ln 2] 2 4B ． (-∞, ln 2 - 8]2D ．[ln 2 - 8, +∞)2二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．9．若将函数 f ( x ) = cos(2x +的 是 （ ）π) 的图象向左平移π 12 8个单位长度，得到函数 g ( x ) 的图象，则下列说法正确A ． g ( x ) 的最小正周期为πB ． g ( x ) 在区间π[0, ]上单调递减 2 C ． x =π12是函数 g ( x ) 图象的对称轴D ． g ( x ) 在[- π π 6 6 上的最小值为- 1210．已知{a n }为等差数列，其前 n 项和为S n ，且2a 1 + 3a 3 = S 6 ，则以下结论正确的是（ ）A ． a 10 = 0B ． S 10 最小C ． S 7 = S 12D ． S 19 = 011．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA ⊥ 底面 ABCD ， PA = AB ，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E ，则下列判断正确的是（ ）A ．E 为 PA 的中点B ． BD ⊥ 平面 PAC πC ．PB 与 CD 所成的角为3D ．三棱锥C - BDE 与四棱锥 P - ABCD 的体积之比等于1: 4 ． 12．已知函数 f (x ) = e ⋅ x 3，则以下结论正确的是（ ）A ． f ( x ) 在 R 上单调递增B ． f (log 5 2) <f (e - 12) < f (ln π )C ．方程 f ( x ) = -1有实数解D ．存在实数 k ，使得方程 f ( x ) = kx 有 4 个实数解三、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）3 3 + 1 = n2 a n 2 ⎩a a 13．已知α 、 β 为锐角， tan α = 4， cos(α + β ) = - 3，则 tan β =．514．在(x 2 - 2x - 3)4 展开式中，含 x 6的项的系数为 ．15．如图，在底面半径为 1，高为 的圆锥中，O 是底面圆心，P 为圆锥顶点，A ，B 是底面圆周上的两点，2π ∠AOB =，C 为母线 PB 的中点，则在该圆锥的侧面上，从 A 到 C 的最短路径的长是 ．316．关于 x 的方程 g ( x ) = t (t ∈ R ) 的实根个数记为 f (t ) ．若 g ( x ) = ln x ，则 f (t ) = ﹔若g ( x ) = ⎧ x , x ≤ 0, (a ∈ R ) ， 存在 t 使得 f (t + 2) > f (t ) 成立， 则 a 的取值范围是⎨- x 2 + 2ax + a , x > 0,．四、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分 10 分）在① ∠A =π，② S=3 ，③ cos ∠ABD =- 1 三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，6ABD42并解答．问题：在平面四边形 ABCD 中，已知 AB = BC = CD = 1， AD = ﹐且满足．（1）求sin ∠BDC 的值；（2）求平面四边形 ABCD 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分 12 分）1 + 1 + *已知数列{a n }满足 12（1）求数列{a n }的通项公式：(n ∈ N ) ．（2）设b n = a n a n +1 ， S n 为数列{b n }的前 n 项和，求S n ． 19．（本小题满分 12 分）5如图，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，DE ⊥ 平面 ABCD ，CF / /DE ，DE = 3CF ，B E 与平面 ABCD 所成的角为45︒ ．（1）求证：平面 ACE ⊥ 平面 BDE ； （2）求二面角 F - BE - D 的余弦值．20．（本小题满分 12 分）某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加．现从所有参赛学生中随机抽取 100 人的成绩进行统计，发现这 100 名学生中本次预选 赛成绩优秀的男、女生人数之比为4 : 1，成绩一般的男、女生人数之比为8 : 7 ．已知从这 100 名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是 0.6．成绩优秀成绩一般总计男生 女生总计100（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取 3 人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及数学期望．K 2= n (ad - bc )2(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )，参考公式：其中n = a + b + c + d ；临界值表供参考：P (K 2 ≥ k )0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8416.6357.87910.82821．（本小题满分 12 分）x 2 y 2 已知椭圆 a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右两个焦点 F 1 ， F 2 ，离心率e =，短轴长为 2．22（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），AF2 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC 面积的最大值．22．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) = ( x +1) ln x +mx ，g( x) =| f ( x)| xe x（1）若m =-2 ，求证：当x > 1时，f ( x) >-2 ；（2）若函数g( x) 在[1, e]上单调递减，求实数m 的取值范围．3 3 3 32020-2021 学年珠海市实验中学、东莞市第六高级中学、河源高级中学高三第三次联考试题数学答案一、单项选择题：（每小题 5 分，共 40 分）1-8 D B A D C A B B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．9．AD 10．ACD 11．ABD 12．BCD三、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13．2 14．12 15． 16．1； (1, +∞)四、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）解：（1）选①，在 ABD 中， AD = ， AB = 1，∠A = π，6由余弦定理 BD 2= 1 + 3 - 2 3 ⨯ cosπ= 4 - 2 3 ⨯ = 1， 6 2所以 BD = 1，所以 BD = BC = CD = 1 ，所以∠BDC =π，所以sin ∠BDC =3 ．32选②，在 ABD 中， AD = ， AB = 1， S ABD = 4，所以 S= 1 AB ⋅ AD ⋅ sin A = 3 ABD 2 4解得sin A = 1又0 < A < π ，2 所以 A = π 或 5π，6 6当 A =π时， BD 2= 1 + 3 - 2 3 ⨯ cosπ= 4 - 2 3 ⨯3 = 1，662所以 BD = BC = CD = 1 ，333 7 3 3 == sin ∠ADB π所以∠BDC = ，所以sin ∠BDC =． 325π 当 A 时，625π BD = 1 + 3 - 2 ⨯ cos = 4 + 2 3 ⨯= 7 ，6 2所以 BD = ，而 BC = CD = 1 ，5π 不满足2 = BC + CD > BD = 7 ﹐所以A = 不成立，6综上得： sin ∠BDC =． 2选③：在 ABD 中， AD = ， AB = 1，cos ∠ABD =- 1 ， 2又0 < ∠ABD < π ，所以∠ABD =2π 3 AD AB 由正弦定理得 2π ，即 sin3所以sin ∠ADB = 1，23 sin 2π 3 又∠ADB < ∠ABD ，所以∠ADB = π，6所以∠ADB = ∠BAD = π，所以 BD = AB = 1，6所以 BD = BC = CD = 1 ，所以∠BDC =π，所以sin ∠BDC =3 ．32（2）由（1）得 S= 1 ⨯1⨯1⨯ s in π = 3 ， DBC2 3 4S= 1 ⨯1⨯ 3 ⨯ sin π = 3， ABD2 6 4所以平面四边形 ABCD 的面积为 S = S+ 3 = 2 3 = 3 4 4 218．（本小题满分 12 分）【解析】3 1 sin ∠ADB DBC ABD + S =34 = ，=a = 2 1 ⎝ ⎭1 1（1）当n 1时， ，∴ a 1 =2 ， 1当 n ≥ 2 时， + 1a 1 a 2++ 1 a n = 1n 2 ，① 21 +1 a 1 a 2+ + 1 a n -1 = 1 (n - 1)2 ，② 212n -12①-②得=a n2 ，∴ a n =2n - 1 (n ≥ 2)2又a 1 = 2 满足上式，∴ a n = 2n - 1（2）∵ b = 2 ⋅ 2= 2 ⎛ 1-1 ⎫∴ S =n2n -1 2n + 1⎡⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1⎫2n -1 2n + 1 ⎪ 1 ⎫⎤ n 2 ⎢ 1 - 3⎪ + - ⎪ + - ⎪⎥ ⎣⎝ ⎭⎝3 5 ⎭ 2n + 1 ⎭⎦= 2 ⎛1 - 1 ⎫ =2 - 2 2n + 1 ⎪2n + 1⎝ ⎭19．【解析】（1）证明：∵ DE ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ．∴ DE ⊥ AC ．又底面 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD ，又 BD ⋂ DE = D ，∴ AC ⊥ 平面 BDE ， 又 AC ⊂ 平面 ACE ， ∴平面 ACE ⊥ 平面 BDE ．（2）以 D 为坐标原点，DA ．DC ．DE 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 D - xyz ，如图所示，∵BE 与平面 ABCD 所成的角为45︒ ，即∠EBD = 45︒ ，+ ⎛ 1 ⎝ 2n - 12 ⎪n ⋅ BF = 0 ⎨⎩n ⋅ EF = 0 2 19 ∴ DE = BD = 2 AD = 3 ， CF = 1DE = ．3∴ A (3, 0, 0) ， B (3, 3, 0) ， C (0, 3, 0) ， E (0, 0,3 2) ， F (0,3, 2) ，∴ BF = (-3, 0, 2) ， EF = (0,3, -2 2) ，设平面 BEF 的一个法向量为n = ( x , y , z )⎧⎪-3x + 则 ，即⎨ 2z = 0 ，令 z = 3 ， ⎪⎩3y - 2 2z = 0又 AC ⊥ 平面 BDE ，∴ AC = (-3,3,0) 为平面 BDE 的一个法向量．n ⋅ AC 6∴ cos < n , AC >== = ． | n | ⋅AC ∣ 38 ⋅ 3 2 19∴二面角 F - BE - D 的余弦值为19．1920．【解析】（1）根据表中所给数据计算可得：成绩优秀 成绩一般 总计 男生 20 40 60 女生 5 35 40 总计2575100（每两空一分）2100⨯ (20⨯35 - 40⨯5)2 50K = = > 3.841，60⨯ 40⨯ 25⨯ 75 9故有95%的把握认为二者有关； 15X 0123P64125 48 125 12 125 1 125E ( X ) = 3⨯ 1 = 35 521．（本小题满分 12 分）则 n = (2, 4, 3 2) ．22 2 cy 【解析】（1）由题意得2b = 2 ，解得b = 1，∵ e = =a∴ a = 2 ，a 2 =b 2 +c 2 ， 2， c = 1，故椭圆的标准方程为 x 2 + 2= 2（2）①当直线 AB 的斜率不存在时，不妨取A (1, 2 ) ，B (1, - 2 2 ) ，C (-1, - 2 ) ， 2 2故 S ABC= 1 ⨯ 2⨯ = ； 2②当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y = k (x -1) ，⎧ y = k (x -1) ⎪联立方程组⎨ x 2 ⎪⎩ 2y 2= 1 ，化简得(2k 2 +1)x 2 - 4k 2 x + 2k 2- 2 = 0 ， 设 A (x 1, y 1) ， B (x 2 , y 2 ) ，4k 22k 2 - 2x 1 + x 2 = 2k 2 +1 ， x 1 ⋅ x 2 = 2k 2 +1 | AB |=== 2| -k | | k |点 O 到直线kx - y - k = 0 的距离 d = =k 2 +1 k 2 +1因为 O 是线段 AC 的中点，2 | k |所以点 C 到直线 AB 的距离为2d = ，k 2+11 1 ⎛ k 2+ 1 ⎫ 2 | k |∴ S ABC = | AB | ⋅2d = ⋅ 2 2 ⋅ 2 ⎪ ⋅2 2 ⎝ 2k + 1 ⎭ k 2 + 12 (1 + k ) ⎡( x + x ) - 4x ⋅ x 2 ⎣ 21 21 2 ⎦ (1 + k ) ⋅ ( 2 ⎡ ⎢ 24k 2⎣ 2k + 1 ) - 4 ⋅ 22k 2 - 2 ⎤ 2k + 1 2 ⎥ ⎦k 2 + 1 2 2k 2 + 1 + 1k 2 (k 2 + 1) 2 (2k 2 + 1)2 21 - 4 14 (2k 2 + 1)22= 2 = 2 ≤综上， ABC 面积的最大值为 ．22．（本小题满分 12 分）【解析】（1）依题意 f (x ) = (x + 1)ln x - 2x ，定义域为(0, +∞) ，f '( x ) = ln x + x + 1 - 2 = ln x + 1 - 1．x x1 1 1 x -1令 m (x ) = ln x + -1，则m '(x ) = - = x x x 2 x 2所以当0 < x < 1时， m (x ) < 0 ，当 x > 1时， m (x ) >0 ． 所以m (x )在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增所以m (x ) ≥ m (1) = 0 ，即 f '(x ) ≥ 0 ，所以函数 f (x )在(0, +∞)上单调递增所以当 x > 1时， f (x ) >f (1) = -2f (x ) (x +1) ln x + mx （2）设h (x ) = = = (1+ 1 ) ln x + m ，x x x则 h '(x ) = x - ln x +1x 2易知当 x ∈[1, e ]时， x +1 > ln x ，即h '(x ) > 0 ，故 h (x ) 在 [1, e ]上单调递增所以h (x ) min = h (1) = m ， h (x ) max = h (e ) = 1+1+ me①若h (1) = m ≥ 0 ，则在[1, e ]上， h (x ) ≥ 0 ，e x ( 1 +1) ln x + m所以 g (x ) = x，e x -(1+ x + x 2 ) ln x - mx 2 + x +1所以 g '(x ) = x 2e x令u (x ) = -(1+ x + x 2 )nx - mx 2 + x +1．2max 在[1, e ]上，要使 g (x )单调递减，则 g '(x ) ≤ 0 ，从而u (x ) ≤ 0 ． 因为u '(x ) = -(1+ 2x ) ln x - 1 - (2m +1)x < 0 ﹐x所以u (x ) 在[1, e ]上单调递减所以u (x ) = u (1) = -m + 2 ≤ 0 ，所以 m ≥ 21 1 ②若h (e ) = + 1 + m ≤ 0 ，即m ≤ - - 1 < -1，e e( 1 +1) ln x + m则在[1, e ]上， h ( x ) ≤ 0 ，所以 g (x ) =- x ，e x e x 由①可知 g '(x ) =- u (x ) ，所以当 x ∈[1, e ] 时，x 2e xu ( x ) = - (1 + x + x 2 )ln x - mx 2 + x + 1 > - (1 + x + x 2 )ln x + x 2 + x + 1= (1 + x + x 2 )(1 - ln x ) ≥ 0从而 g '(x ) < 0 ，所以 g (x )在[1, e ]上单调递减③若h (1) < 0 < h (e )，则存在 x 0 ∈(1, e )，使得h (x 0 ) = 0 ，从而 g (x 0 ) = 0 ．而 g (1) =| h (1) |> 0 ， g (e ) =| h (e ) |> 0 ，e e e从而 g (x )在区间[1, e ]上不单调递减1 综上所述，实数 m 的取值范围(-∞, - -1] ⋃[2, +∞)e。
高三数学第三次联考试题文含解析试题
“皖南八校〞2021届高三第三次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔文科〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，应选C.【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能.，那么〔〕A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法那么，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。
【详解】由题意复数，那么，所以，应选D。
【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法那么，合理准确运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。
3.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，理解他们对今年HY的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如下图，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B. 抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C. 抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D. 抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质，求得，再逐项求解选项，即可得到答案。
【详解】根据频率分布直方图的性质得，解得所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为人，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为人，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为人，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为，所以D不正确；应选A。
【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用矩形的面积表示频率，合理计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题。
福建省三明市三校2021届高三数文下学期联考新人教A版
福建省三明地域2021届高三三校联考数文试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上． 1．复数()3i -1i 的共轭复数是A ．3i -B ．3i +C ．3i --D ．3i -+2．假设集合},0{2m A =，}2,1{=B ，那么“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 A ．充要条件 B ．充分没必要要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，假设8m a =，那么m 为A ．12B ． 8C ．6D ． 44．如图是某电视台综艺节目举行的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为 A ． 84,4.8B ． 84,1.6C ． 85,4D ． 85,1.65．已知抛物线2x ay =的核心恰好为双曲线222y x -=的上核心，那么a =A ．1B ．4C ．8D ．166．右面的程序框图输出S 的值为 A ．62B ．126C ．254D ．5107．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行进程中始终维持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，那么蜜蜂“平安飞行”的概率为A ．81B ．161C ．271D ．838．已知m 是两个正数2，8的等比中项，那么圆锥曲线122=+m y x 的离心率是A ．23或25B ．23C ．5D ．23或59．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是 A ．假设α⊥γ，α⊥β，那么γ∥βB ．假设m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，那么α∥βC ．假设m ∥n ，m ∥a ，那么n ∥αD ．假设m ∥n ，m ⊥a ，n ⊥β，那么α∥β10．概念在R 上的偶函数)(x f 知足：对任意的]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠，有 0))()()((1212>--x f x f x x 恒成立. 那么当*N n ∈时，有A ．)1()()1(-<-<+n f n f n fB ．)1()()1(+<-<-n f n f n fC ．)1()1()(+<-<-n f n f n fD ． )()1()1(n f n f n f -<-<+11．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图像向左平移6π个单位取得的图象关于原点对称，那么ω的值能够为 A ．2B ．3C ．4D ． 612．把数列一次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个括号一个数…，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25) …，那么第50个括号内各数之和为 A ．390 B ．392 C ．394 D ． 396 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上．13．已知ABC ∆中，4AB =，1AC =，3=∆ABC S ，那么AB AC ⋅的值为 ．14．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图3 所示，那么该几何体的侧面积为 cm ．15．已知x 和y 知足约束条件0,210,20.y x y x y ≥⎧⎪++<⎨⎪++>⎩那么21y x --的取值范围为 ．16．假设)()()()(x f x f y x f x f +=+满足，那么可写出知足条件的一个函数解析式.2)(x x f =类比能够取得：假设概念在R 上的函数)2();()()()1(),(2121x g x g x x g x g ⋅=+满足)()(,)3(;3)1(2121x g x g x x g <<∀=，那么能够写出知足以上性质的一个函数解析式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上．17．（本小题总分值12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,142n n S a +=-,且12a =(Ⅰ) 求证:对任意n N *∈,12n na a +-为常数C ,并求出那个常数C ;（Ⅱ）11+=n n n a a b 如果,求数列{bn}的前n 项的和.18．（本小题总分值12分）已知21cos 2sin 23)(2--=x x x f (x ∈R).(Ⅰ)求函数()x f 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C)=0，假设向量m ＝(1,sinA)与向量n ＝(2,sinB)共线，求a ，b 的值. 19．（本小题总分值12分）有两个不透明的箱子，每一个箱子都装有4个完全相同的小球，球上别离标有数字一、二、3、4．（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（假设图3俯视图侧(左)视图数字相同那么为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）摸球方式与（Ⅰ）同，假设规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同那么乙获胜，如此规定公平吗？20．（此题总分值12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有 关数据如下图.(Ⅰ)求出该几何体的体积。
2021届高三湖南省示范学校三校联考文科数学试卷
2021届高三湖南省示范学校三校联考文科数学试卷2021届高三第四次月考联考测试卷文科数学试题（命题：蓝山二中高三数学备课组总分：150分时量：120分钟）温馨提示：只拿答题纸，根据试卷的题号填写相应的答题纸！本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
一、多项选择题：本主题共有8个子题，每个子题得5分，共计45分。
每个子问题中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合a?xx?0，且a?b?b，则集合b可能是（）a．?1,2?b.xx?1c.??1,0,1?d.r2.“m?1”是“函数f(x)?x2?2x?m有零点”的（）a、充要条件b.必要非充分条件d.既不充分也不必要条件c、充分和不必要的条件3.已知向量a,b，满足(a?2b)(a?b)??6，且a?1,b?2，则a与b的夹角为（）2.b、疾病控制中心。
34363?1?4．已知tan()?,tan(??)?,那么tan(??)=a.5646()a．16b。
723c．1318d。
13221x2?3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）5．已知曲线y?24a、3b、二,c、1D12x26．二次曲线42,a、[25c、[2]y2??1，当m?[?2,?1]时该曲线的离心率e的取值范围是（）m335]b、[,]222636d、[],]二千二百二十一7．已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为a.8.10? b、3πc.d.6π3328．在?abc中，若ab?bc?ab?0,则?abc是()a、 f.x.y′的导数角可以设为f的直角三角形，那么以下结论必须成立：（a）函数f（x）有最大f（2）和最小f（1）B。
函数f（x）有最大f（-2）和最小f（1）C。
函数f（x）有最大f（2）和最小f（-2）d。
函数f（x）有最大f（-2）和最小f（2）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（一）请从问题10和11中选择一个来回答。
吉林省三校联考2021-2021年高三三校联考数学(文)试题(含答案)
侧视图正视图1222三校联合模拟考试 文科数学能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集{}8≤∈=x N x U ，集合{}7,3,1=A ，{}8,3,2=B ，则=)()(B C A C U U （ ） A ．{}8,7,2,1B ．{}6,5,4 C ．{}6,5,4,0D ．{}6,5,4,3,0 2．已知复数i z +=11，i z -=12，则=iz z 21（） A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-3．若实数数列：81,,1a 成等比数列，则圆锥曲线122=+ay x 的离心率是（ ）A ．10或322 B ．3或36C ．322D ．31或104．函数2)(1-=-x a x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．223+ 5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+O-11yx6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于C ︒22”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位C ︒） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为2.10.则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3 7．已知条件p ：3-=k ，条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．平面α截球O 所得的截面圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） A ．π6B ．π34C ．π64D ．π369．若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．?5≤n B ．?6≤n C ．?7≤n D ．?8≤n10．若函数mx xm x f +-=2)2()(所示，则m 的范围为（）A ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)2,0(D ．)2,1(11．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F ，作圆222a y x =+的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．MT MO a b -=-B ．MT MO a b ->-C ．MT MO a b -<-D ．MT MO a b +=-12．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x，给出下列命题：PDC ①当0>x 时，)1()(x e x f x-=②函数)(x f 有2个零点③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞- ④R x x ∈∀21,，都有2)()(21<-x f x f ， 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－2413．向量1=a ,2=b ,)2()(b a b a -⊥+，则向量a 与b的夹角为.14．已知πθ<<0，71)4tan(=+πθ，那么=+θθcos sin . 15．若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-2212x y y x y x ，目标函数y x z 23+-=的最小值为.16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ: ①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅; ②{,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅; ③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④{,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅. 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 252cos 22cos 222=+ （Ⅰ）求证：b c a 3)(2=+； （Ⅱ）若41cos =B ，15=S ，求b .18.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱BCF ADE -和一个正四棱锥ABCD P -组合而成，AF AD ⊥，2==AD AE . （Ⅰ）证明：平面⊥PAD 平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥ABCD P -的高h ，使得该四棱锥的体积是三棱锥ABF P -体积的4倍.OBAFE Py x19. （本小题满分12分）甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下： (Ⅰ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(Ⅱ)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．20.（本小题满分12分）椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率22e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22.（Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F .（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； （2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）9 甲 乙 7 8 9 7 5 2 2 0 5 0 55OPEDCBA设函数1ln )(-+=x a x x f ，（0>a ） （Ⅰ）当301=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当21≥a ，),1(+∞∈x 时，求证：11ln >-+x ax请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明： （Ⅰ）EC BE =；（Ⅱ）22PB DE AD =⋅.23.（本题满分10分）选修4——4 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x ，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23321,(t 为参数).以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(π.（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PB PA +的值.24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数5)(++-=x a x x f ， （Ⅰ）若1=a ，解不等式：52)(+≥x x f ； （Ⅱ）若8)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.松原实验高中 2021年三校联合模拟考试文科数学能力测试长春十一高中 东北师大附中参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDADBCABBDAC二、填空题（每题5分，共20分） 13.2π14.51-15. 1- 16. ②④17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：b A c C a 25)cos 1()cos 1(=+++， 由于：b A c C a =+cos cos ，所以：b c a 23=+，即：b c a 3)(2=+………….5分PF EDC BA （Ⅱ）41cos =B ，所以：415sin =B ，………….6分151581sin 21===ac B ac S ，8=ac ………….8分 又：)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由b c a 3)(2=+，所以：)411(16452+=b ，所以：4=b ………….12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：直三棱柱BCF ADE -中，⊥AB 平面ADE ，所以：AD AB ⊥，又AF AD ⊥，所以：⊥AD 平面ABFE ，⊂AD 平面PAD ， 所以：平面⊥PAD 平面ABFE ………….6分 （Ⅱ）P 到平面ABCD 的距离1=d 所以：32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆-d S V ABF ABF P 而：384223131==⨯⨯==--ABF P ABCD ABCDP V h h S V ，所以2=h ………….12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为x ,乙被抽到的成绩为y ,用数对),(y x 表示基本事件：(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85)(82,95)(82,75)(82,80)(82,90)(82,85) (79,95)(79,75)(79,80)(79,90)(79,85)(95,95)(95,75)(95,80)(95,90)(95,85)(87,95)(87,75)(87,80)(87,90)(87,85)基本事件总数25n =…………………………5分记“甲的成绩比乙高”为事件A ,事件A 包含的基本事件：(82,75)(82,80)(82,75)(82,80)(79,75)(95,75) (95,80)(95,90)(95,85)(87,75)(87,80)(87,85)事件A 包含的基本事件数是12m =…………………………6分所以2512)(==n m A P …………………………………8分 （Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：85=甲x ，85=乙x ，6.312=甲s ，502=乙s=甲x 乙x ，<2甲s 2乙s 甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适………………………………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意22=e ，设1C ：122222=+b y b x ，2C ：1422222=+by b x ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积2222221=⨯⨯=b b S ，解得：12=b ， 所以椭圆1C ：1222=+y x ，2C ：14222=+y x ………….4分（Ⅱ）（1）设),(00y x P ，则142220=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B200+=x y k PA ，200-=x y k PB ………….6分所以：2224220202020-=--=-=⋅x x x y k k PBPA ， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-………….8分（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ，211+=x y k EA ，211-=x y k EB ，所以：212211220212121-=--=-=⋅x x x y k k EBEA ，同理：21-=⋅FB FA k k ………….10分所以：41.=⋅⋅FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =，结合（1）有 81-=⋅FB EA k k ………….10分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),1()1,0(+∞ ， 当301=a 时，2)1()56)(65()(---='x x x x x f (3)OPD CBA分令：0)(>'x f ，得：56>x 或65<x ，所以函数单调增区间为：)65,0(，),56(+∞ 0)(<'x f ，得：5665<<x ，所以函数单调减区间为：)1,65(，)56,1(…………5分（Ⅱ）若证11ln >-+x a x ，)1,21(>≥x a 成立，只需证：1)1(21ln 1ln >-+≥-+x x x a x 即：)1(21ln )1(2->+-x x x 当1>x 时成立…………6分 设()=x g ())1(1)1(2ln 12>+---x x x x∴())1(ln 2xx x g -='，显然)(x g '在),1(+∞内是增函数 且02)1(<-='g ，0)212(ln 2)2(>-='g∴)(x g '=0在（1,2）内有唯一零点0x ，使得：01ln 00=-x x ， 且当x ∈（1，0x ），)(x g '<0； 当x ∈（0x ，+∞），)(x g '>0.∴)(x g 在（1，0x ）递减，在（0x ，+∞）递增…………10分()()11ln 12)()(000min +--==x x x g x g =()1111200+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x =)1(2500x x +- ∵()2,10∈x ∴251200<+<x x ∴0)(min >x g ∴11ln >-+x ax 成立…………12分22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =，故PDA PAD ∠=∠ 因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠， 由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE 弧EC ，因此：EC BE =………5分（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==， 所以：PB DC 2=，PB BD =由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅ 所以：22PB DE AD =⋅………10分23.（本题满分10分）选修4——4（Ⅰ）由极值互化公式知：点P 的横坐标02cos3==πx ，点P 的纵坐标32sin3==πx所以)3,0(P ；消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：115522=+y x ………5分（Ⅱ）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得：0822=-+t t ，设其两个根为1t ，2t ，所以：221=+t t ，821-=t t ，由参数t 的几何意义知：64)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .………10分24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲（Ⅰ）当1=a 时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：2-≤x ，所以原不等式解集为{}2-≤x x ………5分（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若8)(≥x f 恒成立，只需：85≥+a解得：3≥a 或13-≤a ………10分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021年高三数学三校联考试题文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集，集合，，则（）
A． B．C． D．
2．已知复数，，则（）
A． B． C． D．
3．若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ） A ． 或 B ．或 C ． D ． 或
4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天每天日平均温度不低于”，现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位） ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据的中位数为，平均数为；
③丙地：个数据中有一个数据是，平均数为，方差为.则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3 7．已知条件：，条件：直线与圆相切，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
8．平面截球所得的截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．
9．若如图所示的程序框图输出的是，则条件①可为（ ） A ． B ． C ． D ．
10．若函数的图象如图所示，则的范围为（ ） A ． B ．
俯视图
侧视图
正视图
12
2
2
2
y
C． D．
11．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）
A． B．
C． D．
12．已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，②函数有个零点
③的解集为④，都有，
其中正确的命题是（）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
13．向量,,，则向量与的夹角为 .
14．已知，，那么 .
15．若满足条件，目标函数的最小值为 .
16．若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合:
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中是集合上的一个拓扑的集合的所有序号是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
在中，角、、的对边分别为、、，面积为，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求.
18. （本小题满分12分）
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.
19. （本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的项预赛成绩的茎叶图记录如下：(Ⅰ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(Ⅱ)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
20. （本小题满分12分）
椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.
（Ⅰ）求椭圆与的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于点，.
（1）求证：直线，斜率之积为常数；
（2）直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
P F
E
D
C
B
A
9
甲乙
7
8
9
7
5
2
2 0 5
0 5
5
21. （本小题满分12分）
设函数，（）
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当，时，求证：
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点，证明：
（Ⅰ）；
23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为,(为参数).以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（Ⅰ）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点为，，求的值.
24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲已知函数，
（Ⅰ）若，解不等式：；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
松原实验高中 xx 年三校联合模拟考试 文科数学能力测试
长春十一高中 东北师大附中
参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
13. 14. 15. 16. ②④ 三、解答题
17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件：，
由于：，所以：， 即：………….5分
（Ⅱ），所以：，………….6分
，………….8分
又：)cos 1(2)(cos 22
2
2
2
B ac c a B ac c a b +-+=-+=， 由，
所以：，所以：………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，
所以：，又， 所以：平面，平面，
所以：平面平面………….6分 （Ⅱ）到平面的距离 所以：3
2122213131=⨯⨯⨯⨯==∆-d S V ABF ABF P 而：3
8
4223131==⨯⨯==--ABF P ABCD ABCD P V h h S V ，所以………….12分
P
F E
D
C B
A
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为,乙被抽到的成绩为,用数对表示基本事件：
基本事件总数…………………………5分
记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：
事件包含的基本事件数是…………………………6分
所以…………………………………8分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：
，，，
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适………………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，设：，：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：，所以椭圆：，：………….4分
（Ⅱ）（1）设，则，，
，………….6分
所以：，
直线，斜率之积为常数………….8分
（2）设，则，
，，
所以：，同理：………….10分
所以：，由，，结合（1）有
………….10分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，…………3分
令：，得：或，所以函数单调增区间为：，
，得：，所以函数单调减区间为：，…………5分
（Ⅱ）若证，成立，只需证：
即：当时成立…………6分
设
∴，显然在内是增函数
且，
∴=0在（1,2）内有唯一零点，使得：，
且当（1，），<0；
当（，+），>0.
∴在（1，）递减，在（，+）递增…………10分
==
∵∴
∴∴成立…………12分
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
（Ⅰ）证明：连接，,由题设知，故
因为：，，Array由弦切角等于同弦所对的圆周角：，
所以：，从而弧弧，因此：………5分
（Ⅱ）由切割线定理得：，因为，
所以：，
由相交弦定理得：
所以：………10分
23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程
（Ⅰ）由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标
所以；消去参数的曲线的普通方程为：………5分
（Ⅱ）点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：
，设其两个根为，，所以：，，
由参数的几何意义知：64)(2122121=-+=
-=+t t t t t t PB PA .………10分
24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
（Ⅰ）当时，0)51)(42(5152)(≥---+⇔+≥-⇒+≥x x x x x x x f 解得：，所以原不等式解集为………5分
（Ⅱ）5)5(5)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，若恒成立，
只需：
解得：或 ………10分=20401 4FB1 侱X29693 73FD 珽9 36029 8CBD 貽 38177 9521 锡c20486 5006 倆32734 7FDE 翞35860 8C14 谔$31395 7AA3 窣。