研究试题特点,把握复习方向--解三角形与平面向量高考题回顾与启示
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
高一到高三数学必刷基础题型全归纳解已更新完成解三角形专题，而三角形是高中数学教学中的重点和难点，也是历年高考的必考点和命题热点。
其中，正弦定理和余弦定理及解三角形更是重中之重，但面对利用正余弦定理或三角函数关系所产生的各类解，学生往往缺乏必要的甄别意识和区分技能，从而造成“会而不对，对而不全”的现象时有发生。
利用这些题型掌握可以轻松提高
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
Word文档资料，微信：1989450104，其实，学习一定是有捷径和方法的，不是一味的苦学到半夜，清华北大数名学霸耗精心总结《高分其实很简单》，学霸们晒方法、晒技巧、晒笔记、晒心得、晒智慧！更有高考“必考点”、易考点、分析，让你做题，解题学会举一反三！。
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
2024高考数学三角函数平面向量试题分析及备考策略(复习课件)
4、重视知识交汇点，提高解决综合问题的能力
三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、 几何知识的密切联系，使得它常与其他知识结合在一起考查。比如三 角与向量、三角与不等式、三角与数列、三角与导数、三角与解析几 何等等。而在知识的交汇点设置综合性、能力型试题，这也是高考数 学命题的一贯做法.因此我们在高考备考中需要密切关注三角与其它 知识间的联系，在例题讲解和平时测试中多选三角与其它知识结合的 综合题，不断提高解决综合问题的能力。
考点八 数量积的最值
考点八 数量积的最值
考点八 数量积的最值 数量积的几何意义
第三部分
三角函数
三角函数
解三角形
解三角形
解三角形
平面向量
第四部分
1、夯实基础，形成知识体系
要求学生做到以下几点 （1）扎实相关概念，比如三角函数的定义，简谐运动中振幅、频率、 相位、初相的概念等； （2）掌握基本图象与性质，能熟练画出三角函数图象，及进行图象 的变换； （3）熟练公式，掌握公式的推导，理解公式间的相互关系； （4）正余弦定理要有方程意识，会借助平面向量解决解三角形问题。
考点一 三角恒等变换 倍角公式、诱导公式
考点一 三角恒等变换
弦切互化
考点一 三角恒等变换
边化角
考点一 三角恒等变换
边化角
考点一 三角恒等变换
考点一 三角恒等变换
考点一 三角恒等变换
考点一 三角恒等变换 由切求弦，弦化切 1的代换
考点一 三角恒等变换 切化弦，同角关系
考点二 零点、交点问题
中线：中线向量
考点四 解三角形 角平分线：等面积法
考点四 解三角形 角平分线：定义加正余弦定理
考点四 解三角形
专题讲座二三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略考情概述 从近几年高考看，高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量、数列、不等式的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．专题一 三角函数的图象与性质[学生用书P92](2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．[解] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32.当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，从而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1， 那么y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.解决三角函数的图象和性质的综合问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 等)的解析式．研究三角函数性质时，需把ωx ＋φ看成一个整体.1.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ωx 2，x ∈R ，ω＞0.(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1.由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3，1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．专题二 解三角形[学生用书P93](2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.在解决三角形与三角恒等变换综合问题时，一般先利用正、余弦定理，边角相互转化，求解三角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解.2.(2016·郑州第一次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，A ＝π6.由2b sin A ＝a ，得sin B ＝12，故B ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝⎛⎭⎫－12＝(14)2， 解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.专题三 三角函数、解三角形与平面向量的综合应用[学生用书P93](2014·高考辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.3.已知f (x )＝a·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)(x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．解：(1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，因为y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减，所以令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3， 所以2A ＋π3＝π.所以A ＝π3.因为AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ， 7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，所以b ＝3，c ＝2.1．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1 D ． 2 解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝2，所以|a －b －c |≥||a －b |－|c ||＝2－1.2.(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．2 解析：选D.注意到函数f (x )的图象关于点C 对称，因此C 是线段DE 的中点，BD →＋BE→＝2BC →.又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC→2＝2.3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 AD sin B ＝ABsin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝22.所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B＝BCsin ∠BAC ，所以AC ＝ 6.答案： 6 4．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π25．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时， 求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解：(1)由题图知A ＝2，T ＝8， 因为T ＝2π＝8，所以ω＝π4.又图象经过点(－1，0)，所以2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，所以－3π2≤π4x ≤－π6. 所以当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 6．(2015·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c ＞0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3. 2．(2016·河南省六市第一次联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ba ＝3，sin （2A ＋C ）sin A＝2＋2cos(A ＋C )，求f (B )的值．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2 ＝3sin 2x －2sin 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是[－1，2]．(2)因为sin[A ＋(A ＋C )]＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )， 即sin A cos(A ＋C )＋cos A sin(A ＋C ) ＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )， 化简可得sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可得c ＝2a ， 因为b ＝3a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－3a 22a ·2a＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3.所以f (B )＝1.。
近几年高考数学卷“解三角形”专题分析
＝槡２３犮，而根据题目条件知犪＝２犮，结合图形可得犆犇 ＝
犅犆－犅犇＝３ ２犮，那么由题目条件有犫＝６．在Ｒｔ△犃犇犆
（ ） （ ） 中，利用勾股定理可得
２
槡２３犮 ＋
３ ２犮
２＝３６，化简解Fra bibliotek得犮２
＝１２，则
△犃犅犆
的面积犛
＝
１ ２
·犪·犃犇
＝
１ ２
·
２犮·槡２３犮＝槡２３犮２ ＝６槡３．故填答案：６槡３． 点评：解决本题的常规思维是借助余弦定理加以
教学
２０２０年４月 新颖试题
参谋
犫 ２
＝犮，则有
犅犇
＝槡２２犪．在
Ｒｔ△犆犇犅
中，可得ｃｏｓ犅
＝
角三角形来直观处理其中的边与角的关系问题，易于 操作，直观形象．
槡２，则 ２
犅
＝４５°，即
∠犅犆犇
＝４５°，所 以
ｓｉｎ犆
＝
ｓｉｎ（∠犃犆犇 ＋∠犅犆犇）＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°
＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°＝
１ ２
×
槡２ ２
槡３ ＋２
×
槡２ ２
＝槡２４＋槡６．
点评：解决本 题 第 （２）问 的 常 规 思 维 是 借 助 条 件
的转化与 正 弦 定 理 的 应 用，利 用 整 体 思 维，并 结 合 三
角恒等变换公式来求解对应角的正弦值，学生处理起
来要有比较高的逻辑推理能力与思维习惯．而利用题 目条件对具体的三角形作高，把一般性的三角形问题 转化为直 角 三 角 形，利 用 平 面 几 何 知 识 来 处 理，思 维 简单易操作，破解过程直观形象，处理起来方向性高， 目的性强．
2020年高考解三角形试题的解法及启示
2020年高考解三角形试题的解法及启示作者：***来源：《广东教育·高中》2020年第10期解三角形的高考题目，是对三角函数知识的综合运用，是培养数学能力的好题材. 对几年来的试题题材、背景、知识点及解题技术，对解三角形及相关问题的备考，通过个案解题，把捕捉到的解题感觉，撮要一记. 尝试主动思考.解三角形，有两种基本方向的转化，都可以独立地完成解题. 在（2）方法一中，向同角方向转化，求出和角函数值，进而得角;在方法二中，是两角函数差的形式，得到和角函数值及角. 这两种选择都是幸运的. 用哪种方法解题，标志着不同功力.有人说“和差化积”公式是C级公式. 从功能上看，它可直接对两种函数合成. 从结构层面看，“和差化积”相当于分解因式，是数学最重要的恒等变形之一. 其中，对y=sinx求导课程中，用“和差化积”是必需的. 用“和差化积”公式，缩短解题过程. 若感受到它的珍贵，感受到它管用，就不让级别误导. 记忆力，来源于理解与应用，更源于求实的态度.方法三，对因式（b+c）构思，值得欣赏. 反复从题设中吸取营养，在使用条件方面，体现了数学转化的功力. 方法四，以题设条件和余弦定理为入口，消去b·c项，在各边的平方共存的方程中，期待勾股定理成为出口. 不幸未果. 在考场上，若没有时间机会，加上&步骤，在解题的尽头，顶上正确的结论.8. 3启示. 教材仍不失为认知的基础材料，知识实，思路正，解题精. 抛掉教材的教学与学习很可惜的. acos B，是在c边的投影，bcos A，也是在c邊的投影，两段投影的和，正好c边. 在解三角形时，若三角式子，直接用几何线段代替，缩短了解题过程. 几何学是三角学的逻辑生长点. 是培养数形结合意识的好题材.通过对近几年的解三角形高考题解题的探索，对试题的背景，内容，及解题技术，稳定的继承因素有了些感觉. 同时，对试题的立意与未来创新趋向，也是尝试性的猜想，得到了点散点式感觉，是个案启示，不成一论. 期待与学子一起感悟、分享.责任编辑徐国坚。
2023年高考全国卷三角试题分析与备考建议
02
备考建议
知识梳理
总结三角函数的基本概念、公式和定理。 强调对三角函数图像和性质的掌握。 梳理三角函数与其他数学知识的联系，如与解析几何、不等式等知识的结合。
能力提升
01
02
03
培养三角函数图像的绘制和识别能力 。
提高对三角函数性质的运用和解题能 力。
培养解决综合性三角函数问题的能力 ，如结合其他数学知识解决三角函数 问题。
感谢您的观看
THANKS
方法优化
熟练掌握并灵活运用三角函数的恒等 变换、周期性、对称性等性质。
培养对复杂三角函数问题的分解和转化能 力，化繁为简。
针对自身薄弱点进行专项训练，如 解三角函数的实际应用题、综合题 等。
03
模拟试题与解析
模拟试题
• 题目：在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$a = 2，b = 3$，且三角形ABC的面积为 $\frac{1}{2}a^{2}\sin B$，则角A的大小为
试题分析
今年的三角试题考查了学生的 基础知识和基本技能，同时强 调了对解题方法和数学思想的 考查。
试题涉及的知识点比较全面， 涵盖了三角函数、解三角形、 正弦定理和余弦定理等知识点 。
Байду номын сангаас
试题的难度适中，适合不同层 次的学生，但需要学生灵活运 用知识点和解题方法。
试题涉及的实际应用问题可以 提高学生的数学应用意识和解 决实际问题的能力。
03
对于第三道题目，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}bc\sin A$，结合已知条 件可求出$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，再利用正弦定理即可求出答案。
04
高考数学文科生高效提分热点解读之三角函数与平面向量
高考数学文科生高效提分热点解读之三角函数与平面向量佚名高考是人一辈子的一种经历，一次考查，更是一次锤炼。
不是有人说，没有历通过高考的人一辈子是不完整的人一辈子。
在高考中，要取得理想的成绩，其数学成绩起到关键的作用。
距离高考还有不到40天了，那个时候是冲刺的黄金时期。
如何抓好那个时刻段的复习至关重要，针对大多数文科考生来说，毋容置疑，其薄弱环节确实是数学。
那么作为文科生考前数学应如何样复习？考前提分的关键又何在？热点二三角函数与平面向量三角函数与平面向量在高考中的题量大致是三小一大，分值约为28分。
从近几年的高考来看，三角函数小题的命题热点有：一是利用诱导公式、同角三角函数的差不多关系及专门角的三角函数值的求值问题（容易题）；二是利用两角和与差的三角函数公式求值或化简三角函数式后求周期、单调区间、对称轴或对称中心（中档题）；三是三角函数的图像和性质的综合应用（属于中档偏难题）。
平面向量的命题热点是：一为向量的坐标运算（容易题）；二为向量的几何运算（中档题）；三为向量与函数、三角函数、不等式的综合题（属于中档偏难题）。
在复习中要多加注意三角函数公式与正余弦定理、三角形面积公式的联系及变形技巧，重视三角函数式中角与角的差异，考虑函数名称间的差异，通过分析化异为同，要能熟练作出三角函数的图像，同时关注数形结合的思想在解题中的作用。
以及通过建立直角坐标系将向量的几何运算代数化，而利用三角形法则和平行四边形法则将平面向量的代数运算用几何形式来表达。
考点1三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质是高考考查的重点，三角函数的图像是解决三角问题的重要工具，正确利用“五点法”（三个平稳点，两个最值点）作出三角函数的简图是解题的关键，函数f（x）=Asin（ωx+φ）、f（x）=Acos （ωx+φ）及f（x）=Atan（ωx+φ）可通过“五点法”来决定A,ω,φ的值。
考点2三角恒等变换三角恒等变换的差不多公式是诱导公式、同角三角函数的差不多关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式，其中同角三角函数的差不多关系和二倍角的三角函数公式的变形式的运用。
高考三角函数试题分析报告
三角函数、解三角形题型分析及其复习计划本文主要研究近五年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间.从近三年的课标卷、的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的容和围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.考题分布下面对近五近全国卷高考中三角函数的考题作一个归类分析，通过这个分析可以从中找到一些高三复习三角函数时的复习方向，能更好的、更精准的把握复习时应注意的方方面面。
近五年全国卷三角函数考题角的概念及任意角的三角函数1．(2014课标全国Ⅰ，文16)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α ＝( )A.45 B.35 C ．－35 D ．－45答案．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.三角函数的图象与性质1：(2012大纲卷，文3) ) A B C D 答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。
开展深度学习,把握问题本质——以高三一轮复习课“解三角形”为例
s∠BDC ＝π,所 以 c
o
s∠BDA ＋
１３
b２ －９
c２
１０
b２ －９a２
c
o
s∠BDC ＝ ０,则
＋
＝ ０,即
１２
b２
６
b２
１１
b２ ＝３
c２ ＋６a２ ．
又b２ ＝a
c,所以 ３
c２ －１１a
c＋６a２ ＝０,故c＝３a 或
２
c＝ a．
３
在 △ABC 中,由 余 弦 定 理,可 知 c
o
２)问的教学片断 ．
AB ２
生 １:因为 S△ABD ∶S△ADC ＝BD ∶DC,所 以 BD ＝
２
,求 BD 和 AC 的长 ．
２
２
,共 ４ 个条件 ．
２
师:由(
１)得到 的 AB ＝２AC 算 一 个 独 立 条 件 吗?
本题还有其他条件吗?
生 ７:
AB ＝２AC 不算 一 个 独 立 条 件,因 为 它 是 由
角形呢? 请以本题为例进行分析 ．
生 ６:在 △ABD 和 △ADC 中,
AD 平 分 ∠BAC,
△ABD 面 积 是 △ADC 面 积 的 ２ 倍,
AD ＝１,DC ＝
由 BC ＝
图１
３ ２,
AD ＝３,则 BD 的长为
．
思路分析:从 几 何 元 素 角 度 分 析,解 三 角 形 就 是
已知三角形的 六 个 元 素 (三 个 角 和 三 条 边 )中 的 三 个
师:例 ２ 的解决思路与例 １ 有什么联系和区别?
生 ４:都是建立方程解三角形 ．
生 ５:区别是例 １ 是在一个三角 形 中 求 解,例 ２ 是
例析高考试题中平面向量的四大运算策略及教学反思
例析高考试题中平面向量的四大运算策略及教学反思高考数学试题中，平面向量是一个重要的考点。
平面向量的四大运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘，是解决向量题目的基础。
本文将通过分析高考试题的形式与内容，探讨四大运算策略的应用，并对教学过程进行反思，以提升学生的理解与应用能力。
一、加法运算策略在高考试题中，平面向量的加法运算常常需要进行分解和合成等处理方式。
在解题过程中，可以遵循以下策略：1. 分析向量所在的直角坐标系，确定其坐标分量。
2. 利用三角函数关系，将向量转化为分解形式。
3. 根据分解的形式进行运算，确定最终的结果向量。
例如，某高考试题如下：已知向量a = (-3, 2)、向量b = (4, -1)，求向量a + b。
解答过程如下：1. 分析向量坐标分量：对向量a，横坐标为-3，纵坐标为2；对向量b，横坐标为4，纵坐标为-1。
2. 进行分解运算：向量a + b = (-3 + 4, 2 - 1) = (1, 1)。
3. 得出最终结果向量：向量a + 向量b = (1, 1)。
通过以上步骤，我们成功地完成了向量的加法运算。
二、减法运算策略平面向量的减法运算是解决向量题目中常见且重要的一种运算。
在减法运算中，我们可以采用以下策略：1. 利用加法的逆运算，将减法转化为加法运算。
2. 根据向量的坐标分量进行相减操作，得到最终结果。
例如，某高考试题如下：已知向量a = (2, 3)、向量b = (-1, 4)，求向量a - b。
解答过程如下：1. 利用加法的逆运算：向量a - 向量b = 向量a + (-1) ×向量b。
2. 进行相减操作：向量a + (-1) ×向量b = (2, 3) + (-1) × (-1, 4)。
= (2, 3) + (1, -4)。
= (3, -1)。
3. 得出最终结果向量：向量a - 向量b = (3, -1)。
通过以上步骤，我们成功地完成了向量的减法运算。
研究试题特点，把握复习方向--解三角形与平面向量高考题回顾与启示
研究试题特点，把握复习方向--解三角形与平面向量高考题回
顾与启示
唐从仁
【期刊名称】《新高考(高三语数外)》
【年(卷),期】2011(000)012
【摘要】一、考情掠影rn统计显示，几乎所有2010年、2011年新课标高考卷都各有一道试题考查解三角形内容与平面向量内容，通常以客观题或一道平面向量客观题与一道解三角形主观题的形式出现，平面向量作为主观题可能性较小（仅江苏卷2010年将平面向量作为主观题考查），在考查深度上，这两块内容的试题基本上属于容易题或中档题。
【总页数】3页(P26-28)
【作者】唐从仁
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.高考题改编题练习（解二三角形、平面向量） [J], 张培强;齐文友;杨苍洲
2.高考题改编题练习(解三角形、平面向量) [J], 谢广喜
3.高考题改编题练习（解三角形、平面向量） [J], 谢广喜
4.研究试题特点,把握复习方向——解三角形与平面向量高考题回顾与启示 [J], 唐
从仁;
5.高考题改编题练习(解三角形、平面向量) [J], 谢广喜;
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【专题研究】【三角】2020年高考解三角形试题的解法及启示
24 广东教育·高中 2020 年第 10 期
万方数据
量，
b 最大. 一种方法，
把边转化为角，
B
是直角或
C
为
π 6
；
另一种， 预设由变成平方关系， 从余弦定理推到勾股定理.
1． 2 解题． 解 （1）
sin2A+cos A＝ 5 圯1-cos2A+cos A＝ 5 . （cos A- 1 ）2＝0圯cos A＝
数值及角. 这两种选择都是幸运的. 用哪种方法解题， 标志着
不同功力.
有人说 “和差化积” 公式是 C 级公式. 从功能上看， 它可
直接对两种函数合成. 从结构层面看， “和差化积” 相当于分
解因式， 是数学最重要的恒等变形之一. 其中， 对 y＝sinx 求导
课程中， 用 “和差化积” 是必需的. 用 “和差化积” 公式， 缩
（1） 求 A. （2） 若 BC＝3， 求△ABC 周长的最大值.
2． 1 思路分析． （1） 题设给出的是角的关系， 从式子结构
上观察， 没有变形消项的可能， 但是， 转化成边后， 在整体
上， 又同余弦定理结构相近. 再结合余弦定理， 得出 A 的路径
可看穿. （2） 若 A 求得为定值， 又已知 A 所对的边， 角的顶
关系， S 转成 C 的同角同名函数， 由 C 函数值确定角. 对
（2），
若题设结论正确，
其中，
b>c，
A＝
π 3
，
决定 a 是中间的
（2）
由
（1）
得
bn＝
-3（-2）n [（-2）n+1][（-2）n+1+1]
＝
（-2）n+1-（-2）n [（-2）n+1][（-2）n+1+1]
浅谈新高考中三角形平面向量关键能力的考查
浅谈新高考中三角形平面向量关键能力的考查摘要：平面向量作为高中数学必备知识，考查向量的题目在今年全国各个考卷中均有出现.考查的题型一般为选择题或填空题，考查形式表现十分丰富，有的以三角形为载体出现，有的以多边形为载体出现，还有的没有图形，而是以模和夹角出现.想要解决以上问题，需要具备哪些关键能力呢？本文让我们逐一探究。
关键词：新高考；三角形平面向量；关键能力【题型一】考查向量三角形法则的转化运用。
【2022年全国新高考I卷3】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA。
记,,则【分析】本题考查的必备知识是平面向量的线性运算.关键能力是对向量加减法的三角形法则的灵活运用.如图2，可考虑在△BCD中，把先转化为，再通过数乘关系转化和三角形法则转化为【详解】如图1，因为点D在边AB上，BD=2DA，所以．在△BCD 中，移项整理得：图1图2【点评】1.解决本题的关键是要重视向量的三角形法则：在一个三角形中，三条边代表三个向量，其中具备“首接首、尾接尾”的那个向量是“和向量”（被减向量）。
2.本题的向量转化也不是唯一的，可以先在△ABC中转化，用去表示，即，然后再进行变形整理最后亦可以得到答案。
3.本题只考查向量线性转化一个知识点，较为简单．如果把向量的线性运算与数量积结合在一起的话，难度就要大了，请看以下两道高考题。
【2022年高考北京卷10】在△ABC中，AC=3,BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则的取值范围是（）A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]【分析】本题以三角形为载体，结合动点与向量数量积问题求范围，比上一题难度大很多。
但是透过现象看本质，虽然涉及的知识点很多，然而对考查的关键能力是相同的，通过向量的三角形法则就可以把复杂的问题转化为简单问题．同时本题可以一题多解，既可以用向量法，也可以用坐标法。
请考生注意对比两种解法的不同特点。
高考平面向量与解三角形交汇试题赏析
高考平面向量与解三角形交汇试题赏析
发表时间：2016-05-13T14:36:50.963Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2016年3月上作者：费谏章
[导读] 新课改以后，高考数学在平面向量与解三角形交汇处命题已成常态。
摘要：在本文中，笔者意在通过赏析近十年平面向量与解三角形交汇试题，揭示出这类试题的一般特点及命题规律，为广大师生备战高考提供了参考和借鉴。
关键词：高考；试题；赏析
新课改以后，高考数学在平面向量与解三角形交汇处命题已成常态。
本文意在通过赏析近十年平面向量与解三角形交汇试题，揭示出这类试题的一般特点及命题规律，为广大师生备战高考提供参考和借鉴。
一、运用平面向量计算三角形的边长
【点评】本题主要考查了平面向量数量积与余弦定理等知识，着重考查了数学运算能力，同时还考查了等价转化思想。
属中等难度题。
二、运用平面向量计算三角形的内角
【点评】本题主要考查了平面向量平行的坐标表示、余弦定理和已知三角函数值求角等知识，着重考查数学运算能力。
属中等难度题。
三、运用平面向量计算三角形的面积
【点评】本题主要考查了三角形面积公式、平面向量的数量积及其几何意义、同角三角函数基本关系等知识，着重考查了数学运算能力。
属中等难度题。
四、运用平面向量判断三角形的形状。
高考题型预测04 三角函数、解三角形和平面向量(真题回顾+押题预测)(原卷版)2023
预测04 三角函数、解三角形和平面向量原卷版1、近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2、高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．3、平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))2、二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α.3、函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )或f (α) ＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab ).1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式 (1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 1、向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 2、平面向量基本定理若向量12e e ，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+。
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ｃ ， ｓ Ｃ＝２ｉ 所 以 ）即 ｉ ｎ ｓ Ａ， ｎ
（ ） 由 （ ） ａ ＝ｓｌ ｄ ＝２ 即 ｃ＝ ａ Ｘ ｂ＝ ２ １ 知 ｎ ， ２． ２，
所 以根据余 弦定 理 ， ｂ 得 ＝ａ ＋ｃ 。 一２ｃｏＢ， ２ ａｃｓ 即 。
素僦 （００ ２１ 年江苏 卷第１ 题） ３ 在锐角三
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中， Ａ， Ｃ的对边 分别为 。 ６ｃ 已知 角 Ｂ， ，，．
２ Ｃ
— — ．．． ．．．．． －
故所需时间 ｆ ＝１ 小时 ） ＝ （ ．
答： 救援船 到达 Ｄ点需要 １小时．
２ ７
ａ
—
．．．．—
一
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毛
谯 本题主要考查 了同学 们 的建模 能力 和分
／Ｄ Ｃ＝／Ａ Ｃ＋ＺＤ Ａ＝６ ０Ｂ Ｂ ＿Ｂ ．Ｂ ０ Ｃ＝２ ， ０ 所
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臻
Ｂ 由余 弦定 理 ， Ｃ ＝肋 ＋Ｂ ２ 得 Ｄ Ｃ— （０１ ２１ 年山东卷第 １ ７题） Ａ Ｂ 以在ＡＤ Ｃ 中， 在 ＡＣ
２ Ｄ ・ Ｃ ｏ ／Ｄ Ｃ＝ Ｏ ， 以 Ｃ ＝ ０ 海里 ） Ｂ Ｂ ｃｓ Ｂ ９Ｏ 所 ＿ Ｄ ３（ ．
当 ＝或 ＝时 足 意 时。＝ ， 南偏西 ６。 Ｂ点相距 ２ ３海里 的 Ｃ点的救 援 Ａ 。６满 题 ， ｃ ÷ 此 ｓ ｃ ０ 且与 ０√
其 该 学，ｔ ＝ ， 导 ＝ ，船 立 即 前 往 营 救 ， 航 行 速 度 为 ３ 里／小 时 ， 救 故ａ ２ ｔ ＝ ｎ ａ ｃ ｎ ÷ 援船到达 Ｄ点需要多长时间？ Ｏ海 搋承 得 ０ Ｂ＝ ５ ￣ｎ ＝ ，Ａｔ ＝ ＝， ＋ 所以 ／ Ｄ ＝１５意又 Ａ＿ＤＢ ３＋。 ／Ｄ在 ＡＤＡ， ｔ 譬ｔ ＝ — 故 ＿Ａ Ｂ 由题。 ， ／ Ａ＝３同，， Ａ ４。 ａ ｃ ａ ａ １ Ｉ １ ０ 。 Ｂ＝５（ 则 Ｂ
ｓｎ ＝ ｉｃ
阻 “
发 出求 救 信 号 ， 于 曰 点 位
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中， 由正 弦定理 ， 得
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，
所 以Ｄ Ｂ＝
谶隰 运用 特殊化 方法 解 客观题 ， 常常起 到 事
半功倍 的效 果 ， 上述 两种 解 法 中 ， 在 显然 后一 种 更
加 简 洁 明快 ．
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ｔ ｎＡ ａ
故 Ａ 的积 ｓ１ｓ ＝ ｌ × △ ｃ面 为 ＝ ８ｎ ÷×× ｃ ｉ ２
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谶瞻 将正、 余弦定理、 三角形面积公式及三角
析问题的能力 ， 涉及 到 方位 角 、 弦定 理 和余 弦定 正 理等相关知识． 以实际背 景命制 的三角 应用 题是 高 考中的常见题型．
的 边子＜ 且 ＝ｎｎｎ ． 对 ， Ｃ 号，口 ＿『ｓ ｊ ￥ｓ＿ １ｉＣ ．２ｇ ／ｉ ｌ ＝
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—
（ ）若 ｃｓ ｂ＝ ， ２ 。Ｂ＝ １， ２ ． ￣ＡＡ Ｃ的 面氟 ＂ Ｂ
掇 示 （ ） 条 件 式 中 运 用 正 弦 定 理 ， １在 得
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陕西卷第 ｌ ７题 ） 图 ２所 如 示 ， 曰是 海 面 上位 于 东 Ａ，
北
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哥 ‘
褫
Ａ， Ｂ和边 ａ ｂ ， 具有轮换性．
西 方 向相 距 ５ ３ 海 （＋
里 的 两 个 观 测 点 ， 位 于 现
Ｃ
５， 考虑到 已知条件和所求结论对于角 Ａ点 北 偏 东 ４ 。 Ｂ点 北 偏 西 ６ 。 Ｄ 点 有 一 艘 轮 船 ０的
变 换 巧 妙 结 合 ， 近 几年 高 考 的 热 点题 型 ． 是
＝
・
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ・
需
寨锵 Ｓ （００ ２１ 年
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ｓ Ａｓｎ ｉ Ｂ ｎ ｉ
１
＝ Ｃ Ｓ ・＿苎 ＯＣ — ＿ … … 再根据正弦定理 ， ‘ … … 原式 … ｓｎ ｓｎ ， ｉ ｉＢ Ａ
（ 若 ＝ 一 求 量 的 角 １ 卢 詈，向 与 夹 ； ）
霄
明 余 弦定 理 ．
（０ １ ２ １ 年陕西卷第 １ 题） ８ 叙述并证
撼黎 本题证 法很 多 ， 这里不再一一赘 述．
（） Ｉ ＋ １ ２求赢 ． 的取值范围． ２ 若 蔚 赢 ：， 赢 ２ 知向 ．已 量 ＝ Ａｏ ， ｉ ）Ａ ０，ｇ （ ｃ Ａ ｎ （ ≠ ）ｏ ： ｓ ｓａ －
ｃ ｓ －２ ｏ Ｃ ｏＡ ｃｓ ｃｓ ｏ Ｂ
—
则寺得： ，＝殳詈 ｛ ＡＡ・ ’季＋ 姜解 ＝ ｉ Ａ ｛ ・ ¨ ２： ２
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ｉＡ ２ ｉ Ｃ ｓｎ ｓｎ 即 ｓ Ｂ 。 一２ ｉＢ 。Ｃ ｉ ｃｓ ｎ Ａ ｓ ｃ８ ｎ ｓｎＢ ｉ ’’ 。
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又 因为 ｃｓ 所 以 ｓ Ｂ－ 。Ｂ＝ １ ｉ ｎ
，
ａ ６ 。 ｃ， ， Ｃ ｔｎＣ ＝ ｃｓ ￥ｔ ｊ
（一ｓ ／，ｏ ， ｉ３ｃ ） 其中 ０为坐标原 点． ｎ
谯瞬 课 本 中公 式 、 定理 和性质 的推导 ， 是部分 省市高考考查 的新 热点 ， 同学 们应 高 度重 视 ， 同时 在高三复 习时要注 意 回归课 本 ， 重视基 础知 识 的掌
握 和 巩 固． 四、备 考 建 议