工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案
最新工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);
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6.
需要补正1 2 0.
9.
10.
11.
设向量组a1 , a2 , a3线性无关，判断向量组 b1 , b2 , b3的线性相关性。
(2) b1 a1 2a2 3a3 , b2 2a1 2a2 4a3 , b3 =3a1 a2 a3 ;
1 (b1 , b2 , b3 ) (a1 , a2 , a3 ) 2 3 1 2 3 ) 3, 由于R( 2 2 1 3 4 1 故b1 , b2 , b3线性无关。 2 2 4 3 1 1
17.
18.
19.
20.
21.
第四章
1.
2.
3.
4.
5. (1)由于R(aa ) min{R(a ), R(a )} 1,
T T
同理R(bb ) 1,
T
故R( A) R(aa bb ) R(aa ) R(bb ) 2.
T T T T
(2)若a, b线性相关, 则a kb(k 0), 从而A (k 2 1)bbT , 故R( A) 1.
n
1 1 a2 1 a2 an an
n
1 a2 an 1 an 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 i 1 ai
n
ri ai r1 i 2,3, ,n
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第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811411
02---
解 3
811411
02---
2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644
(2)b a c a c b c
b a
解 b
a c a c
b c
b a
acbbaccbabbbaaaccc 3abca 3b 3?c 3
(3)2221
11c b a c b a
解 2
221
11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2?ac 2ba 2cb 2 (ab )(bc )(ca )
(4)y x y x x y x y y
x y x +++
解 y x y x x y x y y
x y x +++
x (xy )yyx (xy )(xy )yxy 3(xy )3x 3 3xy (xy )y 33x 2 yx 3y 3x 3 2(x 3y 3)
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2
3 4
解逆序数为0
(2)4 1 3 2
解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3
解逆序数为3 2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)
解逆序数为
2)1
(
n
n
3 2 (1个)
5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解逆序数为n(n1)
3 2(1个)
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
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第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3
81141102---; 解3
81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2)b
a c a c
b
c b a ; 解b
a c a c
b
c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc
=3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
22111c b a c b a ; 解2
22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y
x y x x y x y y x y x +++. 解 y
x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3
=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3
=-2(x 3+y 3).
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);
解逆序数为
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第一章 行列式 1
利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)3811
411
02---
解 3
811411
02---
2
(
4)
3
(
1)
(
1)118
0132(1)81(4)(1)
248
16
4
4
(2)b a c a
c b c
b a 解 b
a c a c
b c
b a
acb bac cba bbb aaa ccc
3abc a 3b 3c 3
(3)2
221
11c b a c
b a
解 2
221
11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2
(a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x
y x y y
x y x +++
解 y x y x x y x y y
x y x +++
x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3
x3
3xy(x y)y33x2y x3y3x3
2(x3y3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4
解逆序数为0
(2)4 1 3 2
解逆序数为4 41 43 42 32
(3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3
解逆序数为3 2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)
解逆序数为
2)1
(
n
n
3 2 (1个)
5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6
(2n1)(2n2) (n1个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2)
2
解逆序数为n(n1)
3 2(1个)
5 2 5 4 (2个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6
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2020/11/20
第一章
2020/11/20
2020/11/20
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1 3 3
（4）
AXB
C,
其中A
2 5
1 4
,
B
11
4 3
3 4
,
C
1 1
0 2
01.
7 3 3
A1
1 3
4 5
1
2
,
B1
1 1
1 0
0 1
7 3 3
X
A1CB 1
1 4
3
5
11 0
2
1
2
1
0
1 1
1 0
0
1
1 3
23 22
17 5
19
14
2020/11/20
r2 2r3
1
x3 x3
1
x2 2x 2x 3 x 1
x 3 x2 2x
x 3 2x 3
( x 3)( x2 3) 0
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)3811411
02---;
解 3811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c
b a ;
解 b a c a c b c
b
a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc
=3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
1
1c b a c b a ;
解 2221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y
x y x x y x y y x y x +++.
解 y
x y x x y x y y x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3
=3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3
=-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解 逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
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第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)3811
41102解
3
811411022(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 248164
4
(2)b a c a
c b c b a 解
b
a c a c
b
c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3
b 3
c 3
(3)2
22111c b a c
b a 解
2
22111c b a c b a bc 2
ca 2
ab 2
ac 2
ba 2
cb 2
(a b)(b c)(c a)
(4)y x y x x
y x y
y
x y
x 解
y
x y x x y x y
y
x y
x x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3
(x y)3
x 3
3xy(x y)y 3
3x 2
y x 3
y 3
x 32(x
3
y 3
)
2按自然数从小到大为标准次序
求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4解
逆序数为0
(2)4 1 3 2解
逆序数为4
41 43 42 32
(3)3 4 2 1解
逆序数为5
3 2 3 1
4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3解
逆序数为3
2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n 1) 2 4
(2n)
解
逆序数为
2)
1(n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解逆序数为n(n1)
3 2(1个)
5 2 5 4 (2个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
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同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)
都是 0 解
a 0 0 0 1
0 a 0 0 0
Dn
0 ห้องสมุดไป่ตู้
0
a
0
0
(按第
n
行展开)
0 0 0 a 0
1 0 0 0 a
0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 (1)n1 0 a 0 0 0
a (1)2n a
x a a
(2) Dn
a
x
a
;
a a x
解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得
x a a a
ax xa 0 0
Dn
ax
0
xa
0
ax 0 0 0 xa
再将各列都加到第一列上 得
x(n1)a a a a
假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2 an2xan1
则 Dn 按第一列展开 有
1 0 0 0
Dn
xDn1
an(1)n1
x
1
0
0
1 1 x 1
xD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立
6 设 n 阶行列式 Ddet(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋 转 90、或依副对角线翻转 依次得
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2
221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.
(2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);
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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
同济大学工程数学线性代数第六版答案（全）.
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)3811
41102解
3
811411022(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 248164
4
(2)b a c a
c b c b a 解
b
a c a c
b
c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3
b 3
c 3
(3)2
22111c b a c
b a 解
2
22111c b a c b a bc 2
ca 2
ab 2
ac 2
ba 2
cb 2
(a b)(b c)(c a)
(4)y x y x x
y x y
y
x y
x 解
y
x y x x y x y
y
x y
x x(x y)y yx(x y)(x y)yx y 3
(x y)3
x 3
3xy(x y)y 3
3x 2
y x 3
y 3
x 32(x
3
y 3
)
2按自然数从小到大为标准次序
求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4解
逆序数为0
(2)4 1 3 2解
逆序数为4
41 43 42 32
(3)3 4 2 1解
逆序数为5
3 2 3 1
4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3解
逆序数为3
2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n 1) 2 4
(2n)
解
逆序数为
2)
1(n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解逆序数为n(n1)
3 2(1个)
5 2 5 4 (2个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
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10.
12.
13.
14.
1 3 3
（4）
AXB
C,其中A
2 5
1 4, B
11
4 3
34,
C
1 1
0 2
01.
7 3 3
A11345
21,
B1
1 1
1 0
0 1
7 3 3
XA1CB1 1345
11 21
0 2
0111
1 0
0
1
132232
17 5
19 14
15.
17.
6.
需 要 补 正 120.
9.
10.
11. 设 向 量 组 a1,a2,a3线 性 无 关 ， 判 断 向 量 组
b 1,b2,b 3 的 线 性 相 关 性 。
(2 )b 1a 12 a 23 a 3,b 22 a 12 a 24 a 3, b 3= 3 a 1a 2a 3;
1 2 3
(b1, b2 , b3 )
5.解方程： （2） 1 1 1 1
xabc x2 a2 b2 c2 x3 a3 b3 c3
(a x )(b x )(c x )(b a )(c a )(c b ) 0
6 证明:
(1) a 2 ab b 2 2a a b 2b 111
(a-b)3;
7
8
7
（5） 1 a1 a1
27.
28.
29.
31.
32.
37.
38.
1
x
P
1
1
3
第五章
2.
3.
4.
6.
9. 10.
12.
13.
15.
19.
21.
22.
23.
25.
26.
f x
y
1
z2
1
2 2 2
112xzy
28.
32.
33.
第六章
1
a n
i 1 i
00 0 1
6
7
第二章
1.
2
3
4
5
6. （1）
（2）
7.（1）设
A
3
1
1
3
，求
A50和A51.
A2
3 1
1 3 3 1
1 3
10
0
0 10
A50
(A2 )25
1025
0
0
1025
A51
A50
A
1025
0
0 3
1025
1
1 3
31025 1025
a1
a2 1 a2
a2
an
an an 1 an
r1r2
1
a n
i1 i
rn
a2
1
a n
i1 i
1a2
1
a n
i1 i
a2
an
an
an 1an
11
1
(1
n i 1
a
i
)
a2
1 a2
a2
ri ai r1 i 2,3,
an an an 1 an
11
1
(1
,n
a n
i 1 i
)
0
1
0
1025
31025
2 1
（2）设 a= 1 , b=2, AabT,求A100.
3 4
2
bTa 1
2
4
1
8
3
A100 abT abT abT a(bT a)(bT a)
2
(
8)
99
1
1
2
4
3
2 4 8
(
8)
99
1
2
4
3 6 12
(bT a)bT
8.（1）
（2）
9.
第一章
(4) 1 1 1
abc bc ca ab
1
1
1
r3 r2 a
b
c
abc cab abc
0
5
(6) 1 2 3 4
13 4 1
141 2
11 2 3
12 3 4
r 2 r1 0
1
1 3
r3 r1 0
2
2 2
r4 r1 0 1 1 1
12 3 4
(a
1
,
a
2
,
a
3
)
2
2
1
3 4 1
1 2 3
由
于
R(
2
2
1
)
3,
3 4 1
故 R ( b1 , b 2 , b 3 ) = R ( a 1 , a 2 , a 3 )，
故 b1, b2 , b3线 性 无 关 。
12.
19.
21.
22.
23.
25.
26.
问 取何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）
有无限多个解，并在有无限多个解时求其通解。
17.
18.
19.
20.
21.
第四章
1.
2.
3.
4.
5.(1)由 于 R(aaT)min{R(a),R(aT)}1, 同 理 R(bbT)1, 故 R(A)R(aaTbbT)R(aaT)R(bbT)2. (2 )若 a ,b 线 性 相 关 ,则 a k b (k 0 ),从 而 A (k 2 1 )b b T , 故 R (A ) 1 .
0 1 1 3
r4 r2 0 0 4
4
r3 2 r2 0 0
0
4
16
5.解方程： （1） x 1 2 1
2 x 1 1 1 1 x 1
0 x 3 x2 2x
r1 ( x 1) r3 0 x 3 2 x 3
r2 2 r3
1 1
x 1
x 3 x2 2x
x 3 2x 3 ( x 3)( x 2 3) 0
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
0
0
1
5
(2) 2 1 0
4
3
0
Байду номын сангаас
第三章
4.
6.
(3)
10.
11.
12.
13.
14.
16. 设有线性方程组
1 1 2 x1 1
0 2
1
x2
3,
0 0 21x3 5