第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性 (优秀经典公开课比赛课件)

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1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 偶函数 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 关于 y轴对称
f(x)是偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数
关于 原点
对称
f(x)是奇函数
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第二章 函数、导数及其应用
第三节 函数的奇偶性与周期性
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结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．
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义域为R，f(－x)＝ln －x2＋1 ＝ln x2＋1 ＝f(x)，∴函数为
偶函数，故选D. 答案：D
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2．(2018·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0， ＋∞)上单调递增的是( B )
A．y＝1x
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[小题诊断]
1．(2018·肇庆质检)下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sin x
B．y＝ln( x2＋1－x)
C．y＝ex
D．y＝ln x2＋1
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B．y＝|x|－1
C．y＝lg x
D．y＝12|x|
解析：A中函数y＝ 1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故
A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，
故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
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2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y ＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那 么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
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2．有关对称性的结论 (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称； 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
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(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x) 必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为 周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x) 必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
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5．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝ x ＋1，则当x ＜0时，f(x)＝_－___－__x_－__1__.
解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝ x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)， 即x＜0时，f(x)＝－( －x＋1)＝－ －x－1.
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[必记结论] 定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝ f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|. 若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝f1x，f(x＋a)＝－ f1x(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期． 对称性与周期的关系：
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3．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，
则f(－2)＝( A )
A．－3
B．－54
5 C.4
D．3
解析：因为20＋m ＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
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[必记结论] 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么 一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x ∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在 两个对称的区间上具有相反的单调性．
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解析：A选项定义域为R，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数；B选项定义域为R，f(－x)＝ln[ －x2＋1 －
(－x)]＝ln( x2＋1＋x)≠f(x)，∴函数不是偶函数；C选项定义
域为R，f(－x)＝e－x＝
1 ex
≠f(x)，∴函数不是偶函数；D选项定
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4．函数f(x)＝x＋1x＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为( B )
A．－3
B．－1
C．1
D．2
解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋1a＋1＋(－a)＋－1a＋1＝2. ∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
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