2018年秋高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 数学归纳法
学习目标：1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *
)时命题成立
归纳递推k k ≥*
时命题成立，
＝k ＋时命题也成立
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?
[提示]不一定．如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°，第一个值n 0＝3. 2．数学归纳法的框图表示
[基础自测]
1．思考辨析
(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．下面四个判断中，正确的是( )
A ．式子1＋k ＋k 2
＋…＋k n (n ∈N *
)中，当n ＝1时，式子的值为1 B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k
n －1
(n ∈N *
)中，当n ＝1时，式子的值为1＋k
C ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13
D ．设f (n )＝
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *
)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4
C [A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ； B 中，n ＝1时，式子＝1； C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋1
3
；
D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1
k ＋1
.故正确的是C.]
3．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n ＝________成立.
【导学号：31062162】
[答案] 2 4．已知S n ＝
11·3＋13·5＋1
5·7
＋…＋1
n －n ＋
，则S 1＝________，S 2＝
________，S 3＝________，S 4＝________，猜想S n ＝________.
[解析] 分别将1,2,3,4代入得S 1＝13， S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，观察猜想得S n ＝n
2n ＋1.
[答案] 13 25 37 49 n
2n ＋1
[合 作 探 究·攻 重 难]
n －
1)(n ∈N *
)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________.
【导学号：31062163】
(2)用数学归纳法证明： 12
1×3＋22
3×5
＋…＋n 2
n －
n ＋
＝
n n ＋
n ＋
(n ∈N *
)．
[解析] (1)令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则
f (k )＝(k ＋1) (k ＋2)…(k ＋k )，
f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f k ＋f k
＝
k ＋
k ＋
k ＋1
＝2(2k ＋1)．
[答案] 2(2k ＋1)
(2)证明： ①当n ＝1时，12
1×3＝1×2
2×3成立．
②假设当n ＝k (n ∈N *
)时等式成立，即有 12
1×3＋22
3×5
＋…＋k 2
k －
k ＋
＝
k k ＋
k ＋
，
则当n ＝k ＋1时，121×3＋2
2
3×5
＋…＋
k 2
k －
k ＋
＋
k ＋2
k ＋
k ＋
＝
k k ＋
k ＋
＋
k ＋2
k ＋k ＋
＝
k ＋
k ＋k ＋
，
即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由①②可得对于任意的n ∈N *
等式都成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；
弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋
1证明目标的表达式变形.
[跟踪训练]
1．求证：1－12 ＋13 －14 ＋… ＋12n －1 －12n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋… ＋12n (n ∈N *
)．
[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2，
右边＝1
2
，所以等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N *
)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．
那么当n ＝k ＋1时，
1－12＋13－14＋…＋12k －1－1
2k ＋
1k ＋
－1
－
1k ＋
＝
1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)
＋1
2k ＋1
－1k ＋
＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1k ＋1－
1k ＋
＝
1k ＋
＋1＋1
k ＋
＋2＋…＋1
k ＋
＋k
＋
1k ＋
，
所以n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对于任何n ∈N *
，等式都成立.
已知数列1×4，4×7，7×10
，…，
n －n ＋
，…，计算S 1，S 2，S 3，
S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明.