清华组合数学()习题答案

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组合数学第五版答案

组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。

组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。

它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。

本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。

通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。

目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。

2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。

3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。

第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。

2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。

第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。

2.习题2：解决图的着色问题。

第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。

2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。

第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。

2.习题2：应用递推关系解决实际问题。

第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。

2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。

结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。

组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。

注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。

(完整word版)组合数学课后答案

习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。

现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。

（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。

《组合数学》练习题一参考答案

《组合数学》练习题一参考答案《组合数学》练习题一参考答案一、填空：1.!()!m n P n m m n m =- 2.2)1(-n n 3. 0. 4. 2675.),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n .6.4207.78.()()!!11...!31!21!111n n n ??-++-+-9.22 10.267二、选择：1. 1—10 A B D D A D A B B C三、计算： 1. 解因为]250[=25, ]450[=12, ]850[=6, ]1650[=3, ]3250[=1, ]6450[=0, 所以, 所求的最高次幂是2(50!)=25+12+6+3+1=47.2. 解由我们最初观察的式子,有614,1124,634,144=??===, 再利用定理1,我们得到24!415,102)15(545,155==??=-?==, 3511642434435=+?=???+=, 5061141424425=+?=??+=. 所以,x x x x x x f 24503510)(23455+-+-=.3. 解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32?，52?，53?整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+?-++=+-???????+???????+???????=+---++==C B A C B C A B A C B A CB A N 4. 解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。

组合数学(第四版)课后习题答案

第2章鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。

能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数若正好有i a =k ,则命题得证。

若不然,如下：∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有 771≤≤i ，且13217721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有kk a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：ka k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。

综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。

□当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。

ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵2222>+i a ，771≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，771≤≤i则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。

ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。

组合数学课后答案 PDF 版

4.1 证明所有的循环群是 ABEL 群证明：
循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意a, b G, G是循环群，有a * b b * a成立，因为循环群中的元素可写成a=xm 形式所以等式左边xm × x n x m n , 等式右边x n xm＝x m n， a b b a，即所有的循环群都是ABEL群。
因为 H 是 G 的子群，所以在 H 中的一个 (b m ) r 一定在 G 中对应一个 a m 使得
(b m ) r a m ，
所以有 b rm a m ，则 rm 一定是 m 的倍数，所以则 H 的阶必除尽 G 的阶。 4．9 G 是有限群，x 是 G 的元素，则 x 的阶必除尽 G 的阶。
N-1 N-2
N
1
2 3
……
……
图N! C N!
如图： N 个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共 N!个。
……
…
6
…………………………
… …
……
… …
…
…
旋转 360/i，i={n,n-1,n-2,……1}；得到 n 种置换当且仅当 i=1 的置换（即顺时针旋转 360/1 度：P1=(c1)(c2)……(cn!);）时有 1 阶循环存在（因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对位置都发生了变化，所以不可能有 1 阶循环存在）。不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据 Burnside 引理，
4.18 若以给两个 r 色球，量个 b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少种不同的方案。解：单位元素（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），格式为（1）8. 绕中轴旋转 90。的置换非别为（1234）（5678），（4321）（8765） 2 格式为（4），同格式的共轭类有 6 个。

组合数学课后习题答案

第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。

故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。

组合数学第二章课后习题答案

2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。

解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。

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3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

清华组合数学(第二)第四章习题答案

•1.证：设G={a 1,a 2,…,a n },指定G 中任一元a i , 任意a j ∈G ，P i ：a j →a j a i ，则P i 是G 上的一个置换，即以G 为目标集。

　P i =( )，G 的右正则表示f ：a i →( )=Pi 。

f 是单射：a i ≠a j ，则P i ≠P j f(a i a j ) = ( ) =( )( )=f(a i )f(a j ) 证毕。

a 1 a 2 …a na 1a i a 2a i …a n a i a iaa ia 1 a 2 …a na 1(a i a j) a 2(a i a j) …a n(a i a j)a 1 a 2 …a n a 1a i a 2a i …a n a i a 1 a 2 …a n(a 1a i)a j (a 2a i )a j …(a n a i )a j•2.证：设|G|=g,则a,a ,a ,…,a ,a 中必有相同元。

a = a , 1≤k ＜l ≤g+1 a =e. 1≤l-k ≤g 对于给定的a ，存在最小的正整数r,a =e .于是H={a ,a ,…,a (=e)}是G 的子群，若H ≠G,则存在a 1不属于H, 显然，H ∩H a1=φ,|H+H a1|=2r若H+H a1=G,则2r=g,r|g否则存在a 2不属于H+H a1,H a2∩(H+H a1)=φ于是H+H a1+H a2+…+H ak =G,　r(k+1)=g,r|g.证毕。

2 3 g g+1k ll-kr 2 r..... . . .•3.证：(a)封闭性：f 1·f i =f 1(f i (x))=f i (x);f 2·f 3=f 2(f 3(x))=f 2(1-x)=1/(1-x)=f 4(x); 同理一一列举可得任意f i 都属于G; (b)结合律成立：运算相当于把前面的计算结果带入到后面的函数中，对于该数学运算，运算的先后顺序与结果无关。

组合数学第一章课后习题答案

1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题（王星）解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为： 8！×5！，（b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！（c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。

《组合数学》(第二版)-课后习题答案完全版

（种）
20．凸十边形的任意三个对角线不共点，试求这凸十边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？
解：（1）从一个顶点可引出7条对角线，这7条对角线和其他顶点引出的对角线的交点情况如下：从右到左，和第一条对角线的交点有：个，和第二条的交点有，和第三条的交点有条，…，故和一个顶点引出的7条线相交的点为：
4位数有个；5位数有个；6位数有个；
（2）0出现在十位，此时符合条件的3位数有个；4位数有个；5位数有个；6位数有个；
（3）0出现在百位，此时符合条件的4位数有个；5位数有个；6位数有个；
（4）0出现在千位，此时符合条件的5位数有个；6位数有个；
（5）0出现在万位，此时符合条件的6位数有个；
依次类推，无效0的总数为
因为全为0时的6个0和1 000 000本身的6个0相互抵消，
所以1到1 000 000之间的自然数中0出现的次数为
（次）
注意：1出现的次数为（要考虑1 000 000这个数的首位1），
2，3，…，9各自出现的次数为。
16．n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？
解：12个人围圆周就坐的方式有：种，
设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为1人，则这样的就坐方式有：种；由于甲乙相邻而坐，可能是“甲乙”也可能是“乙甲”；所以
则满足条件的就坐方式有：种。
6．有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？
（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。

清华集训2016组合数问题[NOIP2016组合数加强版]

清华集训2016组合数问题[NOIP2016组合数加强版]#275. 【清华集训2016】组合数问题组合数C m n表⽰的是从n个物品中选出m个物品的⽅案数。

举个例⼦，从 (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择⽅法。

根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数C m n的⼀般公式：C m n=n!m!(n−m)!其中n!=1×2×⋯×n。

（额外的，当n=0 时，n!=1）⼩葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j) 满⾜C j i是k的倍数。

答案对 109+7 取模。

输⼊格式第⼀⾏有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据。

接下来t⾏每⾏两个整数n,m。

输出格式t⾏，每⾏⼀个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j) 满⾜C j i是k的倍数。

样例⼀input1 23 3output1explanation在所有可能的情况中，只有C12=2 是 2 的倍数。

样例⼆input2 54 56 7output7样例三input3 2323333333 23333333233333333 2333333332333333333 2333333333output851883128959557926680723120限制与约定对于 20% 的测试点，1≤n,m≤100；对于另外 15% 的测试点，n≤m；对于另外 15% 的测试点，k=2；对于另外 15% 的测试点，m≤10；对于 100% 的测试点， 1≤n,m≤1018,1≤t,k≤100，且k是⼀个质数。

时间限制：1s空间限制：512MB下载数据范围很⼤，并且涉及的是求值，没法⽤矩阵乘法考虑。

考虑⽤数位DP来解决。

发现k的限制是，k是⼀个质数，那么在⼤组合数模⼩质数的情况下可以考虑使⽤卢卡斯定理。

组合数学第三章答案

3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。

解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

[UOJ#275]【清华集训2016】组合数问题

[UOJ#275]【清华集训2016】组合数问题[UOJ#275]【清华集训2016】组合数问题试题描述组合数C m n表⽰的是从n个物品中选出m个物品的⽅案数。

举个例⼦，从 (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择⽅法。

根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数C m n的⼀般公式：C m n=n!m!(n−m)!其中n!=1×2×⋯×n。

（额外的，当n=0 时，n!=1）⼩葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j) 满⾜C j i是k的倍数。

答案对 109+7 取模。

输⼊第⼀⾏有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据。

接下来t⾏每⾏两个整数n,m。

输出t⾏，每⾏⼀个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j) 满⾜C j i是k的倍数。

输⼊⽰例11 23 3输出⽰例11输⼊⽰例22 54 56 7输出⽰例27输⼊⽰例33 2323333333 23333333233333333 2333333332333333333 2333333333输出⽰例3851883128959557926680723120数据规模及约定对于 20% 的测试点，1≤n,m≤100；对于另外 15% 的测试点，n≤m；对于另外 15% 的测试点，k=2；对于另外 15% 的测试点，m≤10；对于 100% 的测试点， 1≤n,m≤1018,1≤t,k≤100，且k是⼀个质数。

题解千万不要忘了k是⼀个质数这题⽤ Lucas 定理，即C m n mod p=C m mod pn mod p⋅C⌊m p⌋⌊np⌋mod p，那么就不难想到把n和m变成k进制数然后数位 dp 了。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cctype>#include <algorithm>using namespace std;#define LL long long#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)#define dwn(i, s, t) for(int i = (t); i >= (s); i--)LL read() {LL x = 0, f = 1; char c = getchar();while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return x * f;}#define maxn 61#define maxk 102#define MOD 1000000007int T, K, C[maxk][maxk];struct Num {LL val;int num[maxn], cntn;Num() {}Num(LL _): val(_) {memset(num, 0, sizeof(num));cntn = 0;LL x = val;while(x) num[cntn++] = x % K, x /= K;// for(int i = 0; i < (cntn >> 1); i++) swap(num[i], num[cntn-i-1]);}} N, M;int f[maxn][2][2][2][2];void add(int& a, int b) {a += b;if(a >= MOD) a -= MOD;return ;}void dp() {/* _a: whether a equals N.val right now* _b: whether b equals M.val right now* _lab: whether a equals b before* _zero: whether the result(mod K) is already zero*/rep(n, 0, tn - 1)rep(_a, 0, 1) rep(_b, 0, 1) rep(_ab, 0, 1) rep(_zero, 0, 1)rep(a, 0, _a ? N.num[n] : K - 1) rep(b, 0, min(_b ? M.num[n] : K - 1, _ab ? a : K - 1))if(!n) add(f[n][_a][_b][_ab][_zero], _zero | !C[a][b]);else add(f[n][_a][_b][_ab][_zero], f[n-1][_a&a==N.num[n]][_b&b==M.num[n]][_ab&a==b][_zero|!C[a][b]]); return ;}int main() {T = read(); K = read();for(int i = 0; i < K; i++) {C[i][0] = C[i][i] = 1;for(int j = 1; j < i; j++) {C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];if(C[i][j] >= K) C[i][j] -= K;}}while(T--) {N = Num(read());M = Num(min(read(), N.val));memset(f, 0, sizeof(f));dp();printf("%d\n", f[tn-1][1][1][1][0]);}return 0;}Processing math: 100%。

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•1.证：对n 用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。

假设对小于n 的非负整数，命题成立。

对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立，设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。

i=1ki=1k再证表示的唯一性：设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!,不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1!=b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i!另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾.i=1ki=1k i=1j-1i=1j-1i=1j-1i=1j-1i ≥j i ≥j•2.证：组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。

显然两种方案数相同。

nC(n-1,r) = n ————= ———————(n-1)! (r+1)·n!r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)!= ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n!(r+1)!·(n-r-1)!•3.证：设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。

有两种方法放球：①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。

②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒，要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。

k=1nn-1•4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。

此时方案数为C(n,m)。

从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。

总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. •5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。

所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。

m=2nn-1•6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉，000000到999999中最左1位的0出现了10 次，000000到099999中左数第2位的0出现了10 次，000000到009999左数第3位的0出现了10 次,000000到000999左数第4位的0出现了10 次,000000到000099左数第5位的0出现了10 次,000000到000009左数第6位的0出现了10 次。

另外1000000的6个0应该被加上。

所以0共出现了6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。

55543215543210•7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下，根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个.•8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。

根据C(n,r)=C(n,n-r),可得C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。

证毕。

22•9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。

•10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。

•11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。

•11.(续前页)根据图论知识，每个对角线交点有4个度，每个顶点去掉与相邻两个顶点的连线还有7个度，可以得到210 ·4 + 10 ·72•12.证：根据第9题的结论，n= p 1p 2…p l , 能被(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个数整除，而n = p 1 p 2…p l ,能被(2a 1+1)·(2a 2+1)·…·(2a l +1)个数整除，2a i +1为奇数(0≤i ≤l) ，所以乘积为奇数。

证毕。

———————= 455条边a 1 a 2a l22a 12a 22a l •13.解：(a) 每个质点放入盒子都有n 种选择，r 个质点共有r 种不同的图案。

(b) 可重组合，共有C(n+r-1,r)种图案。

•14.解：其中有2个母音可构成C(21,4)C(5,2)6!个字。

其中有2个母音可构成C(21,3)C(5,3)6!个字。

n•17.(续前页)数学证明：左边=∑C(m,k)C(m-k,n-k)=∑———·—————=∑——·—————=∑———·C(m,n)=2 C(m,n)=右边证毕。

k=0nm! (m-k)!k!·(m-k)! (n-k)!·(m-n)!k=0n k=0nm! n! k!·n! (n-k)!·(m-n)!n!k!·(n-k)!k=0nn•18.解：圆排列:共有P(n,r)/r 种不同的方案。

•19.(略) 18题•20.(略)•21.证：取C(n,k)和C(n,k-1)进行比较。

C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k 。

当k>n/2时,(n-k+1)/k<1,即C(n,k)<C(n,k-1)当k<n/2时,(n-k+1)/k>1,即C(n,k)>C(n,k-1)得到当k 为最接近n/2的数时，C(n,k)取到最大值。

•22.证：(a)设有2n 个不同球放入n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。

对2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。

而把2个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了2 次。

得到2n 个不同球放入n 个不同的盒子里，每盒两个的方案数(2n)!/2 若有3n 个不同的球,放入n 个不同盒子,故同理得(3n)!/(3!) 是整数。

nnn•22.(接上页)(b)有n 个不同的球，放入n 个相同的盒子里，每盒n 个，求方案数，方案数应该是一个整数。

按前面(a)的方法，应该得到(n )!/(n!) 是整数。

另外由于n 个盒子相同，放入不同的盒子是没有区别的，应该把n 个盒子的排列数n!除去。

因此得到(n )!/(n!) 是整数。

2n 2n+1•23.解：(a) 相当于从n 个不同的小球中分别取出m 个小球(0≤m ≤n)，再从n 个相同的小球中取出n-m 个小球。

共有方案：C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2 种。

(b)相当于从2n+1个不同的小球中分别取出m 个小球(0≤m ≤n)，再从n 个相同的小球中取出n-m 个小球。

共有方案：C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,n)种。

n•24.证：(a)归纳法：当n=1时,0出现偶数次的字符串有(3 +1)/2 =2个(即1,2),成立。

假设当n=k 时,0出现偶数次的字符串有(3 +1)/2 种。

总的字符串有3 种。

0出现奇数次的字符串有(3 -1)/2 种。

当n=k+1时，0出现偶数次的字符串包括两部分：n=k 时,0出现偶数次再增加一位不是0的，共有2(3 +1)/2种，0出现奇数次再增加一位0,共有(3 –1)/2种。

所以共有2(3 +1)/2+(3 –1)/2=(3 +1)/2种，证毕。

(b) 等式左边第m 项是0出现m 次的字符串数，总和就是0出现偶数次的字符串数，右边由(a)得是0出现偶数次的字符串数，两边显然相等。

1kk kkkk k k+1•25.解：当使用第1台机器的学生为n 个时，使用第2台机器的学生也为n,从m 个学生中选出2n 个使用这两台机器，剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为C(m,2n)C(2n,n)(m-2n)。

所以总的方案数为∑C(m,2n)C(2n,n)(m-2n) •26.解：转化为格路问题(弱领先条件),即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走,可以碰到对角线,故方案数为C(2n,n)-C(2n,n-1).3n=0q3•27解：设从1~ n 中选取互不相邻的k 个数的方案数为g(n,k),若选n ，则方案数为g(n-2,k-1),若不选n 则方案数为g(n-1,k)。

显然，g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k).且只有当n ≥2k-1时，g(n,k)>0,否则g(n,k)=0.可给定初始值g(2k-1,k)=1,g(2k-2,k)=0。

•28解：(a)先将5个0排成一列：00000，1若插在两个0中间，“010”，则出现2个“01”或“10”;若插在两端，则出现1个“01”或“10”;要使出现“01”,“10”总次数为4，有两种办法：•28.(续上页)(1)把两个1插入0得空当内，剩下的1插入1的前面。

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