青海省海西蒙古族藏族自治州数学高考一轮复习第三十九讲基本不等式

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高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理

(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为
15 ___1_5____m，宽为___2_____m 时菜园面积最大．
解析设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时取等号．
a＋2a＋b＋1－2＋b＋1 1＝2a＋b＋1 1＝2a＋b＋1 1·a2＋b＋2 1＝32
＋b＋a 1＋2ba＋1≥32＋2 b＋a 1·2ba＋1＝3＋22 2，当且仅
当b＋a 1＝2ba＋1，即 a＝4－2 2，b＝2 2－3 时取等号，
所以a2＋a 2＋b＋b21的最小值为3＋22 2，故选 D.
2，b＝
2 2
时取等号．
∴a2＋ba1－b的最小值是 4.
第十七页，共61页。
角度 2 变号应用典例求 f(x)＝lg x＋lg1x的值域．
注意分类讨论．解 f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．当 0＜x＜1 时，lg x＜0， ∴－f(x)＝－lg x＋－1lg x≥2 当且仅当x＝110时等号成立，即 f(x)≤－2.
ab
第八页，共61页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的．( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 f(x)＝sinx＋si4nx的最小值为 2.( × ) (4)x＞0 且 y＞0 是xy＋yx≥2 的充要条件．( × )

高考一轮复习之基本不等式

要点梳理

1.基本不等式

ab b a ≥+2

（a>0,b>0）, 当且仅当a=b 时取等号.

a 2+

b 2≥ 2ab (a,b ∈R).

2.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_x=y_时，x+y

有最小值是p 2.（简记：积定和最小）

(2)如果和x+y 是定值p,那么当且仅当_x=y_时,xy 有最

__大__值是4

2p .（简记：和定积最大）题型一利用基本不等式求最值

【例1】求下列各题的最值.

（1）x>0,求 x x

x f 312)(+=

的最小值； 2

1,2)2(-+

>x x x 求时当的最小值； )38(,3

803x x x -<<求时）当（的最大值；

（4）已知a>0,b>0，

,131=+b

a 则a+2

b 的最小值为

12,2)5(2-+->x x x x 求的最小值；

（6）x<3，求x x x f +-=

34)( 的最大值；

（7）x ∈R ，求y=45

22++x x 的最小值.

思想方法感悟提高

1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.

2．使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在

前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不

等式求最值，这三个条件缺一不可.

基本不等式课时作业

1.下列结论中不正确的是（） A. 21,0≥+>a a a 时 B. 2≥+b

a a

b C.a 2+b 2

≥2ab D. 2)(2

高考一轮复习基本不等式

本不等式条件，则需要创造条件对式子
(2)当 x>2 时，x－2>0， f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2
进行恒等变形，如构造“1”的代换等．
≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，(式3)，若但可等用号基不本成不立等，
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，则一般是利用函数
结果
AD B C 1
答案显示
考向一利用基本不等式求最值
【审题视点】
【例 1】►(1)已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最
(1) 直接利用基本不等式求解；
大值为________．
(2) 先变形再利用
(2)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，
(2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝___b___时取等号．
(3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的_算__术__平__均__数__, ab称为正数 a,b 的_几 ___何__平__均__数_.
2．基本不等式的变形
(1)重要不等式：a2＋b2≥___2_a_b__ (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．
利用基本不等式证明不等式是综合法
bac＋acb≥2 bac·acb＝2b；

高考数学一轮总复习：基本不等式

★状元笔记★ 常数代换法的技巧 (1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值． (2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 x·2y. 当且仅当x＝2y，即xy＝＝21，，时“＝”成立． ∴2 x·2y≤4，∴xy≤2.
②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4xy)≥14(4＋2 xy·4xy)＝2. 当且仅当xy＝4xy，即4x＋y2＝2yx＝2，4，xy＝＝21，，时取等号．【答案】 ①2 ②2
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
设g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12>0.

高考数学一轮复习第七章不等式 7.4 基本不等式及其

解析答案
(2)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为_2___3_＋__2_.
x2＋2 x2－2x＋1＋2x－2＋3
解析 y＝ x－1 ＝
x－1
x－12＋2x－1＋3
＝
x－1
＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2.
当且仅当(x－1)＝x－3 1，即 x＝ 3＋1 时，等号成立.
当且仅当 x－y＝2，即 x＝1＋ 3，y＝ 3－1 时取等号，所以 x－y 的
最小值为 4.
12345
解析答案
3.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝___3_____.
解析当x>2时，x－2>0， f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.
2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R). (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号).
答案
a＋b2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R).
a2＋b2 (4) 2 ≥
a＋b2 2
(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
答案
3.算术平均数与几何平均数
12345
解析答案

高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章第3讲基本不等式

第3讲基本不等式

一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤

a ＋b

(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)其中a ＋b

称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数．

[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错．

2．利用基本不等式求最值已知x ≥0,y ≥0,则

(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 2

4．(简记:和定积最大)

[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致．

常用结论

几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 22

(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a

b ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号．二、教材衍化

1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81

D ．82

解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22

＝⎝⎛⎭⎫

1822

＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________．

高三数学一轮复习课件《基本不等式》

巩知固识型再题现组
变式 1.若 a 0,b 0 ， 2a b ab ，则 a 2b 的最小值为； ab a 的最小值为 .
解：：a由b 2abb2aabb得b， 21(a2b)11. 1 3 b 2a a b 2a b a b
所以 a 2b3(a2 2b.) 1 2 5 2b 2a
还有没有其他想法？
所以 a b ab c .
（令（方f方(法x法)四三）x）所2 又以aacb, b是x关ac 2于c1bx，的2 ，又方所0程以xa2c,cbc1c11.14xcccc112.0 的两根.
解得
c
的范围是c 11, 0,
4 3
c 1
.
所以
0
c 2(c 1)
1,
解得
c
高三一轮复习
真题再现
1.（2017·全国卷Ⅰ·理 10）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，
过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，
直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14 C．12 D．10
解：设直线 l1
2
a
1,
b
2
时，
ab
取得最大值
2
.
解得 2a b 4 或 2a b 8 （舍去）.

高考数学一轮复习考点知识专题讲解47---基本不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解

基本不等式考点要求

1.掌握基本不等式及常见变型.

2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理

1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．

(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．

(3)ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .

3．利用基本不等式求最值

(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .

(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫

a ＋

b 22

与ab ≤a ＋b

2等号成立的条件是相同的．(×)

(2)y ＝x ＋1

x 的最小值是2.(×)

(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)

(4)函数y ＝sin x ＋4

sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习

(2)因为x>1，所以x－1>0，则y＝
＝
＝
−1
−1
−1
3
＝(x－1)＋＋2≥2
−1
3＋2.
3
，即x＝
−1
当且仅当x－1＝
3＋1时，取等号．]
第4课时
基本不等式
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
考向2 常数代换法
[典例2]
1
4
1

9
已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则 + 的最小值为________；
2
2
+
≤
≤
2
2 +2
(a>0，b>0)．
2
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
第4课时
基本不等式
链接教材
夯基固本
wk.baidu.com
典例精研
核心考点
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
1
2
课时分层作业
)
5
2
2
(2)当＜x＜时，函数y＝ 2 − 1 + 5 − 2的最大值为________．

高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案

§7.3 基本不等式及其应用

1.基本不等式ab ≤

a ＋b

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R ).

(4)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

.(简记：和定积最大)

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1

x 的最小值是2.( × )

(2)ab ≤(a ＋b 2

成立的条件是ab >0.( × )

(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π

2)的最小值等于4.( × )

(4)x >0且y >0是x y ＋y

x ≥2的充要条件.( × )

(5)若a >0，则a 3＋1

a 2的最小值为2a .( × )

2023版高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5基本不等式课件

(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0).
即有：正数 a，b 的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)a＋3b＋c≥ 3 abc. (2)a3＋b33＋c3≥abc. 以上两个不等式中 a，b，c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立. 6. 二维形式柯西不等式：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立.
(1)(2021 届长沙雅礼中学高一月考)已知 x>2，则函数 f(x)＝x＋2x－1 4的最小
值为
()
A. 2＋ 2
B. 2＋2 2
C. 2
D. 2 2
解：当 x>2 时，f(x)＝x＋2x－1 4＝x－2＋2（x－1 2）＋2≥2 （x－2）·2（x－1 2）＋ 2＝ 2＋2，当且仅当 x－2＝2（x－1 2），即 x＝2＋ 22时取等号，所以 f(x)的最小值为 2＋ 2. 故选 A.
(2)(2020
年辽宁六校高一月考)若
0<x<
1 2
，
则
y＝x
1－4x2 的最大值为
()
1
1
1
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

高考大一轮总复习7.3基本(均值)不等式及应用

§7.3 基本(均值)不等式及应用

考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．

考点1 利用基本(均值)不等式求最值

1.基本(均值)不等式a ＋b ≤a ＋b

(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.

(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a >0，b >0 (2)a ＝b 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b ≥________(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

(4)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．答案：(1)2ab (2)2

3．算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述

为：________________________________.

答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x >0，y >0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最________值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最________值是p 2

4.(简记：和定积

最大)

答案：(1)x ＝y 小 (2)x ＝y 大

高考数学复习专题基本不等式

全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）

高考数学复专题：基本不等式

一、基本不等式

1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则

$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：

1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：

1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，

$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq

\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，

$b$ 为任意实数）。

基本不等式——高三数学一轮复习

(4)a2＋b2≥ 2
a＋2 b2(a，b∈R)
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
2 1＋1≤
ab≤a＋b≤ 2
ab
a2＋b2(a>0，b>0)，当且仅当 a＝b 时等号成立． 2
基本不等式链
ห้องสมุดไป่ตู้本不等式链的应用
例 6. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若 x，y 满足 x2＋y2－xy＝1，则( BC )
积定和最小 x y 2 xy其中x 0, y 0
已知 x>0，y>0，如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p .
例 1．若 x>2，则 x＋x－1 2的最小值为( D )
A．1
B．2
C．3 解析
由题意，
x>2⇒x－2>0，D所．以4x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2
再见同学们！
高三数学一轮复习
∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝
3 2
·2x·y≤
3 2
2x＋y 2
2，即(2x＋y)2－1≤
3 8
(2x＋y)2，∴(2x＋
y)2≤85，∴2x＋y≤2 510，当且仅当2x＝y时取等号．
基本不等式与其他知识的结合

高三数学一轮复习基本不等式说课稿（基本不等式及应用）

二、教学目标分析

(一)教学目标:

1.理解利用基本不等式求最值的原理

2.掌握利用基本不等式求最值的条件

3.会用基本不等式解决简单的最值问题

4.能综合运用函数关系，基本不等式解决一些实际问题

(二)解析:

(1)就是指从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构（2）就是指能从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等教学目标：进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式2

b a ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

三、教学重难点分析在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式2

b a ab +≤使用的前提条件0,>b a ，同时又要注意区别基本不等式ab b a 222≥+的使用条件为R b a ∈,。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。在具体的题目中，“正数条件往往易从题设中获得解决”，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形

(整理)基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳

1．基本不等式2

a a

b +≤

(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？

提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2

ab b

a b a =+⇒= ②仅当b a =时，

ab b a ≥+2取等号，即.2

b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式

).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a

a b R b a ab b a

),(2

)2();,()2(2

222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤

3．算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2

a +，几何平均数为a

b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则

(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．

(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4

p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x

x y 1

+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2

5min =

[自测·牛刀小试]