最新2018-2019北师大版必修2-第一章-5.2-平行关系的性质-课件(21张)教学讲义ppt

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【高中课件】北师大版必修2高中数学1.5.2平行关系的性质配套课件ppt.ppt

求证： BACB＝DEFE. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方法？ (2)如何寻求线线平行？
【自主解答】如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG.
平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF. 于是在△ADC内有BACB＝DGGC，在△DCF内有DGGC＝DEFE. ∴BACB＝DEFE.
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
如图1－5－13所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD与α分别交于M，N 两点，求证：MAMC＝NBND.
图1－5－14
【证明】过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE， BE，
∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理) 取AE中点N，连接NP，MN， ∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP β，DE β，MN β，BE β， ∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP 平面MNP，∴MP∥β.
(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．
【自主解答】 (1)因为CD∥平面EFGH，所以CD∥EF，CD∥GH，所以GH∥EF. 同理EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又因为AB⊥CD，所以HE⊥EF. 所以四边形EFGH是矩形．

2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课件北师大版必修2ppt版本

交线平行
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图形语言
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答案平行
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解析因为 EF∥平面 AB1C，且 EF 平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AB1C＝AC，所以 EF∥AC.又因为 E 为 AD 的中点，所以 EF 为 △ACD答案 2
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(2)当 S 位于 α，β 同侧时，如图，AB∩CD＝S，设 AB，CD 共面 γ，因为 γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且 α∥β，所以 AC∥BD. 所以△SAC∽△SBD，所以SC＋SCCD＝SSAB，即SCS＋C34＝89，所以 SC＝272. 综上所述，SC＝16 或 272.
典例迁移
题型三平行关系的综合应用
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解析由 l1∩l2＝P，知 l1、l2 确定一个平面 γ，
由
βαα∩∥∩γβγ＝＝BADC⇒AC∥BD⇒PPAB＝BADC.
∴6＋6 2＝A1C2 ，解得 AC＝9. 答案 B
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解析
平面ABCD∥平面A1B1C1D1

2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.5.2平行关系的性质

【做一做】如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是 .
答案:平行
2.平面与平面平行的性质定理
题型一
题型二
题型三
题型一
线面平行性质的应用
【例1】已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利用平行公理证明. 证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又b⊈β,c⫋β,∴b∥β. 又b⫋α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求 PD的长.
解:仿照例 2 易证得 AC∥BD, ∴ �� = �� , �� + �� + �� 即 = . �� 5 �� +3 3 ∴ = , 解得PD= .
1
2
3
4
5
2.如图所示是长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线a∥平面α,点A和直线a分别在α的两侧,点B,C,D∈a. 线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则 EG= .
(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行的关系,这样就转化为平面问题.

2019教育数学北师大版必修2课件：第一章51平行关系的判定 (45张)数学

2．(1)已知 m，n 表示两条不同的直线，α ，β ，γ 表示三个
不同的平面，则下列命题中正确的个数是( A )
①若 α∩γ＝m，β ∩γ ＝n，m∥n，则 α∥β；
②若 m，n 相交且都在平面 α，β 外，m∥α ，m∥β ，n∥α ，
n∥β ，则 α∥β；
③若 m∥α，n∥β ，则 α∥β；
符号语言
______bl______α__α____⇒l∥α ___l_∥__b___
2.平面与平面平行的判定定理
判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内平面
有两条__相__交____ 和平
直线都平行于另面平
一个平面，那么行
这两个平面平行
符号语言
__a____α___
__b____α___
解：(1)在 b 上任取一点 O，则直线 a 与点 O 确定一个平面 γ，设 γ∩β＝l，则 l β ，因为 a∥β，所以 a 与 l 无公共点，所以 a∥l，所以 l∥α. 又 b∥α，根据面面平行的判定定理可得 α∥β.故填平行． (2)①证明：如图所示，连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别交 AB、BC、AC 于点 D、E、F，连接 DE、EF、FD.
(2)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M∈AD1，N∈BD，且 D1M＝DN，求证：MN∥平面 CC1D1D.
解：(1)因为 ABCD 为平行四边形，所以 O 为 BD 的中点，因为 E 为 PD 的中点，故 EO∥PB. 因为 EO 平面 PBC，且 PB 平面 PBC，所以 EO∥平面 PBC.故填平行． (2)证明：法一：连接 AN 并延长，交直线 CD 于 E，连接 D1E.

2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.5.2 平行关系的性质精品

[再练一题] 2．已知 α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 SA＝8， SB＝9，CD＝34，求当 S 在 α，β 之间时 SC 的长．
【解】如图所示． ∵AB 与 CD 相交于 S， ∴AB，CD 可确定平面 γ，且 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. ∵α∥β，∴AC∥BD，∴SSAB＝SSDC， ∴SAS＋ASB＝CSCD，即S3C4＝187，解得 SC＝16.
∴AB∥CD， ∴四边形 ABDC 是平行四边形， ∴AC＝BD. (2)由(1)知 ABDC 为平行四边形，所以当 AB＝AC 且 AB⊥AC 时，四边形 ABDC 为正方形．
面面平行性质的应用如图 1-5-22，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(
不在 α 与 β 之间)，直线 PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A，B 和 C，D.
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 【解析】由面面平行的性质定理知 D 正确．【答案】 D
2．若平面 α B 的所有直线
中( ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行 C．存在无数多条直线与 a 平行 D．存在唯一一条直线与 a 平行
所以 FG∥平面 ADD1A1.
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．
A．平行 C．异面
图 1-5-19 B．相交 D．不确定
【解析】 ∵EH∥FG，EH⊆/ 平面 BCD，FG 平面 BCD， ∴EH∥平面 BCD，∵EH 平面 ABD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，∴EH∥BD.

北师大版高中数学必修2课件：1.5.2平行关系的性质(公开课,共16张ppt)

于直线m,则m与A1C1关系为_____ D1
A1
C1 B1
D A
C B
1.5.2 平行关系的性质
永丰中学陈保进
前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么，已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？
探究1:如果直线a∥平面α ，那么直线a与平面 α 内的直线有哪些位置关系？
a
α
平行或异面
探究2:如果直线a∥平面α ，经过直线a的平面与
平面α 相交于直线b，那么直线a、b的位置关系
探究3:若两个平面平行，两个平面内的直线位置关系如何？
平行或异面
探究4:若α ∥β ，平面α 、β 分别与平面γ 相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？
γ b β
α
a
平行.
由于两条交线a,b分别在两个平行平面α ，β 内，所以a与b不相交. 又因为a,b都在同一平面γ 内，由平行线的定义可知a∥b.
C
又因为AC∥BD,
α
所以2.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点, 过直线EF作平面α,分别交BD、CD于M、N,求证： EF∥MN.
A
E
F
BM
D
N C
前面学习了如何判定平面与平面平行，反之，在已知平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
S
若S在α,β之间?
AC
α
AC
α
S
βB
D
βD
B
例4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过 C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是_等__腰__梯_．形
D1 A1
C1 B1
M
D

高中数学必修二《平行关系的性质》教学课件(北师大版)

思考9:若 // ，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β
的位置关系如何？
l
α
α
β
β
思考10:若 // ，平面α与平面γ相交，则平面β与平
面γ的位置关系如何？

思考11:若 // ，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，
那么直线a、b的位置关系如何？为什么？

，那么直线a与平面α内的直线
有哪些位置关系？
a
a
α
α
思考2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？

知识探究(二):直线与平面平行的性质定理
思考5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.
定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

思考6:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？
平行关系的性质
问题提出
1.直线与平面平行和平面与平面平行的判定定理是什么？
定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
2.直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行和平面与平面平行的条件问题，反之，在直线与平面平行和平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
求证：AB DE
BC EF
A
证明：连结BM、EM、BE.
∵β∥γ，平面ACF分别交β、
γ于BM、CF，∴BM∥CF.∴
AB AM BC MF
B
同理，

§5.2平行关系的性质课件(北师大版必修二)(1)ppt课件

b a//b

b a

另证：

b
// bÜ
bÜ
b //
a // b
a
2.抽象概括: 平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们
的交线平行.
//

a

a // b
b
点D、AEB、F .DE . 求证：BC EF 证明：连接AF，交平面于点G.
平面ADF∩α=AD
平面ADF∩β=GE AD // GE
//
DE AG
平面ACF∩β=BG
EF GF
平面ACF∩γ=//CF
AB DE .
BG // CF

AG GF
如果一条直线与一个平面平行, 那么过这条直线做一个平面
பைடு நூலகம்
与已知平面相交，这条直线与交线平行.

a
b
a / / , a Ü , b a / /b.
线面平行则线线平行
3.应用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1.
（1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？
B
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α，AC//BD, 且AC,
BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
A
证明：连接CD, A, B, C, D在同一平面内,
B

设该平面为β. 则α∩β=CD. AB Ü
C
D
AB//平面α

AB//CD AC//BD

1.5.2 平行关系的性质课件(北师大必修2)

[读教材·填要点] 1．直线与平面平行的性质
文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行图形语言符号语言
l∥α l β α∩β＝b
⇒l∥b
2．平面与平面平行的性质
文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平图形语言符号语言
又SG
平面DEF，FH Þ 平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，
∵EF 平面SAB，SB Þ 平面SAB，
∴EF∥平面SAB. 同理：DF∥平面SAB. 又EF∩DF＝F，EF Þ平面DEF，DF Þ平面DEF， ∴平面SAB∥平面DEF. 又SG Þ 平面SAB，∴SG∥平面DEF.
＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，
BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并
给予证明．
[解] SG∥平面DEF.
证明如下：
法一：连接CG交DE于H， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点， ∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.
[通一类]
1．已知：a∥b，a Þ α，b Þ β，α∩β＝l. 求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，∵a∥b，b Þ β，
∴a∥β，又a Þ α，α∩β＝l， ∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.
[研一题] [例2] 夹在两个平行平面间的线段AB，CD所在直
线相交于点S，已知AS＝18.9 cm，BS＝29.4 cm，CD＝
[自主解答] 连接MO，
连接AC交BD于O，

2020-2021学年北师大版数学必修2课件：第一章 5.2 平行关系的性质.

答案：l∥B1D1
5.如图，异面直线 AB，CD 被三个平行平面 α，β，γ 所截．A， D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC 分别交 β 于点 E，F， G，H，试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由．
解析：四边形 EFGH 是平行四边形．理由如下：∵β∥γ，平面 ABC∩β＝EF，平面 ABC∩γ＝BC，∴EF∥BC.同理 GH∥BC.∴EF∥HG.同理可证 EH∥FG.∴四边形 EFGH 是平行四边形．
些空间线面平行、面面平行关系的简单问疑点：解题时易把异面直线当成同一平面
题.
内的直线而出错.
01 课前自主梳理 02 课堂合作探究 03 课后巩固提升
课时作业
一、直线与平面平行的性质文字语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的与该直线平行
[自主梳理] 图形表示
探究三平行关系的综合应用 [典例 3] 如图所示，已知 P 是▱ABCD 所在平面外一点，M、 N 分别是 AB、PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN 与平面 PAD 是否平行？试证明你的结论．
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，知 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，得 PA∥GH.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
1.如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 上的点，当 BD∥平面 EFGH 时，下面结论正确的是( ) A．E，F，G，H 一定是所在边的中点 B．G，H 一定分别是 CD，DA 的中点 C．EB∶AE＝BF∶FC，且 DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且 BF∶FC＝DG∶GC

高中数学 1.5.2 平行关系的性质课件北师大版必修2

第二十四页，共42页。
• 平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn) 平行的性质
如图，已知 α∥β，点 P 是平面 α，β 外的一点(不在 α 与 β 之间)，直线 PB，PD 分别与 α，β 相交于点 A， B 和 C，D.
(1)求证：AC∥BD. (2)若 PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝ 3cm，求 PD 的长．
第三十四页，共42页。
• 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形(tīxíng)，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2， DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
• 求证：AC∥平面BPQ.
第三十五页，共42页。
[解析] 连接 CD1，AD1，
∵P，Q 分别是 CC1，C1D1 的中点， ∴PQ∥CD1. ∵CD1 平面 BPQ，PQ 平面 BPQ， ∴CD1∥平面 BPQ.
如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
• [思路分析] 欲证线线平行，往往(wǎngwǎng) 先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．
第二十一页，共42页。
[规律总结] 线、面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线、线平行线、面―平―行→的判定线、面平行线、面―平―行→的性质线、线平行．
第二十二页，共42页。
(2)符号表示
a∥ a
α β⇒a∥b.
α∩β＝b
(3)图形表示

2019-2020学年北师大版必修二平行关系的性质课件(14张)

3.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题是否正确：（1）若m//α, n//α, 则m//n;
（2）若m//α, m//n, 则n//α;
（3）若m//α, 则m平行α内所有直线; （4）若m平行于α内无数条直线, 则m//α .
4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线
a
b
a //,a , b a // b.
线面平行则线线平行
3.应用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？（2）所画的线和面AC是什么位置关系？
解：（1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1
使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1于点E、
思考：若DE=6, EF=2, BC=3. 则AB=__9______.
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？为什么？
2.如果直线a//直线 b , 且a//α , 那么b与α的位置关系是（ D ）
A. 相交 B. b//a C. b D. b//a 或 b
证明：
a a
a
// a b a // b
b b b
b a
另证：
// b //
b
b
b
a // b
a
2.抽象概括: 平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
//
a
a // b
b
a
a
b
b
a //,a , b a // b
a //,a , b a // b
a
证明：

【精品推荐】2019-2020学年高中数学北师大版必修2 第一章 5平行关系课件(16张)

【证明】（1）如图，连接EC，∵ AD∥BC，BC＝ AD，∴ BC =∥AE，
∴ 四边形ABCE是平行四边形，∴ O为AC的中点. 又∵ F是PC的中点，∴ FO∥AP. 又FO≠⊂ 平面BEF，AP≠⊂ 平面BEF，∴ AP∥平面BEF.
一线面平行的判定
例1 如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝ AD，E，F，H分别为线段AD， PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.
＝9，CD＝10.（1）若点S在平面α，β之间，则SC＝
；（2）若点S不在平面α，
β之间，则SC＝
.
【解析】（1）如图所示，AB∩CD＝S，则AB，CD确定一个平面，
设为γ，α∩γ＝AC，β∩ SA SC ，即 6 SC ，解得SC＝4.
SB SD
9 10 SC
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示若直线a ⊆/ 平面β，直线b⊆/ β，a≠⊂ 平面α，≠⊂b α， a∩b＝A，并且a∥β，b∥β，则α∥β
三、直线与平面平行的性质
定理5.3
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
∴ PA∥EH.同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG.∴ EF AE ， FG CF BE ，
BC AB AP CA BA
且四边形EFGH是平行四边形.∴ EF＝ AE BC ，FG＝ BE AP ，
AB
BA
∴ 四边形EFGH的周长l＝2（EF+FG）＝ 2(AEgBC BEgAP) ＝ 12AE 8BE
二面面平行的判定
例2 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.

北师大版高中数学必修二第一章5.2平行关系的性质

5.2 平行关系的性质问题导学1．直线与平面平行的性质活动与探究1如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.迁移与应用1．如图，E，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD 于点F，G.求证：EH∥FG.2．如图，AB∥α，CD∥α，AB与CD在平面α两侧且AB与CD不平行，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND．线、面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线、线平行―-----------------―→线、面平行的判定线、面平行――-----------------→线、面平行的性质线、线平行．2．平面与平面平行的性质活动与探究2如图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB ，PD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D ．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．迁移与应用1．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线2．如图，α∥β，AB交α，β于点A，B，CD交α，β于点C，D，AB∩CD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6.求CD．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．3．用面面平行证线面平行活动与探究3如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD．迁移与应用如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系．4．平行关系的综合应用活动与探究4如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．迁移与应用如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：l∥BC．1．熟练掌握空间平行关系中定理的条件与结论，注意它们之间的相互转化．2．在论证过程中，“已知位置关系，用性质”，“论证位置关系，用判定”．3．本例题是探索型问题，解决这类探索型问题的基本思路是：先假设所研究的对象成立或存在，然后以此为条件进行推理，得出存在的结论或得出矛盾．当堂检测1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④B．①②③C．②④D．①②④3．若α∥β，aα，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①②B．②④C．②③D．①③④4．过两平行平面α，β外的点P有两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________．5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP 于F.求证：四边形BCFE是梯形．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.课前预习导学预习导引1．(1)平行过该直线交线(2)∥预习交流1 提示：不是．当直线a与平面α平行时，它和平面α内的直线有两种位置关系：平行与异面．预习交流2 提示：(1)线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.三个条件缺一不可．(2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．(3)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与直线a是异面直线．2．(1)平行交线(2)∥a b预习交流3 提示：a∥β.由于α∥β，所以α与β没有公共点，而aα，所以a与β也没有公共点．故必有a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法，即转化为面面平行．预习交流4 提示：直线a与b可能平行，也可能异面，但不可能相交．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM .又OM 平面BMD ，AP 平面BMD ，∴AP ∥平面BMD .∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，AP 平面PAHG ，∴AP ∥GH .迁移与应用 1.证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD .又BD 平面BCD ，EH 平面BCD ，∴EH ∥平面BCD .又EH α，α∩平面BCD ＝FG ，∴EH ∥FG .2．证明：连接AD 交平面α于点E ，连接ME 和NE .∵平面ACD ∩α＝ME ，CD ∥α， ∴CD ∥ME ，∴AM MC ＝AE ED. 同理，EN ∥AB ，∴AE ED ＝BN ND， ∴AM MC ＝BN ND . 活动与探究2 思路分析：由PB 与PD 相交于点P 可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题．(1)证明：∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD .(2)解：由(1)得AC ∥BD ， ∴PA AB ＝PC CD . ∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)． ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．迁移与应用 1．D 解析：依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c ∥a ，且这样的直线c 是唯一的．2．解：∵AB ∩CD ＝O ，∴AB ，CD 可确定一个平面，记为平面γ.⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝AC β∩γ＝BD ⇒AC ∥BD ，∴AO OB ＝CO OD ，即58＝6OD， ∴OD ＝485，∴CD ＝485＋6＝785. 活动与探究3 思路分析：解题的关键是构造过MN 与平面OCD 平行的平面，根据题目条件中M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面．证明：取OB 的中点G ，连接GN ，GM .在△OAB 中，GM 为中位线，∴GM ∥AB .又AB ∥CD ，∴GM ∥CD .∵GM 平面OCD ，CD 平面OCD ，∴GM ∥平面OCD .在△OBC 中，GN 为中位线，∴GN ∥OC .∵GN 平面OCD ，OC 平面OCD ，∴GN∥平面OCD.由于GM∩GN=G，∴平面GMN∥平面OCD.∵MN平面GMN，MN平面OCD，∴MN∥平面OCD.迁移与应用证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1.∵CD1平面BPQ，PQ平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ.∵BQ平面BPQ，AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.活动与探究4 思路分析：可从“若两平面平行，则一平面内的任一直线都与另一平面平行”这一结论入手考虑，作过B点与平面AEC平行的平面，与PC的交点就是要找的点．解：存在．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE .②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC .迁移与应用证明：因为BC ∥AD ，BC 平面PAD ，AD平面PAD ，所以BC ∥平面PAD . 又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC ∥l .当堂检测1．D 2．D 3．B 4．125．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，BC 平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形．。