第四讲函数的概念及定义域 求法

第4讲 函数及其表示

【教学目标】

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 【教学重难点】

1.理解函数的集合定义 【旧知识回顾】

初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.

在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，2

3y x x =+，2

y x

=

等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与x

x y 2

=是同一个函数吗？

【知识点讲解】 1.1 函数的概念

如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作

)(x f y =，A x ∈．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；

与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(______B ．

思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？

思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与x

x y 2

=是同一个函数吗？

思考4：2

23y x x =-+函数吗?

1.2 函数的三要素

函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么?

(1)2

12)(x

x x f --=；

(2)22)(-+-=x x x f ．

练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）

【例2】已知函数1()2

f x x =

+， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3

f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值

特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值．

练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2

(1)f x +，((2))f f ，1

(())f f x

-．

1.3

对函数符号)(x f 的理解

)(x f y =与)

(x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的

纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．

函数符号)(x f y =表示y 是x 的函数，)(x f 不是表示f 与x 的乘积； 1.4 相同函数

当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与12-=x y 是同一个函数．

(1)1

2142+-=x x y ； (2));0(,

12>-=x

x y (3)12-=v u ； (4)2)12(-=x y ．

练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？

022(1)()(1),()1(2)();()(3)();()(1)(4)();()f x x g x f x x g x f x x g x x f x x g x =-=====+==

（5）()1f t t =+和1,0

()1,0

x x g x x x +≥⎧=⎨-+<⎩

1.5 区间的概念

设a ，b 是两个实数，而且a b <, 我们规定：

（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；

（

3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b 或(,]a b ． 这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．

实数集R 可以用区间表示为(,)-∞+∞，“∞”读作“无穷大”

满足x a ≥的实数的集合表示为[,)a +∞；满足x a >的实数的集合表示为_____(,)a +∞______； 满足x b ≤的实数的集合表示为(,]b -∞；满足x b <的实数的集合表示为_____(,)b -∞______． 【例4】用区间表示下列集合

（1）{}|56x x ≤< （2）{}|9x x ≥ （3）{}{}|1|52x x x x ≤--≤<

（4）{}{}|9|920x x x x <-<<

专题----函数定义域的求法

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例1.求函数f(x)=21

1

x x -+的定义域．

注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况. 例1 求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.

注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现. 例1 求函数y ＝23-x ＋3

3

23-+x x ）（的定义域．

练习：

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f ③=

)(x f x

11111++