最新人教版高中数学选修1-1《集合与简易逻辑》3年高考

第一章集合与简易逻辑
3·2看吧
罗素悖论
“罗素悖论”是一个著名的悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来.
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发.”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言.因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人.但是，招牌上说明他不给这类人理发，
因此他不能自己理.如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理.由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的.
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了.就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果(例如,设集合M={x|x∉M},那么集合M是什么样元素构成的?)，特别是罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗.于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”. 3年高考平台
2006高考题
一、选择题
1.(2006辽宁高考,理1文2)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )
A.1
B.3
C.4
D.8
答案:C
解析:据题意,集合B含有元素3,可为{3},{3,1},{3,2},{3,1,2}.
2.(2006辽宁高考,理5文8)设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集.若对任意a、b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A.自然数集
B.整数集
C.有理数集
D.无理数集
答案:C
解析:据题意,可取a、b、n个特殊值,验证.
显然,C正确.
3.(2006江苏高考,7)若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A.A⊆C
B.C⊆A
C.A≠C
D.A=∅
答案:A
解析:依题不妨作出韦恩图.
易得A正确.
4.(2006福建高考,理4)已知全集U=R,且A={x||x-1|＞2},B={x|x2-6x+8＜0},则(A)∩B等于
( )
A.［-1,4)
B.(2,3)
C.(2,3］
D.(-1,4)
答案:C
解析:由已知得A={x|x ＜-1或x ＞3},B={x|2＜x ＜4}. ∴A={x|-1≤x≤3}. ∴(
A}∩B={x|2＜x≤3}.
5.(2006湖北高考,理8)有限集合S 中元素的个数记作card(S).设A 、B 都为有限集合,给出下列命题:
①A∩B=∅的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B); ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤card(B);
③A B 的充分条件是card(A)≤card(B); ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B). 其中真命题的序号是( )
A.③④
B.①②
C.①④
D.②③ 答案:B
解析:①肯定正确,所以排除A 、D.④中集合相等的概念是元素相同,个数也相同,所以④不对. 6.(2006湖南高考,理4文5)“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间［1,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:A
解析:a=1能够使y=|x-1|在［1,+∞)上是增函数,但f(x)=|x-a|在［1,+∞)上是增函数,a 可以小于1.
7.(2006湖南高考,理8)设函数f(x)=
1
--x a
x ,集合M={x|f(x)＜0},P={x|f′(x)＞0},若M P,则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.［1,+∞) 答案:C
解析:M={x|f(x)＜0},化简可得当a ＞1时,1＜x ＜a. 当a ＜1时,a ＜x ＜1. P={x|f′(x)＜0}. 由f′(x)=
2
)
1(1
--x a ,当a ＜1时,x ∈∅; 当a ＞1时,x ∈R 且x≠1. ∵M
P,∴a ＞1.
8.(2006重庆高考,理1文1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∪(
B)
等于( )
A.{1,6}
B.{4,5}
C.{2,3,4,5,7}
D.{1,2,3,6,7} 答案:D
解析:由题意可得A∩B={4,5}. 又(
A)∪(
B)=
(A∩B),
∴D 正确.
9.(2006山东高考,理1文1)定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )
A.0
B.6
C.12
D.18 答案:D
解析:∵A={0,1},B={2,3}, ∴A ⊕B={0,6,12}.
故所有元素之和为0+6+12=18.
10.(2006山东高考,理8)设p:x 2
-x-20＞0,q:2
||12
--x x ＜0,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:A
解析:p:x 2-x-20＞0,化简p:x ＞5或x ＜-4.
q:2
||12--x x ＜0,化简q:-1＜x ＜1或x ＜-2或x ＞2. 作数轴易得p ⇒q 但q
p.
11.(2006江西高考,理1)已知集合M={x|
3
)
1(-x x ≥0},N={y|y=3x 2
+1,x ∈R },则M∩N 等于( )
A.∅
B.{x|x≥1}
C.{x|x ＞1}
D.{x|x≥1或x ＜0} 答案：C
解析:3)1(-x x
≥0⇔⎩⎨⎧≠-≥-010)1(3x x x ⇔⎩
⎨
⎧≠-≥-010)1(x x x ⎪⎭
⎪
⎬⎫
∞+=⇒≥⇒∈+=+∞⋃-∞=⇒).1[1,13),1(]0,(2N y R x x y M
⇒M∩N=(1,+∞).故选C.
12.(2006安徽高考,理2)设集合A={x||x-2|≤2,x ∈R },B={y|y=-x 2,-1≤x≤2},则(A∩B)等于( ) A.R B.{x|x ∈R ,x≠0} C.{0} D.∅
答案：B 解析：A={x||x-2|≤2},则由-2≤x -2≤2,0≤x≤4,即A={x|0≤x≤4}.又B={y|y=-x 2，-1≤x≤2},由y=-x 2,x ∈［-1,2］，则y ∈［-4,0］. ∴B={y|-4≤y≤0}.
∴A∩B={0}，即(A∩B)={x|x ∈R ,x≠0}.
13.(2006四川高考,理1文1)已知集合A={x|x 2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|＞3},则集合A∩B 等于( )
A.{x|2≤x≤3}
B.{x|2≤x ＜3}
C.{x|2＜x≤3}
D.{x|-1＜x ＜3} 答案:C
解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x ＜-1或x ＞2}, ∴A∩B={x|2＜x≤3}.
14.(2006四川,理11文11)设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边,则a 2=b(b+c)是A=2B 的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分又不必要条件 答案:A
解析:若a 2=b(b+c),则有a 2-b 2=b·c, (a+b)(a-b)=b·c,
(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinB·sinC, 2sin
2B A +cos 2B A -2cos 2B A +sin 2
B
A -=sinBsinC, sin(A+B)·sin(A-B)=sinB·sinC,sinC·sin(A-B)=sinB·sinC. ∵sinC≠0(∵C≠0°),∴sin(A-B)=sinB. ∴A-B=B,即A=2B. 以上每步等价.
∴若A=2B,则有a 2=b(b+c).
∴a 2=b(b+c)是A=2B 的充要条件.
15.(2006陕西高考,理1)已知集合P={x ∈N |1≤x≤10},集合Q={x ∈R |x 2+x-6=0},则P∩Q 等于( )
A.{2}
B.{1，2}
C.{2，3}
D.{1,2,3} 答案:A
解析:P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q={-3,2},P∩Q={2}.
16.(2006陕西高考,理6)“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的（ ） A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A
解析:∵sin(α+γ)=sin2β,∴α+γ=2β+2kπ或α+γ+2β=π+2kπ. ∴结论集是条件集的子集. 二、填空题
17.(2006山东高考,理16)下列四个命题中,真命题的序号有____________________________(写出所有真命题的序号).
①将函数y=|x+1|的图象按向量v =(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为y=|x| ②圆x 2+y 2+4x+2y+1=0与直线y=2
1
x 相交,所得弦长为2 ③若sin(α+β)=
21,sin(α-β)=3
1
,则tanαcotβ=5 ④如图,已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,P 为底面ABCD 内一动点,P 到平面AA 1D 1D 的距离与
到直线CC 1的距离相等,则P 点的轨迹是抛物线的一部分
答案:③④
解析:①y=|x+1|−−
−→−-=)
0,1(v y=|x+2|. ②圆x 2+y 2+4x-2y+1=0,其标准方程为(x+2)2+(y-1)2=4.
圆心到直线的距离d=
4
1|22|+--=
5
4≠3.
③sin(α+β)=
21⇒sinαcosβ+cosαsinβ=21
. ① sin(α-β)=31⇒sinαcosβ-cosαsinβ=3
1
. ②
①+②得sinαcosβ=125
. ③
①-②得cosαsinβ=12
1
. ④
③÷④得tanαcotβ=5.
④由图易知PH 为P 到平面AA 1D 1D 的距离,PC 为P 到CC 1的距离.
又AD 为定直线,C 为定点,P 在ABCD 内. ∴P 点轨迹为抛物线的一部分.
18.(2006四川高考,理16)非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意a 、b ∈G,都有a ⊕b ∈G;(2)存在e ∈G,使得对一切a ∈G,都有a ⊕e=e ⊕a=a,则称G 关于运算⊕为“融洽集”. 现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},⊕为整数的加法. ②G={偶数},⊕为整数的乘法.
③G={平面向量},⊕为平面向量的加法. ④G={二次三项式},⊕为多项式的加法. ⑤G={虚数},⊕为复数的乘法.
其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________________________.(写出所有“融洽集”的序号)
答案:①③
解析:②错,因为不满足条件(2).
④错,因为不满足条件(1),如a=x 2+y 2,b=-x 2-y 2. ⑤错,因为不满足条件(1),如a=3i,b=4i.
2005高考题
一、选择题
1.(2005全国高考卷Ⅰ,理2文2)设I 为全集,S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I,则下面论断正确的是( )
A.S 1∩(S 2∪S 3)=∅
B.S 1⊆(S 2∩S 3)
C.S 1∩S 2∩S 3=∅
D.S 1⊆(S 2∪S 3) 答案：C
解法一：∵S 1∪S 2∪S 3=I , ∴(S 1∪S 2∪S 3)= ∅, 即S 1∩S 2∩S 3=∅.
解法二：利用文氏图可得到结论C .
解法三：令S 1={0},S 2={1,3,5,7,…},S 3={2,4,6,8,…}, 则I =N ,可得到结论C .
2.(2005上海高考,理14文14)已知集合M={x||x-1|≤2,x ∈R },P={x|1
5
+x ≥1,x ∈Z },则M∩P 等于（ ）
A.{x|0＜x≤3,x ∈Z }
B.{x|0≤x≤3,x ∈Z }
C.{x|-1≤x≤0,x ∈Z }
D.{x|-1≤x ＜0,x ∈Z } 答案：B
解：∵|x-1|≤2⇔-2≤x -1≤2 ⇔-1≤x≤3,
∴M={x|-1≤x≤3,x ∈R }. 又∵
15+x ≥1⇔115+--x x ≥0 ⇔
1
4
+-x x ≤0⇔-1＜x≤4, 且x ∈Z ,
∴P={0,1,2,3,4},
∴M∩P={0,1,2,3}={x|0≤x≤3,x ∈Z }.
3.(2005上海高考,文15)条件甲:“a ＞1”是条件乙:“a ＞a ”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.充要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件 答案：B
解：∵条件乙:“a ＞a ”⇔⎩⎨⎧>>a
a 0,a 2⇔⎩⎨⎧<>>0a 1a 0,
a 或⇔a ＞1,
∴条件甲与条件乙相同，即甲是乙的充要条件. 4.(2005天津高考,理1)设集合A={x||4x-1|≥9,x ∈R },B={x|3
1
+x ≥0,x ∈R },则A∩B 等于（ ） A.（-3,-2］ B.（-3,-2］∪［0,
2
5］ C.（-∞,-3］∪［25,+∞） D.（-∞,-3）∪［2
5
,+∞）
答案：D
解：∵A=（-∞,-2］∪［2
5
,+∞）,B=(-∞,-3)∪［0,+∞）, ∴A∩B=(-∞,-3)∪［2
5
,+∞）.故选D. 5.(2005
浙江高考,理
9)设
f(n)=2n+1(n ∈N ),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记
P ˆ={n ∈N |f(n)∈P},Q ˆ={n ∈N |f(n)∈Q},则(P ˆ∩Q ˆ)∪(Q ˆ∩P
ˆ)等于( ) A.{0,3} B.{1,2} C.{3,4,5} D.{1,2,6,7} 答案：A
解：∵P ˆ={n ∈N |f(n)∈P}={0,1,2},Q ˆ={n ∈N |f(n)∈Q}={1,2,3},且 P
ˆ∩Q
ˆ={0},Q ˆ∩P
ˆ={3}, ∴(P
ˆ∩Q
ˆ)∪(Q ˆ∩P
ˆ)={0,3}. 6.(2005福建高考,文1)已知集合P={x||x-1|≤1,x ∈R },Q={x|x ∈N },则P∩Q 等于（ ）
A.P
B.Q
C.{1,2}
D.{0,1,2} 答案：D
解：P={x|-1≤x -1≤1} ={x|0≤x≤2}, 而Q={x|x ∈N }, ∴P∩Q={0,1,2}.
7.(2005湖北高考,理1文1)设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a ∈P,b ∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q 中元素的个数是（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6 答案：B
解法一：穷举法,P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.
解法二：组合知识:13C ·1
3
C -1(由于0+6=1+5). 8.(2005湖南高考,文6)设集合A={x|
1
1
+-x x ＜0},B={x||x-1|＜a|},则“a=1”是“A∩B≠∅”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案：A
解：A={x|-1＜x ＜1}, B={x|1-a ＜x ＜1+a},
∴“a=1”⇒“A∩B≠∅”代入易证；“A∩B≠∅”“a=1”, 反例:a 可以为2.
9.(2005重庆高考,理6文6)已知α、β均为锐角,若p:sinα＜sin(α+β),q:α+β＜2
π
,则p 是q 的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案：B
解：若令α=60°,β=50°,则sinα=
2
3. sin(α+β)=sin110°=sin70°＞sin60°. ∴由此例可知p q. ∴p 是q 的不充分条件. 若α+β＜
2
π
,由y=sinx 的单调性可得sinα＜sin(α+β),即q ⇒p. ∴p 是q 的必要条件.
∴p 是q 的必要而不充分条件.
10.(2005山东高考,理10文11)设集合A 、B 是全集U 的两个子集,则A B 是(
A)∪B=U
的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案：A 解：A B ⇒(
A)∪B=U,
反之，(
A)∪B=U
A
B,由于当A=B 时，(
A)∪B=U 也成立.
11.(2005江西高考,文8)在△ABC 中，设命题p:
B a sin =
C b sin =A
c
sin ,命题q:△ABC 是等边三角形.那么命题p 是命题q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件 答案：C
解：由正弦定理,得
B A sin sin =
C B sin sin =A
C
sin sin .
令
B A sin sin =
C B sin sin =A
C
sin sin =k, 则⎪⎩
⎪
⎨⎧===ksinA,sinC ksinC,sinB ksinB,sinA 解得k=1. ∴sinA=sinB=sinC. ∴A=B=C.
∴p ⇒q,p 是q 的充分条件. 若△ABC 为等边三角形, 则a=b=c,A=B=C. ∴
B a sin =
C b sin =A
c
sin . ∴q ⇒p,p 是q 的必要条件. ∴p 为q 的充分必要条件. 二、填空题
12.(2005江苏高考,13)命题“若a ＞b,则2a ＞2b -1”的否命题为___________________________. 答案：“若a≤b,则2a ≤2b -1” 解：原命题:p ⇒q, 否命题:⌝p ⇒⌝q.
13.(2005重庆高考,文11)若集合A={x ∈R |x 2-4x+3＜0},B={x ∈R |(x-2)(x-5)＜0},则A∩B=________________________. 答案：{x|2＜x ＜3}
解：A={x ∈R |x 2-4x+3＜0}={x ∈R |1＜x ＜3}, B={x ∈R |(x-2)(x-5)＜0}={x ∈R |2＜x ＜5}. ∴A∩B={x|2＜x ＜3}.
14.(2005重庆高考,理11)集合A={x ∈R |x 2-x-6＜0},B={x ∈R ||x-2|＜2},则A∩B=___________. 答案：{x|0＜x ＜3}
解：A={x ∈R |-2＜x ＜3}, B={x ∈R |0＜x ＜4}.
∴A∩B={x ∈R |0＜x ＜3}. 三、解答题
15.(2005天津高考,文21)已知m ∈R ,设P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立; Q:函数f(x)=x 3+mx 2+(m+
3
4
)x+6在(-∞,+∞)上有极值. 求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.
解析：本小题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.
(1)由题设x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,得x 1+x 2=a 且x 1x 2=-2.
所以|x 1-x 2|=212
214)(x x x x -+=82+a .
当a ∈［-1,1］时,a 2+8的最大值为9,即|x 1-x 2|≤3.
由题意,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立的m 的解集等于不等式.
|m 2-5m-3|≥3的解集,由此不等式,得m 2-5m-3≤-3, ① 或m 2-5m-3≥3. ② 不等式①的解为0≤m≤5.
不等式②的解为m≤-1或m≥6.
因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P 是正确的. (2)对函数f(x)=x 3+mx 2+(m+3
4
)x+6求导, f′(x)=3x 2+2mx+m+
3
4. 令f′(x)=0,即3x 2+2mx+m+3
4
=0.此一元二次方程的判别式 Δ=4m 2-12(m+
3
4
)=4m 2-12m=16. 若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x
因此,f(x 0)不是函数f(x)的极值.
若Δ＞0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x 和x ＜x
因此,函数f(x)在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值. 综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值 . 由Δ=4m 2-12m-16＞0,得m ＜-1或m ＞4. 因此,当m ＜-1或m ＞4时,Q 是正确的.
综上,使P 正确且Q 正确时,实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞）.
2004高考题
一、选择题
1.(2004全国高考卷Ⅰ,理6)设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I,则下列各式中错误的是( )
A.(A)∪B=I
B.(A)∪(B)=I
C.A∩(B)=∅
D.(A)∪(B)= B
答案:B
解：本题主要考查集合的交、并、补运算等基本知识.画出集合A 、B 、I 的文氏图(如图),易知B 错误.
2.(2004全国高考卷Ⅲ,理1文1)设集合
M={(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈R ,y ∈R },N={(x,y)|x 2-y=0,x ∈R ,y ∈R },则集合M∩N 中元素的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：本题主要考查集合的运算、圆锥曲线方程,以及数形结合的思想方法.集合M 是以原点为圆心,1为半径的圆,集合N 是顶点在原点开口向上的抛物线,结合图形易知有两个交点.
3.(2004全国高考卷Ⅳ,理1)已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a ∈M},则集合M∩N 等于( )
A.{0}
B.{0,1}
C.{1,2}
D.{0,2}
答案：D
解析：本题主要考查集合表示法、集合的交集运算等基本知识.
∵N={x|x=2a,a ∈M}={0,2,4},
∴M∩N={0,2}.
4.(2004浙江高考,理8)在△ABC 中,“A ＞30°”是“sinA ＞2
1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：考查充分、必要条件的基本概念．
∵A=150°＞30°,而sin150°=
21,故“A ＞30°”不是“sinA ＞21”的充分条件,如果sinA ＞21,则当A 为锐角时,有A ＞30°；
当A 为钝角,显然有A ＞30°．故sinA ＞2
1⇒A ＞30°． 5.(2004福建高考,理3文3)命题p ：若a 、b ∈R ,则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件.命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是(-∞,-1］∪［3,+∞).则( )
A.“p 或q”为假
B.“p 且q”为真
C.p 真q 假
D.p 假q 真
答案：D
解析：本题主要考查绝对值不等式的性质、函数定义域以及充要条件的概念等基本知识. ∵|a+b|≤|a|+|b|,
∴|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的必要而不充分条件,即p 假；由|x-1|-2≥0,得x≤-1,或x≥3,即q 真.
6.(2004湖北高考,文1)设A={x|x=15+k ,k ∈N },B={x|x≤6,x ∈Q },则A∩B 等于( )
A.{1,4}
B.{1,6}
C.{4,6}
D.{1,4,6}
答案：D
解析：本题主要考查集合的运算等基本知识.
∵A={x|x=15+k ,k ∈N }={1,36,31,26,21,16,11,6,…},
∴A∩B={1,4,6}.
7.(2004湖北高考,理10)设集合P={m|-1＜m ＜0},Q={m ∈R |mx 2+4mx-4＜0对任意实数x 恒成立},则下列关系中成立的是( )
A.P Q
B.Q P
C.P=Q
D.P∩Q=∅
答案：A
解析：本题主要考查集合的概念、二次函数与不等式等基本知识.
设f(x)=mx 2+4mx-4,
若f(x)＜0对任意实数x 恒成立.当m=0时,f(x)=-4＜0恒成立;
当m≠0时,f(x)＜0恒成立转化为⎩⎨⎧<+<0,16m 16m 0,
m 2解得-1＜m ＜0.
∴Q={m|-1＜m≤0}.故P Q.
8.(2004湖南高考,理9文12)设集合U={(x,y)|x ∈R ,y ∈R },A={(x,y)|2x-y+m ＞0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(
B)的充要条件是( )
A.m ＞-1,n ＜5
B.m ＜-1,n ＜5
C.m ＞-1,n ＞5
D.m ＜-1,n ＞5
答案：A
解析：考查集合的基本概念．
∵P(2,3)∈A∩(B), ∴P ∈A,且P ∉B.
∴2×2-3+m ＞0,且2+3-n ＞0,
即m ＞-1,n ＜5．
二、填空题
9.(2004全国高考卷Ⅰ,理13)不等式|x+2|≥|x|的解集是________________________. 答案：{x|x≥-1}
解析：本题主要考查绝对值不等式的解法.
原不等式等价于(x+2)2≥x 2,即4x+4≥0,解得x≥-1.
10.(2004湖北高考,理15文16)设A 、B 为两个集合,下列四个命题:
①A
B ⇔对任意x ∈A,有x ∉B; ②A
B ⇔A∩B=∅; ③A B ⇔A B;
④A B ⇔存在x ∈A,使得x ∉B.
其中真命题的序号是______________________________.(把符合要求的命题序号都填上) 答案：④
解析：本题主要考查子集的概念,以及命题的否定形式.“A ⊆B”即集合A 中的任何1个元素都是集合B 中的元素,“A
B”是“A ⊆B”的否定,其等价于集合A 中至少存在1个元素不属于集合B.因此只有④正确.
三、解答题
11.(2004上海高考,理19文19)记函数f(x)=132++-
x x 的定义域为A,g(x)=lg ［(x-a-1)(2a-x)］(a ＜1）的定义域为B.
(1)求A ；
(2)若B ⊆A,求实数a 的取值范围.
解：(1)由2-13++x x ≥0,得1
1+-x x ≥0. 解得x ＜-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪［1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)＞0,得(x-a-1)(x-2a)＜0．
∵a ＜1,∴a+1＞2a.
∴B=(2a,a+1).
∵B ⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,
即a≥
2
1或a≤-2. 而a ＜1,∴21≤a ＜1或a≤-2. 故当B ⊆A 时,实数a 的取值范围是(-∞,-2］∪［2
1,1）. 题源探究
1.(2005天津高考,文1)集合A={x|0≤x ＜3且x ∈N }的真子集的个数是( )
A.16
B.8
C.7
D.4
答案:C
解:A={0,1,2},
∴A 的真子集的个数是23-1=7.选C.
原题：(《数学》第一册上第9页练习1)写出集合{a,b,c}所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
探源：本考题是教材练习的特殊化,惟一的区别是在考查真子集概念的同时增加了对集合语言的考查.
2.(2005福建高考,文8)已知p:a≠0,q:ab≠0,则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解:显然“a≠0”“ab≠0”,而“ab≠0”⇒“a≠0”.
原题：(《数学》第一册上第31—32页教材举例)一个命题的真假与其他三个命题的真假关系.原命题“若a=0,则ab=0”是真命题,它的逆命题“若ab=0,则a=0”是假命题;它的否命题“若a≠0,则ab≠0”是假命题;它的逆否命题“若ab≠0,则a≠0”是真命题.
(《数学》第一册上第37页习题1.8第2题)从“充分不必要的条件”“必要不充分的条件”“充要条件”中选出适当的一种填空:(5)“a≠0”是“ab≠0”的________________________________. 探源：本考题很显然是教材中的原题,主要考查充要条件的相关概念.通过四种命题的真假关系,处理充要条件的判断是处理这类问题的常用方法,特别是涉及“否定”的命题,往往可以通过其“逆否命题”的“同真同假”进行判断.
3.(2004全国高考卷Ⅱ,理1文1)已知集合M={x|x 2＜4},N={x|x 2-2x-3＜0},则集合M∩N 等于
( )
A.{x|x ＜-2}
B.{x|x ＞3}
C.{x|-1＜x ＜2}
D.{x|2＜x ＜3}
答案:C
解析:本题主要考查不等式的解法,以及集合的运算等基本知识.
由M={x|x 2＜4}={x|-2＜x ＜2},
N={x|x 2-2x-3＜0}={x|-1＜x ＜3},
则M∩N={x|-2＜x ＜2}∩{x|-1＜x ＜3}={x|-1＜x ＜2}.
原题：(《数学》第一册上第22页习题1.5第7题)已知U=R ,且A={x|x 2-16＜0},B={x|x 2-4x+3≥0},求:(1)A∩B;(2)A ∪B;(3)(A∩B);(4)(A)∪(B).
探源：本考题无论从考查内容还是命题角度看,都与教材习题相同,只是在具体的一元二次不等式和设问方式上有所变化.
4.(2004重庆高考,理7)一元二次方程ax 2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a ＜0
B.a ＞0
C.a ＜-1
D.a ＞1
答案:C
解:方程ax 2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为x 1x 2=a
1＜0,即a ＜0, ∴它的一个充分不必要条件为C 选项．
原题：(《数学》第一册上第43页复习参考题一B 组第6题)(选择题)ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( )A.0＜a≤1,B.a ＜1,C.a≤1,D.0＜a≤1或a ＜0.
探源：本考题是教材习题的拓展,试题从“根的分布”与“充要条件”两个维度对教材原题进行了改编.实际上“根与系数的关系”初中已有涉及,“有一个正根和一个负根”比“至少有一个负的实根”更容易进行数量转化,但解题时必须注意“充分不必要条件”与“充要条件”的本质差别.
5.(2004重庆高考,文7)已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:考查充要条件的概念．
由题设,知p ⇒r,而r p,r ⇒s,s ⇒q,
∴p ⇒q,而q p,故p 是q 的充分不必要条件.
原题：(《数学》第一册上第43页复习参考题一A 组第13题)已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,那么,(1)s 是q 的什么条件?(2)r 是q 的什么条件?(3)p 是q 的什么条件?
探源：本考题是教材习题的变式与精选,与原题相比更显得简洁明快,突出了对充要条件相关概念理解的考查.。