2015高考数学(理)一轮题组训练：2-2函数的单调性与最值

第2讲 函数的单调性与最值
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，＋∞，由复合函
数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，＋∞.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，＋∞
2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．
解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，
－4(a －3)
4a ≥3，得0＜a ≤3
4.
综上，a 的取值范围是0≤a ≤3
4. 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x
的取值范围是________．
解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，
即⎩
⎨⎧
|x |<1，
x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 (－1,0)∪(0,1)
4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．
解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)
上单调递增，
∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52＜f (3)，即b ＜a ＜c .
答案 b ＜a ＜c
5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为1
2，则a ＝________.
解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝1
2，解得a ＝4. 答案 4
6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．
解析 由18－3x ≥0，得x ≤6，又函数f (x )在定义域上显然是增函数，所以当x ＝6时，f (x )取最大值f (6)＝12. 答案 12
7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.
解析
∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋a ，x ≥－a
2，
－2x －a ，x ＜－a
2，
∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－a 2，＋∞上单调递增．
∴－a
2＝3，∴a ＝－6. 答案 －6
8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．
解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，
联立⎩⎨⎧
y ＝x ＋2，y ＝10－x ，
得y ＝6.
答案 6 二、解答题 9．试讨论函数f (x )＝
ax
x 2
－1
，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 2
1－1－ax 2
x 22－1
＝
a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)
(x 2
1－1)(x 22－1)
， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，
∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，
x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，
即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)
＞0，
因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1
x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，求a 的值．
解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，
∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －1x 2
＝1x 2
－1
x 1
＝x 1－x 2
x 1x 2＞0，
∴f (x 1)＞f (x 2)，
因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，
又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2上是单调增函数，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝2
5.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是________． ①y ＝cos x ；②y ＝－|x －1|；③y ＝ln 2＋x 2－x
；④y ＝e x ＋e －x
解析 对于①，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于②，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于③，注意到函数y ＝ln
2＋x
2－x
＝ln ⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于④，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x
－ e －x ≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，填④. 答案 ④
2．(2014·南阳一中月考)函数y ＝－(x －3)|x |的递减区间是________．
解析 y ＝⎩⎨⎧
－x (x －3)，x ≥0，
x (x －3)，x ＜0，这个函数图象是由两部分抛物线弧组成，画
出它的图象可以看出，函数的单调递减区间为(－∞，0)和(3
2，＋∞)． 答案 (－∞，0)和(3
2，＋∞)
3．已知函数f (x )＝x 2＋a
x (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．
解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2
2＋a
x 2
＝(x 1－x 2)
＋
a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )
x 1x 2
＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，
又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.
法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－a
x 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 二、解答题
4．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧
f (x )，x >0，
－f (x )，x <0.
若f (－1)＝0，且
对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.
∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧
a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而
b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，
∴F (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x ＋1，x ＞0，
－x 2－2x －1，x ＜0.
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴k－2
2≤－2或
k－2
2≥2，解得k≤－2或k≥6.
故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).。