高二数学2-2和2-3模块考试

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(完整版)新课改高二数学选修2-2模块综合测试题(含答案)

新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为（）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是（）1,1x y <<（A ）（B ）（C ）（D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ）或（D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线，和直线围成的图形面积是（）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。

高二数学选修2-2与2-3综合试卷含答案

一选择题1：若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是。

A. 1- B.1 C. 1± D. 以上都不对2：复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于。

A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3：若220(3)10,x k dx k +==⎰则。

A.1B.2C.3D.4 4：函数f(x)＝(x －3)e x 的单调递增区间是。

A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有。

A.280种 B.240种 C.180种 D.96种6：有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有。

A.88A 种 B.48A 种C.44A ·44A 种D.44A 种7：从甲袋中摸出1个红球的概率为13，从乙袋中摸出1个红球的概率为12，从两袋中各摸出一个球，则23等于。

A. 2个球都不是红球的概率B.2个球都是红球的概率 C. 至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率 8：已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为。

Ａ． 1.234y x =+ Ｂ． 1.235y x =+ Ｃ． 1.230.08y x =+ Ｄ．0.08 1.23y x =+ 9：正态总体的概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为。

Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，210：已知f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c 。

A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152二：填空题11：由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是。

高二数学选修2-2,2-3综合检测习题解析

选修2-2，2-3综合检测一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i 答案.A z2－2z ＝z(z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.2．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)答案解析 B∵f ′(x)＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)．3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ) (A)18 (B)14(C)25 (D)12解析:P(B|A)=n(AB)n(A)=14,故选B.4．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆答案．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．5．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3.∵f(x)在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.6．函数y＝ln1|x＋1|的大致图象为( )答案 D解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有（）A.20种B.30种C.40种D.60种解析分类解决.甲排周一，乙、丙只能在周二至周五这4天中选两天进行安排，有A24＝12（种）方法；甲排周二，乙、丙只能在周三至周五这3天中选两天安排，有A23＝6（种）方法；甲排周三，乙、丙只能安排在周四和周五，有A22＝2（种）方法.由分类加法计数原理，得共有12＋6＋2＝20（种）方法.答案 A8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名学生至少一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（）A.360B.520C.600D.720解析根据题意，分两种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480（种）情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240（种）情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120（种）情况.故不同的发言顺序种数为480＋240－120＝600.答案 C9.已知（1＋x ）10＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 10（x －1）10，则a 8等于（） A.－180B.180C.45D.－45解析本题是关于二项展开式的系数问题，注意到展开式右边的特点，可将1＋x 写成x －1＋2，再展开（1＋x ）10＝（2＋x －1）10＝C 010210＋C 11029（x －1）＋C 21028（x －1）2＋…＋C 81022（x －1）8＋C 9102（x －1）9＋C 1010（x －1）10，可得a 8＝22C 810＝180. 答案 B10.若(1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x 2 020(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020的值为( ) A.2B.0C.－1D.－2解析令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝－1. 故选C.11.某次数学考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的方差为（）. （A ）48 （B ）9.6 （C ）1.92 （D ）24 解析:设小王选对个数为X,得分为η=5X, 则X ～B(12,0.8),D(X)=np(1-p)=12×0.8×0.2=1.92, D(η)=D(5X)=25D(X)=25×1.92=48. 答案:4812．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．(0,3]D ．答案 D解析把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值．由题意知f ′(x)≥0对任意的x ∈[21，＋∞)恒成立，又f ′(x)＝2x ＋a －21x ，所以2x ＋a －21x ≥0对任意的x ∈[21，＋∞)恒成立，分离参数得a ≥21x －2x ，若满足题意，需a ≥(21x－2x)max. 令h(x)＝21x －2x ，x ∈[21，＋∞) 因为h ′(x)＝－31x－2，所以当x ∈[21，＋∞)时，h ′(x)＜0，即h(x)在[21，＋∞)上单调递减，所以h(x)＜h(21)＝3，故a ≥3. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.现有语文、数学、英语书各1本,把它们随机发给甲、乙、丙三个人,且每人都得到1本书,则甲得不到语文书的概率为________ .解析:语文、数学、英语书各1本,随机发给甲、乙、丙三个人,每人都得到1本书,共有A 33=6种分法,甲得不到语文书的分法有C 21A 22=4种,根据古典概型概率公式可得,甲得不到语文书的概率为46=23. 答案:2314．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15)15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．【答案】0.18 ；【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63⨯0.5⨯0.5⨯2=0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4⨯0.62⨯0.52⨯2=0.072综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.1816．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________．答案 4，－11解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f(1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，联立方程组，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11.三、解答题（本大题共70分）17（10分).某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X 的分布列和期望. 解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=56×45×34=12. (2)X 的可能取值是1,2,3,则P(X=1)=16, P(X=2)=56×15=16, P(X=3)=56×45=23, 所以X 的分布列为E （X ）=16 +26 +2=5218(12分).已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此种元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率;(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E(ξ);(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件;抽到的优等品中,记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件C,求事件C 的概率.解:(1)从甲产品抽取的10件样品中优等品有4件,优等品率为410 = 25, 从乙产品抽取的10件样品中优等品有5件,优等品率为510 = 12,故甲、乙两种产品的优等品率分别为25,12. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=C 53C 103 = 112, P(ξ=1)=C 51C 52C 103 = 512,P(ξ=2)=C 52C 51C 103 = 512, P(ξ=3)=C 53C 103 = 112.E(ξ)=0×112+1×512+2×512+3×112= 32.(3)抽到的优等品中,甲产品恰比乙产品多2件包括两种情况:“抽到的优等品数甲产品2件且乙产品0件”“抽到的优等品数甲产品3件且乙产品1件”,分别记为事件A,B,P(A)=C 32(25)2(1-25)×C 30(12)0(1-12)3=9250, P(B)=C 33(25)3×C 31×12×(1-12)2=3125,故抽到的优等品中,甲产品恰比乙产品多2件的概率为P(C)=P(A)+ P(B)=9250+3125 =350.20、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，m 的范围是(3,2)--.21（12分）.近两年双11网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双11当天零点整,每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张,中奖率分别是23和13.每人限抽一次,100%中奖.小张、小王、小李、小赵四个金冠买家约定零点整抽奖.(1)试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率;(2)这4人中抽到200元,500元代金券的人数分别用X,Y 表示,记ξ=XY,求随机变量ξ的分布列与数学期望.解:(1)设“这4人中恰有i 人抽到500元代金券”为事件Ai,P(A1)=C 41(13)1(23)3=3281.(2)易知ξ可取0,3,4.P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)=C 40(13)0(23)4+C 44(13)4(23)0=1681+181=1781, P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=C 41(13)1(23)3+C 43(13)3(23)1=3281+881=4081, P(ξ=4)=P(A2)=C 42(13)2(23)2=2481=827.E(ξ)=0×1781+3×4081+4×827=83. 22（12分）．设，．（1）令，求在内的极值；（2）求证：当时，恒有．（1）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：极小值所以，在处取得极小值．（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．。

数学2-3模块检测试题

数学2-3模块检测试题(三)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学2-3模块综合测试题（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( ) A ．24种 B ．52种 C ．10种 D ．7种2．从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有( )A ．19种B ．54种C ．114种D ．120种3．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．－540B ．－162C ．162D ．5 670 4．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的范围为( )A ．[0，13]B ．[－13，13] C ．[－3,3] D ．[0,1]5．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A ．－16D ．16．(x ＋a x)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1 C ．1 D ．27．某校 1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是( )A ．997B ．954C ．682D ．3418．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8,2,5,3,7,1，参加抽奖的每位顾客从0,1,2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝12π·10·e－x －802200(x ∈R )，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同C ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为1010．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝＋，那么表中t 的值为( )A ．3B ．C ．D ．11．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )x 3 4 5 6 yt4培养液处理未处理合计青花病2521023512．考查黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系，调查了457株黄烟，得到下表中数据：根据表中数据K 2＝( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)15．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是； ②他恰好击中目标3次的概率是×； ③他至少击中目标1次的概率是1－.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．16．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N (25，，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)展开式中x 的系数为19，求f (x )的展开式中x 2的系数的最小值．18．(12分)五位师傅和五名徒弟站一排， (1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？ (2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？ (3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？19．(12分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为34，有且仅有一项技术指标达标的概率为512.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测为合格品的概率；(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率； (3)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E (ξ)与D (ξ)．20．(12分)某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．21．(12分)某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)求出散点图； (2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大(参考数据：x ＝5，y ＝50，∑=512i x＝145，∑=512i y＝13 500，∑=51i ii yx ＝1 380)22．(12分)在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6道物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩．设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．(1)求ξ的分布列及数学期望与方差；(2)若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一道题的概率均为，求甲没有取得良好成绩的概率．(精确到小数点后两位)。

高二数学选修2-2、2-3综合测试题

高二数学选修2-2、2-3综合测试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、12y x =-的定义域为集合A ，()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则A B =（）A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.已知i 为虚数单位，ii -+221=（） A.1 B.i C.-1 D.-i 3.⎰-+22)cos (ππdx x x =( ) A ．π B. 4 C. π- D ． 24.下列命题中为真命题的是（）A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交 C ．若命题"01,:"2>--∈∃x x R x p ，则命题p 的否定为："01,"2≤--∈∀x x R xD ．“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件5.已知函数f (x )=ln ln a x x +在[1,+∞]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.10a e<< B.0a e <≤ C.a e ≤ D.a e ≥ 6.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.9107.由曲线y=x 与直线x=4，y=0围成的曲边梯形的面积为（） A. 163 B. 83 C. 323 D. 168．极坐标方程0))(1(=--πθρ（0≥ρ）表示的图形为（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条射线和一条直线9．将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有( )A ．18种B ．24种C ．54种D ．60种10.已知可导函数满足(),()f x x R ∈满足'()()f x f x >，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 大小关系为（）A ． (0)()a e f f a =B ．(0)()a e f f a <C ．(0)()a e f f a >D ．(0)()a e f f a ≥二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

人教b版选修2-2高二下学期模块考试数学(选修2—2)

4x)e x
g '(x) (4 x 4)e x (2 x2 4x)e x ( 1) e x (4 2 x2 )
因为 e x 0
g '(x) 0 时 g( x) 为单调递增函数，即 ( 2, 2) 为单调递增区间
19．解：（ I ） S1
2 , S2
3 , S3
4 , S4
5
3
4
5
6
（Ⅱ）猜想 Sn
n1 (n N )
4．若复数 z ( x2 4) ( x 3)i( x R) ，则“ z 是纯虚数”是“ x 2 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数 y f ( x) 的图象如图所示，若
f ( x)dx m ，
0
信达
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A． 5 B． 5i C． 3 5i D． 3 4i
8．
2 0
(
x
ex )dx 的值为
A． 4 e2 B． 3 e2 C． 2 e2 D． 1 e2
9．函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ，其导函数 f '( x)
在 (a,b) 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内
2
猜想成立；
3
（2）假设 n k( k 2, k N ) 时猜想成立，即有： Sk
k 1， k2
则n
k 1时，因为 Sk 1

(完整版)高中数学选修2-3模块试题

第1页共2页1 / 22 / 2三、解答题： ( 共 70 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

)17．(10 分) 从 4 名男同学中选出 2 人， 6 名女同学中选出 3 人，并将选出的 5 人排成一排．（1）共有多少种不一样的排法？（2）若选出的 2名男同学不相邻，共有多少种不一样的排法？15 18．（ 10 分）求二项式 3x2的睁开式中：x（1）常数项；（2）有理项；（ 3）系数绝对值最大项19．（ 12 分）投掷一枚质地平均的硬币 3 次，记正面向上的次数为 X .（ 1）求随机变量 X 的散布列；（2）求随机变量X 的均值、方差20．（12 分）甲、乙两人进行射击竞赛，在一轮竞赛中，甲、乙各射击一发子弹．依据过去资料知，甲击中 8 环，9 环， 10 环的概率分别为 0.6 ，0.3 ，0.1 ，乙击中 8 环， 9 环， 10 环的概率分别为 0.4 ，0.4 ，0.2 ．设甲、乙的射击互相独立．（ 1）求在一轮竞赛中甲、乙同时击中 10 环的概率；（ 2）求在一轮竞赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率21．（ 12 分）5 0 5k 05 8 3 26 1 4 5 9 8在对人们的休闲方式的一次检查中，共检查了 120 人，此中女性 65 人，男性 55 人。

女性中有 40 人主要的休闲方式是看电视，此外 25 人主要的休闲方式是运动；男性中有 20 人主要的休闲方式是看电视，此外 35 人主要的休闲方式是运动。

（1）依据以上数据成立一个 2×2的列联表；（2）可以以 99%的掌握以为性别与休闲方式相关系 , 为何 ?22. (12 分 ) 某射击运动员射击一次所得环数 X 的散布列以下：X0~6 7 8 9 10 P0．20．30． 30．2现进行两次射击，以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩，记为．（ 1）求该运动员两次都命中7 环的概率．（ 2）求的散布列及数学希望E ．第2页共2页。

高中数学选修2-2、2-3试题精编答案

0224副标题一、单项选择题（本大题共21小题，共97.0分）1.已知f(x)=x2e x，则f′(1)=()A. 1B. eC. 2eD. 3e【答案】D【解析】解：∵f′(x)=2xe x+x2e x，∴f′(1)=2e+e=3e．故选：D．可以求出导函数f′(x)=2xe x+x2e x，然后即可求出f′(1)的值．本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.若函数f(x)满足f(x)=13x3−f′(1)⋅x2−x，则f′(1)的值为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解；求函数f(x)=13x3−f′(1)⋅x2−x的导数，得，f′(x)=x2−2f′(1)x−1，把x=1代入，得，f′(1)=1−2f′(1)−1，∴f′(1)=0，故选：A．先根据f(x)=13x3−f′(1)⋅x2−x求导，再把x=1代入，求f′(1)的值即可．本题考查了函数的求导公式，属于基础题，做题时不要被f(x)中的f′(1)所迷惑．3.若y=f(x)在(−∞,+∞)可导，且limΔx→0f(a+2Δx)−f(a)3Δ x=1，则f′(a)=()A. 23B. 2 C. 3 D. 32【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的定义，属于基础题．根据导数的定义进行求解即可．【解答】解：∵limΔx→0f(a+2Δx)−f(a)3Δ x=1，∴23·limΔx→0f(a+2Δx)−f(a)2Δ x=1，即23f′(a)=1，则f′(a)=32，故选D．4.若f(x)=f′(1)x2+e x，则f(1)=()A. eB. 0C. e+1D. e−1【答案】B【解析】解：由f(x)=f′(1)x2+e x，求导得：f′(x)=2f′(1)x+e x，令x=1可得，f′(1)=2f′(1)+e，解得f′(1)=−e．∴f(x)=−ex2+e x，∴f(1)=−e+e=0．故选：B．由f(x)=f′(1)x2+e x，求导得：f′(x)=2f′(1)x+e x，令x=1，解得f′(1)=−e.f(x)=−ex2+e x，可得f(1)．本题考查了导数的运算法则、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.曲线y=13x3−2x+3在在点(1,43)处的切线的倾斜角为()A. π4B. π3C. 23π D. 34π【答案】D【解析】解：根据题意，设曲线y=13x3−2x+3在该点处切线的倾斜角为θ，曲线方程为y=13x3−2x+3，其导数y′=x2−2，则有y′|x=1=1−2=−1，则切线的斜率k=−1；则有tanθ=−1，故θ=3π4；故选：D．根据题意，设曲线y=13x3−2x+3在该点处切线的倾斜角为θ，求出曲线方程的导数，进而求出y′|x=1的值，即可得切线的斜率，据此分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．6.函数y=x+1x的导数是()A. 1−1x2B. 1−1xC. 1+1x2D. 1+1x【答案】A【解析】解：函数y=x+1x 的导数是：y′=1−1x2．故选A．直接利用求导法则，求出函数的导数即可．本题考查函数的导数的求法，考查计算能力．7.若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于()A. 2B. 0C. −2D. −4【答案】D【解析】解：∵f′(x)=2f′(1)+2x∴f′(1)=2f′(1)+2∴f′(1)=−2∴f′(x)=−4+2x∴f′(0)=−4故选：D．利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1得到关于f′(1)的方程，解方程求出f′(1)，求出f′(x)；令x=0求出f′(0)．在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．8.设f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0=()A. e2B. eC. ln22D. ln2【答案】B【解析】解：∵f(x)=xlnx∴f′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1 ∵f′(x 0)=2 ∴lnx 0+1=2∴x 0=e ，故选B ．利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f′(x 0)=2解方程即可．本题考查两个函数积的导数运算．9. 下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′=3x log 3e ；②(log 2x)′=1x⋅ln2；③(sin π3)′=cos π3；④(1lnx )′=x ．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，根据导数的基本公式求导即可，比较基础．【解答】解：①(3x )′=3x ln3， ②(log 2x)′=1x⋅ln2； ③(sin π3)′=0； ④(1lnx)′=−1x ln 2x=−1xln 2x，故只有②正确，故选：A ．10. 已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)=x 2+3xf′(3)，则f′(3)=( )A. −1B. −2C. −3D. −4【答案】C【解析】解：∵f(x)=x2+3xf′(3)，∴f′(x)=2x+3f′(3)，令x=3，则f′(3)=2×3+3f′(3)，解得：f′(3)=−3，故选：C．由f(x)=x2+3xf′(3)⇒f′(x)=2x+3f′(3)，再令x=3即可求得答案．本题考查导数的应用，熟练掌握求导公式是解决问题的关键，属于中档题．11.若函数f(x)=x2+1，则f′(−1)=()xA. −1B. 1C. −3D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查基本初等函数的求导运算，属于基础题．，即可求解f′(−1)的值．可先求出导函数f′(x)=2x−1x2【解答】；解：f′(x)=2x−1x2∴f′(−1)=−2−1=−3．故选：C．12.已知函数f(x)的导函数为，且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+e x，则的值等于()A. −2B.C.D. −e2−22【答案】D【解析】【分析】本题主要考查导数的应用，熟悉导数的运算法则是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于较易题．由题意对函数进行求导即可得结果．【解答】解：∵f(x)=x2+3xf′(2)+e x，∴f′(x)=2x+3f′(2)+e x，令x=2，则f′(2)=4+3f′(2)+e2，即−2f′(2)=4+e2，−2，∴f′(2)=−e22故选D．13.下列各式正确的是()A. B. (cosx)′=sinxC. (sin x)′=−cos xD. (x−5)′=−5x−6【答案】D【解析】【分析】本题考查了导数的运算，主要考查了正弦函数、余弦函数、幂函数的求导公式．导数的基本要求要能对基本初等函数进行正确的求导，要熟悉常见函数的求导公式．属于基础题．根据常见函数的求导公式，一一求导判断，即可确定答案．【解答】解：对于选项A，为常数函数，故，故选项A不正确；对于选项B，y=cosx为余弦函数，故(cosx)′=−sinx，故选项B不正确；对于选项C，y=sinx为正弦函数，故(sinx)′=cosx，故选项C不正确；对于选项D，y=x−5为幂函数，故(x−5)′=−5x−6，故选项D正确，综上，正确的选项是D．故选D．14.已知函数f(x)=lnx−3x+f′(1)x2，则f(1)=()A. 2B. 1C. 0D. −1【答案】D【解析】解：f′(x)=1x−3+2f′(1)x，∴f′(1)=1−3+2f′(1)，∴f′(1)=2，∴f(x)=lnx−3x+2x2，∴f(1)=0−3+2=−1．故选：D．可求出导函数f′(x)=1x−3+2f′(x)x，从而可求出f′(1)=2，进而可得出f(x)的解析式，从而求出f(1)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.若函数f(x)=12f′(−1)x2−2x+3，则f′(−1)的值为()A. 0B. −1C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的运算，属于基础题．求函数的导数，令x=−1即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=12f′(−1)x2−2x+3，∴f′(x)=2×12f′(−1)x−2=f′(−1)x−2，令x=−1，则f′(−1)=−f′(−1)−2，即f′(−1)=−1，故选：B．16.函数f(x)=ln2+cosx的导数为()A. 12−sinx B. −sinx C. sin x D. 12+sinx【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．进行基本初等函数的求导即可．【解答】解：f′(x)=0−sinx=−sinx．故选：B．17.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A. 1B. −1C. 2D. −2【答案】B【解析】【分析】本题考查函数y=f(x)在两点间的平均变化率，属于基础题．利用求函数y=f(x)在两点间的平均变化率的公式即可解决．【解答】解：ΔyΔx =f(3)−f(1)3−1=1−32=−1，故选B．18.已知函数f(x)=2x2−1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx))，则ΔyΔx等于()A. 4B. 4+2ΔxC. 4+2(Δx)2D. 4 x【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查平均变化率的定义，属于基础题．根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．【解答】解：∵△y=[2(1+△x)2−1]−1=2△x2+4△x，∴ΔyΔx=4+2Δx，故选B．19.某航天飞机发射一段时间内，第t秒时高度ℎ(t)=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，时间的单位为s，则第1s末的瞬时速度为()A. 84m/sB. 120m/sC. 90m/sD. 30m/s【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查了导数的基本概念，导数的运算，考查了考生的理解，计算，转化能力，属基础题．对函数的ℎ(t)进行求导，再进行后面的解答即可得．【解答】解：由题意可得ℎ′(t)=15t2+60t+45，所以ℎ′(1)=15+60+45=120，所以第1s末的瞬时速度为120m/s，故选B．20.已知函数f(x)=2lnx+8x+1，则limΔx→0 f(1−2Δx)−f(1)Δx的值为()A. 10B. −10C. −20D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．根据导数的定义，计算函数f(x)在x=1处的导数即可．【解答】解：函数f(x)=2lnx+8x+1，所以f′(x)=2x+8；所以l Δx→0f(1−2Δx)−f(1)Δx=l Δx→0(−2)×f(1−2Δx)−f(1)−2Δx=−2l Δx→0f(1−2Δx)−f(1)−2Δx=−2f′(1)=−2×(2+8)=−20．故选：C．21.已知函数f(x)=2lnx+8x+1，则limΔx→0 f(1−2Δx)−f(1)Δx的值为()A. 10B. −10C. −20D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的概念，利用导数的定义，结合导数运算求解．【解答】解：，又因为f′(x)=2x+8，所以f′(1)=10，所以原式=−20，故选C．二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）22.已知函数f(x)=lnxx ，则f′(1e)=______．【答案】2e2【解析】解：由f(x)=lnxx ，得f′(x)=1−lnxx2，∴f′(1e)=2e2．故答案为：2e2．)的值．直接利用求导公式对f(x)求导，然后求出f′(1e本题考查了导数的运算性质，熟练掌握商的导数公式是解题关键，属基础题．23.已知，则________．【答案】−2021【解析】【分析】本题主要考查导数的计算，属于基础题．，再令x=2020，代入计算可得求导，得到f′(x)=x+2f′(2020)+2020x，然后可得f′(x)，进而可得f′(1)．【解答】解：由题意得，，所以，解得f′(2020)=−2021，所以，所以．故答案为−2021．24.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=______________【答案】−1【解析】【分析】此题主要考查导数的运算法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导.利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解．【解答】解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，(x>0)∴f′(x)=2f′(1)+1，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，x解得f′(1)=−1，故答案为−1．25.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(1)等于__________.(用数字作答)【答案】−2【解析】【分析】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，属于基础题．把给出的函数求导，在其导函数中取x=1，则f′(1)可求．【解答】解：∵f(x)=x2+2xf′(1)，∴f′(x)=2x+2f′(1)，令x=1，∴f′(1)=2+2f′(1)，∴f′(1)=−2，故答案为−2．26.已知f(x)=2x+log2x，则f′(1)=______ ．【答案】2ln2+1ln2【解析】【分析】求出函数的导数，将x=1代入f′(x)即可．本题考查了求函数的导数问题，熟练掌握常见函数的导数公式是解题的关键．【解答】解：∵f′(x)=2x ln2+1ln2，∴f′(1)=2ln2+1ln2，故答案为2ln2+1ln2．27.若f′(2)=3，则limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)Δx=________．【答案】6【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了导数的概念及极限的运算，属于基础题．解题时抓住，将已知极限变形才能使用．【解答】解：limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)Δx=2limΔx→0f(2+2Δx)−f(2)2Δx．故答案为：628.已知质点运动方程为S=t2−2t+1(S的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t=2s时刻的瞬时速度为______m/s．【答案】2【解析】【试题解析】【分析】本题考查导数的基本概念，借助函数的导数求某一时刻的瞬时速度，属于基础题．先求S=t2−2t+1的导数，再求得t=2秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．【解答】解：∵质点的运动方程为S=t2−2t+1，∴S′=2t−2，∴该质点在t=2的瞬时速度为2×2−2=2(m/s)．故答案为2．29.在曲线f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点，则当a→0,f(1−a)−f(1)2a→________．【答案】−1【解析】【试题解析】【分析】本题考查了导数的基本概念中函数的变化问题，属于基础题．把题目中给的f(1−a)和f(1)分别算出来，化简，即可得到最终结果．解：f(1−a)−f(1)2a =(1−a)2+3−(1+3)2a=a2−2a2a=a(a−2)2a=a−22．∵a→0，∴f(1−a)−f(1)2a→−1，故答案为−1．30.设a>1，曲线f(x)=a x与曲线g(x)=log a x有且仅有一个公共点，则实数a的值是_________．【答案】e1e【解析】【分析】因为函数f(x)=a x与函数g(x)=log a x互为反函数，所以若曲线f(x)=a x与曲线g(x)=log a x有且仅有一个公共点，则该点一定在直线y=x上，且y=x为两曲线的公切线．据此求解即可．本题考查了反函数，指数函数，对数函数的性质，导数的几何意义等知识，属于中档题．【解答】解：依题意，设曲线f(x)=a x与曲线g(x)=log a x有且仅有一个公共点(x0,y0)，因为函数f(x)=a x与函数g(x)=log a x互为反函数，所以(x0,y0)在直线y=x上，且y=x为两曲线的公切线．所以y0=x0，因为y=x与曲线g(x)=log a x切于(x0,y0)，所以切线斜率k=1=1x0lna ，即x0=1lna，又y0=x0=log a x0，所以1lna =log a x0=lnx0lna，所以lnx0=1，即x0=e，所以y0=a e=e，解得a=e1e，故答案为：e1e．31.函数y=x12+log2(1−x)的定义域为______．【答案】[0,1)【解析】本题考查了函数的定义域，保证偶次根式下非负，以及对数真数大于0，求解答案．【解答】解：因为x12=√x，所以x≥0，又因为，真数要大于0，所以x<1，综上，该函数定义域为[0,1)，故答案为[0,1)．三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）32.解不等式：x2>(k+1)x−k．【答案】解：x2>(k+1)x−k变形为(x−k)(x−1)>0，所以当k>1时，不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时，不等式的解集是{x|x≠1}当k<1时，不等式的解集是{x|x<k或x>1}．【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法；考查了讨论的思想．首先对不等式变形，然后分解因式，讨论对应根k与1的大小，得到不等式的解集．。

人教新课标版数学高二-选修2-2模块综合检测卷(三)

数学·选修2－2(人教A 版)模块综合检测卷(三)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题中要求的)1．(2013·江门二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3解析：设复数z 的虚部是为b ，要求已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，故有1＋b 2＝4，解得b ＝±3，故选D. 答案：D2. 若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以复数的实部cos θ＋sin θ＞0，虚部sin θ－cos θ＜0，所以复数对应的点在第四象限．故选D.答案：D3．(2014·安徽池州一中月考)设x ∈R ，则“x 2＝x ”成立的充分不必要条件是( )A ．“x ＝1”B ．“x (x －1)＝0”C ．“x (x ＋1)＝0”D ．“x (x 2－1)＝0”解析：“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件； “x (x －1)＝0”是“x 2＝x ”的充要条件； “x (x ＋1)＝0” 是“x 2＝x ”的不充分不必要条件；“x (x 2－1)＝0”是“x 2＝x ”的不充分不必要条件．故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝axax 2－1，∴f ′(1)＝aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：B5．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )答案：B6．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )A.116B.92C.12＋ln 3 D ．4－ln 3解析：由xy ＝1得y ＝1x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为x d x ＋1x d x ＝＋＝12＋ln 3，故选C.7．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1 000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)．要使旅行社的收费最多，旅游团组团人数为() A．130 B．140 C．150 D．160解析：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y，则依题意有f(x)＝1 000x－5(x－100)x(100≤x≤180)，令f′(x)＝1 500x－10x＝0得x ＝150.又f(100)＝100 000，f(150)＝112 500，f(180)＝108 000，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112 500元，故选C.答案：C8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分；将正确答案填在题中的横线上)9．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：因为z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，所以z ＝1＋3i ，故z 的实部是1.答案：110．(2013·江西卷)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：设e x ＝t ，则x ＝ln t (t ＞0)，所以f (t )＝t ＋ln t ，所以f ′(t )＝1＋1t ，所以f ′(1)＝2.答案：211．(2013·潮州二模改编)计算⎰e 1⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x d x ＝________________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′＝3x ，(ln x )′＝1x ，＝32e 2－32－(ln e －ln 1)＝3e 2－52. 答案：3e 2－5212．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x . 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)13．一同学在电脑中打出如下若干个圆，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前100个圆中有________个●.解析：∴2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＜100，即n(n＋3)2＜100，则满足条件的n＝12.答案：1214．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝____________________.解析：观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…，与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)设|z |＝1，且z ≠±i ，求证z1＋z 2为实数．证明：由条件可知z ≠0，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，且x 2＋y 2＝1，所以z 1＋z 2＝x ＋y i 1＋x 2－y 2＋2xy i ＝x ＋y i 2x 2＋2xy i＝12x ·x ＋y i x ＋y i ＝12x ∈R ，所以z 1＋z2为实数．16．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3, 并推测a n 的表达式；解析：由S n ＋a n ＝2n ＋1得a 1＝32， a 2＝74， a 3＝158，∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)用数学归纳法证明所得的结论．证明：①当n ＝1时，左边＝S 1＋a 1＝32＋32＝3，右边＝2×1＋1＝3，∴结论成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2－12k ，当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, ∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k,∴2a k ＋1＝4－12k ， ∴a k ＋1＝2－12k ＋1成立．根据①②知对于任何自然数n ，结论成立．17．(本小题满分14分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；解析：解法一 f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2ax ·1ax ＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1a 时，f (x )的最小值为b ＋2.解法二 f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a 时，f (x )取得最小值2＋b .(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32， ①f ′(x )＝a 2x 2－1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32， ② 由①②得：a ＝2，b ＝－1.18．(本小题满分14分)已知y ＝f (x )为定义在R 上奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2ln x －mx ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式；解析：因为y ＝f (x )为定义在R 上奇函数，所以设x ∈(－∞，0)，有－x ∈(0，＋∞)，f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln (－x )＋mx ＋12x 2，即当x ∈(－∞，0)，f (x )＝－2ln(－x )－mx －12x 2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ln x －mx ＋12x 2，x ＞0，0，x ＝0，－2ln (－x )－mx －12x 2，x ＜0.(2)若f (x )在[1,2]上单调递减，求m 的取值范围．解析：因为f (x )在[1,2]上单调递减，所以f ′(x )＝2x －m ＋x ＝x 2－mx ＋2x≤0在[1,2]上恒成立．设h (x )＝x 2－mx ＋2，则有⎩⎨⎧h (1)≤0，h (2)≤0，解得m ≥3.19．(2013·河北唐山市一模)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝mx ＋nex 在x ＝1处取得极值e －1.(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调区间；解析：f ′(x )＝－mx ＋n －me x .依题意，f (1)＝e －1，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝0.所以f (x )＝xe x ，f ′(x )＝x －1e x .当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．(2)当x >0时，试证：f (1＋x )>f (1－x )．解析：设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1＋xe 1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe .设h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ＝1＋xex －(1－x )e x，则h ′(x )＝x (e 2x －1)e x>0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )>h (0)＝0，所以g (x )>0，从而f (1＋x )>f (1－x )．20．(本小题满分14分)数列{a n }满足a 1＝16,前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)求出a 2，a 3，a 4的值；解析：(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以k2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).。

高中数学选修2-2、2-3试题精编答案

0302最后定副标题一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.若函数f(x)的导函数f′(x)满足f(x)=2f′(1)lnx+x，则f′(2)=()A. 0B. −1C. −eD. e 【答案】A【解析】解：f(x)=2f′(1)lnx+x，则f′(x)=2f′(1)x+1，则f′(1)=2f′(1)+1，解得f′(1)=−1，所以f′(x)=−2x+1，所以f′(2)=−1+1=0．故选：A．求出导函数，从而可得f′(1)，再利用导数即可求得f′(2)．本题主要考查导数的运算，求出f′(1)是解题的关键，属于基础题．2.已知函数f(x)=tanx+1，f′(x)为f(x)的导数，则f′(π4)=()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：f′(x)=(sinxcosx )′=1cos2x，∴f′(π4)=(√22)=2．故选：C．可以求出导函数f′(x)=1cos2x ，然后把x换上π4即可得出f′(π4)的值．本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.已知函数f(x)在x=x0处可导，若，则f′(x0)=()A. 1B. 13C. 3 D. 14【答案】D【解析】解：，，，∵函数f(x)在x=x0处可导，，故选：D．根据题意，由极限的性质分析可得，由导数的定义分析可得答案．本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．4.已知下列四个命题，其中正确的个数有①(2x)′=x⋅2x−1②(sin2x)′=cos2x③(log a x)′=a x lna(a>0,且a≠1)④(ln2)′=1 ()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】解：(2x)′=2x ln2，故①错误；(sin2x)′=2cos(2x)，故②错误；(log a x)′=1xlna，故③错误；(ln2)′=0，故④错误；故选：A．分别对各函数求导，与题目给出的结论对比即可得到结果．本题考查了基本初等函数的导数，复合函数的导数，考查计算能力，属于基础题．5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=()A. 1B. −1C. −e−1D. −e【答案】C【解析】解：由关系式f(x)=2xf′(e)+lnx，两边求导得f′(x)=2f′(x)+1x，令x=e得f′(e)=2f′(e)+e−1，所以f′(e)=−e−1；故选：C．首先对等式两边求导得到关于f′(e)的等式解之．本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f′(x)的等式，对x 取e求值．6.下列求导结果正确的是()A. (1−x2)′=1−2xB. (cos30°)′=−sin30°C. [ln(2x)]′=12x D. (√x3)′=32√x【答案】D【解析】解：对于A，(1−x2)′=−2x，∴A式错误；对于B，(cos30°)′=0，∴B式错误；对于C，[ln(2x)]′=12x ×(2x)′=1x，∴C式错误；对于D，√x3′=(x32)′=32x12=32√x，∴D式正确．故选：D．按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．本题考查了基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．7.函数f(x)=1lg(x+1)+√2−x的定义域为()A. (−1,0)∪(0,2]B. [−2,0)∪(0,2]C. [−2,2]D. (−1,2]【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域，考查学生的计算能力，属于基础题．由题意列出不等式组：{x+1>0x+1≠12−x≥0，解出即可求解．【解答】解：由题意得：{x +1>0x +1≠12−x ≥0,解得−1<x ≤2且x ≠0， ∴函数的定义域为(−1,0)∪(0,2]．故选A ．二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）8. 已知函数f(x)=xe x−1，则曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为______．【答案】y =2x −1 【解析】【分析】本题主要考查导数的运用，函数的切线方程问题，解题的关键是求导函数，属于基础题．求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可．【解答】解：f′(x)=xe x−1+e x−1 f′(1)=2，f(1)=1，故切线方程是：y −1=2(x −1)，即y =2x −1．故答案为y =2x −1．9. 已知函数f(x)=x 3−5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b为正实数，则a +b 的值为________．【答案】2 【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=−2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．【解答】解：由f(x)=x 3−5x +a ，得f ′(x)=3x 2−5，∵直线2x+y+b=0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x0,y0)，则3x02−5=−2，∴x0=1或x0=−1，∴y0=a−4或y0=a+4，即切点坐标为(1,a−4)或(−1,a+4)，代入直线中，得a+b=2或a+b=−2，∵a，b为正实数，∴a+b=2．故答案为：2．10.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+△x,3+△y)，则____．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查变化的快慢与变化率、导数的定义，属于基础题．lim Δx→0ΔyΔx就是(1,3)点处的瞬时变化率，即为曲线y=x2+2在x=1时的导数，所以求出曲线y=x2+2在x=1时的导数即可．【解答】解：y′|x=1=2x|x=1=2，又limΔx→0ΔyΔx就是(1,3)点处的瞬时变化率，即为曲线y=x2+2在x=1时的导数，则limΔx→0ΔyΔx=2．故答案为：2．11.若函数f(x)=sin3x，则limΔx→0 f(π+Δx)−f(π)Δx=________．【答案】−3【解析】【分析】本题主要考查了导数的定义，导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意求出f′(x)，从而由导数的定义即可得．解：∵函数f(x)=sin3x，∴f′(x)=3cos3x，，故答案为−3．12.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2,f(2))处的切线方程为________．【答案】4x−y−1=0【解析】【分析】此题考查利用导数的定义求导数，考查导数的几何意义．【解答】解：f(2)=22+3=7，Δy=f(2+Δx)−f(2)=4Δx+(Δx)2，则ΔyΔx=4+Δx，所以limΔx→0ΔyΔx=4，则f′(2)=4，所以f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y−7=4(x−2)，即4x−y−1=0．故答案为4x−y−1=0．13.函数f(x)=e xx+1的图象在点(0,f(0))处的切线方程是________．【答案】y−1=0【解析】本题主要考查导数几何意义，以及导数的基本运算，属于基础题．求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程．【解答】解：由题意f′(x )=xe x(x+1)2， f′(0)=0且f(0)=1，所以函数f (x )=e xx+1的图象在(0,f(0))处的切线方程是y −1=0．故答案为y −1=0．14. 已知f(x)=xlnx ，求△x →0limf(3+2△x)−f(3)△x=______【答案】2ln3+2 【解析】【分析】先求导，再根据导数的变化率即可求出．本题考查了极限的定义和导数的运算，属于基础题【解答】解：∵f(x)=xlnx ， ∴f′(x)=1+lnx ， ∴△x →0limf(3+2△x)−f(3)△x=2△x →0limf(3+2△x)−f(3)2△x=2f′(3)=2+2ln3，故答案为：2+2ln315. 已知直线y =x +2与曲线y =ln(x +a)相切，则a 的值为_________【答案】3 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题．设直线与曲线的切点为(x 0,y 0)，则y 0=2+x 0，，由导数的几何意义y ′|x=x 0=1x0+a=1，即x 0+a =1，所以y 0=0，则x 0=−2，进而可求出a ．【解答】解：设直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0)，则y0=2+x0，y0=ln(x0+a)．，因为曲线的导函数y′=1x+a=1，即x0+a=1．所以y′|x=x0=1x0+a又y0=ln(x0+a)，所以y0=0，则x0=−2，所以a=3．故答案为3．16.已知函数f(x)=lnx+x2，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．【答案】3x−y−2=0【解析】解：函数f(x)=lnx+x2，可知f(1)=1，故切点为(1,1)，f′(x)=1+2x，x故f′(1)=3，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0，故答案为：3x−y−2=0．根据题意，求出f(1)和f′(1)，即可得解．本题考查了导数的几何意义，是基础题．17.已知函数f(x)=e x和g(x)=ln x+ax在x=1处的切线的斜率相等，则a的值为__________．【答案】e−1【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义和导数的运算，属于基础题．先将g(x)的导数求出，再根据导数的意义求出答案．【解答】+a，由f′(1)=e=g′(1)=1+a，得a=e−1．f′(x)=e x，g′(x)=1x18.若直线y=x+a是曲线y=ln(2x)的切线，则实数a=____________．【答案】ln2−1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题．由题意，设切点的坐标为(x0,ln(2x0))，由该点的导数为1，求得x0，再把切点坐标代入y=x+a解得a即可．【解答】解：∵直线y=x+a是曲线y=ln(2x)的切线，∴设切点的坐标为(x0,ln(2x0))，而y=ln(2x)的导数为y′=1，x=1解得x0=1，∴由题意，1x0∴切点坐标为(1,ln2)，将切点坐标(1,ln2)代入y=x+a，得ln2=1+a，解得a=ln2−1．故答案为ln2−1．19.已知直线y=x+1是曲线f(x)=ln(x+a)的切线，则a=________．【答案】2【解析】【分析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．设切点(x0,ln(x0+a))，先利用导数求出切线方程，然后和y=x+1对照，即可求出a 的值．【解答】解：设切点(x0,ln(x0+a))，又f′(x)=1，x+a所以f′(x0)=1x，0+a(x−x0)，即为y=x+1，故该曲线的切线方程为：y−ln(x0+a)=1x0+a所以{1x0+a=1ln(x0+a)=x0+1，解得x0=−1，a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.已知曲线f(x)=x3−2x2+x．(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;(2)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程．【答案】解：(1)由题意得f′(x)=3x2−4x+1，所以f′(2)=5，f(2)=2，可得所求切线方程为y−2=5(x−2)，整理得5x−y−8=0．(2)设切点为(x0,y0)，则有y0=x03−2x02+x0，f′(x0)=3x02−4x0+1，所以曲线在该点的切线方程为y−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(x−x0)，因为切线过原点，所以0−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(0−x0)，解得x0=0或x0=1，可得切点为(0,0)或(1,0)，又f′(0)=1，f′(1)=0，所以所求切线方程为y=x或y=0．【解析】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题．(1)求导，得到切线的斜率，代入直线方程的点斜式求解即可；(2)设切点为(x0,y0)，求出切线方程为y−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(x−x0)，利用切线经过原点，求出x0=0或x0=1，代入切线方程即可求解．21.求下列函数的导数：(1)y=e xx；(2)y=(2x−3)sin (2x+5)【答案】解：(1)y′=xe x−e xx2=e x(x−1)x2；(2)y′=2sin (2x+5)+2(2x−3)cos (2x+5)．【解析】本题考查导数的运算，属于基础题．(1)根据导数的运算法则计算即可，(2)根据复合函数的求导法则计算即可．22.求下列函数的导数：(1)f(x)=e x·ln x；(2)f(x)=x·sin x−2cos x；(3)f(x)=sin(2x−1)；(4)f(x)= x·e2x+1．【答案】解：(1)f′(x)=(e x·ln x)′=(e x)′·ln x+e x·(ln x)′=e x·ln x+e xx．(2)f′(x)=(x·sin x)′−(2cos x )′=sin x+x(sin x)′−−2(cos x)′cos2x=sin x+xcos x−2sin xcos2x．(3)y=sin(2x−1)由y=sin u与u=2x−1复合而成，∴y′x=(sin u)′·(2x−1)′=2cos u=2cos(2x−1)．(4)y′=(x·e2x+1)′=x′·e2x+1+x·(e2x+1)′=e2x+1+x·e2x+1·(2x+1)′=e2x+1(1+2x).【解析】本题考查导数的计算，属于基础题．(1)利用导数的运算法则即可求解；(2)利用导数的运算法则即可求解；(3)利用复合函数的求导法则即可求解；(4)利用复合函数的求导法和导数的运算法则即可求解；第11页，共11页。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．－1或1B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.]2．演绎推理“ 因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠ 1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数” ，所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是 ( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D [当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.]4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2A [y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵⎝⎛⎭⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2.]6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限．] 7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]8．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A ．12k ＋2B ．12k ＋1－12k ＋2C ．12k ＋1＋12k ＋2D ．12k ＋1B [从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1k ＋1，∴需增加的代数式为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.] 9．已知结论：“ 在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C.]10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]11．如图所示，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为 ( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．nB [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．]12．已知可导函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )>f (x )，则当a ＞0时，f (a )和e a f (0)的大小关系为( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )＝e a f (0)D ．f (a )≤e a f (0)B [令g (x )＝e －x f (x )，则g ′(x )＝e －x [f ′(x )－f (x )]>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，g (a )>g (0)．e －a f (a )>e 0f (0)，即f (a )>e a f (0)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则|a ＋b i|＝________.5 [由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5.]14．由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________．133 [如图所示，S ＝12x 2dx ＝16x 3⎪⎪⎪31＝16(33－13)＝133.] 15．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.]16．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a >0，b >0，用分析法证明：a ＋b 2≥2aba ＋b .[证明]因为a >0，b >0，要证a ＋b 2≥2aba ＋b ，只要证，(a ＋b )2≥4ab ，只要证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立，故a ＋b 2≥2aba ＋b成立．18．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部．[解]设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝x ＋2，3－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i 2＋i＝2＋i ，虚部为1.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解](1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.20．(本小题满分12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ [解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h <6，O 1O ＝4h ，如图，连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫22a 2＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝2 3.当0<h <23时，V ′>0，V 是增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是减函数．故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围． [解](1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值X 围是(0,1)．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． [解](1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得a 21＝1，∵a n >0， ∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1. 由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立，由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

高中数学选修2-2、2-3试题精编答案

周末作业0226副标题题号一二三总分得分一、单项选择题（本大题共10小题，共49.0分）1. 已知函数f(x)在x =x 0处的导数为1，则ℎ→0limf(x 0−ℎ)−f(x 0)ℎ=( )A. 1B. −1C. 3D. −3【答案】B【解析】解：根据题意，ℎ→0lim f(x 0−ℎ)−f(x 0)ℎ=−ℎ→0limf(x 0−ℎ)−f(x 0)−ℎ=−f′(x 0)=−1，故选：B ．根据题意，由极限的运算性质可得ℎ→0limf(x 0−ℎ)−f(x 0)ℎ=−ℎ→0limf(x 0−ℎ)−f(x 0)−ℎ，结合导数的定义分析可得答案．本题考查导数的定义，涉及极限的运算性质，属于基础题．2. 已知函数y =f(x)的部分图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(x 1)与f′(x 2)的大小关系为( )A. f′(x 1)<f′(x 2)B. f′(x 1)>f′(x 2)C. f′(x 1)=f′(x 2)D. 无法确定【答案】A【解析】解：由图象可知，函数在x =x 1处的切线斜率比在x =x 2处的切线斜率小，根据导数的几何意义可得f′(x 1)<f′(x 2). 故选：A ．结合函数图象及导数的几何意义即可求解．本题主要考查导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，属于基础题．3.以下求导正确的是()A. (cosx)′=sinxB. (log2x)′=1xC. (1x )′=−1x2D. (1+lnx)′=1+1x【答案】C【解析】解：(cosx)′=−sinx，故选项A错误；(log2x)′=1xln2，故选项B错误；(1 x )′=−1x2，故选项C正确；(1+lnx)′=1x，故选项D错误．故选：C．利用常见函数的求导公式以及导数的四则运算对选项逐一判断，即可得到答案．本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的求导公式的应用以及导数的四则运算的运用，属于基础题．4.曲线f(x)=x2−sinx在点(0,f(0))处的切线方程为()A. y=−xB. y=−2xC. y=−12x D. y=−13x【答案】A【解析】解：f(x)=x2−sinx的导数为f′(x)=2x−cosx，所以曲线f(x)=x2−sinx在点(0,f(0))处的切线的斜率为k=2×0−cos0=−1，且切点为(0,0)，则切线的方程为y=−x，故选：A．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和是哪里，属于基础题．5.曲线y=2e x+1在点(0,3)处的切线方程为()A. x−y+3=0B. x−2y+6=0C. 2x+y−3=0D. 2x−y+3=0【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义和直线方程的求法，属于基础题．求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=2e x+1的导数为y′=2e x，在点(0,3)处的切线斜率为k=2，即有在点(0,3)处的切线方程为y−3=2(x−0)，即2x−y+3=0．故选：D．6.下列求导计算正确的是()A. (lnxx )′=lnx−1x2B. (log2x)′=1xln2C. (2x)′=2x1ln2D. (xsinx)′=cosx 【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、(lnxx )′=(lnx)′x−lnx⋅x′x2=1−lnxx2，故A错误；对于B、(log2x)′=1xln2，B正确；对于C、(2x)′=2x ln2，故C错误；对于D、(xsinx)′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx，故D错误；故选：B．根据题意，依次对选项的函数求导，分析即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则．7.下列求导运算的是()A. (sina)′=cosa(a为常数)B. (sin2x)′=2cos2xC. (cosx)′=sinxD. (x−5)′=−15x−6【答案】B【解析】解：(sina)′=0(a为常数)，(sin2x)′=2cos2x，(cosx)′=−sinx，(x−5)′=−5x−6．故选：B．对每个选项函数求导即可．考查基本初等函数和复合函数的求导公式．8.函数f(x)=xe x在x=2处的切线方程为()A. y=3e2x−4e2B. y=3e2x−8e2C. y=−1e2x+4e2D. y=−1e2x【答案】C【解析】解：函数f(x)=xe x ，可得f′(x)=1−xe x，f′(2)=−1e2，f(2)=2e2，函数f(x)=xe x 在x=2处的切线方程为：y−2e2=−1e2(x−2)，即y=−1e2x+4e2．故选：C．求出函数的导数，得到切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．9.函数y=(sinx2)3的导数是()A. y′=3xsinx2⋅sin2x2B. y′=3(sinx2)2C. y′=3(sinx2)2cosx2D. y′=6sinx2cosx2【答案】A【解析】解：函数的导数f′(x)=3(sinx2)2((sinx2)′=3(sinx2)2cosx2(x2)′=2×3(sinx2)2cosx2=6(sinx2)2cosx2=3xsinx2⋅sin2x2,故选：A．根据复合函数的导数公式进行求解即可．本题主要考查函数的导数计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3，则切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 不确定【答案】B【解析】解：f′(x)=3x2=3，解得x=±1，故有两个切点(1,1)和(−1,−1)，所以有两条切线故选：B．求函数的导数，令其为3，可得切点横坐标，有几个切点就有几条切线．考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.设函数f(x)是R内的可导函数，且f(lnx)=xlnx，则f′(0)=______ ．【答案】1【解析】解：令t=lnx，则f(t)=te t，故f(x)=xe x，所以f′(x)=(x+1)e x，故f′(0)=1．故答案为：1．利用换元法求出函数f(x)的解析式，然后求出f′(x)，将x=0代入求解即可．本题考查了导数的运算，涉及了利用换元法求解函数解析式问题，属于基础题．12.函数f(x)=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为______ ．【答案】1e−1【解析】解：函数f(x)=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为f(e)−f(1)e−1=1e−1．故答案为：1e−1．根据平均变化率的公式进行求解即可．本题考查了函数在给定区间上的平均变化率，属基础题．13.函数f(x)=x3−x+5的图象在点P(1,f(1))处的切线方程是______ ．【答案】2x−y+3=0【解析】解：函数f(x)=x3−x+5的导数为f′(x)=3x2−1，可得在点P(1,f(1))处的切线斜率为k=3−1=2，又f(1)=13−1+5=5，切点为(1,5)，则切线方程为y−5=2(x−1)，即为2x−y+3=0．故答案为：2x−y+3=0．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．14. 设函数f(x)可导，若△x →0limf(1+△x)−f(1)3△x=1，则f′(1)=______．【答案】3【解析】解：依题意，△x →0limf(1+△x)−f(1)3△x=1，所以13△x →0limf(1+△x)−f(1)△x =1，所以△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=3，所以f′(1)=△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=3．故答案为：3．由△x →0limf(1+△x)−f(1)3△x =1⇒13△x →0limf(1+△x)−f(1)△x =1⇒f′(1)=△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=3，本题考查了极限的运算，导数的定义，属于基础题．15. 设曲线y =ax −ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =______．【答案】3【解析】解：y =ax −ln(x +1)的导数 y′=a −1x+1，由在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，得a −10+1=2，则a =3．故答案为：3．根据导数的几何意义，即f′(x 0)表示曲线f(x)在x =x 0处的切线斜率，再代入计算．本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．16. 曲线y =e 12x 在点(4,e 2)处的切线的斜率为______ 【答案】12e 2【解析】解：y=e 12x的导数为y′=12e 12x，可得曲线y=e 12x在点(4,e2)处的切线斜率为k=12e2，故答案为：12e2．运用复合函数的导数运算法则，可得y=e 12x的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共8小题，共92.0分）17.求下列函数的导数：(Ⅰ)y=x4−3x2−5x+6；(Ⅱ)y=x3e x．【答案】解：(Ⅰ)因为y=x4−3x2−5x+6，所以y′=4x3−6x−5；(Ⅱ)因为y=x3e x，所以y′=3x2⋅e x+x3⋅e x=e x x2(3+x)．【解析】(Ⅰ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；(Ⅱ)利用常见函数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可．本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用以及导数的运算法则的应用，属于基础题．18.求下列函数的导数：(1)f(x)=(1+sinx)(1−4x)；(2)f(x)=xx+1−2x．【答案】解：(1)f′(x)=(1+sinx)′(1−4x)+(1+sinx)(1−4x)′=cosx(1−4x)−4(1+sinx)=cosx−4xcosx−4−4sinx(2)f(x)=xx+1−2x=1−1x+1−2x，则f′(x)=1(x+1)2−2x ln2【解析】根据导数的运算法则求导即可本题考查了导数的运算法则，属于基础题19.已知函数f(x)=ax2−43ax+b，f(1)=2，f′(1)=1；(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)在(1,2)处的切线方程．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=2ax−43a，根据题意有：f(1)=a−43a+b=2①，f′(1)=2a−43a=1②，由①②解有a=32,b=52，所以f(x)的解析式是f(x)=32x2−2x+52；(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x−2，f(x)在(1,2)处的切线的斜率k=f′(1)=1，所以有y−2=x−1即x−y+1=0，故所求切线的方程为x−y+1=0．【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，属于简单题．(Ⅰ)求出导函数，利用f(1)=2，f′(1)=1.列出方程，求解即可．(Ⅱ)求出导函数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程．20.求下列函数的导数(1)y=x(x−1x)(2)y=cosx−xx2．【答案】解：(1)∵y=x(x−1x2)=x2−1x，∴y′=2x+1x2．(2)y′=(cosx−x)′x2−(cosx−x)⋅(x2)′x4=(−sinx−1)x2−2x(cosx−x)x4=x−xsinx−2cosxx3．【解析】根据函数的导数公式进行求解即可．本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．21.求下列函数的导函数．(1)y=e x cosx；(2)y=1+xx+lnx．【答案】解：(1)y′=e x cosx−e x sinx=e x(cosx−sinx)；(2)y′=x−(1+x)x2+1x=−1x2+1x=x−1x2．【解析】(1)根据积的导数和基本初等函数的求导公式求导即可；(2)根据商的导数和基本初等函数的求导公式求导即可．本题考查了导数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．22.已知函数f(x)=x2lnx．(Ⅰ)求y=f(x)的导函数；(Ⅱ)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程．【答案】解：(Ⅰ(Ⅱ)x=1时，f(1)=0，k=f′(1)=2ln1+1=1，∴函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程为y−0=x−1，即y=x−1．【解析】本题考查了导数的运算法则，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，属于基础题．(Ⅰ)直接利用导数的运算法则求解；(Ⅱ)求出函数在x=1处的导数，求出f(1)，然后由直线方程的点斜式得答案．23.已知函数ℎ(x)=xln x．(1)求函数ℎ(x)的单调区间；(2)证明：ℎ(x)+1−sin x≥0．【答案】解：(1)ℎ′(x)=lnx +1，故可得ℎ(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增；(2) ①令g(x)=xlnx +1−x ，g′(x)=lnx ，可得g(x)在x =1处取得极小值，函数g(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0． ②令t(x)=x −sinx ，t′(x)=1−cosx ≥0，故t(x)在(0,+∞)上单调递增，所以t(x)≥t(0)=0恒成立．所以xlnx +1−x +x −sinx ≥0，即ℎ(x)+1−sinx ≥0.【解析】本题考查了导数和函数的单调性最值得关系，不等式成立的应用，考查了转化思想，培养了学生的运算能力，分析解决问题的能力，属中档题． (1)根据导数和函数单调性的关系，即可求出；(2)g(x)=xlnx +1−x ，再l 利用导数研究得g(x)≥g(1)=0，令t(x)=x −sinx ，得t(x)≥t(0)=0恒成立，即可证明．24. 求下列函数的导数：①y =ln (2x +3)； ②y =e −x sin2x ．【答案】解：①y ′=12x+3×2=22x+3；．【解析】本题主要考查导数的运算，属于基础题.熟练掌握复合函数的求导法则是解题的关键．①掌握复合函数的求导和对数函数的求导即可． ②掌握复合函数的求导和三角函数的求导即可．。

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