2013上海浦东新区高三数学一模试题(理)doc

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上海市17区县2013届高三数学一模试题分类汇编专题九复数理.doc

专题九复数2013年2月（黄浦区2013届高三一模理科）16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是（）A ．22B ．2C ．122+D ．122-16．D（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线zi z l =--22:的对称点的复数表示是……………………………………………………………………………（ .B ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④16、C（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是．6．21（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = . 1、3+5i（宝山区2013届期末） 1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是．12-± （宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则yx的最大值是 . 3（长宁区2013届高三一模）6、（理）已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若10110i 0zz z =（i 是虚数单位），则z = ． 6、（理）0，i -（杨浦区2013届高三一模理科）2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；（松江区2013届高三一模理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+．（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分（2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分（浦东新区2013届高三一模理科）21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立，求实数λ的取值范围. 解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈， (2)分232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分（嘉定区2013届高三一模理科）19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）。

2013上海浦东新区高三数学一模试题(理)doc_

浦东新区2012学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理科） 2013.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若集合},0{m A =，}2,0{=B ，}2,1,0{=B A ，则实数=m2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是/ 3．函数)2(log 2-=x y 的定义域4．已知R y x ∈,，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 5．函数1y =0≥x ）的反函数是 6．函数()2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S = 8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为9．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 10．二项式nx ⎛ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n = 11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为12．已知向量a 与b ，2a = ，3b = ，a 、b 的夹角为60︒，当20,21≤≤≤≤n m 时，ma nb + 的最大值为13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的解析式为14．1,2,...,n 共有!n 种排列12,,...,n a a a （*∈≥N n n ,2），其中满足“对所有1,2,...,k n =都有2k a k ≥-”的不同排列有种二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ”的（）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=x x f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为（）()A 12- ()B 0 ()C 12()D 117．若1x ，2x ，3x ，…，2013x 的方差为3，则)2(31-x ，)2(32-x ，)2(33-x ，…，20133(2)x - 的方差为（）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 27A B 1BC18．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈。

无锡新领航教育特供：上海市浦东新区2013届高三上学期期末质量抽测数学理试题

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无锡新领航教育特供：浦东新区2012学年度第一学期期末质量
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高三数学试卷（理科） 2013.1
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若集合{}{}{}0,,0,2,0,1,2
A m
B A B ===U ，则实数=m . 【答案】1
【解析】因为{}0,1,2A B =U ，所以1A ∈，即1m =.
2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-311111，则此方程组的解是【答案】2
.1x y =⎧⎨=⎩
【解析】由题意可知方程组为1
3x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2.
1x y =⎧⎨=⎩.
3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .
【答案】),3[+∞
【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0
x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数
)2(lo g 2-=x y 的定义域为),3[+∞. 4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 【答案】1
16
【解析】因为41x y +=≥116xy ≤，当且仅当142x y ==，即11,28
x y ==时取等号，所以
x y ⋅的最大值为116. 5
．函数1y =+0≥x ）的反函数是 .。

2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷(含答案)

2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数21x y =+的反函数为 . 2. 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2后, 所得点B 的坐标为 . 3. 设m 是实数. 若复数1iim +-的实部为0(i 表示虚数单位), 则m = . 4. 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = . 5. 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n的值为 .6. 设m 是正实数. 若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8, 则 m = . 7. 设k 是实数. 若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线, 则k 的取值范围为 .8. 已知命题“a A ∈”是命题“132110111aa =”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A 是 .9. 设全集U R =. 若集合11A xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭, 则U A =ð . 10. 设A 是三角形的内角. 若1sin cos 5A A -=, 则tan 2A = . 11. 设a 是实数. 若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则函数()f x 的递增区间为 . 12. 在数列{}n a 中, 10a ≠, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+⎪⎝⎭. 数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2limnn nS S →∞= .13. 若平面向量,a b满足||2a = , (2)12a b b +⋅= , 则||b 的取值范围为 .14. 设1,,,,ab S a bcd b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. 已知矩阵2468A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 其中1A S ∈, 2B S ∈. 那么A B -= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分. 15. 根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是 [答] ( )(A) 60A ︒=, 75B ︒=, 1c =.(B) 5a =, 10b =, 15A ︒=.(C) 5a =, 10b =, 30A ︒=. (D) 15a =, 10b =, 30A ︒=.16. 对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称该数列为有界的, 否则称它为无界的. 在以下各数列中, 无界的数列为 [答] ( )(A) 12a =, 123n n a a +=-+. (B) 12a =, 112nn a a +=+.(C) 12a =, 1arctan 1n n a a +=+.(D) 12a =, 11n a +=.17. 设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 同号. 在以下关于()f x 的零点的命题中, 假命题的序号为[答] ( )① 该二次函数的两个零点之差一定大于2; ② 该二次函数的零点都小于k ; ③ 该二次函数的零点都大于1k -. (A) ①②.(B) ②③.(C) ①③.(D) ①②③. 18. 将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不同的标字母方式共有[答] ( )(A) 24种. (B) 48种.(C) 72种.(D) 144种.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知a 是实数, 三条直线250x y -+=, 40x y a -++=, 0x a +=中任意两条的交点均不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围.20. (本题满分12分)某学生解下面的题目时, 出现了错误. 指出该学生从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答.【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm 的正方形CDEF 截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE , 其中AF 长等于12cm, BF 长等于10cm, 如图所示. 现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上. 请问如何截取, 可以使得到的矩形面积最大? (图中单位: cm)【错解】在AB 上取一点P , 过P 作,CD DE 的平行线, 得矩形PNDM . 延长,NP MP , 分别与,EF CF 交于点,Q S .设PQ x =cm(010x ≤≤), 则40PN x =-. 由APQ ∽ABF , 得1.2AQ x =,28 1.2PM EQ EA AQ x ==+=+.……………步骤①如果矩形PNDM 的面积用y cm 2表示, 那么(40)(28 1.2)y PN PM x x =⋅=-+,其中010x ≤≤.因为PN , PM 均大于零, 所以由基本不等式, 得222PN PM PN PM +⋅≤,因此y PN PM =⋅的最大值为222PN PM +.……………步骤②y 取到最大值, 即等号成立当且仅当PN NM =, 即4028 1.2x x -=+, 解得6011x =. ……………步骤③当60[0,10]11x =∈时, 144400(40)(28 1.2)121y x x =-+=, 所以当6011x =cm 时, 面积的最大值为144400121cm 2.……………步骤④21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数1π()sincos sin 2222x x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (1) 写出()f x 的最小正周期以及单调区间; (2) 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 求函数22log ()log ()y f x h x =+的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合.22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立. 下面尝试推广该命题:(1) 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; (2)设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有23331212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S . 求证: 2112n n na a S ++-=, *n N ∈; (3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列{}n a , 使得20122011a =-? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈. (1) 设0m =. 求证: 函数()f x 递增;(2) 设0m >. 若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围; (3) 设20m -<<. 记1()()f x f x =, 1()(())k k f x f f x +=, *k N ∈. 设n 是正整数, 求关于x 的方程()0n f x =的解的个数.一．（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算：20lim313n n n →∞+=+ .2.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .3.若2211x xx y y y =--,则x y += . 4.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）.5.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .6.方程1313313x x -+=-的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 9.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d 是等差数列1x ,2x ,…,19x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1x ,2x ,…,19x ,则方差D ξ= .11.若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=,则sin()x y += .12.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .13.在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为 .14.对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|()g I y y g x ==,}x I ∈.已知定义域为[0,3] 的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且1([0,1))[1,2)f -=,1((2,4])[0,1)f -=.若方程()0f x x -=有解0x ,则0x = .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设常数a ∈R ,集合{|(1)()0}A x x x a =--≥,{|1}B x x a =-≥.若A B =R ,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,2]-∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ( )A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件17.在数列{}n a 中,21n n a =-.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素 ,i j i j i j c a a a a =++（1i =,2,…,7；1j =,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) A .18B .28C .48D .6318.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d .若m 、M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m ,M 满足--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）( )A .0m =,0M >B .0m <,0M >C .0m <,0M =D .0m <,0M <三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,=2AB ,1AD =,1AA '=.证明直线BC '平行于平面C D A ',并求直线BC '到平面C D A '的距离.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）若()y f x =在,π2π[]43﹣上单调递增,求ω的取值范围；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.区间[,]a b （,a b ∈R ，且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”；（Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+.数列1a ,2a ,3a ,…满足 1()n n a f a +=,n ∈*N .（Ⅰ）若12a c =--,求2a 及3a ；（Ⅱ）求证：对任意n ∈*N ,1n n a a c +-≥；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a ；若不存在,说明理由.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析一、填空题1.【答案】13【解析】201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++，故答案为13. 【提示】由数列极限的意义即可求解. 【考点】数列的极限 2.【答案】2-【解析】复数2(2)(1)i z m m m =-+-+为纯虚数，220m m ∴+-=，210m -≠，解得2m =-，故答案为2-.【提示】根据纯虚数的定义可得210m -=，210m -≠，由此解得实数m 的值. 【考点】复数的基本概念 3.【答案】0 【解析】2211x x x y y y =--，222x y xy ∴+=-，2()0x y ∴+=，0x y ∴+=，故答案为0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论. 【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1πarccos 3- 【解析】22232330a ab b c ++-=，22223a b c ab∴+-=-，222213cos 223aba b c C ab ab -+-∴===-.1πarccos 3C ∴=-，故答案为1πarccos 3-.【提示】把式子22232330a ab b c ++-=变形为22223a b c ab +-=-，再利用余弦定理222cos 2a b c C ab+-=即可得出. 【考点】余弦定理 5.【答案】2-【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为102103155rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1037r -=得1r =，7x ∴的系数是15aC .7x 的系数是10-，1510aC ∴=-，解得2a =-，故答案为2-. 【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r +项，令x 的指数为7求得7x 的系数，列出方程求解即可. 【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313x x -+=-，即3193133(31)x x-+-=-，即11833(33)x x x --+=-，化简可得232380x x --=，即(34)(32)0x x-+=.解得34x =，或32x =-（舍去），3log 4x ∴=，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313x x -+=-为3193133(31)x x-+-=-，即(34)(32)0x x -+=，解得34x =，可得x 的值. 【考点】函数的零点 7.【答案】12【解析】由cos 1ρθ=+得，cos 1θρ=-，代入cos 1ρθ=得(1)1ρρ-=，解得ρ=或ρ=，所以曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=，.【提示】联立cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=消掉θ即可求得ρ，即为答案. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C =种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C=种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368=；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818-=；故答案为13 18.【提示】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式9.【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，π4CBA∠=，BC=∴点C的坐标为(1,1)C-，因点C在椭圆上，222(1)114b-∴+=，243b∴=，22248433c a b∴=-=-=，3c=，则Γ的两个焦点之间的距离为3，故答案为.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质10.【答案】230d【解析】由题意可得112191191819291919x dx x xE x dξ⨯++++===+….11(1)(9)(10)nx E x n d x d n dξ∴-=+--+=-，222222222212[(9)(8)()0(2)(9)](129)1919dD d d d d d dξ∴=-+-++-+++++=+++………2229101930196dd⨯⨯=⨯=，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前n项和公式可得121911918192x x x x d⨯+++=+…和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出22212191[()()()]19D xE x E x Eξξξξ=-+-++-…即可得出.【考点】极差，方差与标准差11.【答案】23【解析】1cos cos sin sin2x y x y+=，1cos()2x y∴-=，2sin2sin23x y+=，2sin[()()]sin[()()]3x y x y x y x y∴++-++--=，22sin()cos()3x y x y∴+-=，122sin()23x y∴+⨯=，2sin()3x y∴+=，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cos sin sin2x y x y+=，可得1cos()2x y-=，再利用和差化积公式2sin2sin23x y+=，得到22sin()cos()3x y x y+-=，即可得出sin()x y+.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数12.【答案】87a≤-【解析】因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以当0x=时，()0f x=；当0x>时，则0x-<，所以2()97af x xx-=--+，因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以2()97af x xx=+-；因为()1f x a≥+对一切0x≥成立，所以当0x=时，01a≥+成立，所以1a≤-；当0x>时，2971ax ax+-≥+成立，只需要297axx+-的最小值1a≥+，数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）因为29776||7a x x a x x+-≥-=-，所以6||71a a -≥+，解得85a ≥或87a ≤-，所以87a ≤-，故答案为87a ≤-.【提示】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出0x ≥时函数的解析式，将()1f x a ≥+对一切0x ≥成立转化为函数的最小值1a ≥+，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出a 的范围. 【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】22π16π+【解析】因为几何体为Ω的水平截面的截面积为48π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为22π16π+.【提示】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值.【考点】反函数，函数的零点二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若AB =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mn a a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.故选A . 【提示】由于该矩阵的第i行第j列的元素数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）,(21)(21)212121i j i j i j i j i j i j a a a a a +=++=--+-+-=-(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，要使(,1,2,,7;,1,2,,12)ij mn i m j a n a ===…….则满足2121i j m n ++-=-，得到i j m n +=+，由指数函数的单调性可得：当i j m n +≠+时，ij mn a a ≠，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，即可得出. 【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，0m ∴<，0M <，故选D .【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD A B C D ''''为长方体，故AB C D ''∥，AB C D ''=，故A B CD''为平行四边形，故BC AD ''∥，显然BC '不在平面D AC '内，于是直线BC '平行于平面D AC '.直线BC '到平面D AC '的距离即为点B 到平面D AC '的距离，设为h ，考虑三棱锥-D ABC '的体积，以ABC 为底面，可得三棱锥-D A B C '的体积为111111323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，而A DC '△中，AC D C '==AD '=C A D '△的底边AD '上的高为，故C A D '△的面积1322223CAD S '==△，所以13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC '到平面D AC '的距离为23.解法二：以D A ''所在的直线为x 轴，以D C ''所在的直线为y 轴，以D D '所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、(0,2,0)C '、(0,0,0)D '.设平面D AC '的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=，020u w v w +=⎧∴⎨+=⎩，解得22u vw v =⎧⎨=-⎩. 令1v =，可得2u =，2w =-，可得(2,1,2)n =-. 由于(1,0,1)BC '=--，0n BC '∴=-，故有n BC '⊥再由BC '不在平面D AC '内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D AC '的距离||23||n CB d n ===，故直线BC '到平面D AC '的距离为23. 【提示】解法一：证明ABC D ''为平行四边形，可得BC AD ''∥，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC '平行于平面D AC '.所求的距离即点B 到平面D AC '的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D AC '的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线BC '平行于平面D AC '.求出点B 到平面D AC '的距离||||n BC d n '=的值，即为直线BC '到平面D AC '的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x ≤≤-（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元【解析】（1）生产该产品2小时获得的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意，3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即251430x x --≥3x ∴≥或15x ≤- 110x ≤≤，135x ∴≤≤-；（2）设利润为y 元，则生产900千克该产品获得的利润为390010051y x x x ⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）2423111619000059103612x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦110x ≤≤，6x ∴=时，取得最大利润为46191045750012⨯⨯=元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.【提示】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x 的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润. 【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304ω<≤ （2）43π3【解析】（1）函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，π2π23ω∴≥，且ππ24ω-≤-，解得304ω<≤；（2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到π2s i n 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴函数π()2s i n 216y g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，令()0g x =，得5ππ12x k =+，或3ππ4x k =+()k ∈Z .∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a a +，[,2π]a a +，…，*[,π]()a m a m +∈N 分别恰有3，5，…，21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，π14π3b a ∴--≥.另一方面，在区间5ππ5π,14π12312⎡⎤++⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，因此b a -的最小值为π43π14π33+=. 【提示】（1）已知函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，利用正弦函数的单调性可得π2π23ω≥，且ππ24ω-≤-，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到π()2sin 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a m a +*()m ∈N 恰有21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件.进一步即可得出b a -的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换22.【答案】（1）C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中||k ≥；（2）证明：因为直线y kx =与C 2有公共点，所以方程组||||1y kxy x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此||||1kx x =+，得||1||1||x k x +=>.若原点是“12-C C 型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线0x =或(||1)y kx k =>，显然直线0x =与C 1无公共点.如果直线为(||1)y kx k =>，则由方程组221y kx x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222012x k =<-，矛盾.所以直线(||1)y kx k =>与C 1也无公共点.因此原点不是“12-C C 型点”. （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：y kx b =+.若||1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以||1k >.因为l 与C 1由公共点，所以方程组221y kx b x y x=+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=.因为||1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =，所以222112k b d =<+，从而2221212kb k +>≥-，得21k <，与||1k >矛盾.因此，圆2212x y +=内的点不是“12-C C 型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线y kx =与C 2有公共点联立方程组有实数解得到||1k ≤，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C 1和C 2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1y x =±与1y x =-±之间，进而说明当||1k ≤时过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2无公共点，当||1k >时，过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k 的范围，结果与||1k >矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24||2|422a f a f c c c c c ==--=--++---+=-=，31()(2)2|24||2|2(6)(2)10a f a f c c c c c ===++-+=+-+=+；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩当n a c ≥-时，18n n a a c c +=-+>；当4n c a c --≤<-时，12382(4)38n n n a a a c c c c +=++≥--++=-；当4n a c <--时，1282(4)8n n n a a a c c c c +=-->------=-. ∴对任意*n ∈N ，1n n a a c +-≥；（3）假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列. 由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列. 又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而1()8n n n a f a a c +==++，由于{}n a 为等差数列，因此公差8d c =+. ①当14a c <--时，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =，当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，1()8n n n a f a a c +=∴=++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；②若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，113388a c a c ∴++=++，得1a c =-，应舍去；③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。

122013上海市高三数学一模浦东高三数学试卷(理科)

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学（理）2013.1一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合},0{m A =，}2,0{=B ，}2,1,0{=B A ，则实数=m .2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 . 3．函数)2(log 2-=x y 的定义域为 .4．已知,x y R ∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 5．函数1y =0≥x ）的反函数是 . 6．函数()2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 . 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S = .8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为 .9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 2cm . 10．二项式nx ⎛+ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n = . 11．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .12．已知向量a 与向量b ，2a =，3b =，a 、b 的夹角为60︒，当12,02m n ≤≤≤≤时，ma nb +的最大值为 .13．动点P 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上从B 向1D 移动，点P 作垂直于面11BB D D 的直线与正方体表面交于,M N ，,BP x MN y ==，则函数()y f x =的A B 1解析式为 . 14．1,2,,n 共有!n 种排列12,,,n a a a （2,n n N *≥∈），其中满足“对所有1,2,,k n=都有2k a k ≥-”的不同排列有种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ” 的（）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=xx f ，若函数1()4y f x m =+-为奇函数，则实数m 为 ()A 12- ()B 0 ()C 12()D 117．若1x ，2x ，3,x ，2013x 的方差为3，则13(2)x -，23(2)x -，33(2),x -，20133(2)x -的方差为（）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 2718．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈. 若不等式MN k≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阀值最小的是（）()A 2y x = ()B 2y x =()C sin 3y x π= ()D 1y x x=- 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=.（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）求二面角1A AC B --的大小.20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x .（1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围；（2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =；试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数122sin ,1(2cos )z z i θθ==+，[,]32ππθ∈.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数12,z z 对应的向量分别是,a b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ→→→→+⋅+=成立，求实数λ的取值范围.22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足111+=+n n c c ，11=c ，求常数p 的值；（3）设(1)(21)nn d n =-⋅-，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）N设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩（1）求定义在[]0,1上的两个函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2sin(x T y π和⎪⎭⎫⎝⎛=)(2sin x T y π的解析式；（2）是否存在非负实数a ，使得()()aT x T a x =恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x = ()n N *∈① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()n y T x =的解析式；已知下面正确的命题：当11,22n n i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(121)ni N i *∈≤≤-，时，都有-1()()2n n n i T x T x =-恒成立. ② 对于给定的正整数m ，若方程()m T x k x =恰有2m个不同的实数根，确定k 的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ()12m n ≤≤，求数列{}n x 所有2m项的和.浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（理科） 2013.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．1； 2．21x y =⎧⎨=⎩； 3．),3[+∞； 4．116； 5．2(1)y x =-（1≥x ）；6．π； 7．52； 8．316； 9．8π； 10．8； 11．0.98； 12．； 13．,32,x x y x x ⎧⎡∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎪∈⎪⎝⎩； 14．223n -⋅.A B c 1BC二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）解：（1）2,45,90AB AC ABC BAC ︒︒==∠=∴∠=，143A ABC V -∴=. 111A BC AB BC AC S ∆===∴=…3分设点A 到平面距离为h ，由111,3A BC A ABC h S V h ∆-⋅=∴=. ∴点A ……………………………………………………6分（2）设1AC 的中点为M ，连结,BM AM . 1111,,,BA BC AA AC BM AC AM AC ==∴⊥⊥. AMB ∴∠是二面角1A AC B --的平面角.……………………………………8分tan AMB AMB ∠=∴二面角1A AC B --的大小为………………………………12分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||，60=∠PCM ，∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，…………2分矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=⋅=，[10,20]x ∈ ………4分N于是32253200≤≤S 为所求.………………………6分（2）矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37 ………………………………………7分又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=2T )3450(12S Sk-，……………8分由总造价21T T T +=，∴)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S .…10分 36123216≥+SS ，……………………………………………………11分当且仅当SS 3216=即3216=S 时等号成立，……………………………12分此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅(2sin )(2sin 2i R θθθ=++∈，…………………………2分 232sin =∴θ，……………………………………………………………………4分又πθπ≤≤232，πθ322=∴，即3πθ=.……………………………………6分（2）228a b +=，………………………………………………………………………8分2sin a b θθ⋅=-，………………………………………………………10分)()(→→→→+⋅+b a b a λλ0)1()(222=⋅+++=→→→→b a b a λλ.得0)cos 32sin 2)(1(82=-++θθλλ，整理得)3sin(122πθλλ--=+.……12分因为]6,0[3ππθ∈-，所以]21,0[)3sin(∈-πθ. 只要012212≤+≤-λλ即可，…………………………………………………………13分解得32--≤λ或032≤≤+-λ.……………………………………………14分22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）假设数列}{n a 是“-p 摆动数列”，即存在常数p ，总有1212+<<-n p n 对任意n 成立，不妨取1=n 时则31<<p ，取2=n 时则53<<p ，显然常数p 不存在，所以数列}{n a 不是“-p 摆动数列”； ……………………………………………2分由n n q b =，于是0121<=++n n n q b b 对任意n 成立，其中0=p .所以数列}{n b 是“-p 摆动数列”. ………………………………………………4分（2）由数列}{n c 为“-p 摆动数列”， 11=c 212=⇒c ，即存在常数121<<p ，使对任意正整数n ，总有0))((1<--+p c p c n n 成立；即有0))((12<--++p c p c n n 成立.则0))((2>--+p c p c n n ，…………………………………………………………6分所以p c p c p c n >⇒⇒>>⇒>-1231 .……………………………………7分同理p c p c p c n <⇒⇒<⇒<242 .…………………………………………8分所以122-<<n n c p c ⇒121211--<+n n c c ，解得21512->-n c 即215-≤p .…9分同理n n c c 2211>+，解得2152-<n c ；即215-≥p .…………………………10分综上215-=p .……………………………………………………………………11分（3）证明：由)12()1(-⋅-=n d n n n S n n ⋅-=⇒)1(，…………………………………13分显然存在0=p ，使对任意正整数n ，总有0)1()1(121<+⋅-=++n n S S n n n 成立，所以数列}{n S 是“-p 摆动数列”； …………………………………………………14分当n 为奇数时n S n -=递减，所以11-=≤S S n ，只要1->p 即可当n 为偶数时n S n =递增，22=≥S S n ，只要2<p 即可综上21<<-p ，p 的取值范围是)2,1(-.………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）（1）解：函数12sin 023(sin )1222sin 123x x y T x x x πππ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩函数x x T y ππsin )(2sin =⎪⎭⎫⎝⎛=（10≤≤x ）……………………………………4分（2）12,02()12(1),12ax x y aT x a x x ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩，12,02()12(1),12ax ax y T ax ax ax ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩……6分当0a =时，则有(())()0a T x T ax ==恒成立.当0a >时，当且仅当1=a 时有(())()()a T x T ax T x ==恒成立.综上可知当0a =或1a =时，(())()a T x T ax =恒成立；………………………8分（3）① 当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数11j N i n *∈≤≤-，，都有1022j x ≤≤ 故有2112()(2)(2)(2)(2)2j n nn n n n j y T x T x T x T x T x x ----========…13分② 由①可知当10,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()2nn T x x =，根据命题的结论可得，当1202,,2222nn n n x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，有110102,,22222n n n n n x -⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故有1111()()=2()2222nn n n n n T x T x x x --=--=-+. 因此同理归纳得到，当1,22n n i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)n i N i ∈≤≤-，时，211()(1)(2)=2221ni nn n x i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数……………………15分对于给定的正整数m ，1,22m m i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(021)m i N i ∈≤≤-，时，解方程()m T x kx =得，()121(1)2(1)2i m i i x k++--=--，要使方程()m T x kx =在[]0,1x ∈上恰有2m个不同的实数根，对于任意021mi N i ∈≤≤-，，必须()121(1)122(1)22i m m i mi ii k ++--+<<--恒成立，解得2(0,)21mmk ∈-, 若将这些根从小到大排列组成数列{}n x ，由此可得()121(1)2(1)2n n m nn x k +-+-=+- ()12m n N i *∈≤≤，.……………………17分故数列{}n x 所有2m项的和12212m m S x x x x -=+++024(22)246222m m m m k k ++++-++++=+-+122(42)4m m m k k--=-.……18分。

2013年上海市高考数学模拟试卷(含答案)题目和答案和评分要点

2013年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

2.本试卷共有31道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。

一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。

若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）。

11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。

13.展开式为ad-bc 的行列式是（）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（）（A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧（D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4xx x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12+． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b+=，于是可算得(1,1)C ，得2446,23b c ==．10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，2222222(981019)30||19d D d ξ=+++++++=L L ．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==L L ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=L ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）. (A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r ，其余均有0i r a d ⋅≤u r u u r ，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=C 11A而1AD C ∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；（2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

(word完整版)2013届上海市17区县高三一模(数学理科)分类汇编专题三解析几何,推荐文档

专题三解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为． 13．3+；（松江区2013届高三一模理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于． 14、427；（松江区2013届高三一模理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________．文23a（杨浦区2013届高三一模理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分）解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分）同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ），则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分）所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=，所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分）综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ．（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ；（2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分（2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ．点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)．设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分所以212y y p =-，……………………………………………12分又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

上海市浦东新区2013届高三下学期高考预测数学理试题.doc

上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学理试题注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i 为虚数单位）2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 .3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生. 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .5．把三阶行列式13104302--x xx中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x 的不等式0)(<x f 的解集为 .6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程是 .7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围是 .8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S Λ .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b . 10．若等式55443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实常数，则4a ＝ . 11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（）)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件)(D 既不充zxxk 分也不必要条件16,4,33)3()(=+⋅+b a b a 则a 与b 的夹角为（）)(A 6π)(B 3π)(C 32π )(D 65π17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos1,1,1)(2x x x x m x f π，其中0>m 。

上海市浦东新区2013届高三4月高考预测数学理试题(WORD版)

浦东新区2013年高考预测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a ，且B A ⊆，则实数a 的值是 .3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生. 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .5．把三阶行列式13104302--x xx中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x的不等式0)(<x f 的解集为 .6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程是 .7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围是 .8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .10．若等式55443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实常数，则4a ＝ .11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（）)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件16,4,33)3()(=+⋅+则a 与b 的夹角为（）)(A 6π)(B 3π)(C 32π )(D 65π17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x xx x m x f π，其中0>m 。

理科2013届上海市杨浦区高三年级一模数学试卷

2013届上海市杨浦区高三年级一模试卷——数学（理科）2013年1月考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若函数()x x f 3=的反函数为()x f 1-，则()=-11f．2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是． 5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．9. 下列函数：① xx f 3)(=, ②3)(x x f =, ③xx f 1ln)(= ， ④2cos )(x x f π= ⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为（写出符合要求的所有函数的序号）. 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ，则函数c bx x x f ++=2)(2图像与x 轴无公共点的概率是____ ___ .11.若函数1)23(log )(+-=xa x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是．12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米 . 13 在ABC ∆中，若4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，则ABC ∆的面积为___________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中、m n ∈*N ，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,则=k ________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． “3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………（）)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．)(A． )(B． )(C ． )(D18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()fx x =， ③()e x f x =， ④()f x 所有序号为 ………（）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．A MEPDCB N F第3页共5页三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC ,E D 、分别是AP BC 、的中点，（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知 x x x f 2sin 22sin 3)(-= ，（1）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，求)(x f 的最大值及取得最大值时对应的x 的取值．PABCDE21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．第5页共5页22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数)0(121)(>-=x x x x f 的值域为集合A ，（1）若全集R U =，求A C U ；（2）对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围；（3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求⋅的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≠==+.0,0,0,1,11n n n n a a a a a a 其中⋅⋅⋅=,3,2,1n . （1）若2=a ，求数列{}n a ；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ．（3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，并证明你的结论．。

【VIP专享】2013届黄浦区高三一模数学理

3loxg2 x
有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是
(x (x
)
10．已知函数 y sin(x )( 0) 的最小正周期为，若将 3
1 ，则 tan( 3
0) 0) ，且函数 F (x)
该函数的图像向左平移 m (m 0) 个单位后，所得图像关于
原点对称，则 m 的最小值为
一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内
直
接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分．
1．已知集合 A {x | 0 x 3}， B {x | x2 4} ，则 A B ．
2．若 z (1 2i)(a i) ( i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 a 的值为．
．
11．已知抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5，该抛物线的顶点到
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅六蛔寄.内列察读、虫生出蚯材让标容生3根常蚓料学本教活.了据见身：生，师的2、解问的体巩鸟总看活形作用蛔题线的固类结雌动态业手虫自形练与本雄学、三：摸对学动状习人节蛔生结4、、收一人后物和同类课虫活构请一蚯集摸体回并颜步关重的动、学、蚓鸟蚯的答归色学系点形教生生让在类蚓危问纳。习从并状学理列学平的害题线蚯四线人归、意特出四生面体以形蚓、形类纳大图点常、五观玻存表及动的鸟请动文本小引以见引、察璃现，预物身类 3学物明节有言及的、导巩蚯上状是防的体之生和历课什根蚯环怎学固蚓和，干感主是所列环史学么据蚓节二样生练引牛鸟燥染要否以举节揭到不上适动、区回习导皮类还的特分分蚯动晓的同节于物让分答。学纸减是方征节布蚓物起一，课穴并学蚯课生上少湿法。?广的教，些体所居归在生蚓前回运的润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原的4蛔，处目类习和活环.近在成前题蚯的因？了虫以。标就生体的节身其实端并蚓快及触解寄上知同物表内特动体结验和总利的慢我摸蚯生适识人学有容点物前构并后结用生一国蚯蚓在于与类的什，的端中思端线问活样的蚓人飞技有基么引进主的的考?形题环吗十体生行能着本特出要几变以动，境？大节活的1密方征本“特节化下物.让并为珍近习会形理切法。课生征有以问的小学引什稀腹性态解的。2课物。什游题主.结生出么鸟面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等，于些特适。蛔章形殊形征板，这资是穴疾点于可虫我态结式。书生种料光居病是寄的们结构，五小物典，滑生？重生鸟内学构，学、结的型以还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱是如原活生结了功颜消固类构线鸟粗形何因的存构腔能色化练适特形护糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。

高考数学一模考试2013学年杨浦一模(理)

上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim nnn ． 2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21xy =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b +=_________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω_________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为． 13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是． 14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上ABC ∆有最大值为4,设()()xx g x f =. （1）求实数a 的值；（2）若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．（1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.（1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠ ① 证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；（2）若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线，其中1l 交圆ψ于T 、R 两点， 2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分, 第②问8分.设是数列的前项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立，(其中k 、b 、p 是常数) ．n S {}n a n（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ；（2）当1k =，0b =，0p =时，① 若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；② 设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<L ．若存在，求数列的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2 一．填空题（本大题满分56分）1. 1 ；2.3arctan ；3.2；4. ()0,∞- ；5. 3 ；6. 1 ；7. π；8. 2；{}n a {}n a {}n a9. 1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 15 ；13.95， 14.②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. …2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60.……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯. ……12分 20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4，()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xxk f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立，…9分 2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0， ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】（1）由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分（2）设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα， [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S ， 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分22. 【解】（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m23，∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m ， ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m---+-++===---++23,4m m +- ∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++Θ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有3m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分 (2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为21d k=+,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k kx x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =-……16分 23【解】（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++L ， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++L ， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分 ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分{}n a又由已知，111111218S <<，故1181211a << 一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥>L .…….13分另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+L ，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++L 1118<， …….15分当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++L ， …….16分又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。

2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)含详解

2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分42分）1．（3分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．2．（3分）若复数z=（2﹣i）（a﹣i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．3．（3分）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），则=．4．（3分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=．5．（3分）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）6．（3分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．7．（3分）已知=1，tan（β﹣α）=﹣，则tan（β﹣2α）=．8．（3分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=．9．（3分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．10．（3分）已知函数的最小正周期为π，若将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为．11．（3分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为．12．（3分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则关于x的不等式的解集是．13．（3分）已知F是双曲线C：的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m的值为．14．（3分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形16．（3分）若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．B．C．D．17．（3分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．418．（3分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A．48B．72C．168D．312三、解答题（本大题满分66分）19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角；（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若，求M的取值范围．21．（14分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．22．（16分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴的一个端点到点F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求•的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．23．（10分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（2）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x ﹣3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；（3）若f（x）是增函数，且（2，﹣2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①f（2﹣n）与2﹣n+2（n∈N*）；②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．2013年上海市黄浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分）1．（3分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．2．（3分）若复数z=（2﹣i）（a﹣i），（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的乘法运算，把复数整理成代数形式的标准形式，根据这个复数是一个纯虚数，得到它的实部等于0，而虚部不等于0，求出结果．【解答】解：z=（2﹣i）（a﹣i）=2a﹣1﹣（2+a）i∵若复数z=（2﹣i）（a﹣i）为纯虚数，∴2a﹣1=0，a+2≠0，∴a=故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，解题时要注意复数实部等于0，这个同学们不容易忽略，而虚部不等于0，容易漏掉．3．（3分）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），则=．【考点】8E：数列的求和；8J：数列的极限．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先判断数列{a n}为等差数列，然后利用公式求出，再求极限即可．【解答】解：因为a n+1﹣a n=2（n+1）﹣2n=2（常数），所以数列{a n}为首项为1，公差为2的等差数列，所以==，所以==．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和及数列的极限，属中档题．4．（3分）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】11：计算题．【分析】由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案．【解答】解：∵直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，∴k1=，k2=若l1∥l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合故答案为﹣1【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．5．（3分）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．6．（3分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．7．（3分）已知=1，tan（β﹣α）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣1．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣1【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．8．（3分）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．9．（3分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用．【分析】关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x+a 的图象只有一个交点，结合图象即可求得．【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图，观察函数的图象可知当a＞1时，y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，即有a＞1．故答案为：（1，+∞）【点评】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．10．（3分）已知函数的最小正周期为π，若将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】13：作图题．【分析】由函数周期可求得ω值，由题意知，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得m值．【解答】解：由已知，周期为π=，解得ω=2，将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得y=sin[2（x+m）+]=sin （2x+2m+），因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，有2m+=kπ，k∈Z，则m=﹣，k∈Z，则正数m的最小值为﹣=．故答案为：．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查奇偶函数的性质，属中档题，要熟练掌握图象变换的方法．11．（3分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】依题意，可求得p的值，继而可求得点M的坐标与直线MF的方程，利用点到直线间的距离公式即可求得d的值．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∴其准线l的方程为：x=﹣，设点M（1，m）在l上的射影为M′，则|MF|=|MM′|=1+=5，∴P=8．故F（4，0）．∴点M（1，±4），不妨取M（1，4），则直线MF的方程为：y﹣0=﹣（x﹣4），即：4x+3y﹣16=0．∴抛物线的顶点（0，0）到直线MF的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式，求得p的值是难点，也是关键，考查运算能力与逻辑思维能力，属于中档题．12．（3分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），若y=f﹣1（x）是y=f（x）的反函数，则关于x的不等式的解集是{x|1＜x＜﹣}．【考点】4R：反函数；7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意得到f（x）为减函数，利用指数函数的性质得到a大于0小于1，求出f（x）的反函数，将所求不等式变形后，即可求出解集．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）满足f（2）＞f（3），∴f（x）为减函数，即0＜a＜1，∴y=f﹣1（x）=log a x为减函数，所求不等式变形得：log a（1﹣）＞1=log a a，∴0＜1﹣＜a，当x＞0时，去分母得：x﹣1＜ax，即（a﹣1）x＞﹣1，解得：0＜x＜﹣，此时不等式的解集为{x|0＜x＜﹣}；当x＜0时，去分母得：x﹣1＞ax，即（a﹣1）x＜﹣1，解得：x＞﹣，无解，综上，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}．故答案为：{x|1＜x＜﹣}【点评】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：反函数，指数、对数函数的性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道中档题．13．（3分）已知F是双曲线C：的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=是双曲线C的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点M在双曲线C上，则m的值为3+2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】依题意，m=，M（c，c），将M点的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，解之即可．【解答】解：∵F（c，0）是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y=是双曲线C的一条渐近线，又双曲线C的一条渐近线为y=x，∴m=，又点M在双曲线C上，△MOF为正三角形，∴M（c，c），∴﹣=1，又c2=a2+b2，∴﹣=1，即+m﹣﹣=1，∴m2﹣6m﹣3=0，又m＞0，∴m=3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查其渐近线方程，考查代入法与解方程的能力，属于难题．14．（3分）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，则集合”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣7，0）．【考点】2E：复合命题及其真假；2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】由”是假命题可知（m2﹣m）x2+2m＜0在上有解，构造函数，h（x）=（m2﹣m）x2+2m，结合二次函数的图象可求m的范围【解答】解：∵f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，又∵”是假命题∴m2x2＜mx2﹣2m，即（m2﹣m）x2+2m＜0在上有解令h（x）=（m2﹣m）x2+2m，或解可得﹣7＜m＜0，即m的范围是（﹣7，0），故答案为：（﹣7，0）【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识16．（3分）若z=cosθ+isinθ（θ∈R，i是虚数单位），则|z﹣2﹣2i|的最小值是（）A．B．C．D．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】易得复数z表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离，由数形结合的思想可得答案．【解答】解：由复数的几何意义可知：z=cosθ+isinθ表示的点在单位圆上，而|z﹣2﹣2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离，由图象可知：|z﹣2﹣2i|的最小值应为点A到Z的距离，而OZ==2，圆的半径为1，故|z﹣2﹣2i|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．17．（3分）若f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：①y=|f（x）|是偶函数；②对任意的x∈R都有f（﹣x）+|f（x）|=0；③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，知：y=|f （x）|是偶函数；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递减．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴y=|f（x）|是偶函数，故①正确；对任意的x∈R，不一定有f（﹣x）+|f（x）|=0，故②不正确；y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）]2在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．18．（3分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A．48B．72C．168D．312【考点】OC：几种特殊的矩阵变换；OD：矩阵变换的性质．【专题】11：计算题；5R：矩阵和变换．【分析】分类讨论，四列中有且只有两列的上下两数是相同，根据分步计数原理，先从集合{1，2，3，4}中选取2个数，再将它们插在矩阵四列的某2个位置，最后将剩余的两个数插在余下的2个位置；四列中有四列的上下两数是相同，即可得出结论．【解答】解：四列中有且只有两列的上下两数是相同，按以下步骤进行排列①从集合{1，2，3，4}中选取2个数，总共有C42=6种方法；②将选取的两个数插在第一列、第二列、第三列或第四列的2个位置，因为上下对应的数字相同，所以总共有A42=12种方法；③将剩余的两个数插在余下的2个位置，共2种方法综上，可得满足条件的不同排列共有C42A42×2=144个四列中有四列的上下两数是相同有A44=24个，所以共有144+24=168个故选：C．【点评】本题给出2行、4列的矩阵，求满足条件的不同矩阵的个数，着重考查了排列与组合的计算方法和矩阵基本概念等知识，属于基础题．三、解答题（本大题满分66分）19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角；（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与BC所成的角．（2）先求出，再由向量法求出点F到平面D1B1C的距离，由此能求出三棱锥C﹣B1D1F的体积．【解答】解：（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），∴=（1，1，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线EF与BC所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴异面直线EF与BC所成的角为arccos．（2）∵在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD 的中点，∴===2，∵B1（2，2，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），∴，=（0，2，﹣2），，设平面D1B1C的法向量=（x，y，z），则，，∴，解得=（1，﹣1，0），∴点F到平面D1B1C的距离d===，∴三棱锥C﹣B1D1F的体积V===．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，且，求a+c的值；（2）若，求M的取值范围．【考点】84：等差数列的通项公式；9O：平面向量数量积的性质及其运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用等差数列的定义和数量积的定义及余弦定理即可求出；（2）利用行列式的定义及三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又∵A+B+C=180°，∴B=60°．∵，∴accos（180°﹣60°）=﹣3，解得ac=6，根据余弦定理可得：，化为a2+c2=24，∴==6．（2）∵，∴M==．∵A+C=，∴，∴，∴，∴．∴M的取值范围是．【点评】熟练掌握等差数列的定义、数量积的定义、余弦定理、行列式的定义及三角函数的单调性是解题的关键．21．（14分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．【考点】33：函数的定义域及其求法；36：函数解析式的求解及常用方法；57：函数与方程的综合运用．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC相似于三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，由此能用解析式将S表示成x的函数，并求出该函数的定义域．（2）利用a+b≥2，当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最小值即可；【解答】解：（1）设AN的长为x米（x＞4）由题意可知：∵=，∴=，∴|AM|=，∴S AMPN=|AN|•|AM|=，由S AMPN＜150，得＜150，（x＞4），∴5＜x＜20，∴S=．定义域为{x|5＜x＜20}．（2）∵S===6（x﹣4）++48≥2+48=96（10分）当且仅当6（x﹣4）=，即x=8时，取“=”号即AN的长为8米，矩形AMPN的面积最小，最小为96平方米．【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．22．（16分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴的一个端点到点F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BD⊥x轴，求•的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；（2）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围；（3）通过分类讨论，假设在椭圆C的“准圆”上任取一点P作直线与椭圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求出直线是否满足两条直线垂直的条件即可．【解答】解：（1）由题意可得：，，b=1，∴r==2．∴椭圆C的方程为，其“准圆”的方程为x2+y2=4；（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．设点B（x0，y0），则D（x0，﹣y0）．∴=（x0﹣2，y0）•（x0﹣2，﹣y0）=，∵点B在椭圆上，∴，∴，∴==，∵，∴，∴，即的取值范围为（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为，此时l1⊥l2；②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x0，y0），直线l的方程为m（y﹣y0）=x﹣x0．联立消去x得到关于y的一元二次方程：，∴﹣=0，化为，∵，m存在，∴m1m2=．∵点P在准圆上，∴，∴，∴m1m2═﹣1．即直线l1，l2的斜率，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l1⊥l2．综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，l1⊥l2．【点评】熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其定义、向量的数量积、直线与椭圆相切问题时联立直线与椭圆的方程得出根与系数的关系、两条直线垂直的条件是解题的关键．23．（10分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（2）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x ﹣3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；（3）若f（x）是增函数，且（2，﹣2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①f（2﹣n）与2﹣n+2（n∈N*）；②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．【考点】57：函数与方程的综合运用；5A：函数最值的应用；71：不等关系与不等式．【专题】23：新定义；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，{f（2k）}是等差数列，利用通项公式求解（2）令x=1，则f（1）=k﹣1=3，解得k=4，当x∈[1，2）时f（x）=4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）=﹣2f（x）恒成立⊕，将[1，2n）分解成[2k﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．（3）由已知，①f（2x）≥2f（x）﹣2恒成立．即f（x）f（2x）+1⊗恒成立．令x=，则得f（）≤，连续应用⊗式，≤…=故f（2﹣n）≤2﹣n+2（n∈N*）；②若x∈（0，1]），则必存在n∈N*，使得∈（，]，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（）≤+2，又2x+2＞2×+2=+2，故有f（x）＜2x+2．【解答】解：（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，所以f（2），f（4），f（8），…f（2n）构成公差为1的等差数列，令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2n）=4+（n﹣1）×1=n+3（2）当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x﹣3|，令x=1，则f（1）=k﹣1=3，解得k=4，即当x∈[1，2）时f（x）=4﹣|2x﹣3|，所以f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]，又（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=﹣2f（x）恒成立，当x∈[2k﹣1，2k）（k∈N*）时，∈[1，2）f（x）=﹣2f（）=4f（）=…=（﹣2）k﹣1f（），故当k为奇数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是[3×2k﹣1，2k+1]当k为偶数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值范围是[﹣2k+1，﹣3×2k﹣1]所以当n=1时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为4，最小值为3．当n为不小于3的奇数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为﹣2nn为不小于2的偶数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n，最小值为﹣2n+1．（3）（2，﹣2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）﹣2恒成立．即f（x）f（2x）+1恒成立．令x=，则得f（）≤即﹣2对一切k∈N*恒成立．所以≤…=故f （2﹣n）≤2﹣n+2（n∈N*）；若x∈（0，1]），则必存在n∈N*，使得∈（，]，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（）≤+2又2x+2＞2×+2=+2，故有f（x）＜2x+2【点评】本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．。

浦东新区2013年高考预测数学理科

浦东新区2013年高考预测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 .3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生. 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .5．把三阶行列式13104302--x xx中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x的不等式0)(<x f 的解集为 .6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程是 .7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围是 .8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S Λ .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .10．若等式55443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切R x ∈都成立，其中，，，…，为实常数，则4a ＝ .11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在；其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（）)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件16,4,33)3()(=+⋅+b a b a 则与的夹角为（）)(A 6π)(B 3π)(C 32π )(D 65π17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x xx x m x f π，其中0>m 。

上海市黄浦区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题--含答案

黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷(理科)（一模） 2013年1月17日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则AB = ．2．若(12i)(i)z a =--(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为．3. 若数列{}n a 的通项公式为21(*)N n a n n =-∈，则12lim nn na a a na ∞+++=→ ．4．已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a = ． 5．91()x x+的展开式中5x 的系数是（用数字作答）． 6．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于． 7．已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-的值为．8．执行右边的程序框图，若10p =，则输出的S = ． 9．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是． 10．已知函数sin()(0)3y x πωω=+>的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移m (0)m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为．11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF（第8题图）D 1C 1B 1A 1E 的距离为d ，则d 的值为．12．已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠)满足(2)(3)f f >，若y =1()f x -是()y f x =的反函数，则关于x 的不等式11(1)1f x -->的解集是．13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为．14．已知命题“若22()f x m x =，2()2g x mx m =-，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数m 的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形16．若cos isin z θθ=+（R θ∈，i 是虚数单位），则|22i |z --的最小值是（）A ．22B ．2C ．122+D ．122-17．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的R x ∈都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．418．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4}； ②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（） A ．48 B ．72C ．168D ．312三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的中点．NPMDCBA（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列．（1）若3,AB BC ⋅=-且b =a c +的值；（2）若2sin 1sin CM A=，求M 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．FD 1C 1B 1A 1DCBAE黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试数学试卷（理科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．[2,3)； 2．2； 3．12； 4．3； 5．36； 6．47； 7．1-； 8．910；9．(,1]-∞； 10．3π； 11．165； 12．1(1,)1a-； 13．3+ 14．(7,0)-．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．B 18． C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．解：（1）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． …………………2分在正方体1111ABCD A B C D -中，∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，在Rt △1BCD 中，2BC =，1CD =∴11tan D CD BC BC∠=1D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC所成的角为 6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，由1BB ⊥平面ABCD ，CF ⊂≠平面ABCD ，可知1BB CF ⊥，∵CB CD =，F 是BD 中点，∴CF BD ⊥，又1BB 与BD 相交，∴CF ⊥平面11BDD B ， …………………………9分又1111111222B D F S B D BB ∆=⋅=⨯=，故1111114333C BD F B D F V S CF -∆=⋅=⋅=，所以三棱锥11C B D F -的体积为43． ……………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+NPM D C BA 又ABC π++=,∴3B π=， …………………………2分由3AB BC ⋅=-得，2cos33c a π⋅=-，∴6ac =① ………………………4分又由余弦定理得2222cos,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分由①、②得，6a c += ……………………………………8分（2）由（1）得3B π=，∴23A C B ππ+=-=，即23A C π=-，故2sin 1sin C M A ==2sin sin A C -=22sin()sin 3C C π-- ……………………………10分1sin )sin 2C C C =+-C ， …………………………12分由203A C π=->且0C >，可得203C π<<，∴1cos 12C -<<，即(2M ∈-，∴M的取值范围为(2-． …………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，故2266(4)166(8)x t S t t t +===++ …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c a =1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--，故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈，可得1(2)(2)1k k f f +=+，∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列，故0(2)(2)n f f n =+，又0(2)3f =，故(2)3n f n =+． ………………………………3分（2）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，即[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--， ………………………4分故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]．又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立，当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x -∈，()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-， …………………6分故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………8分所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3；当n 为不小于3的奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -；当n 为不小于2的偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．………10分（3）由(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，可知(2)2()2f x f x ≥-恒成立，即1()(2)12f x f x ≤+恒成立，令12k x =(*)N k ∈，可得1111()()1222k k f f -≤+，即1111()2[()2]222k k f f --≤-对一切*N k ∈恒成立，所以1211111()2[()2][()2]22242n n n f f f ---≤-≤-≤…≤11[(1)2]22n n f -=，故(2)22n n f --≤+(*)N n ∈． …………………………………14分若(0,1]x ∈，则必存在*N n ∈，使得111(,]22n n x -∈，由()f x 是增函数，故1111()()222n n f x f --≤≤+，又1112222222n n x -+>⨯+=+，故有()22f x x <+．…………………………………18分。