2021年高中数学 2.2.3 映射课后强化作业北师大版必修1

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北师大版数学高一必修1练习映射

[A基础达标]1．下列各个对应关系中，能构成映射的是()解析：选D.A、B中原像集合中的元素2无像；C中原像集合中元素1有两个元素与之对应，所以A、B、C均不符合映射的定义，故选D.2．若A为含三个元素的数集，B＝{－1，3，5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于()A．{－1，2，3}B．{－1，0，2}C．{0，2，3} D．{0，1，2}解析：选C.由映射的概念，A中的元素在关系x→2x－1下，成为－1，3，5，则A＝{0，2，3}．3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()A．M＝N＝R，f：x→y＝－1x，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1|x|＋x，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N解析：选D.A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．设集合A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选C.如图．5．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选C.因为f ：x →x ，所以M ＝N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以a ＋b ＝1. 6．在映射f ：A →B 中，集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则B 中的元素(－1，3)在集合A 中的原像为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即原像为()1，2. 答案：()1，27．已知从A 到B 的映射是x →2x ＋1，从B 到C 的映射是y →y 2－1，其中A ，B ，C ⊆R ，则从A 到C 的映射是________．解析：设x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，则y ＝2x ＋1，z ＝y 2－1，所以z ＝12(2x ＋1)－1＝x －12.所以从A 到C 的映射是x →x －12. 答案：x →x －128．设M ＝{a ，b }，N ＝{－2，0，2}，则从M 到N 的映射中满足f (a )≥f (b )的映射f 的个数为________．解析：当f (a )＞f (b )时有三种：f (a )＝0，f (b )＝－2；f (a )＝2，f (b )＝0；f (a )＝2，f (b )＝－2.当f (a )＝f (b )时，有f (a )＝f (b )＝0，2，－2，共3种可能．综上所述，满足条件f (a )≥f (b )的映射有6个．答案：69．设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )．求(1)集合Q 中与集合P 中元素(3，2)对应的元素；(2)集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素．解：(1)由3＋2＝5，3×2＝6可得到集合Q 中与集合P 中元素(3，2)对应的元素为(5，6)．(2)设集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 所以集合P 中与集合Q 中元素(3，2)对应的元素为(2，1)或(1，2)．10．(1)若A ＝{a ， b ，c }，B ＝{1，2}，从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？从集合B 到集合A 呢？(2)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{－1，－2}，设映射f ：A →B ，如果B 中的元素都是A 中的元素在f 下的像，这样的映射有几个？解：(1)A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1，2}，则从A 到B 的映射共有：23＝8个．反过来从B 到A 的映射共有：32＝9个．(2)由题意知，从集合A 到集合B 的映射总个数是25＝32个，因为B 中的元素都是A 中的元素在f 下的像，所以要除去A 中1，2，3，4，5都对应－1和1，2，3，4，5都对应－2这两个，故满足题意的映射共有32－2＝30个．[B 能力提升]1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{5，1，19}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．6个C ． 8个D ．9个解析：选D.当2x 2＋1＝5时，x ＝±2，当2x 2＋1＝1时，x ＝0，当2x 2＋1＝19时，x ＝±3，定义域中含3个元素时有4种，定义域中含4个元素时有4种，定义域中含5个元素时有1种．综上，“孪生函数”共有4＋4＋1＝9个．2．若A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1，2}，从A 到B 建立映射，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射个数是________．解析：由题意知a 、b 、c 中有两个像为1，一个像为2，所以这样的映射有3个．答案：33．已知：集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}．对应关系f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．解：①当a ≥0时，由－2≤x ≤2得－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，所以0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a .若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，所以－12≤a ＜0.综合①②可知－12≤a ≤12. 4．(选做题)已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，取适当的对应关系．(1)以集合A 为定义域、B 为值域(注意：值域为B ，而不是B 的子集，即B 中元素都有原像)的函数有多少个？(2)在所有以集合A 为定义域、B 为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数有多少个？解：(1)根据映射与函数的定义，集合A 中的元素均可与B 中的两个元素对应，故从A 到B 可建立24＝16个函数，但在1，2，3，4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B ，应予以排除，所以以集合A 为定义域、B 为值域的函数有14个．(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.所以满足条件的函数共有3个．。

2-1、2-3映射

第二章 ·§1、§2 ·第3课时
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二、映射与函数的关系函数是从数集到数集(且均为非空数集)的映射，所以函数是映射，但映射不一定是函数，因为映射的像集与原像集不一定是数集．两个概念的异同如下：
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(4)集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有像，并且像是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征； (5)集合 A 中不同元素，在集合 B 中对应的像可以是同一个； (6)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原像．
∴3x－2y＋1＝－6,4x＋3y－1＝1， ∴A 中元素(－1,2)的像为(－6,1)．
3x－2y＋1＝－1 (2)由题意，得 4x＋3y－1＝2 x＝0 ，解得 y＝1
.
∴B 中元素(－1,2)的原像为(0,1).
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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第二章
函
数
第二章函数
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§1 §2
生活中的变量关系对函数的进一步认识
第二章函数
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第3课时
映射
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重点难点点拨
重点：映射的概念与判定．难点：映射与函数关系的理解．

2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)2.3映射作业Word版含答案

1．下列对应法则f 中，能构成从A 到B 的函数的有( )①A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2；②A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2；③A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x 2；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．4个解析：选B.②中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数；③中A 的元素0在B 中无像，不能构成映射，也就不能构成函数．①④都能构成A 到B 的函数．2．下列对应关系是从集合M 到集合N 的一一映射的是( )A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈N B ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈NC ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N D ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N解析：选 D.判断一个对应关系是否为一一映射，要从基本概念入手，看是否满足一一映射的条件，A 选项M 中元素0在N 中没有像与之对应，所以A 不是映射；B 选项M 中元素±1在N 中对应相同的像1，虽然B 是映射，但不是一一映射；C 选项M 中元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以C 不是映射；D 选项M 中的每一个元素在N 中都有唯一元素与之对应，M 中的不同元素在N 中的像也不同，且N 中的元素在M 中都有原像，所以D 是一一映射．3．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，像(2,1)的原像是________．解析：本题即为求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1的解．答案：⎝⎛⎭⎫32，124．已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数最少是________．解析：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言则非常简洁．如图，即可知个数最少应为4. 答案：4[A 级基础达标]1．(2012·九江检测)在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( )A ．集合B 中的某一个元素b 的原像可能不止一个B．集合A中的某一个元素a的像可能不止一个C．集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同D．集合B中的两个不同元素的原像可能相同解析：选A.由映射的概念可知，A中的每个元素都有像，且像唯一，B中未必每个元素都有原像且不一定唯一，故选A.2．下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是()A．A＝{x|1<x<4}，B＝[1,3)，f：求算术平方根B．A＝R，B＝R，f：取绝对值C．A＝{正实数}，B＝R，f：求平方D．A＝R，B＝R，f：取倒数解析：选D.因为D中0取倒数无意义，故选D.3．设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B，把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，像20的原像是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.∵20＝2n＋n，分别将选择项代入检验，知当n＝4时成立．4．(2012·淮北质检)已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则分别是：(1)f：x→y＝12x，(2)f：x→y＝x－2，(3)f：x→y＝x，(4)f：x→y＝|x－2|其中能构成一一映射的是________．解析：(1)y＝12x.x∈[0,4]．y∈[0,2]＝B(2)y＝x－2∈[－2,2]≠B.(3)y＝x∈[0,2]＝B.(4)y＝|x－2|∈[0,2]，但如y＝1.∴x＝3或x＝1. 答案：(1)(3)5．已知从A到B的映射是x→2x＋1，从B到C的映射是y→y2－1，其中A，B，C⊆R，则从A到C的映射是________．解析：x∈A.y∈B.z∈C.∴y＝2x＋1.z＝y2－1∴z＝12(2x＋1)－1＝x－12.∴x→x－12答案：x→x－1 26．设A＝B＝{a，b，c，d，e，…，x，y，z}(元素为26个英文字母)，作映射A→B为：并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应字母拼成的文字为密文，则：(1)“mathematics”的密文是什么？(2)试破译密文“ju jt gvooz”．解：由明文与密文的关系可知：(1)“mathematics”对应的密文是“nbuifnbujdt”．(2)“ju jt gvooz”对应的明文是“it is funny”．[B级能力提升]7．下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是()A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|B．A＝{x|x≥0}，B＝{y|y>0}，f：x→y＝xC．A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|D．A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋2解析：选D.x＝0，y＝0∉B，A错．同理B错．C中：当x＝1时，y＝0∉B.C错.8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有()A．6种B．7种C ．8种D ．27种解析：选B.该函数的值域C 的不同情况有{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}7种．9．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析：根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)．答案：(7,12) (－2,3)或(3，－2)10．(创新题)已知集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N ＋，k ∈N ＋，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B .解：根据对应法则f ，有：f ：1→4；2→7；3→10；k →3k ＋1.若a 4＝10，则a ∉N ＋，不符合题意，舍去；若a 2＋3a ＝10，则a ＝2(a ＝－5不符合题意，舍去)．故3k ＋1＝a 4＝16，得k ＝5.综上可知，a ＝2，k ＝5, 集合A ＝{1,2,3,5}，B ＝{4,7,10,16}．11．已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A .解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素都应在B 中有唯一的元素对应．∵1|x |－1≠0，∴0在A 中不存在原像；由1|x |－1＝1，得x ＝±2，∴±2可取作1的对应元素；由1|x |－1＝12，得x ＝±3，∴±3可取作12的对应元素；由1|x |－1＝13，得x ＝±4，∴±4可取作13的对应元素； ∴A 中元素最多只能是6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

学高一数学2.2.3映射课后训练北师大版必修1

【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 2.2.3映射课后训练北师大版必修1基础巩固1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为()．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像③集合B中可能有元素在集合A中无原像④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个A．①②B．②③C．③④D．①④2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是()．A．12y x=B．13y x=C．23y x=D．18y x=3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()．A．M＝N＝R，f：x→y＝1x-，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1||x x+，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是()．A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()．A．4 B．5 C．6 D．76．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A中的元素在f下的像，则这样的映射有()．A．16个B．14个C．12个D．8个能力提升7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则p的取值范围是________．8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．10．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→1||1x-，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.12．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．13．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．参考答案1．A点拨：映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．C点拨：对于选项C，A中的元素843→∉B，∴f：x→y＝23x不能构成A到B的映射．3．D点拨：A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．A点拨：∵2010,2012,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴2011,1,xy=⎧⎨=-⎩5．A点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．6．B点拨：由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.7．(1，＋∞)点拨：由题意可得，若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1.8．6,4,1,7点拨：根据题意得214,29,2323,428,a bb cc dd+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩解得6,4,1,7.abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴明文为6,4,1,7.9．解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像，∴3,4,xyx y-=⎧⎨-=-⎩解得1,3xy=-⎧⎨=⎩或3,1.xy=-⎧⎨-⎩∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足,.xy ax y b-=⎧⎨-=⎩①②由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知：只有当B中的元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．10．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2.则有k的像是a4.∴3k＋1＝24，得k＝5.11．解：∵f：x→1||1x-是从集合A到集合B的映射，∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．令1||1x-＝0，该方程无解．故0没有原像．分别令1||1x-＝1,2,3可得x＝±2，32±，43±.故集合A中的元素最多为6个，即33442,2,,,,2233A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭. 12．解：①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1,1]，即2121,a a -≥-⎧⎨≤⎩ ∴0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即21,21,a a ≥-⎧⎨-≤⎩∴12-≤a ＜0. 综合①②可知1122a -≤≤. 13．解：(1)假若A 中存在元素(a ，b )，使它的像仍是它本身，则有321,431,a b a a b b -+=⎧⎨+-=⎩ 解得，0,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 这说明，存在元素10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，使它在B 中的像还是它本身． (2)由(1)的求解及结果可知，在A 中的任意元素(x ，y )(x ，y ∈R )使得方程组321,431x y x x y y -+=⎧⎨+-=⎩都有唯一解，这说明对B 中任意元素，在A 中有唯一的原像，所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．。

北师大版数学高一必修1训练映射

2.3 映射5分钟训练1.图2-2-12中，图(1)、图(2)、图(3)用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则是不是映射？是不是函数关系？图2-2-12解析：图(1)中，集合A 中任一个数，通过“开平方”运算，在B 中有两个数与之对应，这种对应法则不符合上述的映射定义，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图(2)中，元素6在B 中没有象，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图(3)中，对A 中任一个数，通过“2倍”的运算，在B 中有且只有一个数与之对应，所以这种对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.图(4)中的平方运算法则，同样是映射，因为对A 中每一个数，通过平方运算，在B 中都有唯一的一个数与之对应，但不是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.2.对于集合A 到集合B 的映射,则必有（）A.集合B 中两个不同元素的原象相同B.集合A 中两个不同元素的象必不相同C.集合B 中的某一元素的原象可不唯一D.集合A 中的某一元素的象可不唯一答案：C解析：由映射概念对照知C 正确.3.已知函数f:R→R,x→3x -5.(1)求x=2,5,8时的象f(2),f(5),f(8);(2)求f(x)=35,47时的原象.解：(1)依题意f(x)=3x-5,∴f(2)=3×2-5=1,f(5)=3×5-5=10,f(8)=3×8-5=19,即2,5,8的象分别是1,10,19.(2)由3x-5=35,得x=340.由3x-5=47,得x=352,即35的原象是340，47的原象是352. 10分钟训练1.图2-2-13中给出下列四个对应，其中能构成映射的是( )图2-2-13A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④答案：B解析：由映射定义可知对于A 集合中任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，满足条件的只有①④.2.确定函数y=x 2+1的映射是( )A.R 到R 的映射B.{x|x>0}到{x|x>0}的映射C.R 到{x|x>0}的映射D.R 到［1,+∞)的映射答案：D解析：自变量x 是任意实数，而y≥1，故函数是R 到［1,+∞)上的一个映射.3.设A={x|x 是锐角},B=(0,1),从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中原象60°相对应的象是__________，与B 中象22相对应的原象是_____________. 解析：sin60°=22,23=sin45°. 答案：23 45° 4.若B={-1,3,5},试找出一个集合A,使得f:x→2x -1是从A 到B 的映射.解：由题意得2x-1=-1⇒x=0,2x-1=3⇒x=2,2x-1=5⇒x=3,∴A={0,2,3}.5.设集合A={a 1,a 2,a 3}，B={b 1,b 2}，(1)从A 到B 的映射有多少个？(2)从B 到A 的映射有多少个？解析：根据“什么叫映射”来做一个映射：先算每一元素的象有几种可能，然后就能算出共能做出多少个不同的映射.解：(1)作a 1的象有b 1或b 22种方法，同样作a 2、a 3的象也各有2种方法，所以从A 到B 的映射共有2×2×2=8个.(2)从B 到A 的映射共有3×3=9个.30分钟训练1.设集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在图2-2-14所示的图形中，能表示从集合A 到集合B 的映射的是 ( )图2-2-14答案：D解析：依照映射强调的“任意”和“唯一”两方面来判断.由题设给定集合A ={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，对照选择图A 、B ，集合A 到集合B 不一定都有象，故否定A 、B ；图C 中，当0≤x≤2时，集合A 到集合B 的象不唯一，故否定C.2.下面的对应，不是从集合M 到集合N 的映射的是（）A.M=N,N={-1,1},f:x→|x|B.M=Q,N=Q,f:x→x 2C.M=R,N=R,f:x→±xD.M=Z ，N=Z ，f ：x→2x答案：C3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x ∈R ,y ∈R }，映射f:A→B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A.(3,1)B.(23,21) C.(23,21-) D.(1,3) 答案：B解析：依题意，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+.21,23,1,2y x y x y x 解得 4.下列哪一个对应是一个集合P 到集合S 的映射( )A.P={有理数}，S={数轴上的点}，对应法则f:有理数→数轴上的点B.P={数轴上的点}，S={有理数}，对应法则f:数轴上的点→有理数C.x ∈P=R,y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=|x|D.x ∈P={x|x≤0},y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=x 2答案：A解析：B 中集合P 中的元素有的没有原象，如2没有象与之对应；C 、D 中集合P 的元素0在集合S 中没有原象与之对应.故选A.5.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7答案：C解析：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+.284,2332,92,142d d c c b b a 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.7,1,4,6d c b a6.设A 到B 的映射f 1:x→2x+1，B 到C 的映射f 2:y→y 2-1，则A 到C 的映射f 3是___________. 解析：依题意可知y=2x+1，∴y 2-1=(2x+1)2-1=4x 2+4x.∴A 到C 的映射是f 3:x→4x 2+4x.答案：f 3:x→4x 2+4x7.已知集合A={(x,y)||x|<2,x+y<3,x∈Z,y∈N+},B={0,1,2},从A到B的对应关系f:(x,y)→x+y,试作出对应图,并判断f是否为从A到B的映射.解：由题意得:A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1)},B={0,1,2}.对应图如下:由于A中每一个元素在集合B中都有唯一确定的象和它对应,所以“f”是从集合A到集合B的映射.8.设映射f:A→B,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(3,4)的象;(2)求B中元素(5,10)的原象:(3)是否存在这样的元素(a,b)使它的象仍是自己?若有,求出这个元素.解：(1)由⎩⎨⎧=-+=+-⇒⎩⎨⎧==,23134,212343yxyxyx∴A中元素(3,4)的象是(2,23).(2)由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+-,1,2101345123yxyxyx∴B中元素(5,10)的原象是(2,1).(3)由⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+-⇒⎩⎨⎧-+=+-=,21,0124122134123bababababbaa∴存在元素(0,21)使它的象仍是它自己.9.已知映射f:A→B，其中A={-3,-2,-1,0,1,2,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是x2，求B中元素的个数；若B中和它对应的元素是(-1)x，求B中元素又有多少个?解析：按照对应法则，得到B={0,1,4,9,16}，有5个元素.若按f:x→y=(-1)x，则B={-1,1},即B中有2个元素.。

高中数学 2.2.3 映射课后强化作业北师大版必修1

高中数学 2.2.3 映射课后强化作业北师大版必修 1一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥00x <0C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像 C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一 D ．A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A. 3．已知(x ，y )在映射下的像是(x ＋y ，x －y )，则像(1,2)在f 下的原像为( ) A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，－12)[答案] D[解析] 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．下列对应为A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x | B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝xD ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 [答案] D[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R ，且|0|＝0∉B ，故A 不是f ：A →B 的函数；对于B,0∈Z ，且02＝0∉N ＋，故B 不是f ：A →B 的函数；对于C ，当x <0时，如－2∈Z ，但－2无意义，故C 不是f ：A →B 的函数；对于D ，是多对一的情形，符合函数的定义，是f ：A →B 的函数．6．下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是( ) A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈NB ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N C ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈ND ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N[答案] D[解析] 用排除法，A 中集合M 的元素0，在f 下，N 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 中集合M 的元素±1，在f 下的像都是1，故排除B ；C 中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，应排除；故选D.二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{m ，n }，则由A 到B 的一一映射的个数为________． [答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ， ∴b a＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y )．(1)求A 中元素(5,5)的像； (2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b )，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5， ∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y )＝(17,25)． ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)． (2)设元素(5,5)的原像是(m ，n )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1，∴A 中存在元素(a ，b )使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).一、选择题1．已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝32xD ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6]⃘[0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a ∈A ，∴|a |＝1,2,3,4，即B ＝{1,2,3,4}．二、填空题3．已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{0,1}，若映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，则这样的映射的个数是________．[答案] 3[解析] 由于f (a )＋f (b )＝f (c )，所以只能有f (a )＝0，f (b )＝1，f (c )＝1，或f (a )＝1，f (b )＝0，f (c )＝1，或f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，即这样的映射有3个．4．下列对应是集合A 到集合B 的一一映射的是________(填正确序号)． (1)A ＝N ，B ＝{－1,1}，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝(－1)x； (2)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}，f ：x →y ＝13x ；(3)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：x →y ＝1x；(4)A ＝{三角形}，B ＝R ，f ：三角形与它面积的对应． [答案] (2)[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A 中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．三、解答题5．设f ，g 都是由A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：设[解析] ∵a ＝g (f (3))＝g (1)＝2，b ＝g (g (2))＝g (1)＝2，c ＝f (g (f (1)))＝f (g (2))＝f (1)＝2，∴a ＝b ＝c .6．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}，f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x.[解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．7．已知：集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}．对应f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．[解析] ①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a,2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a <0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a <0.综合①②可知－12≤a ≤12.。

2021年高中数学 2.3映射课时作业北师大版必修1

2021年高中数学 2.3映射课时作业北师大版必修1课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系．1．映射的概念如果两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有__________元素y 与它对应，则称f 是集合A 到集合B 的________．A 中的元素称为________，B 中的对应元素y 称为x 的像． 2．一一映射在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有______的像与之对应；(2)A 中的不同元素的____也不同；(3)B 中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作________． 3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中每一个元素在A 中必有原像 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个像 D ．A 中不同元素的像必不同2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x3．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )4．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x |B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 05．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( ) A ．3个 2个 1个 B ．3个 3个 2个 C ．4个 2个 2个 D ．2个 2个 1个 6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( ) A ．3个 B ．6个题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的像为________．8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下表：映射f 原像 1 2 3 4 像 3 4 2 1映射g 原像 1 2 3 4 像 4 3 1 2则f [g (1)]的值为9．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．三、解答题10．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像．11．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．能力提升12．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的像和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的原像． 13．在下列对应关系中，哪些对应关系是集合A 到集合B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应关系f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应关系f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应关系f ：“3倍”；(4)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求绝对值”；(5)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求倒数”．1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原像，不做要求．2．3 映射知识梳理1．唯一的一个映射原像 2.(1)唯一 (2)像 (3)原像一一对应 3．函数非空数集作业设计 1．A2．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.]3．D [选项A 、B 中的元素2没有像；选项C 中1的像有两个；只有D 满足映射的定义，故选D.]4．B [在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它的对应的数．]5．C [①、②、③、④都是映射；②、③是函数；②、④是一一映射，对于①由于有的同学体重可能相等，故①不是一一映射．]6．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总共有如图所示的4种可能．]7.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13.8．1解析 ∵g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1. 9．7解析 ⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝0，f c ＝－3， ⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝0，f c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝3，f b ＝－3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝－3，f b ＝3，f c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝3，f c ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝0，f b ＝－3，f c ＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.10．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的像是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的原像是2.11．解由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1.故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的像是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的像是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.12．解将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2在B 中的像为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中对应的原像为12. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应关系f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原像与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射． (3)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原像与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故关系f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原像，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故关系f 不是从A 到B 的映射．31455 7ADF 竟E34134 8556 蕖31178 79CA 秊22525 57FD埽25651 6433 搳32879 806F 聯QT 20015 4E2F 丯"(。

北师大版高中数学必修一课后训练2.2.3映射.docx

课后训练基础巩固1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为()．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像③集合B中可能有元素在集合A中无原像④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个A．①②B．②③C．③④D．①④2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是()．A．12y x=B．13y x=C．23y x=D．18y x=3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()．A．M＝N＝R，f：x→y＝1x-，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1||x x+，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是()．A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()．A．4 B．5 C．6 D．76．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A 中的元素在f下的像，则这样的映射有()．A．16个B．14个C．12个D．8个能力提升7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M 中不存在原像，则p的取值范围是________．8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．10．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→1||1x，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.12．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．13．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．参考答案1．A点拨：映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．C点拨：对于选项C，A中的元素843→∉B，∴f：x→y＝23x不能构成A到B的映射．3．D点拨：A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．A点拨：∵2010,2012,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴2011,1,xy=⎧⎨=-⎩5．A点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．6．B点拨：由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.7．(1，＋∞)点拨：由题意可得，若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1.8．6,4,1,7点拨：根据题意得214,29,2323,428,a bb cc dd+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩解得6,4,1,7.abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴明文为6,4,1,7.9．解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像，∴3,4,xyx y-=⎧⎨-=-⎩解得1,3xy=-⎧⎨=⎩或3,1.xy=-⎧⎨-⎩∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足,.xy ax y b-=⎧⎨-=⎩①②由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知：只有当B中的元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．10．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2.则有k的像是a4.∴3k＋1＝24，得k＝5.11．解：∵f：x→1||1x-是从集合A到集合B的映射，∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．令1||1x-＝0，该方程无解．故0没有原像．分别令1||1x-＝1,2,3可得x＝±2，32±，43±.故集合A 中的元素最多为6个，即33442,2,,,,2233A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭. 12．解：①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1,1]，即2121,a a -≥-⎧⎨≤⎩ ∴0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即21,21,a a ≥-⎧⎨-≤⎩∴12-≤a ＜0. 综合①②可知1122a -≤≤. 13．解：(1)假若A 中存在元素(a ，b )，使它的像仍是它本身，则有321,431,a b a a b b -+=⎧⎨+-=⎩解得，0,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 这说明，存在元素10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，使它在B 中的像还是它本身． (2)由(1)的求解及结果可知，在A 中的任意元素(x ，y )(x ，y ∈R )使得方程组321,431x y x x y y -+=⎧⎨+-=⎩都有唯一解，这说明对B 中任意元素，在A 中有唯一的原像，所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．。

高中数学 2.2.3映射课后训练北师大版必修1

高中数学 2.2.3映射课后训练北师大版必修1基础巩固1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为()．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像③集合B中可能有元素在集合A中无原像④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个A．①②B．②③C．③④D．①④2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是()．A．12y x=B．13y x=C．23y x=D．18y x=3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是()．A．M＝N＝R，f：x→y＝1x-，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝1||x x+，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是()．A．(2 011，－1) B．(－1,2 011)C．(4 022，－2) D．(－2,4 022)5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()．A．4 B．5 C．6 D．76．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A 中的元素在f下的像，则这样的映射有()．A．16个B．14个C．12个D．8个能力提升7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M 中不存在原像，则p的取值范围是________．8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系．10．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．11．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→1||1x-，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.12．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．13．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)A中是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是它本身？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．参考答案1．A点拨：映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．C点拨：对于选项C，A中的元素843→∉B，∴f：x→y＝23x不能构成A到B的映射．3．D点拨：A中集合M的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.4．A点拨：∵2010,2012,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴2011,1,xy=⎧⎨=-⎩5．A点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．6．B点拨：由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.7．(1，＋∞)点拨：由题意可得，若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1.8．6,4,1,7点拨：根据题意得214,29,2323,428,a bb cc dd+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩解得6,4,1,7.abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴明文为6,4,1,7.9．解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像，∴3,4,xyx y-=⎧⎨-=-⎩解得1,3xy=-⎧⎨=⎩或3,1.xy=-⎧⎨-⎩∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足,.xy ax y b-=⎧⎨-=⎩①②由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知：只有当B中的元素(a，b)满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原像．10．解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2.则有k的像是a4.∴3k＋1＝24，得k＝5.11．解：∵f：x→1||1x-是从集合A到集合B的映射，∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．令1||1x-＝0，该方程无解．故0没有原像．分别令1||1x-＝1,2,3可得x＝±2，32±，43±.故集合A中的元素最多为6个，即33442,2,,,,2233A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭. 12．解：①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a ，2a ]⊆[－1,1]，即2121,a a -≥-⎧⎨≤⎩ ∴0≤a ≤12. ②当a ＜0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即21,21,a a ≥-⎧⎨-≤⎩∴12-≤a ＜0. 综合①②可知1122a -≤≤. 13．解：(1)假若A 中存在元素(a ，b )，使它的像仍是它本身，则有321,431,a b a a b b -+=⎧⎨+-=⎩ 解得，0,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 这说明，存在元素10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，使它在B 中的像还是它本身． (2)由(1)的求解及结果可知，在A 中的任意元素(x ，y )(x ，y ∈R )使得方程组321,431x y x x y y -+=⎧⎨+-=⎩都有唯一解，这说明对B 中任意元素，在A 中有唯一的原像，所以映射f ：A →B 是A 到B 的一一映射．。

高中数学(北师大版必修一)习题第2章 2 2.3 映射 (1)

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)一、选择题1. 给出如图228所示的对应：图228其中构成从A到B的映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.【★答案☆】 A2．设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图229中，能表示P到Q的映射的是( )图229A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如图(1)，对于P中的每个元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在图(2)中，当P中元素x取(0,1]的值时，在Q中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P的元素取(1,2]的值时，Q中没有元素与它对应，所以(3)不是P到Q 的映射；与(1)相同，(4)也是P到Q的映射．【★答案☆】 C3．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2C ．f ：x →x 2＋1D ．f ：x →x 2－1【解析】因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24. 故从集合A 到集合B 的映射的对应关系为f ：x →x 2－1. 【★答案☆】 D4. 已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴f ：x →y ＝x －2， ∴5在f 下的像是5－2＝3. 【★答案☆】 A5. 已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】对应关系是f ：a →|a |.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B ＝{1,2,3,4}．故选A.【★答案☆】 A 二、填空题6. 设M ＝N ＝R ，f ：x →－x 2＋2x 是M 到N 的映射，若对于N 中元素p ，在M 中恰有一个原像，则p 的值为________．【解析】由题意知，关于x 的方程－x 2＋2x ＝p 有两相等实根，∴Δ＝4－4p ＝0，p ＝1.【★答案☆】 17. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数的是________． ①A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；②A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1；③A ＝{高一一班的男生}，B ＝{男生的身高}，对应关系f ：每个男生对应自己的身高．【解析】对于①，集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的像，同时集合A 和B 都是数集，可知对应f 是集合A 到集合B 的函数．同理，对于②，对应f 也是集合A 到集合B 的函数．对于③，集合A ，B 不是数集，不是函数关系．【★答案☆】 ①②8. 已知集合A ＝B ＝R ，映射f ：x →x 2＋2x －4，若a 在B 中且在A 中没有原像，则a 的取值范围是________．【解析】 x 2＋2x －4＝(x ＋1)2－5≥－5， ∵a 在B 中且在A 中没有原像， ∴a <－5.【★答案☆】 (－∞，－5) 三、解答题9. 设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )，求：(1)集合Q 中与集合P 中元素(3,2)对应的元素； (2)集合P 中与集合Q 中元素(3,2)对应的元素．【解】 (1)由3＋2＝5,3×2＝6，故与集合P 中元素对应的元素为(5,6)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故与集合Q 中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)． 10. 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2；(3)A ＝1. 设集合A 与集合B 都是自然数集N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．4或－5【解析】令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，解得n ＝－5或4. ∵n ∈N ，∴n ＝4. 【★答案☆】 C2. 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个【解析】由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：共3个．【★答案☆】 B3．给定映射f (x ，y )→(x ，x ＋y )，在对应关系f 下像(2,3)的原像是(a ，b )，则函数y ＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________．【解析】由题意a ＝4，b ＝－1，则y ＝4x 2－x 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－116.【★答案☆】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－1164．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像； (2)试探索B 中哪些元素在A 中存在原像；(3) 求B 中元素(a ，b )在A 中有且只有一个原像时，a ，b 所满足的关系式. 【导学号：04100023】【解】 (1)设(x ，y )是B 中元素(3，－4)在A中的原像，于是⎩⎪⎨⎪⎧－xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.所以(3，－4)在A 中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足，⎩⎪⎨⎪⎧ －xy ＝a ，x －y ＝b ，①②由②式得y ＝x －b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0.③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知，当B 中元素(a ，b )满足b 2＝4a 时，它在A 中有且只有一个原像．。

高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质课后强化作业北师大版必修1

高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质课后强化作业北师大版必修1一、选择题1．若(1－2x )－56 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[答案] D[解析] (1－2x ) －56 ＝161－2x5，要使(1－2x ) －56 有意义，则需1－2x >0，即x <12.2．以下化简结果错误的是( )[答案] D[解析] ，故选项D 错误．3．下列各式中成立的是( )A ．(m n)7＝n 7m 17B ．12－34＝3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y ) 34 D ．39＝33[答案] D[解析] (m n)7＝(mn －1)7＝m 7n －7，A 错； 12－34＝1234＝33，B 错；(x 3＋y 3) 14 ≠(x ＋y ) 34 ，C 错．4．将3－22化为分数指数幂的形式为( ) A ．212 B ．－212 C ．2－12D ．－2－12[答案] B [解析] 原式＝5．已知x 12 ＋x －12 ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27[答案] B[解析] x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 12 ＋x －12 )2－2 ＝52－2＝23. 故选B.6．计算(2a －3b －23 )·(－3a －1b )÷(4a －4b －53 )得( ) A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73 [答案] A.二、填空题7．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12 ＝________.[分析] 本小题考查分数指数幂的运算，利用运算性质，运用法则即可求解． [答案] －4[解析] 原式＝14×(－12)－4－4÷1－111612＝14×(12)－4－4－(16) 12 ＝4－4－4＝－4.8．若a ＝5b 3(a >0，b >0)，则b ＝________(用a 的分数指数幂表示)． [答案] a 53[解析] 由于a ＝5b 3＝b 35 ，所以a 5＝b 3，因此b ＝a 53 .三、解答题9．(1)已知3a 2＋b ＝1，求9a·3b3a 的值．．[解析] (1).∵32a ＋b ＝1，∴9a·3b3a ＝3. (2)原式＝＝425b 12 .一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①na n＝a②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝0 ③3x 4＋y 3＝x 43＋y④3－5＝6－52A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①中当a ＜0，n 为偶数时，n a n ≠a ，故①错；③中3x 4＋y 3＝(x 4＋y 3)13≠x 43＋y ，故③错；④中3－5＜0，6－52＞0，故④错；②中a ∈R ，a 2－a ＋1＞0，∴(a 2－a ＋1)0＝1，故②错，故选A.2．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝(3a 32)4·(6a 3)4＝(a 12 )4·(a 12 )4＝a 4.二、填空题3．设函数f 1(x )＝x 12 ，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2014)))＝________. [答案]12014[解析] f 1(f 2(f 3(2014)))＝f 1(f 2(20142))＝f 1((20142)－1)＝((20142)－1) 12 ＝2014－1＝12014. 4．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是________． [答案] －1[解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0. ∴x ≤2.∴x 2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1. 三、解答题5．已知x 12 ＋x －12 ＝3，求的值．[解析] ∵x 12 ＋x －12 ＝3， ∴两边平方，得(x 12 ＋x －12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7.对x ＋x －1＝7两边平方，得x 2＋x －2＝47. 将x 12 ＋x －12 ＝3两边立方，得 x 32 ＋x －32 ＋3(x 12 ＋x －12 )＝27. 即x 32 ＋x 32 ＝18. ∴原式＝47－218－3＝4515＝3.6．化简下列各式：(1) ；(2)a 3b 2·3ab 24a b43ba(a ＞b ，b ＞0)．[分析] 在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．.[点评] 这种混合运算的题型，运算的关键是化简顺序：先乘方、再乘除，最后做加减，步步紧扣运算法则，同时应注意将系数和字母分开计算．7．已知a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． [解析] ∵a 、b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6ab ＝4.(a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15， ∵a >b >0，∴a >b ， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。

数学(北师大版)必修一教学设计：2-2-3映射含答案

教学设计2。

3 映射错误!教学分析课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时,也体现了从特殊到一般的思维过程．三维目标了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系"是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识．重点难点映射的概念．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．5．函数的概念．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题）．思路2。

前面学习了函数的概念是：一般地，设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．（1）对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应．(2)班级里的每一位同学在教室内都有唯一的坐位与之对应．（3）对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应．那么这些对应又有什么特点呢？这种对应称为映射．引出课题．推进新课错误!错误!①给出以下对应关系：图1这三个对应关系有什么共同特点?②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义．③“都有唯一"是什么意思?④函数与映射有什么关系？讨论结果：①集合A，B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B"．如果集合A中的元素x对应集合B中元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原像，集合B中元素y叫集合A中的元素x的像．③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．错误!思路1例1 下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1)A＝{P｜P是数轴上的点｝,B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应;（2）A＝{P｜P是平面直角坐标系中的点｝，B＝{(x，y）｜x∈R，y∈R｝，对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3）A＝{三角形｝,B＝｛x|x是圆｝，对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;（4）A＝｛x｜x是新华中学的班级}，B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．活动:学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．（1）中数轴上的点对应着唯一的实数；（2）中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；(3）中每一个三角形都有唯一的内切圆;（4）中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．解：(1)是映射；（2)是映射；（3)是映射；（4）不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.变式训练1．图2(1)，（2），(3)，（4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射?图2答案：（1)不是;（2）是；（3）是;(4)是．2．在图3中的映射中，A中元素60°的对应的元素是什么？在A 中的什么元素与B中元素错误!对应?图3答案：A中元素60°的对应的元素是错误!，在A中的元素45°与B中元素错误!对应。

高中数学北师大版必修1课后练习：2.2.3 映射

2.3 映射课后篇巩固提升1.下列对应不是映射的是( )答案:D2.设f :x →3x-1是集合A 到集合B 的映射,若A={1,a },B={a ,5},则a=( )A.1 B .2 C .4 D .5解析:当x=1时,3x-1=3-1=2,故a=2;当x=2时,3x-1=5,符合题意.答案:B3.已知集合A={x|0≤x ≤4},集合B={y|0≤y ≤2},下列由A 到B 的对应:①f :x →y=12x ,②f :x →y=√x ,③f :x →y=-|x|,④f :x →y=x-2.其中能构成映射的是( )A.①②B.①③C.③④D.②④解析:对于①,当0≤x ≤4时,0≤12x ≤2,显然对于A 中的任意元素x ,B 中有唯一的元素y 与之对应,是映射;对于②,也符合映射的定义;对于③,0≤x ≤4时,-4≤-|x|≤0,显然-|x|∉(0,2],不是映射;对于④,0≤x ≤4时,-2≤x-2≤2,当0≤x<2时,B 中没有像与之对应,也不符合映射的定义,所以只有①②正确,故选A . 答案:A4.设集合A 和B 都是自然数集,映射f :A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ,则在映射f 作用下,像20的原像是( )A.2B.3C.4D.5解析:依题意得2n +n=20,分别用n=2,3,4,5代入.当n=2时,22+2≠20,排除A;当n=3时,23+3≠20,排除B;当n=5时,25+5≠20,排除D;当n=4时,24+4=20,C 正确.答案:C5.已知集合A 到集合B={0,1,12,13}的映射f :x →1|x |,则集合A 中的元素最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个解析:因为|±1|=1,所以集合A 和集合B 中的1对应的元素可以是±1.而当x=±2时,1|x |=12,当x=±3时,1|x |=13.由于不可能有x 使1|x |=0,因此集合A 中元素最多有6个,故选D .答案:D6.设f ,g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1:映射f 的对应法则:表2:映射g 的对应法则则与f (g (1))相同的是( )A.g (f (1))B.g (f (2))C.g (f (3))D.g (f (4))解析:f (a )表示在对应法则f 下a 对应的像,g (a )表示在对应法则g 下a 对应的像.由表1和表2,得f (g (1))=f (4)=1,g (f (1))=g (3)=1,g (f (2))=g (4)=2,g (f (3))=g (2)=3,g (f (4))=g (1)=4,则有f (g (1))=g (f (1))=1.答案:A7.已知集合A=B=R ,x ∈A ,y ∈B ,f :x →y=ax+b ,若8和14的原像分别是1和3,则5在f 作用下的像为 .解析:由题意,得{a +b =8,3a +b =14,解得{a =3,b =5, 所以对应法则为f :x →y=3x+5.故5在f 作用下的像是3×5+5=20.答案:208.设集合A={1,2,3},集合B={a ,b ,c },则从A 到B 的一一映射的个数为 . 解析:集合A 中有3个元素,集合B 中有3个元素,根据一一映射的定义可知从A 到B 的一一映射有6个.答案:69.设A ,B 都是实数集,映射f :A →B ,对应法则f :x →y=-x 2+2x ,对于实数k ∈B ,在集合A 中不存在原像,则k 的取值范围是 .解析:∵y=-x 2+2x=-(x-1)2+1,∴y ≤1,即像的集合为(-∞,1].∵k ∈B 时,在集合A 中不存在原像,∴k 不在像的集合内.∴k>1.答案:(1,+∞)10.判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应关系f :x →2x+1;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f :作圆的内接矩形;(3)A={1,2,3,4},B={1,1,1,1},对应关系f :x →1. 解:(1)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集A 中的元素x 按照对应关系f :x →2x+1和数集B 中的元素2x+1对应,所以这个对应是数集A 到数集B 的映射,也是函数.但B 中的元素4,6,8没有原像,不能构成一一映射.(2)不是从集合A 到集合B 的映射,更不是函数,也不是一一映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无穷多个元素与之对应.(3)是A 到B 的映射,也是函数和一一映射.因为A 中的每一个元素按照对应关系f :x →1x ,在B 中都有唯一的元素与之对应,并且A ,B 均为非空数集,所以是A 到B 的映射,也是函数.又该对应满足一一映射的定义,同时也是一一映射.11.导学号85104032设A={1,2,3,m },B={4,7,n 4,n 2+3n },对应法则f :x →y=px+q 是从集合A 到集合B 的一个一一映射,已知m ,n ∈N ,1的像是4,7的原像是2,试求p ,q ,m ,n 的值. 解:由1的像是4,7的原像是2,列方程组{p +q =4,2p +q =7,解得{p =3,q =1.故对应法则是f :x →y=3x+1. 由此判断A 中元素3的像要么是n 4,要么是n 2+3n.若n 4=10,则n ∈N 不可能.∴n 2+3n=10.解得n 1=-5(舍去),n 2=2.又集合A 中的元素m 的像只能是n 4,等于16,即3m+1=16,m=5.故p=3,q=1,m=5,n=2.由Ruize收集整理。

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