一元二次方程知识点总结及典型习题(1)

一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法：

实际问题

数学问题

)0(02≠=++a c bx ax

设未知数，列方程

实际问题的答案

数学问题的解

a

ac

b b x 242-±-=

解 方 程

降 次

开平方法

配方法

公式法 分解因式法

检 验

当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0

（3）公式法：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042

=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-

==； 当042

<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42

-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042

≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）∆=ac b 42

-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）

①当⎩

⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根；

（当⎩⎨

⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根；当⎩⎨⎧=∆≠时

00

a ⇔方程有两个相等的实数根；

） ②当⎩

⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

（四）相关练习

（一） 一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）x x 3252

=- （2）015622

=--x x （3）5)2(7)1(3-+=+y y y （4） m m m m m m 57)2())((2-=-+-+ （5）22)3(4)15(-=-a a

2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程。（2-=m ）

（2）若分式01

8

72=---x x x ，则=x （8=x ）