2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一(下)期末数学试卷

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（下）期末数学试卷

一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）直线l经过点（0，1）且倾斜角的余弦值为，则直线l的斜截式方程为．

2．（5分）在等差数列{a n}中，若a n=25﹣2n（n∈N*），那么使其前n项之和S n 取得最大值的n=．

3．（5分）若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为．

4．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若=4，则=．

5．（5分）已知点A（1，2），直线l：x﹣y﹣1=0，则点A关于直线l的对称点A'的坐标为．

6．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是．

7．（5分）已知（x，y）为所表示的平面区域M内的点，则z=y﹣

2x的最大值为．

8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．

9．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．

其中为真命题的是．

10．（5分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=．

11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，c=2，a2=4b ﹣4，则a=．

12．（5分）已知不等式组表示的平面区域为Ω，若在Ω中存在一点

P（x，y）使得﹣2≤ax﹣y≤3成立，则实数a的取值范围是．

13．（5分）对于集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，若a n=2n+1，则集合S中各元素之和为．

14．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+﹣﹣=8，则2x+y的最小值为．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．

（1）求证：MN∥平面AA1C1C；

（2）若AC=AA1，求证：MN⊥平面A1BC．

16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=6，S3=15．

（1）求{a n}的首项a1和公差d的值；

（2）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n2+n）•2n+1．求数列{b n}的通项公式b n及前n项和为T n．

17．（14分）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．

（1）若+=，求角B的值；

（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．

18．（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分

别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．

（1）求y关于x的函数解析式，并指出定义域；

（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

19．（16分）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（﹣2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点Q（2，0），过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，当△QEF的面积最大时，求直线l的方程；

（3）过直线l′：3x+4y+14=0上一点R引点P的轨迹C的两条切线，切点分别为M，N，当线段MN的长度最小时，求MN所在直线的方程．

20．（16分）已知数列{a n}满足，a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0（p≠0，p≠﹣1，n∈N*）．

（1）求数列{a n}的通项公式a n；

（2）若对每一个正整数k，若将a k

+1，a k

+2

，a k

+3

按从小到大的顺序排列后，此三

项均能构成等差数列，且公差为d k．

①求p的值及对应的数列{d k}．

②记S k为数列{d k}的前k项和，问是否存在a，使得S k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（下）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）（2016春•无锡校级期末）直线l经过点（0，1）且倾斜角的余弦值为

，则直线l的斜截式方程为y=x+1．

【解答】解：直线倾斜角的余弦值为，倾斜角为α，所以tanα=，

∵直线l经过点（0，1），

∴所求直线方程为：y﹣1=（x﹣0），即y=x+1．

故答案为：y=x+1．

2．（5分）（2016春•无锡校级期末）在等差数列{a n}中，若a n=25﹣2n（n∈N*），那么使其前n项之和S n取得最大值的n=12．

【解答】解：由a n=25﹣2n≥0，解得n≤，又n∈N*，所以1≤n≤12，n∈N*，所以数列{a n}的前12项为正数，第13项起（含第13项）为负数，

所以数列的前12项和最大，

故答案为：12．

3．（5分）（2010•海安县模拟）若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为±2．

【解答】解：由题意知，直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，

∴=，解得b=±2．

故答案为：±2．

4．（5分）（2016春•无锡校级期末）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为