吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十七)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十三)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十三)一、选择题 1．在⎝⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6的二项展开式中，x 2的系数为( B )A ．－427B ．－227 C.227 D.427解析：由二项展开式的通项式T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫136－r ·(－3)r ·x 3－r ，令3－r ＝2，得r ＝1.则x2项的系数为C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫135·(－3)1＝－227.2．若(1－x )n ＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( A ) A ．8 B ．9 C ．7 D ．10解析：由二项式定理知a 1＝C 1n ，a 3＝C 3n ，故C 3nC 1n＝7⇒(n －1)(n －2)＝42，得(n －8)(n ＋5)＝0⇒n ＝8或n ＝－5(舍)，故选A.3．设a ＝sin x d x 则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2项的系数是( B )A ．－1 120B ．1 120C ．－1 792D ．1 792解析：由题意a ＝sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π＝2，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 8展开式的通项式为T r ＋1＝C r 8(2x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 8(－1)r 28－r ·x 8－ 32 r ，令8－32r ＝2，得r ＝4，所以x 2项的系数为C 4824＝1 120，故选B .4．设a ＝(3x 2－2x)d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( A )A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：a ＝(3x 2－2x)d x ＝(x 3－x 2)⎪⎪⎪21＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式第四项为C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280 x 3，选A .5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( C )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n＝8.二项式为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8，易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7.6．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy<0，则x 的取值范围是( D )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C .⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x8－－4x7－2≤0－，由此解得x>1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．7．若(1－2x)2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( C )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0，再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.8．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( B )A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8＝x ＋8x 8＝＋2x 828x4，展开式中常数项即为(1＋2x )8中含x4的项为C 48(2x )4，故常数项为C 482428＝C 48·2－4＝358.9．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝－39，则实数m 的值为( A )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3 解析：(a 1＋a 3＋…＋a 9)2－(a 0＋a 2＋…＋a 8)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 1－a 0＋a 3－a 2＋…＋a 9－a 8)＝－39令x ＝0得a 0＋a 1＋…＋a 9＝(2＋m )9令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9所以(a 0＋a 1＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝(m 2＋2m )9＝39所以m 2＋2m ＝3，解得m ＝－3或m ＝1，选A. 二、填空题10．(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________． 解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5， 所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1. 答案：111．设a ＝(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________．解析：a ＝(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪π0＝2sin(x －π4)⎪⎪⎪π0＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＝－192x 2， 所以x 2的系数为：－192. 答案：－19212．(x ＋1)(1－2x )5展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析：本题是二项式定理计算系数的题，可以从以下角度来思考：x 3的来源有两种，一种是从第一个括号里面取出一个x ，从第二个括号里面取出x 2，此时x 3的系数为C 25(－2)2＝40；另外一种是第一个括号取出常数，第二个括号取出x 3，此时x 3的系数为C 35(－2)3＝－80，故总的系数为－40.答案：－4013．(2013·黄冈质检)已知a ＝－1(1＋1－x 2)d x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．解析：令y ＝1＋1－x 2，则x 2＋(y －1)2＝1(y≥1)，如图可看出a ＝－1(1＋1－x 2)d x 表示的面积是a ＝2×1＋π2＝2＋π2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，由二项式定理，T r ＋1＝(－1)r·C r6·26－r·x6－r·x －r ＝(－1)r ·C r 6·26－r·x6－2r，要求展开式的常数项，则6－2r ＝0，即r ＝3，∴(－1)3·C 36·26－3＝－20×8＝－160.答案：－16014．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－515．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x －1x 4的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答) 解析：T r ＋1＝C r6·(2x)6－r·(－1)r ·x －r ＝(－1)r C r 626－rx 6－3r2，r ＝0,1,2,3,4,5,6，当r ＝0,2,4,6时，T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx6－3r2为有理项，则所有有理项的系数 和为C 0626＋C 2624＋C 4622＋C 6620＝365. 答案：36516．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：T 6＝C 5n (x 2)n －5(－x －1)5＝－C 5n x2n －15，其中2n －15＝1，∴n＝8，令x ＝1得(1－3)8＝256＝a 0＋a 1＋…＋a 8，令x ＝0得(1－0)8＝1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝256－1＝255.答案：255 [热点预测]17．(1)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A .16B .14C .13D .512解析：(1)第三项的系数a 2＝C 2n(－1)2＝C 2n，第五项的系数a 4＝C 4n(－1)4＝C 4n，C 2nC n＝12－－＝314，∴n＝10，T r ＋1＝C r 10x 2(10－r)(－x － 12 )r ＝C r 10(－1)r ，由20－52r ＝0得r ＝8，所以常数项为C 810(－1)8＝45.(2)展开式中前三项的系数分别为a 1＝C 0n ＝1，a 2＝C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝n 2，a 3＝C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－8，a 1，a 2，a 3成等差数列，所以有2×n2＝1＋－8，解得n ＝8或n ＝1(舍)，则T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫12x － 14 r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，其中r ＝0,1,2，…，8，当r ＝0,4,8时为有理项，其展开式共有9项，重新排成一排，有理项互不相邻的概率为A 66A 37A 99＝512，故选D .答案：(1)45 (2)D。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十四)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十四)一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( D ) A ．1 B ．1或3 C ．0D ．1或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12³2c ³b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( A )A ．1B ．2C ．3D. 3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)²|P 1Q 1|＝12³|PQ |³|PQ |³sin 30°＝12³4³12＝1.4．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( D )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意，得c ＝5＋4＝3.∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)． ∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .5．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )A.24B.12C.22D.32解析：由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22，选C.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( A )A.12 B.14 C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ²c 2＝c 2，c a ＝12，选A.二、填空题7．圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________. 解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2. 答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1，∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案：x ＋y ＝09．抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6. 答案：6 三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.11．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.12．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →²EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →²EB →＝(AF →＋FD →)²(EF →＋FB →) ＝AF →²EF →＋AF →²FB →＋FD →²EF →＋FD →²FB → ＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4³2k 2²1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →²EB →取最小值16.[热点预测]13．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m2(x ＋2)，①直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①³②得y 2＝－mn4(x 2－4)，由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0， ∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 代入，得2k 4m 2－123＋4k 2－8mk m －k3＋4k 2－2m ＝0， 整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)．。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十六)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十六)一、选择题1．设a ＝⎰-13/1x d x ，b ＝1－x ⎰102/1x d x ，c ＝⎰1x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( A )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：2．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( D )解析：3．(2013·河北保定高三调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0cos x ，0<x≤π2，则f(x)d x ＝( D ) A .12 B ．1 C ．2 D .32 解析：4．由直线x ＝12，x ＝2，y＝0，及曲线y ＝1x所围图形的面积为( D )A .154 B .174 C .12ln 2 D ．2ln 2解析：5．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x 2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为( B )A ．4πB ．2πC ．πD .π2解析：函数f(x)＝2cos 2x2＝cos x ＋1，故所围成封闭图形的面积为⎰π02(cos x ＋1)d x＝2(sin x ＋x)⎪⎪⎪π＝2π，故选B .6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C )A .103B ．4C .163D ．6解析：由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形如图．由定积分几何意义得S 阴＝⎰4(x －x ＋2)d x故选C .7．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a ；当a<b 时，a⊕b＝b 2，函数f(x)＝(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法)，则函数f(x)的图象与x 轴及直线x ＝2围成的面积为( C )A .154 B ．4 C .174D ．8解析：f(x)＝(1⊕x)·x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≥1x ，x<1图象如图所示S ＝S △OAC ＋S 曲边梯形ACDB ＝12×1×1＋⎰21x 3d x ＝12＋14x 4⎪⎪⎪21＝12＋164－14＝174，故选C . 8．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( C )A .ln 22 B .1－ln 22 C .1＋ln 22 D .2－ln 22解析：二、填空题9．(x 3＋1)d x 的值为___6_____． 解析：⎰2(x 3＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋x ⎪⎪⎪2＝6.10．若⎰∂1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是________． 解析：⎰∂1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪a 1＝(a 2＋ln a)－(1＋0)＝a 2－1＋l n a ＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3ln a ＝ln 2∴a＝2. 答案：211．二次函数f(x)＝－x 2＋1的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________． 解析：二次函数f(x)＝－x 2＋1与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(1,0)所以它与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪1－1＝43. 答案：4312．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x －2x ，0≤x≤1-x －2x ，－1≤x≤0，则函数f(x)图象与直线y ＝x 围成的封闭图形的面积是________．解析：由已知当0≤x≤1时，y ＝2x －x 2表示的为圆的14减去一个等腰直角三角形的面积，S 1＝π4－12；当－1≤x<0时，S 2＝⎰-01(－x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－13x 3⎪⎪⎪－1＝16，所以此封闭图形的面积为S 1＋S 2＝π4－13.答案：π4－13三、解答题13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，⎰-01f(x)d x ＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f(x)＝ax 2＋(2－a)．又f(x)d x ＝∫10[ax 2＋(2－a)]d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋－⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x 2－4. (2)∵f(x)＝6x 2－4，x∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4；当x ＝±1时，f(x)max ＝2.14．一质点在直线上从时刻t ＝0(s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m /s )运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为热点预测]15．(1)设函数f(x)＝(x ＋a)n，其中n ＝6cos x d x ，f＝－3，则f(x)的展开式中x 4的系数为( D )A ．－360B ．360C ．－60D ．60(2)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝1与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，随机向图形内掷一豆子，则落入阴影内的概率是( D )A ．1－2π33B .2π33C .332πD ．1－332π解析：(1)由n ＝6cos x d x 得n ＝6，f ′(x)＝6(x ＋a)5，∴f ′(0)＝6·a 5，f(0)＝a 6，6·a 5a 6＝6a ＝－3，∴a＝－2，f(x)＝(x －2)6，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，故选D .。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十九)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十九)一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( A ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－2解析：由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( C )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( D ) A ．2n －1B ．n 2C.n ＋2n 2D.n 2n －2解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝TT n －1＝n 2n －2.4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( B )A ．5 B.72 C.92D.132解析：∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.5．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( C ) A ．－165 B ．－33 C ．－30D ．－21解析：法一：赋值法：令q ＝2，则a p ＋2＝a p ＋a 2，a 2＝－6，故数列{a n }的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列．∴a 10＝a 2＋4×(－6)＝－30，故选C.法二：a 10＝a 8＋2＝a 8＋a 2＝a 6＋2＋a 2＝a 6＋2a 2＝…＝5a 2＝－30.6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( A )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36 A ．③⑤ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．①②③⑤解析：这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．二、填空题7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析：由图可知，第一条“金鱼”需火柴棒a 1＝8，第二条“金鱼”需火柴棒a 2＝14，依次类推a 3＝20条，a n 比a n －1多6条，∴a n －a n －1＝6，∴a n ＝a 1＋6(n －1)＝6n ＋2.答案：6n ＋28．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：89．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n， n ≥2.三、解答题10．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1，∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式． (2)求n 为何值时a n 最小．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6得， (a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6.∴b n ＋1－b n ＝2n －6.当n ≥2时，b n －b n －1＝2(n －1)－6b n －1－b n －2＝2(n －2)－6⋮b 3－b 2＝2×2－6 b 2－b 1＝2×1－6累加得b n －b 1＝2(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n (n －1)－6n ＋6 ＝n 2－7n ＋6. 又b 1＝a 2－a 1＝－14， ∴b n ＝n 2－7n －8(n ≥2)，n ＝1时，b 1也适合此式，故b n ＝n 2－7n －8. (2)由b n ＝(n －8)(n ＋1)得a n ＋1－a n ＝(n －8)(n ＋1)，∴当n <8时，a n ＋1<a n . 当n ＝8时，a 9＝a 8. 当n >8时，a n ＋1>a n .∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．[热点预测]13．(1)已知数列{a n }中，a 2＝102，a n ＋1－a n ＝4n ，则数列{a n n}的最小项是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项(2)已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2 013＝________.(3)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝( )A ．2 020×2 014B ．2 020×2 013C ．1 010×2 014 D．1 010×2 013解析：(1)根据a n ＋1－a n ＝4n ，得a 2－a 1＝4，故a 1＝98，由于a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n －1)＝98＋2n (n －1)，所以a n n ＝98n＋2n －2≥298n ·2n －2＝26，当且仅当98n＝2n ，即n ＝7时等号成立．(2)由1×2×a 3＝1＋2＋a 3，得a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＝6.继续依据递推关系得到a 4＝1，a 5＝2，a 6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S 2 013＝6×2 0133＝4 026.(3)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n ＋2)＋(n ＋1)＋…＋4＋5 ＝n －n ＋2＋2＋5所以a n ＝5＋n ＋n －2，所以a 2 014－5＝1 010×2 013. 答案：(1)B (2)6 4 026 (3)D。
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(六十)一、选择题1．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形中的概率是( B )A .24 B .14C .18D .116解析：设第一个正方形边长为1，则第2个正方形边长为22，第三个正方形边长为12，则所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 2．函数f(x)＝x 2－x －2，x∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f(x 0)≤0的概率是( C )A ．1B .23C .310D .25解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f(x 0)≤0，则所求概率P ＝2－－5－－＝310. 3．已知A ＝{(x ，y)|－1≤x≤1,0≤y≤2}，B ＝{(x ，y)|1－x 2≤y}．若在区域A 中随机的扔一颗豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( A )A ．1－π8B .π4C .π4－1D .π8解析：如图，分别画出A 、B 表示的区域．S A ＝2×2＝4，S B ＝πr 22＝π2S B S A ＝π24＝π8，∴所求概率为1－S B S A ＝1－π8.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( D )A .π4 B .π－22 C .π6 D .4－π4解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：P(A)＝22－14×π×2222＝4－π4. 5．已知集合M ＝{x|－2≤x≤8}，N ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x∈M∩N”的概率是( A )A .110B .16C .310D .12解析：由题意知这是一几何概型，N ＝{x|1≤x≤2}，M∩N＝{x|1≤x≤2}，M∩N 的区间长度为1，M 的区间长度为10，所以“x∈M∩N”的概率为110，故选A .6．某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为( A )A .316B .14C .34D .116解析：飞标到圆心的距离大于14且小于12的区域面积为14π－116π＝316π，圆的面积为π，所以成绩良好的概率为316ππ＝316，选A .答案：A7．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( D )A .2－12 B ．1－22C .2－1D ．2－ 2 解析：以O 为坐标原点，轮船走的路径为直线x ＋y －10＝0，点O 到直线的距离为52，因此轮船受台风影响时，台风半径10≥r≥52，轮船受台风影响的概率为：10－5210－5＝2－ 2.8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( A )A ．1－2πB .12－1πC .2πD .1π解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R)2－12×(2R)2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R)2＝πR 2，故所求的概率是π－2πR ＝1－2π.二、填空题9．在区间[0,3]上任取一个数x ，使得不等式x 2－3x ＋2>0成立的概率为________． 解析：x 2－3x ＋2>0⇔x>2或x<1，由几何概型概率公式可得P ＝23.答案：2310．已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x∈[－1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________．解析：f(x)＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k∈[－1,1]时满足f(x)≥0在x∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.答案：2311．已知f(x)＝ln xx，在区间[2,3]上任取一点x 0，使得f′(x 0)>0的概率为________．解析：这是一个几何概型，其测度为长度，D 的测度为3－2＝1，f′(x 0)＝1－ln x 0x 20>0,2<x 0<e ，D 的测度为e －2，其概率为e －21＝e －2. 答案：e －212．在区间[0,4]内随机取两个数a 、b ，则使得函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2有零点的概率为________．解析：使函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2有零点，即使Δ＝a 2－4b 2≥0即a 2≥4b 2又a ，b∈[0,4]，∴a≥2b，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤40≤b≤4a≥2b画出不等式表示的平面区域如图．则所求概率为：S 阴影S 正方形＝12×4×24×4＝14.答案：14三、解答题13．抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π， ∴所求概率为P ＝410π＝25π.14．在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，求AD<AC 的概率．解：射线CD 在∠ACB 内是均匀分布的，故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，则∠ACE＝67.5°可看成事件构成的区域， 所以满足条件的概率为67.590＝34.[热点预测]15．(1)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A .14B .13C .12D .23(2)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A .14B .13C .12D .32解析：(1)设BC 中点为M ，∴PB →＋PC →＝2PM →∵PB →＋PC →＋2PA →＝0， ∴PM →＝－PA →， ∴P 为AM 中点 PM AM ＝12，∴S △PBC S △ABC ＝12， ∴一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 的概率是12，故选C .(2)设圆的半径为r ，内接等边三角形的边长为a ，则由正弦定理asin 60°＝2r 可得a＝3r ，故欲使弦长超过3r ，则只需圆心到弦的距离小于12r 即可，故p ＝12.答案：(1)C (2)C。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( B)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( D)A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.3．下列命题中为真命题的是( A)A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．5．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.6．“1<x <2”是“x <2”成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．7．若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α； 而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( B )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B. 二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 11．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x在定义域内单调递增”的否定；③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”； ④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件． 其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x是R 上的减函数 ∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2， 且a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。
吉林省延吉市金牌教育中心高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十一)
吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十一)一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0.所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上必存在一个零点，所以在区间[1,6]上至少有3个零点．2．函数f (x )＝log 2(x ＋1)－x 2的零点个数为( C ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：函数f (x )＝log 2(x ＋1)－x 2的零点个数即y ＝log 2(x ＋1)与y ＝x 2的交点个数，如图：可知零点个数为2个，选C.3．函数f (x )＝x ＋lg x －3的零点所在区间为( B ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．(1,2)D ．(0,1)解析：f (2)＝lg 2－1<0，f (3)＝lg 3>0，所以f (x )的零点在(2,3)内，选B. 4．已知函数f (x )＝12x －cos x ，则方程f (x )＝π4所有根的和为( C )A ．0 B.π4 C.π2 D.3π2解析：方程f (x )＝π4即12x －cos x ＝π4的根，也就是函数y ＝12x －π4与函数y ＝cos x交点的横坐标易知两个图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，所以选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 解析：g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，也就是y ＝f (x )与y ＝m 有三个不同的交点，函数f (x )的图象如图．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14，∴－14<m <0，选C. 6．若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( C )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1 D ．y ＝e xf (x )＋1解析：7．已知函数f (x )＝x －x －1，g (x )＝x ＋2x，h (x )＝x ＋ln x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( D )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 1解析：f (2)＝1－2<0，f (3)＝2－3>0，所以2<x 1<3，g (x )为单调增函数，g (0)＝1>0，所以x 2<0，h (x )也为增函数，h (1)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e－1<0，所以0<x 3<1，所以x 2<x 3<x 1，选D.8．已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x－|ln x |的两个零点，则( A ) A.1e <x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10解析：二、填空题9．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析：设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001， 即2n >100，由26＝64,27＝128知n ＝7. 答案：710．若函数f (x )＝e x－a －2x恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝e x －a －2x ＝0，得e x ＝a ＋2x ，设y 1＝e x，y 2＝a ＋2x，分别作出y 1、y 2的图象，观察图象可知a ≤0时，两图象只有一个交点．答案：a ≤011．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时， f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[0,2 013]上的零点个数是________．解析：由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．在一个周期(－1,9]上，函数f (x )＝x 2－2x在(－1，4]区间内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f (x )在一个周期上仅有3个零点，由于区间(3,2 013]中包含201个周期，又x ∈[0,3]时也存在一个零点x ＝2，故f (x )在[0，2 013]上的零点个数为3×201＋1＝604.答案：60412．若关于x 的方程2－|x |－x 2＋a ＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：∵2－|x |－x 2＋a ＝0，∴2－|x |＝x 2－a ，即原方程有两个不同的实数根可看作函数y＝2－|x |的图象与y ＝x 2－a 的图象有两个交点，而y ＝2－|x |∈(0,1]，函数y ＝x 2－a 的图象开口向上，由数形结合，∴－a <1，即a >－1.答案：(－1，＋∞) 三、解答题13．若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解：令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0， 即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )、h (x )的图象．由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点，故a 的取值范围为(－4,0)．14．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4≥0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．[热点预测]15．(1)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( B )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15(2)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈(－1,1]时， f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x >0－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：(1)如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.(2)函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈(－1,1]时f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9，选择B. 答案：(1)B (2)B。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业(一)一、选择题1．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( A )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．2．已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( D)A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B ＝[－2,1]．3．已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( C) A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}解析：因为a2＝1，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{0，b,0}与集合中元素互异性矛盾，所以舍去，故a＝－1，此时B＝{0，b,2}，所以b＝1，所以A∪B＝{0,1,2,3}．4．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有( B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.5．已知集合A＝{x∈R|x≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是( C)A．A∪B＝R B．A∩B≠ØC．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：由题意可知B＝{x|－1<x<2}，故选C.6．若集合M＝{x∈N*|x<6}，N＝{x||x－1|≤2}，则M∩(∁R N)＝( D)A．(－∞，－1) B．[1,3)C．(3,6) D．{4,5}解析：M＝{x∈N*|x<6}＝{1,2,3,4,5}，N＝{x||x－1|≤2}＝{x|－1≤x≤3}，∁R N＝{x|x<－1或x>3}．所以M∩(∁R N)＝{4,5}，选D.二、填空题7．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝______.解析：A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}8．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ×B ＝______.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．解析：由|x －a |<1得－1<x －a <1，∴a －1<x <a ＋1，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1a ＋1<5，∴2<a <4.又当a ＝2时，A ＝{x |1<x <3}满足A ⊆B ，a ＝4时，A ＝{x |3<x <5}也满足A ⊆B ，∴2≤a ≤4. 答案：2≤a ≤4 三、解答题10．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A 且12∈B .将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0， 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12－12p ＋q ＝0，32＋12p ＋2＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2} (1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝Ø或B ＝{2}， 当B ＝Ø时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}． [热点预测]13(1)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －21－2x >0，B ＝{}y |y ＝log 2x －1，x ∈[3，9]，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 B ．(2,3]C ．[1,2)D ．(1,2)(2)对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab，a ∈A ，b ∈B }，若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为( )A.102 B.152 C.212 D.232(3)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝Ø，则m ＝________.解析：(1)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，B ＝{y |1≤y ≤3}，∴A ∩B ＝[1,2)． (2)由已知A ＋A ＝{2,3,4}，所以(A ＋A )÷A ＝{2,1,3，32，4}，其和为232.(3)A ＝{－1,2}，B ＝Ø时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：(1)C (2)D (3)0,1，－12。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四十九)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( A ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2.2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( A ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( D )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( C )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( B )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6.二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心， 易得l 的方程：2x －y －3＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0)，B (0，－2)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r .(1)若r 为正常数，求圆M 的方程；(2)当r 变化时，是否存在定直线l 与圆相切？如果存在求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵定点A (－4,0)，B (0，－2)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3； ∵圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上， 且在y 轴右侧∴设圆心M 为(x 0,2x 0＋3)∵圆M 被y 轴截得的弦长为3r ， ∴圆心到y 轴的距离x 0满足：x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫32r 2＝r 2， 即x 0＝r 2，∴圆心M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，r ＋3∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12r 2＋(y －r －3)2＝r 2；(2)圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，r ＋3在直线y ＝2x ＋3上移动，且半径为r ，设直线l ：y ＝2x ＋m 与圆M 相切，则2·12r －r ＋3＋m22＋12＝r ，解得m ＝3±5r ，所以不存在符合题意的定直线．12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |， 得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(2013·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A 、B 的横坐标分别为2、4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2,3)或A (2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0。
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吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(二十七)一、选择题1．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( A )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得AB →·AC →＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM →|＝12|BC →|＝2.2．已知向量m ＝(1,2)，n ＝(1,1)且向量m 与m ＋λn 垂直，则λ＝( B ) A ．－35B ．－53C.35D.53解析：向量m 与m ＋λn 垂直，所以m ·(m ＋λn )＝m 2＋λm ·n ＝5＋3λ＝0得λ＝－53，选B.3．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：BP ⊥DA 则BP →·PD →＝0，D 为BC 中点，所以BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2BP →2＝8，选C.4．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( B ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：设a 与b 夹角为θ，则a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝|a ||b |cos θ－|a |2＝1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，选B.5．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点解析：取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)·OD →＋(1＋2λ)OC →]＝－λ3OD →＋1＋2λ3OC →，而－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P 、C 、D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．6．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( D )A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13DC →，DB →＝DA →＋DC →，∠ADC ＝120°，∴DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫DA →＋13DC →·(DA →＋DC →)＝DA →2＋13DC →2＋43DA →·DC →＝1＋43＋43×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，选D.二、填空题7．设单位向量e 1，e 2满足e 1·e 2＝－12，则|e 1＋2e 2|＝________.解析：|e 1＋2e 2|＝e 21＋4e 1·e 2＋4e 22＝5－2＝ 3. 答案： 38．a ＝(0,1)，b ＝(1,0)且(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值为________． 解析：(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －|c |·|b ＋a |·cos θ＋|c |2＝0，〈c ，a ＋b 〉＝θ得|c |＝2cos θ，∴cos θ＝1时，|c |max ＝ 2.答案： 29．在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题可得CP →＝23CA →＋13CB →，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·(CA →＋CB →)＝23CA →2＋13CB →2＝123＝4.答案：410．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则 (1)DE →·CB →的值为________． (2)DE →·DC →的最大值为________．解析：(1)由正方形的性质，正方形的边长为1，DE →·CB →＝|DE →|·|CB →|c os ∠ADE ，而在直角三角形ADE 中，DA ＝DE ·cos∠ADE ，∴DE →·|CB →|＝|DA →|·|DA →|＝1×1＝1.(2)法一：DE →·DC →＝|DE →|·|DC →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ADE ＝|DE →|sin ∠ADE ＝|AE →|≤|AB →|＝1，∴DE →·DC →的最大值为1.法二：由数量积的几何意义DE →·CB →为|CB →|与DE →在CB →上投影的积，而无论E 点在AB 的哪个位置DE →在CB →上的投影均为1∴DE →·CB →＝1同理DE →·DC →的最大值为E 在B 点时其值为1. 答案：1 1三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)， ∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.13．已知圆心为O ，半径为1，弧度数为π的圆弧AB ︵上有两点P ，C ，其中BC ︵＝AC ︵(如图)．(1)若P 为圆弧BC ︵的中点，E 在线段OA 上运动，求|OP →＋OE →|的最小值；(2)若E ，F 分别为线段OA ，OC 的中点，当P 在圆弧AB ︵上运动时，求PE →·PF →的最大值． 解：(1)设OE ＝x (0≤x ≤1)，则|OP →＋OE →|2＝1＋2×1×x ×cos 3π4＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋12，所以当x ＝22时，|OP →＋OE →|的最小值为22.(2)以O 为原点，BA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)，PE →·PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，－y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，12－y ＝1－12(x ＋y )， 所以PE →·PF →的最大值是32.[热点预测]14．(1)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.(2)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________．(3)在△ABC 中，O 是中线AM 上一个动点，若AM ＝4，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是( ) A ．－4 B ．－8 C ．－10 D ．－12解析：(1)∵AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝1， ∴|BC |cos B ＝－12，由余弦定理，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |cos B ∴32＝22＋|BC |2＋2， ∴|BC |＝ 3.(2)由|a ＋b |＝|a －b |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0 由|a ＋b |＝233|a |两边平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2设a ＋b 与a －b 夹角为θ，∴cos θ＝a ＋b a －b|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12，∴θ＝60°. (3)令|OA →|＝x ，则|OM →|＝4－x .(0<x <4)，M 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OM →∴OA →·(OB →＋OC →)＝OA →·2OM →＝－2x (4－x )≥－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4－x 22＝－8，当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，取得最小值，即O 为AM 中点时OA →·(OB →＋OC →)的最小值是－8.选B.答案：(1) 3 (2)60° (3)B。