【预初数学】含参方程(二)-沪教版

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沪科版初中数学教材目录(全六册)

沪科版初中数学教材目录（全六册）七年级上册第1章有理数1.1正数和负数1.2数轴1.3有理数的大小1.4有理数的加减1.5 有理数的乘除1.6有理数的乘方1.7近似数第2章整式加减2.1用字母表示数2.2代数式2.3整式加减第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法3.2二元一次方程组3.3消元解方程组3.4用一次方程(组)解决问题第4章直线与角4.1多彩的几何图形4.2线段、射线、直线4.3线段的长短比较4.4角的表示与度量4.5角的大小比较4.6作线段与角第5章数据收集与整理5.1数据的收集5.2数据的整理5.3统计图的选择5.4从图表中获取信息七年级下册第6章实数6.1平方根、立方根6.2实数第7章一元一次不等式与不等式组7.1 不等式及其基本性质7.2一元一次不等式7.3一元一次不等式组第8章整式乘除与因式分解8.1幂的运算8.2 整式乘法8.3 平方差公式与完全平方公式8.4 整式除法8.5 因式分解第9章分式9.1分式及其基本性质9.2分式的运算9.3 分式方程第10章相交线、平行线与平移10.1相交线10.2平行线的判定10.3 平行线的性质10.4 平移第11章频数分布11.1频数与频率11.2频数分布八年级上册第12章平面直角坐标系12.1平面上点的坐标12.2图形在坐标系中的平移第13章一次函数13.1函数13.2一次函数13.3一次函数与一次方程、一次不等式13.4二元一次方程组的图象解法第14章三角形中的边角关系14.1三角形中的边角关系14.2命题与证明第15章全等三角形15.1全等三角形15.2三角形全等的判定第16章轴对称图形与等腰三角形16.1轴对称图形16.2线段的垂直平分线16.3等腰三角形16.4角的平分线八年级下册第17章勾股定理17.1勾股定理17.2勾股定理的逆定理第18章二次根式18.1二次根式18.2二次根式的运算第19章一元二次方程19.1一元二次方程19.2一元二次方程的解法19.3一元二次方程的根的判别式19.4一元二次方程的根与系数的关系19.5一元二次方程的应用第20章四边形20.1多边形的内角和20.2平行四边形20.3矩形菱形正方形20.4中心对称20.5梯形第21章数据的集中趋势与离散程度21.1数据的集中趋势21.2数据的离散程度21.3用样本估计总体九年级上册第23章二次函数与反比例函数23.1二次函数23.2二次函数y=ax2的图象和性质23.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质23.4二次函数与一元二次方程23.5二次函数的应用23.6反比例函数第24章相似形24.1比例线段24.2相似三角形的判定24.3相似三角形的性质24.4相似多边形的性质24.5位似图形第25章解直角三角形25.1锐角的三角函数25.2锐角的三角函数值25.3解直角三角形及其应用九年级下册第26章圆26.1 旋转26.2 圆的对称性26.3 圆的确定26.4 圆周角26.5 直线与圆的位置关系26.7 圆与圆的位置关系26.8 弧长与扇形面积第27章投影与视图27.1 投影27.2 三视图第28章概率初步28.1 随机事件28.2 等可能情况下的概率计算28.3 用频率估计概率。

沪教版预初数学目录

沪教版初中数学目录六年级第一册（预初）第一章数的整除第1节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2，5整除的数第2节分解素因数1.4素数、合数与分解素因数1.5公因数与最大公因数1.6倍数与最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数拓展求三个整数的最小公倍数第二章分数第1节分数的意义和性质2.1分数与除法2.2分数的基本性质2.3分数的大小比较第2节分数的运算2.4分数的加减法2.5分数的乘法2.6分数的除法2.7分数与小数的互化拓展无限循环小数与分数的互化2.8分数、小数的四则混合运算2.9分数运算的应用第三章比和比例第1节比和比例3.1比的意义3.2比的基本性质3.3比例第2节百分比3.1百分比的意义3.2百分比的应用3.3等可能事件第四章圆和扇形第1节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第2节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4 扇形的面积六年级第二册（预初）第五章有理数第1节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3绝对值第2节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5 有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10 科学记数法第六章一次方程（组）和不等式（组）第1节方程与方程的解6.1 列方程6.2 方程的解第2节一元一次方程6.3 一元一次方程及其解法6.4一元一次方程的应用第3节一元一次不等式（组）6.5 不等式及其性质6.6 一元一次不等式的解法6.7 一元一次不等式组第4节一次方程组6.8二元一次方程6.9 二元一次方程组及其解法6.10 三元一次方程组及其解法6.11 一次方程组的应用第七章线段与角的画法第1节线段的相等与和、差、倍7.1 线段的大小的比较7.2 画线段的和、差、倍第2节角7.3角的概念与表示7.4 角的大小比较，画相等的角7.5画角的和、差、倍7.6 余角、补角第八章长方体的再认识第1节长方体的元素第2节长方体直观图的画法第3节长方体的棱与棱位置关系的认识第4节长方体的棱与平面位置关系的认识第5节长方体的平面与平面位置关系的认识。

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 17.2 一元二次方程的解课件

一、一元二次方程的概念
l一元二次方程的定义一个未知数未知数的最高次、一元二次方程的概念
1.一元二次方程 2x2 3x 5 0
二次项系数是___2____ 一次项系数是___-_3___
常数项是___5____
一、一元二次方程的概念
(2) 1 x2 8 2
x1 4, x2 4
(3)(5x 1)(2x 2) 0 (4)x2 7ax 0
x1
1 5
,
x2
2 2
x1 0, x2 7a
(5)x2 2x 1 0 x1 x2 1
二、一元二次方程的解法 3.解下列关于x的方程：
(1)x2 3x 2 0
(2)x(2x 3) 4(2x 3) 0
1.一元二次方程 x(x 2) 1 化成一般式是___x_2 __2_x__13__3_0_____
二次项系数是___1____ 一次项系数是___-_2___
常数项是_____13__
一、一元二次方程的概念
2.判断下列方程中哪些是一元二次方程
(1)x2 1 0
(2)2x2 1 3 x
(3)3x2 2 y 1 (4)3x2 6x 5 3x2
的一元二次方程，则m_=_－__2_______
二次项系数不为0
二、一元二次方程的解法 1.下列方程用什么方法解比较简便？
(1)3x2 8 0 (2)x2 4x 4 0 (3)x2 5x 2 0 (4)x2 6x 1591
(5)2(x 1)2 6 0 (6)x2 x 1 0
(7)x2 2ax 0 (8)(x 4)(x 5) (x 4) 0
关于x的方程方法
注意
开平方法等式两边都要开平方
因式分解法提取公因式

【自主学习】2021学年沪教版八年级上册数学- 第8讲：一元二次方程应用(二)(教师版)

自学资料主题：一元二次方程应用（二）自学五步法解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．2、传播问题：(1)n a x A +=，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．知识结构知识精讲【例1】某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【答案】20【解析】设参加会议有x人，依题意可得方程为()11902x x-=，整理得：23800x x--=，解得：120x=，219x=-（舍），即参加会议的共有20人．【总结】比赛问题，注意本题每两人握手一次，相当于单循环．【例2】一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友?【答案】28【解析】设这个QQ群共有x个好友，依题意可得()1756x x-=，解得：128x=，227x=-（舍），即这个QQ群中共有28个好友．【总结】列方程解应用题，比赛问题，注意本题每个人分别发一条消息，相当于复循环．【例3】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【答案】6【解析】设参加比赛有x个球队，依题意可得方程为()1152x x-=，整理得2300x x--=，解得：16x=，25x=-（舍），即参加比赛的共有6个球队．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【例4】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【答案】10【解析】设参加展会共有x家公司，依题意可得方程为()1452x x-=，整理得：2900x x--=，解得：110x=，29x=-（舍），即参加展会共有10家公司．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题可视作单循环赛制．【例5】某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? 【答案】19【解析】设每轮分裂中可分裂出x 个有益菌，一轮培植后共有()601x +个有益菌，二轮培植后共有()2601x +个有益菌，依题意可得：()260124000x +=，整理得：()21400x +=，解得：119x =，221x =-（舍），即每轮可分裂出19个有益菌．【总结】二次方程解应用题中的传播问题．【例6】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家? 【难度】★★ 【答案】10【解析】设每人发展x 名下家，依题意可得21111x x ++=，整理得：21100x x +-=，解得：110x =，211x =-（舍）即每人要求发展10名下家．【总结】二次方程解应用题中的传播问题，注意二次发展过程中头目不参与发展下家．1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数 2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．模块二：利率、利润问题知识精讲例题解析吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）60；（2）200元；（3）不对．【解析】（1）每吨售价240元时，月销量为()45260240107.560t +-÷⨯=；（2）设每吨售价为x 元，依题意可得：()260457.5100900010x x -⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，由此可整理得 2420440000x x -+=，解得：1200x =，2220x =，销售遵循“薄利多销”，可知取1200x = 时，销量更大，即每吨材料售价应为200元；（3）由（2）可知月利润()()212603457.51002109075104x W x x -⎛⎫=+⨯-=--+ ⎪⎝⎭，210x =时有最大月利润，月销售额()222603457.516019200104x W x x -⎛⎫=+⨯=--+ ⎪⎝⎭，160x =时有最大月销售额，两种情况下售价不同，可知小静的说法不对．【总结】考查利润问题，注意区分开来销售总额和总利润之间的联系和差别，根据题意写出相应函数解析式即可进行判断求解．1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．模块三：面积问题知识精讲例题解析【例13】一个直角三角形的两条直角边的和是10，面积是10，两条直角边的长分别是-____________．【答案】6cm 和8cm ．【解析】设直角三角形其中一条直角边长为xcm ，则另一条直角边长为()14x cm -，依题意可得：()114242x x -=，解得：16x =，28x =，即两直角边长分别为6cm 和8cm ．【总结】按照方程解应用题的一般方法，两个条件一个用来作设，一个用来列式，解方程解决问题．【例14】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．【难度】★ 【答案】28．【解析】设长方形一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，根据勾股定理可得22210100a b +==，长方形面积为48，即得48ab =，则有()2222196a b a b ab +=++=，由此两边长和14a b +=，则长方形周长为()228a b +=．【总结】本题考查注意公式的灵活运用，不用直接算出两直角边长，运用相关公式即可进行直接求解解决问题．【例15】利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，问AB 和BC 边各应为多少? 【难度】★★【答案】8AB m =，12BC m =．【解析】设AB x =，则有363BC x =-，依题意可得：()36396x x -=，解得：14x =，28x =，利用墙的长最大为22m ，则有 36322x -≤，得143x ≥，取28x =，则有8AB m =，36312BC x m =-=．【总结】注意题目隐含条件，篱笆的长度决定了其中相关长度取值．ABCDE F【例20】要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽度．【难度】★★【答案】硬化路面宽度为10m ．【解析】设硬化路面宽度为xm ，依题意可得：()()160340260404x x --=⨯⨯，解得：110x =，230x =，由4020x ->，可得20x <，取110x =，即得硬化路面宽度为10m ．【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将两块绿地平移成一个长方形即可求解．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式模块五：动态几何类问题知识精讲例题解析A BCDP QA BCDP Q【例21】如图，矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．【难度】★★【答案】（1）26PBQ S t t ∆=-+；（2）2t =或4t =；（3）不存在．【解析】（1）根据题意可得6BP t =-，2BQ t =，则有 ()21162622PBQ S BP BQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-+；（2）令268PBQ S t t ∆=-+=，解得：12t =，24t =；（3）令2610PBQ S t t ∆=-+=，方程无解．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．【例22】在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以5cm /s 的速度沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式．【难度】★★ 【答案】21545135222PQD S t t ∆=-+．【解析】依题意可得：3AP t =，5BQ t =，则有93BP t =-， 155CQ t =-，则有1145315222APD S AP AD t t ∆=⋅=⋅⨯=， ()21115459352222BPQ S BP BQ t t t t ∆=⋅=-⋅=-+， ()114513591552222CDQS CD CQ t t ∆=⋅=⨯-=-+，则有21545135222PQD APD BPQ CDQ ABCD S S S S S t t ∆∆∆∆=---=-+矩形【总结】考查几何类问题中的动点问题，本题采用割补法即可对相应面积进行求解．A BCDP QABC Q PR AB CDPQRL【例23】等腰直角三角形ABC 中，AB =BC =8cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B 移动，通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于R 、Q ．当AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ? 【难度】★★ 【答案】4AP cm =．【解析】四边形PQCR 为平行四边形，易得ARP ∆、PQB ∆都为等腰直角三角形，则有CQ PR AP ==，8BQ BP AP ==-，由此可得： ()288PQCRSCQ PB AP AP AP AP =⋅=-=-+，令2816PQCRSAP AP =-+=，可得：4AP cm =．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．【例24】有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【难度】★★★【答案】10t s =或()85210t s =+-．【解析】重合部分面积先逐渐增大，然后逐渐减小，面积增大过程中，阴影部分为等腰直角三角形时，则有21=52S CQ =阴，得10CQ =，此时则有10t s =；面积减小过程中，阴影部分为等腰直角三角形时，则有21=52S BR =阴，得10BR =，此时则有()85210t s =+-．【总结】考查几何图形中的动点问题，注意面积的变化趋势和相应问题的多解性．模块六：其他类问题【例25】已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012h v t gt =-，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求：（1）隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2）多少时间以后爆竹落地? 【难度】★★【答案】（1）1s 或5s 后；（2）6s ．【解析】（1）令201252h v t gt =-=，即213010252t t -⨯=，整理得：2650t t -+=，解得：11t =，25t =；（2）令20102h v t gt =-=，即21301002t t -⨯=，解得：10t =，26t =，即6s 爆竹落地．【总结】运动问题转化为实际问题，根据题意转化为解方程即可．【例26】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【难度】★★★ 【答案】45．【解析】设共有x 个选手参加比赛，则比赛总场次为()12x x -，每局总得分2分，则总得分为()1x x -分，两相邻数字相乘末尾只能是0，2，6，可知正确分数1980，()11980x x -=，解得：145x =，244x =-（舍），即共有45个选手参加．【总结】考查比赛问题，结合末尾数字分析准确分数是解题的关键．【例27】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精? 【难度】★★★例题解析【答案】10．【解析】设第一次倒出了xL 纯酒精，依题意可得：()601601460602x x x ---+=⨯，整理得：21069600x x -+=，解得：110x =，296x =，由60x <，取110x =，即第一次倒出了10L 纯酒精．【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．【习题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【答案】8【解析】设参加比赛有x 个球队，依题意可得方程为()1742x x -=⨯，整理得2560x x --=，解得：18x =，27x =-（舍），即应邀请8支球队参赛．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【习题2】用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．【答案】不能．【解析】设折成矩形的长为xcm ，则其宽为202102xx -=-，依题意可得：()1030x x -=，方程无解，即不能折出这样的矩形．【总结】本题主要考查一元二次方程在面积问题中的应用．【习题3】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【答案】10%．【解析】设第一次存款年利率为x ，则第二次存款年利率为50%x ，第一年本金为100元，则第二年本金为()100150x +-⎡⎤⎣⎦元，依题意可得()()100150150%63x x +-+=⎡⎤⎣⎦，整理即为250125130x x +-=，解得：1135x =-，2110x =，即第一次存款年利率为10%．【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．【习题4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：A BCD【答案】花圃长13m ，宽10m ．【解析】设花圃宽为xm ，则花圃长为3122332x x -+=-，得()332130x x -=，解得：1 6.5x =，210x =，由33215x -≤，得9x ≥，取210x =，即花圃宽为10m ，长为13m ．【总结】面积问题，注意题目的隐含条件确定相应量的取值．【习题7】如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【解析】设BC xm =，则有5425xAB -=，根据题意，得：542725x x -⋅=，解得112x =，215x =，所以5425x-的值6m 或4.8m ．当墙的长度大于15等于米时，6AB m =12BC m =或 4.8AB m =，15BC m =；当墙的长度大于等于4.8米小于15米时， 4.8AB m =，15BC m =；当墙的长度小于4.8米时，无解．【总结】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，由于本题没有告知墙的长度，因此要分类讨论．【习题8】某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.62m ，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土483m ，需要多少天才能把这条渠道挖完．【难度】★★【答案】（1）上口宽2.8m ，渠底宽1.2m ；（2）25天【解析】（1）设渠深为xm ，则道上口宽为()2x m +，渠底宽为()0.4x m +，依题意可得()20.4 1.62x x x +++=，解得：12x =-（舍），20.8x =，即得渠道上口宽为0.82 2.8m +=，渠底宽为0.80.4 1.2m +=；（2）挖土天数为750 1.64825⨯÷=天．【总结】考查工程问题的简单应用，根据面积进行计算即可．【习题9】一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．ABCPQ（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由【难度】★★★【答案】（1）BQ x =，82BP x =-；（2）83x =；（3）2x = 【解析】（1）根据题意可得2AP x =，BQ x =，勾股定理可得 228AB AC BC =-=，则有82BP x =-；（2）△PBQ 为等腰三角形，仅可能BP BQ =，即82x x -=，解得：83x =；（3）20APQC S =，即20ABC BPQ S S ∆∆-=，由此可得：()1168822022x x ⨯⨯--=，整理得：()220x -=，解得：122x x ==，此时2x =．【总结】考查几何图形中的动点问题，把相应的线段长度用含有字母的代数式表示出来再根据题意即可进行求解．1. 从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．【难度】★ 【答案】264cm ．【解析】设原正方形边长为xcm ，依题意可得()248x x -=，解得：16x =-（舍），28x =，由此可得正方形铁皮面积为22864cm =．【总结】考查几何图形面积问题，根据面积公式进行相应计算即可．2. 有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．【难度】★ 【答案】20，13．F E A BCD【解析】设鸡场宽为xm ，则长为()462x m -，依题意可得：()462260x x -=，解得：110x =，213x =，由46225x -≤，得10.5x ≥，取213x =，即得鸡场宽为13m ，长为20m ．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可，注意题目的隐含条件．3. 在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82m 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）【难度】★★ 【答案】()53m -．【解析】设这个宽度为xm ，依题意可得()()122828x x --=，整理得：210220x x -+=，解得：153x =+，253x =-，由820x ->，得4x <，取253x =-，即花坛四周宽度为()53m -．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可．4. 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为45003m ，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE ，10110.049≈精确到0.1m ）【难度】★★ 【答案】9.0m ．【解析】设水坝高度为hm ，则有AE h =， 2BF h =，则33AB h =+，依题意可得()13033345002h h ⨯++=，解得：11011h =-，21011h =--（舍），由此可得水坝高度为110119.0h m =-≈．【总结】考查坡度的概念，根据面积即可进行计算．5. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌? 【难度】★★ 【答案】15．【答案】（1）()()221022144242x x S x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩；（2）2x =或42x =-【解析】（1）02x <≤时，直线l 左侧部分是等腰直角三角形，则有221122S AP x ==；24x <<时，直线l 右侧部分是等腰直角三角形，则有()2221111244442222ABC S S BP x x x ∆=-=⨯⨯--=-+-；（2）211124242x =⨯⨯⨯时，得2x =；21314424242x x -+-=⨯⨯⨯时，得42x =-．【总结】注意特殊形状图形的面积，考虑题目中多解问题的存在性．自学七招1、日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高2、预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼3、以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好4、举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞5、智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力6、错题本吐纳术：巧用智能错题本，错题定期反复练7、提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌。

沪科版九年级上册数学教案 21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第二十一章二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.多媒体课件.（课件展示问题）由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其他同学给予评价.一、思考探究，获取新知你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质? 学生讨论得到：把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a(x-h)2+k 的形式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6 =-2(x 2-2x)+6 =-2(x 2-2x+1-1)+6 =-2［(x-1)2-1］+6 =-2(x-1)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）. 你能从上图中总结出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质吗？【归纳结论】二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是x=-ab2，顶点坐标是(-ab 2，a b ac 442 )【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论. 二、典例精析，掌握新知问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成下表填空。

八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制

八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版八年级数学下册21.2二项方程》这一节主要讲述了二项方程的概念、性质和求解方法。

通过本节课的学习，学生能够理解和掌握二项方程的基本概念，熟练运用公式法求解二项方程，并能够应用二项方程解决实际问题。

教材内容共分为三个部分：二项方程的概念与性质，二项方程的求解方法，以及二项方程的应用。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了方程和函数的基本概念，具备了一定的代数基础。

但在解决实际问题时，仍存在对概念理解不深刻、解题方法不灵活等问题。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解二项方程的概念和性质，并通过大量的练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二项方程的概念，掌握二项方程的性质。

2.学会运用公式法求解二项方程，并能灵活应用解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二项方程的概念与性质。

2.公式法求解二项方程。

3.二项方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生自主探究，合作交流，从而深入理解二项方程的概念和性质。

同时，通过大量的例题和练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材、PPT及相关教学资料。

2.练习题及答案。

3.教学工具（黑板、粉笔、投影仪等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解这类问题。

例如：某商店举行抽奖活动，奖品为一个价值200元的书包。

抽奖规则如下：每个参与者支付10元，抽奖时，有两种可能的结果，要么中奖，要么不中奖。

中奖的概率是20%。

问参与者支付10元后，期望获得的价值是多少？2.呈现（10分钟）介绍二项方程的概念和性质。

二项方程一般形式为：x^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二项方程的解法有公式法和因式分解法。

九年级上册：第03讲_含参的一元二次方程(教师版)

第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。

沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版

一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。

解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。

(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。

沪教版(初中二年级)八年级数学第二学期试用本：二项方程_课件1

3 解： (1) ( x 1) 4
(2) (1 3x) 10
4
x 1 4
3
3
x 4 1
∴原方程的根是 x 3 4 1
1 3x 4 10 3x 1 4 10
1 4 10 x 3
∴原方程的根是
1 4 10 1 4 10 x1 ，x2 3 3
n
b 可转化为 x a
n
,转化为求一个数的n次方根
解一元高次方程:
(1) x 64 0 1 5 3 (3) x 0 2 2 3 解: (1) x 64
3
(2)2 x 18 0
4
x4
(2)
x 9
4
(4) x 1 0 5 (3) x 3 5 x 3
6
∴原方程的根是 x = 4
∴原方程的根是 x 3
6 x 1 (4)
5
x 4 9 x 3
任何数的偶次幂不会是负数 ∴原方程无实数根
∴原方程的根是 x1 3, x2 3
二项方程 ax b 0(a 0, b 0, n是正整数) b n x a 1.当n为奇数时,方程有且只有一个实数根
n
2.当n为偶数时, (1) 如果ab<0,方程有两个实数根,且这两个实数根互为相反数, (2) 如果ab>0,方程没有实数根
解下列方程（结果用根号表示）
(1) ( x 1) 4 0
3
(2) (1 3x) 10 0
4
分析:把x+1和1-3x看作一个“整体”，那么原方程就看作这个“整体”为新“元”的方程.
其中一项含未知数, 这项的次数就是方程的次数, 另一项是常数项;

上海沪科版初中数学九年级上册21.3 第1课时二次函数与一元二次方程2

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】　用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x1=1,x2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

【预初数学】一元一次方程-沪教版

例如:2x + 3 = 5，y − 1 = 0，x = 3 2.最简形式:方程ax = b(a=/ 0，a，b为已知数)的形式叫一元一次方程的最简形式． 3. 标准形式:方程ax + b = 0(a=/ 0，a，b为已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式．
例题2
1 在①2x + 1；②1 + 7 = 15 − 8 + 1；③1 − 1 x = x − 1；④x + 2y = 3中，方程共有( ) 2
一元一次方程
模块1：等式的概念与性质
知识素材 knowledge combing
【1期】—通用—等式的概念及性质学生素材一、等式的概念用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．
例如：1 + 2=3，x=1 等. 【想一想】2=3是等式吗？
二、等式的基本性质等式的性质1：等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式．
例如:1 + 2 = 3是等式不是方程．
为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程. 2.方程的解:如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．
例如:x = 3是方程x + 3 = 6 的解．
解方程:求方程的解的过程．二、一元一次方程 1.一元一次方程:只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.
y−1
C.
=
y
−1
12
3
D. x − 2 = 2x + 4
2 已知方程(a − 2)x∣a∣−1 + 4 = 0是关于x的一元一次方程，则a的值为
．
模块3：课堂巩固
演练题1

沪科版九年级数学上册全册教案

21.1二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好学习习惯重点难点：能够据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x)4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

2019-2020学年沪教版(上海) 八年级第二学期数学同步教学案整式方程深度延展之二

沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度八年级数学同步教学案整式方程深度延展之二【知识梳理】1.字母系数：方程0mx n +=、20ax bx c ++=，其中m 、n 、a 、b 、c 是用字母表示的已知数．x 是未知数．项mx 、2ax 、bx 中m 、a 、b 是项的系数，叫做字母系数.n 、c 是常数项，也叫做字母系数．2．含字母系数的一元一次方程：只含有一个求知数且未知数的最高次数为l 的含字母系数的方程叫做含字母系数的一元一次方程．3.含字母系数的一元二次方程：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程叫做含字母系数的一元二次方程．4.含字母系数的一元=次方程的解法解一元二次方程一般方法有；①因式分解法；②开平方法；③配方法；④公式法，当心含字母系数的代数式去乘或除方程两边时，要讨论.5.整式方程的概念：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程.6.一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中，含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程．7.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项．另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 0n ax b +=(0,0.a b n ≠≠是正整数）．8．二项方程的解法将方程0n ax b +=变形为n b x a=-.当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0ab <，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0ab >，那么方程没有实数根，9．双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程，关于x 的双二次方程的一般形式为：()4200ax bx c a ++=≠.10．解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二次方程．降次通常采用换元法或因式分解法．11．解双二次方程的一般过程(1)换元，设2x y =，则原方程变为关于y 的一元二次方程：()200ay by c a ++=≠ (2)运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程；(3)回代．【典型类型讲解】题型一：一元整式方程【例l 】解关于x 的方程：(1)0ax b +=； (2)()()22200,0abx a b x ab a b -++=≠≠．【分析】(1)题是一个含有字母系数的方程，由于a 、b 没有条件限制，故应分a ≠0和a =0两种情况讨论．当a =0时．原方程已不是一元一次方程，这时可进一步分b ≠0和b =0的情况讨论．(2)题是一个含有字母系数的方程，由于明确了a ≠0. b ≠0，所以它是一元二次方程．【答案】(1)由0ax b +=得ax b =-.①当0a ≠时，原方程为一元一次方程，它有唯一解b x a =-； ②当0a =时，当0b ≠时，则原方程为0x b ⋅=-，此时不论x 取什么值，等式0x b ⋅=-都不成立，所以原方程无解；当0b =，则原方程为00x ⋅=．此时x 取任意值，等式00x ⋅=都成立，所以方程有无穷多解．综上所述：当0a ≠时，原方程有唯一解b x a=-；当0,0a b =≠时，原方程无解；当0,0a b ==时，原方程有无穷多解．(2)∵0a ≠且0b ≠，∴a b ≠0．∴()()22200,0abx a b x ab a b -++=≠≠是一元二次方程，分解因式，得()()0x b bx a --=．∴0,0ax b bx a -=-=．∵0a ≠且0b ≠，∴12,b a x x a b== 所以原方程的根为12,b a x x a b ==．【借题发挥】1.解关于x 的方程：（1）()332x ax x +=+ （2）()2231a x a x --=+【答案】（1）0a ≤时，无解；0a >时，x a =±；（2）1a =时，无解；1a =-时，解为一切实数；1a ≠±时，211a x a +=±-. 【例2】现有两个正方形，其中小正方形的边长比大正方形的边长小4 cm ，已知大正方形周长的a 倍(0<a ≤3)和小正方形周长的b 倍(b >0)之和等于50 cm ，求两个正方形各自的边长．【分析】根据实际问题列出方程并求解，本题中存在的等量关系为：大正方形周长的a 倍和小正方形周长的b 倍之和等于50 cm【答案】设小正方形的边长为x cm ，则大正方形的边长为(x +4)cm根据题意，可列出方程()44450a x bx ++=解得25822a x a b-=+；经检验25822a x a b -=+是原方程的根，且符合题意．当25822a x a b -=+时，258422b x a b++=+ 答：这两个正方形的边长分别为25822a a b-+cm 和25822b cm a b ++.题型二：二项方程的概念及其解法【例3】解下列关于x 的方程：(1)()()2212x x --=; (2)3255x x x -=-．【分析】(1)、(2)小题用因式分解法求解.【答案】(1)原方程整理，得3220x x x --=．方程左边分解因式，得()()120x x x +-=．解方程，得1230,1,2x x x ==-=； (2)原方程整理，得32550x x x --+=．方程左边分解因式，得()()()5110x x x -+-=．解方程，得1235,1,1x x x ==-=．【借题发挥】1.利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）（1）413022x -= （2）()3280x ++= 【答案】（1）121.316, 1.316x x ≈≈-；（2）4x =-.题型三：双二次方程的概念及其解法【例4】解下列关于x 的方程：(1)42780x x --=； (2)()()2228120x x x x ---+=；【分析】(1)、(2)小题主要用换元法求解；【答案】(1)设2x y =，原方程可化为 2780y y --=．解方程，得128,1y y ==-．当8y =时，28x =，即x =±；当1y =-时，即210x =-<，无解．所以原方程的根是12x x ==-(2)设2x x y -=，原方程可化为 28120y y -+=．解方程，得122,6y y ==．当y=2时，22x x -=．解方程，得1x =-或2；当y=6时，26x x -=．解方程，得2x =-或3．所以原方程的根是12341,2,2,3x x x x =-==-=.【借题发挥】1.解下列关于x 的方程：（1）()()22120x x --=；（2）42414x x +=.【答案】（1）12341,1,x x x x ==-==；（2）123422x x x x ====-. 【随堂练习】填空题：1．k =____时，2是关于x 的方程3264k x x -=+的解。

T491-初一数学-预初春第3讲.含参方程与不等式.小升初联赛预备班

知识互联网板块一同解方程（组）知识导航若两个一元一次方程或二元一次方程组的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、倍数等等．含参方程和不等式8夯实基础【例1】⑴若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，求a 的值．⑵已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351148x k x +--=的解相同，求k 的值.⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．【解析】⑴方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．⑵由1(1)12x k -=-，得122x k -=-，12x k =-+由351148x k x +--=，得()()23518x k x +--=，72x k=-∵两个方程的解相同，∴1272k k -+=-∴2k =.⑶法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m -=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m=-，所以412k m k m -=+-，所以3m k =，所以523k m -=-.法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故48k m m k +=-，则523k m -=-．【例2】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程11x p -+=的解．【解析】由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．【例3】⑴当m =______，n =时，方程组1210x y x y -=⎧⎨+=⎩的解和方程组530mx y x ny -=⎧⎨+=⎩的解相同．⑵若关于x y 、的方程组32510x y ax by +=⎧⎨+=⎩与426218x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a b +的值.⑶若关于x 、y 的二元一次方程组2351x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解也是方程7x y -=的解，求m 的值．【解析】⑴方程组1210x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为43x y =⎧⎨=⎩，把43x y =⎧⎨=⎩代入530mx y x ny -=⎧⎨+=⎩中，得4351230m n -=⎧⎨+=⎩，解得24m n =⎧⎨=-⎩．⑵将两个不含参数的等式联立得到325426x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，代入10ax by +=中，得到10a b +=.⑶方程组中的两个方程作差，消掉m 得231x y +=-，与7x y -=联立得到方程组2317x y x y +=-⎧⎨-=⎩，解得43x y =⎧⎨=-⎩代入到方程2x y m +=中，得到2m =-．【例4】⑴已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解为1213x y =⎧⎨=-⎩，则22a b c 2++的值为________.⑵解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小明看错了方程组中的a ，得到解为35x y =-⎧⎨=⎩，小红看错了方程组中的b ，得到解为110x y =-⎧⎨=⎩．求方程正确的解．【解析】⑴将正确解代入方程组得到810168200224a b c -=-⎧⎨-=-⎩，化简得到4583a b c -=-⎧⎨=-⎩③．小明解题时把c 抄错，意味着a b 、是正确的，即此时错误的解满足方程第一式，∴121316a b -=-④，3-⨯④③得28b =，得到343a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入得到222916934a b c ++=++=.⑵小明看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b --=；小红看错了b 意味着a 是正确的，即解满足方程第一式，代入得108a -+=.解得22a b =⎧⎨=-⎩，代入原方程，解得32x y =⎧⎨=⎩．板块二含参方程（组）的解法知识导航当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．探索提升【例5】解关于x 的方程⑴ax b =；⑵48x b ax +=-；⑶()()134m x n x m -=-【解析】⑴①当0a ≠时，方程有唯一解bx a=．②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意实数．③当0a =且0b ≠时，方程无解．⑵移项合并可得()48a x b -=+，当4a ≠时，方程的解为84b x a +=-；当4a =，8b =-时，方程的解为任意实数；当4a =，8b ≠-时，方程无解．⑶去分母，化简可得：(43)43m x mn m-=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，方程的解为任意实数；当34m =，34n ≠时，方程无解．【例6】解关于x y ，的方程组13631ax y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩①②．【解析】3⨯+①②消y 得()320a x +=，当20a +≠，即2a ≠-时，方程有唯一解0x =，此时代入①得13y =．因此原方程组有唯一解013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．当20a +=，即2a =-时，方程的解为任意实数，则原方程组有无穷多组解．【例7】求a,b 为何值时，方程组()312y ax by a x ì=+ïïíï=-+ïî：①有唯一一组解；②有无数组解；③无解.【解析】方程消去y 化为()312ax b a x +=-+，即()212a x b -=-.那么这个方程x 有唯一解、有无数解和无解对应于原方程x,y 有唯一解、有无数解和无解.①有唯一解：0.5a ¹；②有无数解：0.5,2a b ==；③无解：0.5,2a b =¹.【例8】若a,b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，1x =总是它的解.求23a b +的值.【解析】在原方程中代入1x =得到21236k a bk+--=，化简为()4132b k a +=-，它对任何k 都成立.因此上式视为关于k 的方程，其解为所有数，故4, 6.5b a =-=.所以23a b +的值为1.板块三含参的一元一次不等式(组)知识导航对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，分类情况解集情况0a >时解集为bx a <．0a <时解集为bx a>.0a =时若0b >，则解集为任意实数；若0b ≤，则这个不等式无解．夯实基础【例9】解关于x 的不等式：⑴13kx +>；⑵132kx x +>-；⑶36mx nx +<--；⑷()212mx +<【解析】⑴移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解⑵移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->-当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为全体实数.⑶不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑷∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+探索提升【例10】解关于x 的不等式组()365128mx mxmx x m x -<-⎧⎪⎨+>-+⎪⎩【解析】解()365128mx mxmx x m x -<-⎧⎪⎨+>-+⎪⎩得81134mx <<，当0m >时，解集为81134x m m <<；当0m <时，解集为11843x m m<<；当0m =时，无解.【例11】已知关于x 的不等式组0521x a x ì-³ïïíï->ïî只有4个整数解，那么a 的取值范围是().【解析】不等式组化简得：2x a x ì³ïïíï<ïî.如果它只有四个整数解，那只能是-2,-1,0,1.因此2x =-满足原不等式组而3x =-不满足，因此23aa ì-³ïïíï-<ïî，故a 的取值范围是32a -<£-.【例12】a 为有理数，关于x 的不等式组520523222x a x a a ì+ïï>ïïïíï-ï<ïïïî有_________个整数解.【解析】不等式组化简得：242x a x a ì>-ïïíï<ïî，解得242a x a -<<.讨论a 的值：(1)如果2a 是整数，那么242a x a -<<这个范围内只有三个整数23,22,21a a a ---，故不等式组有三个整数解.(2)如果2a 不是整数，那么242a x a -<<这个范围内有四个整数，故不等式组有四个整数解.因此本题答案为3个(如果2a 是整数)或4个(2a 不是整数).【例13】如果不等式组0.5222x a b x b a ì+>ïïíï-<ïî的解集为12x <<，则_____a b +=.【解析】不等式组化简得：420.5x b a x a b ì>-ïïíï<+ïî.由题意知，必须14220.5b a a b ì=-ïïíï=+ïî，因此 1.51a b ì=ïïíï=ïî，所以 2.5a b +=.随堂测试1.当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．【解析】方法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.方法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．2.已知关于x y 、的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与236080x y ax by -+=⎧⎨--=⎩有相同的解，求a b 、的值.【解析】解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.3.解关于x 的方程()()()33349m x n m n n ++=-+++【解析】去括号，化简可得：mx n =，当0m ≠时，方程的解为nx m=，当00m n ==，时，方程的解为任意实数，当00m n =≠，时，方程无解4.、a b 为参数，解不等式513bax x -+>-【解析】不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭当03b a +>时，解集为183x a b <+当03b a +<时，解集为183x a b >+当03ba +=时，解集为全体实数.5.解关于x 的不等式组：56323mx m mx x >⎧⎪-⎨-<⎪⎩【解析】化简不等式得56mx mx >⎧⎨<⎩，即56mx <<，当0m >时，不等式组的解集为56x m m <<；当0m <时，不等式组的解集为65x mm<<；当0m =时，不等式组无解.。

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沪科版初中数学全目录七年级上册第1章有理数1.1天气预报中的数 1.2数轴 1.3有理数的大小有理数的大小1.4有理数的加减 1.5 有理数的乘除 1.6有理数的乘方 1.7近似数近似数第2章走进代数2.1用字母表示数 2.2代数式 2.3整式加减整式加减第3章一次方程与方程组3.1一元一次方程及其解法 3.2二元一次方程组 3.3消元解方程组消元解方程组3.4用一次方程(组)解决问题解决问题第4章直线与角4.1多彩的几何图形 4.2线段、射线、直线 4.3线段的长短比较 4.4角的表示与度量作线段与角角的表示与度量 4.5角的大小比较 4.6作线段与角第5章数据的收集与整理5.1数据的收集 5.2数据的整理 5.3统计图的选择 5.4从图表中获取信息从图表中获取信息七年级下册第6章实数 6.1平方根、立方根 6.2实数实数第7章一元一次不等式与不等式组7.1 不等式及其基本性质 7.2一元一次不等式 7.3一元一次不等式组一元一次不等式组第8章整式乘除与因式分解 8.1幂的运算 8.2 整式乘法 8.3 平方差公式与完全平方公式 8.4 整式除法 8.5 因式分解因式分解第9章分式9.1分式及其基本性质 9.2分式的运算 9.3 分式方程分式方程第10章相交线、平行线与平移10.1相交线 10.2平行线的判定 10.3 平行线的性质 10.4 平移平移第11章数据的集中趋势 11.1平均数 11.2中位数与众数 11.3 从部分看总体从部分看总体八年级上册第12章平面直角坐标系12.1平面上的点坐标 12.2图形在坐标中的平移图形在坐标中的平移第13章一次函数13.1函数 13.2一次函数 13.3一次函数与一次方程、一次不等式 13.4二元一次方程组的图象解法二元一次方程组的图象解法第14章三角形14.1三角形中的边角关系 14.2命题与证明命题与证明第15章三角形的全等15.1全等三角形 15.2三角形全等的判定三角形全等的判定轴对称图形与等腰三角形第16章轴对称图形与等腰三角形16.1轴对称图形 16.2线段的垂直平分线 16.3等腰三角形 16.4角的平分线角的平分线八年级下册第17章二次根式17.1二次根式 17.2二次根式运算二次根式运算第18章一元二次方程18.1一元二次方程18.2一元二次方程解法18.3一元二次方程应用第19勾股定理19.1勾股定理 19.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理第20章四边形20.1多边形的内角和 20.2平形四边形正方形菱形正方形平形四边形 20.3矩形矩形菱形20.4中心对称图形20.5梯形梯形第21章数据的集中趋势和离散程度21.1数据的集中超势用样本估计总体数据的集中超势 21.2数据的离散程度数据的离散程度 21.3用样本估计总体九年级上册第22章二次函数与反比例函数22.1二次函数 22.2二次函数y=ax2的图象 22.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质22.4二次函数与一元二次方程 22.5二次函数的应用 22.6反比例函数反比例函数第23章相似形23.1比例线段 23.2相似三角形的判定 23.3相似三角形的性质相似三角形的性质23.4相似多边形的性质 23.5位似图形位似图形第24章解直角三角形24.1锐角的三角函数 24.2锐角的三角函数值 24.3解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用九年级下册第25章圆25.1旋转 25.2圆的对称性 25.3圆的确定圆的确定25.5直线与圆的位置关系25.4圆周角 25.5直线与圆的位置关系25.6三角形的内切圆弧长与扇形面积圆与圆的位置关系 25.8弧长与扇形面积三角形的内切圆 25.7圆与圆的位置关系第26章投影与视图26.1投影26.2 三视图三视图第28章概率初步28.1随机事件用频率估计概率随机事件 28.2等可能情形下的概率计算 28.3用频率估计概率。