2016年四川高职单招数学试题(附答案)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二 .数学 单项选择（共10小题，计30分）1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M N =( )A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,22. 不等式的解集是( )A ．x<3B ．x>－1C ．x<－1或x>3D ．－1<x<33．已知函数()22xf x =+，则(1)f 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 函数12+-=x y 在定义域R 内是( )A. 减函数B. 增函数C. 非增非减函数D. 既增又减函数5. 设1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>6.已知a (1,2)=，b (),1x =，当2a +b 与2a -b 共线时，x 值为（ ）A. 1B.2 C . 13 D.127. 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） A.4 B.5C.6D.78．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=（ ）A ．6-B ．6C ．32D ．32-点)5,0(到直线x y 2=的距离为() 21<-xA ．25B ．5C ．23D ．2510. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数= _________ ．12．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，则f （）= _________ ．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x 3，φ2（x ）=sinx 时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题：①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b ”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值；③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g （x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln （x+2）+（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18.（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。

（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH （III ）求二面角A EG M --余弦值19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2x 的图象上（n ∈N *）．（1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；GFHEC DA B（2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n 项和T n ．20.（本小题13分）如图，椭圆2222:1+=x y E ab的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。

当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为。

（1） 球椭圆E 的方程；（2） 在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得=QA PAQB PB恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围．11.解答：解：复数===﹣2i ，故答案为：﹣2i ．12.解答： 解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数， ∴=1．故答案为：1．13.解答： 解：过A 点作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ， 则Rt △ACD 中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m ．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m14.解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：515.解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f （a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f （x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f （x ）=（x ＞﹣2） 当x ＞0时，，∴，即；当x=0时，f （x ）=0； 当x ＜0时，，∴，即．∴．即f （x ）∈B ．故命题④是真命题． 故答案为①③④．三、解答题16. 解：（1）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---则12n n a a -=(2)n ≥12nn a a （2n ）则{}n a 是以1a为首项，2为公比的等比数列。

又由题意得21322a a a +=+1112224a a a ⇒⋅+=+12a ⇒= 则2n n a = *()n N ∈（2）由题意得112nn a =*()n N ∈ 由等比数列求和公式得11[1()]1221()1212n nn T -==--则2111-=()22n n T （）-=又当10n =时， 10911=1024=51222（），（）111000n T ∴-<成立时，n 的最小值的10n =。

点评：此题放在简答题的第一题，考察前n项和n S与通项n a的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。

可以说是知识点的直接运用。

所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。

17.解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．18.【答案】（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可如图（II ）连接BD ，取BD 的中点Q ，连接MQ因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点，所以////MQ CD GH 且1122MQ CD GH== 又因N 为GH 中点，所以12NH GH=得到NH MQ =且//NH MQ 所以四边形QMNH 为得到//QH MN 又因为QH ⊂平面BDH 所以//MN 平面BDH （得证） （III ）连接AC ，EG ，过点M 作MK AC ⊥，垂足在AC 上，过点K 作平面ABCD 垂线，交EG 于点L ，连接ML ，则二面角A EG M MLK --=∠QLKMH N GE FD CA B因为MK ⊂平面ABCD ，且AE ABCD ⊥,所以MK AE ⊥ 又AE ，AC ⊂平面AEG ,所以MK ⊥平面AEG且KL AEG ⊂，所以MK ⊥KL ，所以三角形MKL 为RT ∆ 设正方体棱长为a ，则AB BC KL a ===，所以2a MC =，因为45MCK ∠=︒，三角形MCK 为RT ∆，所以cos 454MK MC =∠︒=所以4tan 4MK MLK KL a ∠===，所以cos 3MLK ∠=所以cos cos 3A EG M MLK <-->=∠=19.解答： 解：（1）∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）=2x 的图象上， ∴，又等差数列{a n }的公差为d ， ∴==2d ，∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上， ∴=b 8，∴=4=2d ，解得d=2．又a 1=﹣2，∴S n ==﹣2n+=n 2﹣3n ．（2）由f （x ）=2x ，∴f ′（x ）=2x ln2，∴函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a 2=2．∴d=a 2﹣a 1=2﹣1=1．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1）×1=n ， ∴b n =2n ． ∴．∴T n =+…++，∴2T n =1+++…+，两式相减得T n =1++…+﹣=﹣==．20:【答案】解：（1）由题知椭圆过点)。